Khảo sát hàm số

Chuyeân ñeà 10: 1.BAØI TOAÙN 1 : CAÙC BAØI TOAÙN CÔ BAÛN COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ COÙ MANG DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA Phöông phaùp chung: Ñeå veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù mang daáu giaù trò tuyeät ñoái ta coù theå thöïc hieän nhö sau: Böôùc 1: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc chöùa bieán beân trong daáu giaù trò tuyeät ñoái . Böôùc 2: Söû duïng ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái Phaân tích haøm soá ñaõ cho thaønh caùc phaàn khoâng coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái ( Daïng haøm soá cho bôûi nhieàu coâng thöùc) Böôùc 3: Veõ ñoà thò töøng phaàn roài gheùp laïi( Veõ chung treân moät heä truïc toïa ñoä) * Caùc kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng: 1. Ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái : ⎧ A neáu A =⎨ ⎩− A neáu A≥0 A<0 2. Ñònh lyù cô baûn: ⎧B ≥ 0 A =B⇔⎨ ⎩A = ±B 3. Moät soá tính chaát veà ñoà thò: a) Ñoà thò cuûa hai haøm soá y=f(x) vaø y=-f(x) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh b) Ñoà thò haøm soá chaün nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng c) Ñoà thò haøm soá leû nhaän goác toïa ñoä laøm taâm ñoái xöùng * Ba daïng cô baûn: Baøi toaùn toång quaùt: ⎧(C1 ) : y = f ( x) ⎪ Töø ñoà thò (C):y=f(x), haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: ⎨(C 2 ) : y = f ( x ) ⎪ ⎩(C 3 ) : y = f ( x) 54 Daïng 1: Töø ñoà thò (C ) : y = f ( x) → (C1 ) : y = f ( x) Caùch giaûi ⎧ f ( x) neáu f(x) ≥ 0 (1) B1. Ta coù : (C1 ) : y = f ( x) = ⎨ (2) ⎩− f ( x) neáu f(x) < 0 B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C1) nhö sau: • Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (1) ) • Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ( do (2) ) • Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C1) Minh hoïa y y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2) 8 8 y=x3-3x+2 6 6 y = x3-3x+2 4 (C1 ) : y = x 3 − 3 x + 2 4 2 2 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 (C): y = x -3x+2 y=x3-3x+2 -2 3 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 Daïng 2: Töø ñoà thò (C ) : y = f ( x) → (C 2 ) : y = f ( x) ) ( ñaây laø haøm soá chaün) Caùch giaûi (1) ⎧ f ( x) neáu x ≥ 0 B1. Ta coù : (C 2 ) : y = f ( x) ) = ⎨ (2) ⎩ f (− x) neáu x < 0 B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C2) nhö sau: • Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy ( do (1) ) • Laáy ñoái xöùng qua Oy phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy ( do do tính chaát haøm chaün ) • Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân traùi truïc Oy (neáu coù) ta seõ ñöôï (C2) Minh hoïa: y y x 3 y=x -3x+2 y f(x)=x^3-3*x+2 8 8 6 6 4 4 y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2 y = x3-3x+2 3 (C 2 ) : y = x − 3 x + 2 2 2 x x x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -9 9 -7 -6 -5 -4 y=x3-3x+2 -2 -3 (C): y = x3-3x+2 -2 -1 1 -2 -4 -4 -6 -8 55 -6 -8 2 3 4 5 6 7 8 9 Daïng 3: Töø ñoà thò (C ) : y = f ( x) → (C3 ) : y = f ( x) Caùch giaûi ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ B1. Ta coù : (C 3 ) : y = f ( x) ⇔ ⎨⎡ y = f ( x) ⎪⎢ y = − f ( x) ⎩⎣ (1) (2) B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C3) nhö sau: ( do (1) ) • Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox • Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (2) ) • Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C3) Minh hoïa: y y y f(x)=x^3-3*x+2 y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=-(x^3-3*x+2) 8 8 3 y=x -3x+2 y = x -3x+2 6 3 (C3) : y = x3 −3x + 2 4 6 4 2 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 9 x x -2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -4 y = x -3x+2 y=x(C):3-3x+2 3 -6 -2 -4 -8 -6 -8 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá : y = − x 3 + 3 x (1) 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: 3 b) y = − x + 3 x a) y = − x 3 + 3x x +1 (1) x −1 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: x +1 x +1 x +1 x +1 b) y = c) y = d) y = a) y = x −1 x −1 x −1 x −1 c) y = − x 3 + 3x Baøi 2: Cho haøm soá : y = 56 e) y = x +1 x −1 8 9 SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ 2.BAØI TOAÙN 2 : Baøi toaùn toång quaùt: ⎧(C1 ) : y = f(x) Trong mp(Oxy) . Haõy xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò hai haøm soá : ⎨ ⎩(C2 ) : y = g(x) y y M 1 y2 y1 (C1 ) x O M2 (C2 ) (C1 ) M0 x x1 O x2 x O (C2 ) (C2 ) (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung y (C1 ) (C1) vaø (C2) caét nhau (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau Phöông phaùp chung: * Thieát laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá ñaõ cho: f(x) = g(x) (1) * Khaûo saùt nghieäm soá cuûa phöông trình (1) . Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính laø soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2). Ghi nhôù: Soá nghieäm cuûa pt (1) = soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2). Chuù yù 1 : ⇔ (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung * (1) voâ nghieäm * (1) coù n nghieäm ⇔ (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung Chuù yù 2 : * Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa (C1) vaø (C2). Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y0 = f(x0) hoaëc y0 = g(x0). y y0 x x0 O AÙp duïng: Ví duï: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): y = 57 2x − 1 vaø ñöôøng thaúng ( d ) : y = −3 x − 1 x +1 Minh hoïa: y f(x)=(2*x-1)/(x+1) f(x)=-3*x-1 x(t)=-1 , y(t)=t 15 f(x)=2 ` 10 5 -20 -15 -10 2x − 1 x +1 (C ) : y = -5 5 10 15 -5 x 20 25 -10 -15 ( d ) : y = −3 x − 1 -20 b. Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa ñoà thò hai haøm soá : Ñònh lyù : ⎧⎪ f(x) = g(x) (C1) tieáp xuùc vôùi (C1) ⇔ heä : ⎨ ' coù nghieäm ' ⎪⎩ f (x) = g (x) y (C 1 ) M x O Δ (C 2 ) AÙp duïng: − x 2 + 2x − 3 . Chöùng minh raèng (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau Ví duï: Cho ( P) : y = x − 3 x − 1 vaø (C ) : y = x −1 Minh hoïa: 2 y f(x)=x^2-3*x-1 f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1) 15 (C ) (P ) 10 5 x -20 -15 -10 -5 5 -5 -10 -15 58 10 15 20 25 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá y = ( x − 1)( x + mx + m ) (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät. Baøi 2: Cho haøm soá y = 2 x 3 − 3 x 2 −1 (C) Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm M(0;-1) vaø coù heä soá goùc baèng k. Tìm k ñeå ñöôøng thaúng (d) caét (C) taïi ba ñieåm phaân bieät. Baøi 3: Cho haøm soá y = x 3 − 3x + 2 (C) Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm A(3;20) vaø coù heä soá goùc baèng m. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d) caét (C) taïi ba ñieåm phaân bieät. Baøi 4 : Cho haøm soá y = x 4 − mx 2 + m − 1 (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät. x2 − 2x + 4 Baøi 5: Cho haøm soá y = (1) x −2 Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = mx+2-2m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät x2 − x −1 (1) Baøi 6: Cho haøm soá y = x +1 Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = m(x-3)+1 caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät x2 + 4x + 1 Baøi 7: Cho haøm soá y = x+2 Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng (d):y=mx+2-m caét ñoà thò haøm soá taïi hai ñieåm phaân bieät thuoäc cuøng moät nhaùnh cuûa ñoà thò. mx 2 + x + m Baøi 8: Cho haøm soá y = (1) x −1 Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taò hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoä döông . x 2 + mx − 1 Baøi 9: Cho haøm soá y = (1) x −1 Ñònh m ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B sao cho OA ⊥ OB . x 2 + mx − 1 Baøi 10: Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa haøm soá y = caét caùc truïc toaï ñoä taïi hai ñieåm A,B sao cho x −1 dieän tích tam giaùc OAB baèng 8. x2 + 3 Baøi 11: Cho haøm soá y = x +1 2 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm M(2; ) sao cho (d) caét ñoà thò (C) taïi hai ñieåm 5 phaân A,B vaø M laø trung ñieåm cuûa AB. − x 2 + 3x − 3 Baøi 12: Cho haøm soá y = (1) 2( x − 1) Tìm m ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB=1 Baøi 13: Cho haøm soá y = ( x − 1)( x 2 + mx + m ) (1) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh. Xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm trong moãi tröôøng hôïp tìm ñöôïc 2 59 Baøi 14: Cho haøm soá y = haøm soá x2 − x +1 . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M(0;1) vaø tieáp xuùc vôùi ñoà thò x −1 x 2 − 3x + 6 Baøi 15: Cho haøm soá y = x−2 (C) 1 Tìm treân (C) taát caû caùc caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm I ( ;1) 2 2 x − 2x + 2 (C) vaø hai ñöôøng thaúng (d1 ) : y = − x + m & (d 2 ) : y = x + 3 Baøi 16: Cho haøm soá y = x −1 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå (C) caét (d1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B ñoái xöùng nhau qua (d2) 4 Baøi 17: Cho haøm soá y = x + (1) x Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng ( d ) : y = 3 x + m luoân caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät A,B. Goïi I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, haõy tìm m ñeå I naèm treân ñöôøng thaúng ( Δ ) : y = 2 x + 3 60 TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG 3.BAØI TOAÙN 3: a. Daïng 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ (C) y (C): y=f(x) Δ y0 M 0 x x0 Phöông phaùp: Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng: y - y0 = k ( x - x0 ) Trong ñoù : x0 : hoaønh ñoä tieáp ñieåm y0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y0=f(x0) k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : k = f'(x0) AÙp duïng: Ví duï: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = x 3 − 3 x + 3 taïi ñieåm uoán cuûa noù `b. Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc y (C): y=f(x) y0 M 0 x0 Δ x Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1: Goïi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) Böôùc 2: Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình : f ' ( x0 ) = k , töø ñoù suy ra y0 = f ( x0 ) =? Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. 61 Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc . y y (C): y=f(x) k =a y = ax + b Δ x Δ1 Δ2 (C): y=f(x) k = −1 / a O x Δ 2 : y = ax + b Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau: Ñònh lyù 1: Neáu ñöôøng thaúng ( Δ ) coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa ( Δ ) laø: kΔ = a Ñònh lyù 2: Neáu ñöôøng thaúng ( Δ ) ñi qua hai ñieåm A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) vôùi x A ≠ x B thì heä soá goùc cuûa ( Δ ) laø : kΔ = yB − y A xB − x A Ñònh lyù 3: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng (Δ1 ) vaø (Δ 2 ) . Khi ñoù: Δ1 // Δ 2 ⇔ k Δ1 = k Δ2 Δ1 ⊥ Δ 2 ⇔ k Δ1 .k Δ 2 = −1 AÙp duïng: 1 3 1 2 4 x + x − 2x − 3 2 3 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng (d): y = 4x+2. x2 + 3 Ví duï 2: Cho ñöôøng cong (C): y = x +1 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ( Δ ) : y = −3 x Ví duï1: Cho ñöôøng cong (C): y = c. Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(xA;yA) y (C ) : y = f ( x) A( x A ; y A ) x O Δ : y − y A = k(x − xA ) ⇔ y = k(x − xA ) + y A 62 Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ( Δ ) qua A vaø coù heä soá goùc laø k bôûi coâng thöùc: y − y A = k ( x − x A ) ⇔ y = k ( x − x A ) + y A (*) Böôùc 2: Ñònh k ñeå ( Δ ) tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù: ⎧⎪f(x)=k(x-x A ) + y A Δ tieáp xuùc (C) ⇔ heä ⎨ ' coù nghieäm (1) ⎪⎩f ( x ) = k Böôùc 3: Giaûi heä (1) tìm k. Thay k tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. AÙp duïng: Ví duï1: Cho ñöôøng cong (C): y = x 3 + 3x 2 + 4 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1) 2x − 5 Ví duï 2: Cho ñöôøng cong (C): y = x −2 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0). BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1 Baøi 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán Δ cuûa ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = x 3 − 2 x 2 + 3 x taïi ñieåm uoán vaø 3 chöùng minh raèng Δ laø tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nhoû nhaát x2 + x −1 Baøi 2: Cho ñöôøng cong (C): y = x+2 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ( Δ ) : y = x − 2 x 2 + 3x + 6 (C) Baøi 3: Cho haøm soá y = x +1 Tìm treân ñoà thò (C) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ( d ) : y = Baøi 4: Baøi 5: Baøi 6: Baøi 7: 1 x 3 x2 + x + 1 Cho ñöôøng cong (C): y = x +1 Tìm caùc ñieåm treân (C) maø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñoù vuoâng goùc vôùi tieäm caän xieân cuûa (C). x2 + x −1 (C) Cho haøm soá y = x −1 Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi moãi ñieåm aáy vôùi ñoà thò (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa (C). m 1 1 Cho haøm soá y = x 3 + x 2 + (Cm) 3 2 3 Goïi M laø ñieåm thuoäc (Cm) coù hoaønh ñoä baèng -1 . Tìm m ñeå tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi ñieåm M song song vôùi ñöôøng thaúng 5x-y=0 Cho ñöôøng cong (C): y = x 3 − 3x 2 + 2 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm M(2;-7) 63