HÀM SỐ CHO HỌC SINH

https://www.facebook.com/hoctoanvoithayquang CHUYÊN ĐỀ Đ HÀM SỐ . Đề số 1 Cho hàm số: = ( ) Viết phương trình tiếp tuyến củaa đồ đ thị ( ) biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận n ccủa ( ) một tam giác vuông cân. Bài giải: Phương trình các đường tiệm cận n là x=1 và y=2, chúng lần l lượt vuông góc với các trụcc Ox và Oy. Do đó tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận mộtt tam giác vuông cân khi và chỉ ch khi nó vuông góc đườ ờng thẳng y=x hoặc y=-x. Vì y’= ( ) <0, ∀ x≠1, nên mọi tiếp p tuyến tuy của (C) có hệ số góc âm. Suy ra tiếp tuyến chỉ có thể vuông ông góc với v đường thẳng y=x Vậy hoành độ tiếp điểm là nghiệm m của c phương trình ( ) =-1↔x=1±√3 Với x=1+√3 → y=2+√3.. Khi đó PT tiếp ti tuyến là y=-x+3+2√3 Với x=1- √3 → y=2-√3. Khi đó PT tiếếp tuyến là y=-x+3-2√3 Đề số 2 Cho hàm số = + + + ( ) 1 https://www.facebook.com/HocToanThayQuang https://www.facebook.com/hoctoanvoithayquang Tìm các giá trị của m, để đường thẳẳng (d) đi qua điểm I(-1;2) với hệ số góc bằng (-m) m) ccắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệtt A, B, C. Chứng Ch minh rằng các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) ttại A và B song song với nhau. Bài giải Đường thẳng ∆: y=-m(x+1)+2 Xét PT: +3 +mx+m=-mx-m+2 ↔ ( + 1)( +2 +2 − 2) = 0 ∆ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt ↔ PT sau có 2 nghiệm phân biệt khác (-1): ∆ = 1 − (2 − 2) > 0 ↔ 1−2+2 −2 ≠ 0 ↔ Gọi , < +2 +2 − 2=0 (*) (**) là nghiệm của (*) và A( , ), B( , ) là 2 giao điểm. Hệ số góc của hai tiếp tuyến tạii A và B là: =y’( )=3 Mặt khác +2 +6 +m=3( +2 )+m là nghiệm của (*) nên =2-2m ↔ =6-5m (i=1,2) Bây giờ ta sẽ chứng minh hai tiếp p tuyến tuy không thể trùng nhau Đặt k=6-5m. Phương trình hai tiếp p tuyến tuy là: y=kx-k + Nếu hai tiếp tuyến trùng nhau, tứcc là: kx-k + =kx-k + , ∀ ∈ ↔6−4 =0↔ ↔ ( - )+ - =0 ↔ ( - )(k+m)=0 ↔ k+m=0 ( vì ≠ ) = .Điều u này mâu thuẫn thu với (**). Vậy với m< thì hai tiếp tuyến tạii A và B song song với v nhau Lưu ý: có thể giải cách khác bằng việệc chứng minh điểm I là tâm đối xứng của đồ thị hàm ssố đã cho Đề số 3 Cho hàm số: = ( ) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm m cận c của (C). Với giá trị nào của m, đường thẳng y=--x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệtt A, B và tam giác IAB đều. đ 2 https://www.facebook.com/HocToanThayQuang https://www.facebook.com/hoctoanvoithayquang Bài giải: Đường thẳng y=-x+m cắt (C) tạii hai điểm đi phân biệt khi và chỉ khi phương trình ình sau có hai nghi nghiệm phân ≠1 ) biệt , : =-x+m ↔ ↔ (1 − ) − 4( − 1) > 0 ↔ + (1 − ) + − 1 = 0 1+1− + −1≠0 >5 [ (*) <1 Ta có I(1;2), + =m-1 và ; ). ⃗=( (i=1,2) và H( =m--1. Gọi A( ; ), B( ; ) và H là trung điểm củaa AB. Khi đó ; ), ⃗ =( - ; - ) = Tam giác IAB đều ↔ = Ta có = ↔( − với mọi m thỏa mãn (*) ( Ta có (**) ↔ ↔ −6 ) = ( +3 = 0↔ = = ↔ √ −( )[ + − ) ↔ ( =- +m (**) − 1)]=0. Do đó − 3) =3[ ( − + = ) −4 − 1 nên đẳẳng thức này đúng ] = 3[( −1 1) − 4( − 1)] = 3 ± √6. Các giá trị này của m đều thỏa mãn (*). Đáp số m=3 m=3±√6 Đề số 4 = Cho hàm số − + + (*) Chứng minh rằng với mọii m, hàm số s (*) có 3 điểm cực trị. Với giá trị nào của m, khoảảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng ng đi qua hai điểm đi cực tiểu của đồ thị hàm số (*) nhỏ nhất. Bài giải y’=4 − 4( + 1) =4x [ −( + 1)] → =0 ↔[ , =0 = ±√ +1 Như vậy y’=0 có 3 nghiệm phân biệệt với mọi m. Gọi A( ; ), ( ; ), ( ; ) là 3 điểm đi thuộc đồ thị. Bảng xét dấu của y’: −∞ X Y’ +∞ - Suy ra hàm số đạt cực đại tại = 1, Ta có = = (±√ 0 + = 0, 0 đạt cực tiểu tại + 1=1-( 0 , - với mọi giá trị của m. + 1) 3 https://www.facebook.com/HocToanThayQuang + https://www.facebook.com/hoctoanvoithayquang + 1) Suy ra phương trình đường thẳng ng BC là y=1-( y=1 Do đó khoảng cách từ A đến n BC là h=|1 h= − 1 + ( + 1) |=( + 1) ≥ 1, ∀ khi và chỉ khi m=0. Vậyy m=0 thì khoảng kho cách từ A đến BC là nhỏ nhất. ∈ .Đ Đẳng thức xảy ra Đề số 5 = Cho hàm số + ( − ) + − + − ( + )( ) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực c đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm m ccực đại, cực tiểu + của đồ thị hàm số (1) vuông góc vớ ới đường thẳng y= Bài giải: + 4( Ta có y’=3 − 1) + Hàm số có CĐ, CT ↔ ↔ ∆= +4 −4 +1 = 0 có hai nghiệm nghi phân biệt , à y’ đổi dấu u khi x đi qua m mỗi nghiệm này > −2 + √3 (*) < −2 − √3 +1>0 ↔[ Nhận xét: Hai đường thẳng ng vuông góc với v nhau thì tích hệ số góc của chúng bằng (-1). 1). Ta ssẽ xác định m để hệ số góc của đường thẳng ng đi qua hai điểm đi CĐ, CT của hàm số bằng ( ) Cách 1: Gọi A( ; =- ( AB. Khi đó:k= Suy ra - ( ), ( ; − 1) + ( ) là các điểm đi cực trị của đồ thị hàm số và k là hệ số góc ccủa đường thẳng − 1) + ( −4 −4 + 1) + 1)=1 ↔ +4 =0↔[ −( + 1) − ( =0 = −4 Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều u kiện ki (*) Cách 2: Ta có + ( Y= [ − 1)] + − − − Suy ra đường thẳng AB có hệ số góc k=k= Do đó - − − =− ↔ +4 − − 1)( −4 + 1) − =− =0 ↔[ =0 = −4 Đề số 6 Cho hàm số = 4 https://www.facebook.com/HocToanThayQuang https://www.facebook.com/hoctoanvoithayquang Viết phương trình đường thẳng ng (d) đi qua gốc g tọa độ O và cắt (C) tại hai điểm m phân bi biệt A, B sao cho O là trung điểm của AB. Bài giải: Phương trình đường thẳng ng (d) đi qua O có hệ h số góc k là y= kx, (d) cắt (C) tại hai điểm m phân bi biệt ↔ ≠1 Phương trình sau có hai nghiệm m phân biệt: bi = (1) ↔ − ( + 2) + 1 = 0 (2) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ↔ PT (2) có hai nghiệm nghi phân biệt khác 1 ↔ ≠ 0, ∆= ( + 2) − 4 > 0 ↔ − ( + 2) + 1 ≠ 0 Gọi , + 4 > 0 đúng với mọi k≠ 0 + là nghiệm củaa (2). Do O là trung điểm đi của AB nên =0↔ = 0 ↔ k=- 2 Vậy phương trình đường thẳng (d)) là y= -2x Đề số 7 Cho hàm số = +( − − ) + Biện luận theo k số nghiệm củaa phương trình: tr − − =| | Bài giải: Đặt ( ) = + 2 = ( − 1)( 1 −3 − 2 − 2) Xét phương trình −2 −2 = | Ta có | − 1|( | ↔ | − 1|( − 2 − 2)= Suy ra đồ thị y=| − 1|( − 2 − 2)=k, với x≠ 1 (∗) ( − 2 − 2)( − 1) = ( ) ớ > 1 −(( − 2 − 2)( − 1) = ( ) ớ < 1 − 2 − 2) 2 trên miền R\{1} là: Số nghiệm của phương trình (*) bằng ng số s giao điểm ( với hoành độ giao điểm khác 1) củ ủa đường thẳng y=k với đồ thị hàm số y=| − 1|( − 2 − 2) 5 https://www.facebook.com/HocToanThayQuang https://www.facebook.com/hoctoanvoithayquang Từ đồ thị trên ta suy ra: - Nếu k<-2 thì PT (*) vô nghiệệm Nếu k=-2 hoặc k≥0 0 thì PT (*) có 2 nghiệm nghi phân biệt Nếu -2 0 ↔ −6 −3>0↔[ Đặt t=x-1 ↔ √ √ = + 1.. Khi đó phương trình tr (*) trở thành: 6 https://www.facebook.com/HocToanThayQuang https://www.facebook.com/hoctoanvoithayquang − ( − 3) + 3 = 0. Với điều kiệện trên thì phương trình này có hai nghiệm cùng dấu u ↔ Phương trình (*) có hai nghiệm cùng phía so vớii 1 ↔ Hai điểm M, N cùng thuộc một nhánh của đồ th thị (C) Lưu ý: Không sử dụng định lý đảo vềề dấu của tam thức bậc hai để chứng minh! Đề số 9 = Cho hàm số − + ( ) Viết phương trình tiếp tuyến củaa đồ đ thị (C), biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượ ợt tại A, B và tam giác AOB cân tại O. Bài giải: Giả sử tiếp điểm là M( ; ). Hệ số ố góc của tiếp tuyến là k=y’( )= −2 Để tam giác AOB cân tại O thì tiếp p tuyến tuy vuông góc với đường thẳng y=x hoặcc vuông góc vvới đường thẳng y= -x. : Tiếp tuyến vuông góc với đườ ờng thẳng y=x Suy ra k= -1 → 3 −2 = −1.. Phương trình tr này vô nghiệm (loại) : Tiếp tuyến vuông góc với đườ ờng thẳng y= -x Suy ra k=1 → 3 −2 ế = 1 ℎì ℎươ ế =− → ậ ế = ế ầ =1 ↔ [ ì ℎ ế 23 → 27 ì ế ℎươ ươ =− → ì ℎ ế ế ≡ = ≡ + ( ạ) 23 ( ℎỏ 27 ã ) à 27 − 27 + 32 = 0 Đề ố ì à ố = á á ị ủ = + − + ắ đồ ( ) để đườ ị à ẳ ố( ) ạ ( ): để , độ à ỏ Bài giải: 7 https://www.facebook.com/HocToanThayQuang ấ . https://www.facebook.com/hoctoanvoithayquang Hoành độ giao điểm củaa (d) và (C) là nghiệm nghi của 2 =2 + ↔ (2x+m)(x-1)=(x+1) ↔ +(m-3)x-(m+1)=0 ∆= + 2 + 17>0 >0 nên phương trình tr có hai nghiệm phân biệt( khác 1) tại hai điểm phân biệt A( , 2 + ), B( , 2 + ). Khi đó: − =( ) +20 =5( ) + (2 = ( +2 + −2 − ) =5( − ) =5( + , . Từ đó (d) luôn ccắt (C) ) -20 + 17) 17 ≥ 20 Dấu bằng khi m= -1. Vậy khoảng ng cách nhỏ nh nhất là √20 khi m= -1 Đề số 11 = Cho hàm số − + (C) Tìm các giá trị của m để đường thẳẳng tại 3 điểm phân biệt cách đều u nhau. đi qua điểm A(-1;-3) và có hệ số góc m cắtt đ đồ thị hàm số (C) Bài giải: : y=m(x+1) – 3. Hoành đô giao điểm đi của à ( ) là nghiệm của m(x+1) – 3= − 3 + 1 ↔ ( + 1)( − 4 + 4 − ) = 0.. Từ T điều kiện bài toán suy ra g(x)= − 4 + 4 − có hai nghiệm phân biệt , khác -1 sao cho + = 2(−1) hoặc + (−1) = 2 . Mà theo định nh lí Viet + = 4 suy ra = 3, = 1.. Suy ra m=1( thỏa th mãn). Có thể giải bằng cách chứng ng minh đi điểm uốn U(1;-1) là tâm đối xứng của đồ thị và điều đi kiện tương đương với đi qua U suy ra -1=m(1+1) 1=m(1+1) – 3 suy ra m=-1 Đề số 12 = Cho hàm số Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến củ ủa đồ thị đều không đi qua điểm A(2;3) Bài giải: Phương trình tiếp tuyến tổng quát Y= 1 − Y= 1 − ( ) ( ) +1+ (x- )+ x+ ( ) +1+ 8 https://www.facebook.com/HocToanThayQuang https://www.facebook.com/hoctoanvoithayquang Y= 1 − ( x+ ( ) + ) +1 Tiếp tuyến đi qua A(2;3) ↔ 3= 1 − ( 2+ ( ) ) +1 ↔ + =0 không tồn tạại suy ra không có tiếp tuyến đi qua A Đề số 13 Cho hàm số = ( ) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) tiếp xúc với đường thẳng = + Bài giải: Gọi là hoành độ tiếp điểm m A, suy ra phương trình tr tiếp tuyến tại A là y = y’( )(x- )+y( )=y’( ) − ( ) +y( ) Tức là ta có: m = y’( ) = − Từ đó ( + ) ( ) =5↔3 và – y’( ) -8 + ( )=4 =2 +4=0↔[ = Đáp số m = -1 hoặc m = -9 Đề số 14 Cho hàm số = - (m +3) +4mx - Tìm các giá trị của m sao cho ( dương. ( ) ) cắt c Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó ít nhất hai điểểm có hoành độ Bài giải: Ta có y = (x-m)( −3 + ). ( ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi g(x)= nghiệm phân biệt khác m ↔ ∆= 9 − 4 Khi đó g(x) có 2 nghiệm nghiệm âm. , >0 → < > 0 và g(m)= −2 ≠ 0 ↔ m< và m≠ 0, . Nếếu m<0 và thỏa mãn (*) theo định lí Viet suy ra = 0 có 3 nghiệm nghi dương (thỏa mãn ). Vậy 0 0 ↔ m<0 ã ) √ Đề số 16 = Cho hàm số 1. Chứng minh rằng với mọii m đường đư thẳng y = -x+m luôn cắt đồ thị hàm số tạii hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để độ dài AB nhỏ nh nhất. có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn [ ; ] = 2. Tìm k để phương trình Bài giải: 1. Ta chứng minh phương trình ình trình  −( = -x+m luôn có hai nghiệm phân biệtt khi và ch chỉ khi phương − 4) + 1 − 2 = 0(∗) luôn có hai nghiệm phân biệt ≠ −2 ∆= ( − 4) − 4(1 − 2 ) = + 12 > 0 ∀ (−2) − ( − 4)(−2)) + 1 − 2 = −3 ≠ 0 ) ( ; ), Điều này đúng. Kí hiệu A( ; + 2( Vậy = −4  AB = =1−2 ( − ) −8 ) = 2( + − ) là nghiệm của phương trình (*). Theo đ định lí Viet ta có: ) +( − = 2( ) = ( − ) + (− + + 12) ≥ 2√6 = 2√6, đạt đượcc khi m = 0 10 https://www.facebook.com/HocToanThayQuang ) =