Đề thi chọn HSG môn Toán học lớp 10

GIÁO ĐÀO BÌNH NHỞ ỊTR NG THPT NGUY DUƯỜ Ễ THI HSG TR NGỀ ƯỜNĂM 2018 2019MÔN TOÁN 10ỚTh gian làm bài 180 phútờCâu 1: a) (3đ) Gi ph ng trình: ươ221 12 16 0x xxxæ ö+ =ç ÷è øb) (3đ) Tìm ng các bình ph ng các nghi ph ng trình: ươ ươ ()22 0x m- là nh nh t.ỏ ấCâu 2: (3đ) Tìm các giá tr bi th sau có nghĩa:ậ ứ2 23 2x 3x 111 3x 2x 5xyx- +=- -Câu 3: (3đ) Cho nguyên ng kì ươ ấ, ,a Ch ng minh ng sứ ốa dAa d= ++ không ph là nguyên.ả ốCâu 4: (3đ) Cho tam giác ABC, là trung đi BC, là tr ng tâm tam giác ABC, Dọ ấđ ng qua M, là tr ng tâm tam giác MCD.L th ỏ2CJ 2AB JM= +uur uuur uuur Ch ng ứminh ng IJ song song AB.ằ ớCâu 5: (2đ) Trong ph ng Oxy, cho đi ể()()()0; 0; 6; 1A C- a) Ch ng minh tam giác ABC cân. ứb) Tính di tích tam giác ABC.ệ c) Xác nh Sao cho giác ABDG là hình bình hành. Bi là tr ng tâm tam ủgiác ABC.Câu 6: (3đ) Cho a, b, c, d> và ab+bc+cd+da=1. Ch ng minh ng:ứ ằ313333cbadbadcadcbdcbaĐÁP ÁN THI HSG MÔN TOÁN KH 10 NH 2018-2019Ề ỐCâu 1: a) 221 12 16 0x xxxæ ö+ =ç ÷è (1)ĐK: 0x¹Đ ặ1t xx= +2 2212x txÞ -(1)22 20 0t tÛ =452tté=-êÛê=êë4 3t x=- =- ± 52t =212xxé=êÞê=êëb) ()22 0x m- (2) (2) có nghi ệ0Û ³24 12 13 0m mÛ ³()22 0,m mÛ " Theo viet: 21 22 14 3x mx mì+ -ïí=- -ïî()22 21 24 6A m= ³1minA 62m= =- Câu 4:Câu 2: 23 2x 3x 111 3x 2x 5xyx- +=- -y có nghĩa 22 23 2x 03x 11 01 01 3x 2x 0xxì- ³ï+ ³ïÛí- ³ïï- ¹î223211311 03x 2x 0xxxxì£ïïï³ -ïÛí£ïïé- >ïêï- ¹êëî1 1xÛ <. 2CJ JM 2AB 2AJ 2AC AM AJ 2AB= +uur uuur uuur uur uuur uuuur uur uuur53AJ 2AB 2AC AM 5AM AJ AM3Û =uur uuur uuur uuuur uuuur uur uuuurMà là trung đi mc AD nên ủMJ2JD= .G là trung đi CD, ta có ủMI2IK= taậcó: MJ MIIJ // CD // ABJD IK= FH GJ IRDMBCACâu 3: Vì ,a Z+Î nên dAa d= ++ +a da d> ++ +1=Mà 01x zxyì>ïí<ïîx zy z+Þ <+ Th y, 1xy và ab+bc+cd+da=1. Ch ng minh ng:ứ ằ313333cbadbadcadcbdcbaCh ng minh:ứTheo AM-GM ta có:232323329329329cbadcbadcbadcbadcbadcbadcba()()3 32 2923 ab ac ad bc bd cda db ca +Þ ³+ +³ (1)Theo AM-GM ta có:()()2 22 23( )2a da dab ac ad bc bd cd+ == ³³ +)2(92312222cdbdbcadacabdcbaT (1) và (2) suy ra:ừ2222333331dcbacbadbadcadcbdcba (3)M khác ta có:ặ2 22 21 (4)2 2a aa ab bc cd da+ ++ =T (3) và (4) suy ra: ừ313333cbadbadcadcbdcbaD “=” ra khi: ả21dcba .S GIÁO ĐÀO BÌNH NHỞ ỊTR NG THPT NGUY DUƯỜ Ễ THI HSG TR NGỀ ƯỜNĂM 2018 2019MÔN TOÁN 11ỚTh gian làm bài 180 phútờBài (6đ) Gi các ph ng trình sau :ả ươ 1) 3tg tgx 14pæ ö- -ç ÷è 2) 3cos sin x2 cos 2xsin cos x-=+ Bài (3đ) Ch ng minh ng ằ()4 4a abc c+ Bài (3đ) Trong mp Oxy cho đi K(3;4) và ng tròn (C) xể ườ 6x 2y .Vi ph ng trình ng tròn (C’) tâm (C) hai đi sao cho AB là nh hình ươ ườ ạvuông có nh thu (C) ộBài (4đ) Gi phả ươ ng trình 22 (1)2 (2)xy yx y+ -ìïí- -ïî Bài (4đ) bài tr nghi có 10 câu i, câu có ph ng án ch trongộ ươ ọđó có đáp án đúng. Gi câu tr đúng đi và câu tr sai tr đi 2ả ượ ừđi m. sinh không bài nên đánh hú câu tr i. Tìm xác su sinh nàyể ọnh nậđi 1.ể ướĐÁP ÁN THI HSG KH 11 MÔN TOÁN NH 2018-2019Ề ỐBài 1) ()()()23333 2tgx 1tgx 1tg tgx tgx tgx 04 tgx 1tgx 1tgx 1tgx 1tgx 0tg 4tg 5tgx 0é ù-æ öp -æ öê ú- =ç ÷ç ÷+è øê ú-è øë û==ééÛ Ûêê=- =ëë2) ĐK: sin 0k 2cos 02³ìpÛ pí³î()()()()()PT cosx sin sin cos cos sin sinx cos 0cos sin 01 sin cos cos sin sinx cos xé ùÛ =ë û- =éêÛ+ +êëMà ()()sin cos 1; sin cos cos sin sinx cos 21 31 sin cos sin 2x2 2+ ³+ £V PT có nghi duy nh ấx 24p= pBài Ta có :()()()()()()4 24 24 24 2a 2a bb 2b ca 2a c2 ab bc abc 2abc cì+ ³ï+ ³íï+ ³îÞ +Bài ĐK: 1, 0x ³(1) 2( )( 0y yÛ =TH 1. 0x y+ (lo do 1, 0x ³)TH 2. 1y y+ th vào pt (2) ta cế ượ(2 1) 1) 2( 1)y y+ +1 0122 2yyyy+ =é=-éÛ Ûêê==êëë. Do 2y y³ có nghi ệ( (5; 2)x y=- Chú ý. Do có th phân tích thành tích hai nhân nh (hay x) nên có th gi ượ ảpt (1) ng cách coi (1) là pt hai (ho x).ằ ặBài Ta có xác su sinh tr câu đúng là ờ14 và xác su tr câu sai là ờ34 .- ọx là câu tr đúng, khi đó câu tr sai là ờ10-x- đi sinh này là ượ4 2(10 20- -x x- Nên sinh này nh đi khi ướ216 20 16- Góc gi 'A và tặđáy ()ABCD ng ằ30 o; góc gi hai ph ng ẳ()'A BC và ()ABCD ng ằ45 o; kho ng cách tả ừđi 'C ph ng ẳ()'A CD ng .a là trung đi nh CD. Tính th tích kh pể ộđã cho và bán kính ngo ti di ệ'AA DE .3) Trong không gian Oxyz, ph ng trình ph ng đi qua hai đi ươ ể(0;9;0)A ,(4;3;25)M và hai tia ắ,Ox Oz hai đi ượ ể,B khác sao cho OB OC+ nh nh t.ỏ ấCâu 1, đi mể CMR 0,b ba aa bb b++æ ö> " ¹ç ÷+è ø------ -----Cán coi thi không gi thích gì thêmộ ảH và tên thí sinh: .............................................................S báo danh:..................................ọ ốGiám th (ị tên và kýọ )..........................................................................................................Giám th (ị tên và kýọ )................................................................................. .........................Câu ng gi iướ Đi mểCâu 4.5đ1.1. (2.5đi m)ểcos cos 21cos 8y m= -()()3 23 24cos 3cos 2cos 21cos 84 cos cos 6cos 2x mx m= -= 0. 5Đ cost =, hàm đã cho ng bi trên kho ng ả() 0; khi và ch khi hàm sỉ ố()3 23 2f mt m= ngh ch bi trên ế()1;1- 0.5()()2 2' 2f mt mt= Hàm ố()3 23 2f mt m= ngh ch bi trên ế()1;1-()22 0, 1;1t mt tÛ " 0.5()()V22 0' 0' 0'ffmìï+ >ïïïïÛ £íïïï£ïïî= 0.51 01 1.1 02 2mmmìï- £ïÛ £íï- £ïîK lu n.ế 0.51.2 (2.0đi m)ể Ta có 2' 3.y m= hàm có và ti thìể ể23 3.m m- <0.5Gi ử1 2( ), )A là hai đi tr .ể Tính góc ng th ngượ ườ ẳAB là ()21 21 2( 23 .3f xk mx x-= -- 0.5Hai đi tr ng nhau qua ng th ng ườ ẳ122y x= suy ra ()21 1. 0.2 3k m=- =- 0.5Th ạ0m= th mãn.ỏ 0.5Câu 4.5đ2.1 (1.5 đi m)ể3 2tan tan tan cot cot cot 8x x- Đi ki n: ệsin cos ,2x kp¹ ΢Ph ng trình tươ ng ngươ ươ3 2(tan cot (tan cot (tan cot 0x x+ (1) 0.5Đ ặtan cot 2t t= ph ng tình (1) tr thành ươ ở3 26 0t t- =0.5Gi ượ2t=Suy ra 4tan cot sin 1kx xpp++ (th mãn).ỏV ậ,4x kpp= ΢ là nghi ph ng trình đã cho.ệ ươ 0.52.2(1.5 đi mể()()42 25 2log log 4x x+ .Đi ki n: ệ227 07 0x xx xì+ >ïí+ >ïî Vi ph ng trình ngế ươ ướ ạ()()2 25 4log log (1)x xÛ 0. 5Đ ặ24log 4)y x= ph ng trình (1) ta có :ừ ươ ệ227 44 14 15 57 5y yyy yyx xx xì+ =ïæ öÞ =íç ÷+ =è øïî (2) 0.5Hàm số()4 15 5y yf yæ ö= +ç ÷è là hàm ngh ch bi nị ếDo đó ph ng trình (2) có nghi thì nghi đó là duy nh t. ươ Nh th y=1 là ộnghi m.ệV ớ2 211 08xy xx=é= Ûê=-ëV ph ng trình có nghi ươ ệ8 1.x x=- 0.52.3(1.5đi m)ể13!W Đánh gh trên hàng ngang theo th 13. Các ph ng vào cácố ồgh 1,5,9,13.ế ốG là bi “Gi hai ng nhau có đúng ba nam, ng th nọ ạH và Minh không ng nh nhau”.ả 0.25Xét các tr ng pườ ợ- Minh ng gh 1ạ ế+ cách còn là 3!.ố ạ+ Có cách trí .ế ả+ Có 8! cách tám nam vào các trí còn i.ế ạSuy ra cách là 3!.8.8!ố ế- Minh ng gh 13 cũng có cách là 3!.8.8!ạ 0.5- Minh ng gh (gh làm ng )ạ ươ ựCó 3! cách có cách trí i, có 8! cách nam cònế ạl iạSuy ra cách là 3!.7.8!ố 0.53!.7.8! 3!.8.8! 3!2. 2. 2.!.815A+ =W ()3!82.15. 113! 8!58P A= ×0.25Câu 4đ3.1(2.0đi m)ể2 23 33 33 2x x+ ặ3 232; 2u x= +Ph ng trình đã cho tr thành ươ ở3 31 .u v+ 0. 5Xát hàm ố3 3( .f t= Có ()2233'( 0, 1.1tf tt= " -+ 0. 5Suy ra hàm )f luôn ng bi n. Nên .f v= 0.5