Một số bài toán Bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 năm 2021

Nguyễn Trung Kiên 0988844088 MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 Bài 1. Với x là số thực không âm. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  1   1 x 1    3x  1  .  x3  Hướng dẫn: Ta có: 1  x 1  1  1 x 1  .  ,    x  1  3x  1  2  x  1 3x  1  1  3x  1 x 1 2x 11 2x       suy ra 3x  1 2 3 x  1 2  2 3x  1  x 1 1  1 x 1  1  1 2x  1  1 3      (*).      3x  1 2  x  1 3 x  1  2  2 3x  1  2  x  1 2  1 1 2 11 2  x  .     , 2 x 3 2 2 x3 x3 x3 Tương tự: x 1 1  1 2  1 x x 1  1  x 3       (**). Từ (*),(**) ta suy ra:     x  3 2  2 x  3  2  x 1 x  3  2  x 1 2  Suy ra: P  x x 1 1  x x 1  .     x  1 x  3 2  x 1 x  3  1  1 1 3 1 x 3  1 x 1     2  x  1  2   2  x  1  2   2 . Dấu đẳng thức xảy ra tại 3x  1       x 3  x 1 . Bài 2. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x 2  y 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x y . 1  xy Hướng dẫn:  x  y 2 Ta có P  x 2 2  y 2  xy  2   x  y x 2 2 x 2  y2   y 2  xy  2 2 . Ta chứng minh: P 2  8 hay 9 2 9  x 2  2 xy  y 2  x 2  y 2   8  x 2  xy  y 2    x 2  y 2   2 xy  x 2  y 2   8 x 2 y 2  x 2 2 2  y 2   2 xy  x  y   0 .Bất đẳng thức này luôn đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 2 2 1 1 . Vậy GTNN của P là tại x  y  . 3 2 2 Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Bài 3. Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x  y  3, x  y  5 . Tìm GTLN của biểu thức: P  x 2  x  1  y 2  y  1 . Hướng dẫn: Ta sẽ chứng minh: x 2  x 3  y 2  y 3  22  23  32  33 hay 32  y 2  33  y3  22  x 2  23  x3  0 hay   y 2  3 y  9   3  y    x 2  2 x  4   2  x    3  y  3  y    2  x  2  x   0 . Sử dụng công thức khai triển Abel : a1b1  a2b2   a1  a2  b1  a2  b1  b2  Ta viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành: VT   y 2  3 y  x 2  2 x  5  3  y    x 2  2 x  4   5  x  y   1  y  x  3  y    2  x  5  x  y  hay VT   y 2  x 2  3 y  2 x  5  3  y    x 2  2 x  4   5  x  y   1  y  x  3  y    2  x  5  x  y  Chú ý rằng với điều kiện: 0  x  y  3, x  y  5 thì VT  0 nên bất đẳng thức được chứng minh. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x  2, y  3 . Bài 3. Cho các số thực x  3, y  3 thỏa mãn x  y  2   x  3  y  3 . Chứng minh rằng: 4  x 2  y 2   15 xy  83  0 . Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có x  y  4 x  y  2( x  3  y  3)  ( x  y) 2  4( x  y)  8 x  3. y  3  4( x  y)   x  y  0 Mặt khác x  y  2( x  3  y  3)  2 2( x  y )  x  y  8  4  x  y  8 Xét biểu thức P  4( x 2  y 2 )  15 xy  4( x  y ) 2  7 xy . Từ điều kiện xác định ta có  x  3 y  3   0  xy  3  x  y   9 . Dẫn đến 2 P  4( x 2  y 2 )  15 xy  4( x  y ) 2  7 xy  4  x  y   21 x  y   63 . 2 2 Ta có: 4  x  y   21 x  y   63  4  x  y  4   11 x  y   125  11.4  125  83 Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x  y  4 và  x  3 y  3  0  x  7, y  3 . Vậy GTNN của P là -83 tại x  7, y  3 .  Bài 4 . Cho các số thực x, y thỏa mãn: x  3  x 2 P  x 2  xy  y 2 .  y   3  y 2  9 .Tìm GTNN của Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Hướng dẫn:  Giả sử  x; y  là các số thực thỏa mãn x  3  x 2  y  x 2  3  x  x 2  x  x  x  0 , tương tự Ta có  3 y 2  9 . y2  3  y  0 Đặt: a  x  x 2  3 với a  0  x 2  3  a  x  x 2  3  a 2  2ax  x 2  x  tự với b  y  y 2  3 ta sẽ thu được y  x 2  xy  y 2  Nên P  a2  3 . Tương 2a b2  3 . Ta có 2b 3 1 3 2 2 2 x  y  x  y  x  y 4 4 4 a 2  3 b2  3 3 2  với điều kiện a, b  0, ab  9 . Ta  x  y  . Xét Q  x  y ta có: Q  4 2a 2b a 2  3 b2  3 a b 3 3 a 3 a 3         2 .  2  P  3. 2a 2b 2 2 2a 2b 3 a 3 a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a  3  x  y  1 . có: Q  Bài 5: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của a3 b3 c3   . 1  bc 1  ca 1  ab P Hướng dẫn: Ta có a3  1  bc a2 a2  . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có: 1 a a 1  bc  a  b  c P 2 1 a  1  b  1  c 2 2a  b  c  3 2  . Ta chứng minh: a  b  c 2 1 a  1 b  1 c  3 2 hay 2  1  a  1  b  1  c . Chú ý rằng: 2 2 1  a  2 2 1  a   2  1  a  a  3 dẫn đến 3 2   1  a  1  b  1  c  3  a  b  c  9  . Cuối cùng ta chỉ cần chỉ ra 2 4  a  b  c   3  a  b  c   27   a  b  c  3   4  a  b  c   9   0 nhưng điều này luôn đúng do a  b  c  3 3 abc  3 . Vậy GTNN của P là 3 3 tại a  b  c  1 . 2 Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Bài 6. Cho 3 số thực không âm x, y, z . Chứng minh rằng: x 2 y  x 3 2  y 3 z 2  z 3 3 3 2 3 x  y2  z2  . 8 8 Hướng dẫn: Ta có 3  x2  y 2  z 2   x  y  z . Nên VT  x x2  3  x x2  3 y y2  3   y y2  3 z z2  3   Mặt khác ta chứng minh được: z z2  3  3  x  y  z  . Ta chứng minh: 8 3 3 x  y  z  . 8 8 x 2 x 3  3x  1 (*) thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương 8 đương với 2  64 x 2   9 x 2  6 x  1 x 2  3  3 x 4  2 x 3  12 x 2  6 x  1  0   x  1  3x 2  8 x  1  0 , bất đẳng thức cuối cùng đúng vậy (*) được chứng minh. y 3y 1 z 3z  1 Tương tự ta cũng có:  ,  . Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta có 8 8 y2  3 z2  3 đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 . Bài 7. Cho các số thực a, b, c không đồng thời bằng 0 và a  b  c  0 . Biết a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca  . Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của P  a . abc Hướng dẫn: 2 Từ a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca  chia 2 vế cho  a  b  c  ta thu được: 2 2 2   a b c ab bc ca          2     đặt         a  b  c 2  a  b  c 2  a  b  c 2   abc   abc   abc    a b c x ,y  ,z  suy ra a bc abc a bc x  y  z  1  y  z  1 x  x  y  z  1    2  2 1 2 1 2 2 2 2 x  y  z  y  z 2   x2  x  y  z  2  xy  yz  zx    2  2 Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Vì 2 2 1  2  y 2  z 2    y  z   2   x 2   1  x   3 x 2  2 x  0  x  3x  2   0  3 x  3 x  2   0 2  3 x  0 2 2 Suy ra   0  x  suy ra 0  P  . 3 3 3 x  2  0 Bài 8: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x 2  y 2  z 2  8 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P  x3  y 3  y 3  z 3  z 3  x3 . Hướng dẫn: x  y  z 2 6 Ta có P  0 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2 .  x yz 2 2 3 x  y  z  8  Do vai trò x, y, z như nhau nên ta có thể giả sử x  y  z thế thì P  2  x 3  z 3  ta có  x 2  2 xz  z 2  x 2  xz  z 2  x 2  xz  z 2  P  4  x  2 xz  z  x  xz  z  x  xz  z   4.   3   2 2 2 2 2 3 2 2 3 3  P 2  4  x 2  z 2  mà  x 2  z 2    x 2  y 2  z 2   83 nên P  32 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2 2, y  z  0 hoặc x  y  0, z  2 2 . Bài 9. Cho các số thực dương a, b, c . Chứng minh: a 2 5a   b  c  2 b  2 5b   c  a  2 c  2 5c   a  b  2  1. Hướng dẫn: a Đặt: P  5a 2   b  c  2 b  5b 2   c  a  2 c  5c 2   a  b  2 Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:   a2 b2 c2 Ta có P  3  2  2  2  2 2 2  5a   b  c  5b   c  a  5c   a  b     2 Ta chứng minh: Q  a2 5a 2   b  c  2  b2 5b 2   c  a  2  c2 5c 2   a  b  2 1  . 3 3 Nguyễn Trung Kiên 0988844088 a2 a2 Chú ý rằng:  . 5a 2  b 2  2bc  c 2 a 2  b2  c 2  2a 2  bc  2a 2  bc Ta cũng có: a2 a2 a2  1 1 1     2  2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5a  b  2bc  c  a  b  c    2a  bc    2a  bc  9  a  b  c 2a  bc 2a  bc  Từ đó suy ra  2  a2 1 a2 b2 c2 b2 c2  1 2 Q  2          S . 9  a  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2  9  2a 2  bc 2b 2  ca 2c 2  ab  9 9 a2 b2 c2 1 bc  1  ca  1  ab     1  2   1  2   1  2  2 2 2 2a  bc 2b  ca 2c  ab 2  2a  bc  2  2b  ca  2  2c  ab  3 1 bc ca ab hay S   T với T  2  2  2 2 2 2a  bc 2b  ca 2c  ab Ta có: S  Ta viết lại T  b 2c 2 c 2a2 a 2b 2   . Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy2a 2bc  b 2c 2 2b 2ca  c 2 a 2 2c 2 ab  a 2b 2 Schwarz ta có: 2 2  ab  bc  ca   ab  bc  ca  b 2c 2 c2 a 2 a 2b 2 T 2     1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a bc  b c 2b ca  c a 2c ab  a b 2abc  a  b  c   a b  b c  c a  ab  bc  ca  1 Vậy S  1 dẫn đến Q  nên P  1 đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra tại a  b  c . 3 Bài 10. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của ab bc ca P   . 2 2 4a 4  b 4  c2 Hướng dẫn: Ta chứng minh: P  1 hay ab bc ca    1. 2 2 2 2 1  b  c 1  c  a 1  a 2  b2 2    Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  a  b  c   a 2  1  1 1  b 2  c 2 , tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa và suy ra a 3b  b3c  c 3a  2  ab  bc  ca  ab bc ca    . Cuối cùng ta sẽ chứng 2 1  b2  c2 1  c 2  a 2 1  a 2  b2 a  b  c 2 minh:  a  b  c   a 3b  b3c  c 3a  2  ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2  a 3b  b3c  c3a Nguyễn Trung Kiên 0988844088  Hay chứng minh: a 2  b 2  c2  2  3  a 3b  b3c  c3a  ( Đây là một bất đẳng thức nổi tiếng ). 2 Sử dụng đánh giá:  x  y  z   3  xy  yz  zx  với x  a 2  bc  ab, y  b 2  ca  bc, z  c 2  ab  ca ta có: a 2 2  b 2  c 2   3  a 2  bc  ab  b 2  ca  bc    b 2  ca  bc  c 2  ab  ca    c 2  ab  ca  a 2  bc  ab    Khai triển và thu gọn vế phải ta được: a 2  b 2  c2  2  3  a 3b  b3c  c3a  đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 . Bài 11. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a 2  b 2  c2  3 . Tìm GTLN,GTNN của P 1 4  ab  1 4  bc  1 4  ca . Hướng dẫn: Ta có P   a, b, c  1 4  ab  1 4  bc  1 4  ca   1 1 1 3    dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 4 4 4  là hoán vị của bộ số 0; 0; 3 . Chú ý rằng: 2 4  ab  1       2  ab 2  ab 2  ab 4  ab  1  1 4  ab 4  ab 2  ab 4  ab 2  ab    Do ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  3  ab, bc, ca  3 dẫn đến 4  ab  0 . Sử dụng bất đẳng thức 2  4  ab  2  ab  AM-GM ta có: 4  ab 2  ab     9 nên 2   4  ab 4  ab 2 4  ab 5 ab 1 5 ab dẫn đến  1      tương  9 9 9 9 4  ab 4  ab 18 18 4  ab 2  ab       tự ta cũng có 2 bất đẳng thức nữa và cộng lại thì thu được: P  15 ab  bc  ca 15 3    1 . 18 18 18 18 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 . Bài 12. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x, y, z  0; z  1 và x  y  z  3 . Tìm GTLN,GTNN của P  x 2  y 2  2 z 2  2 xyz . Hướng dẫn: GTLN. Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Từ z  1  x  y  3  z  2 . Ta có: z 2  2 xyz   2 xy  2 yz  2 zx   z  z  2 x  2 y   2 xy  z  1  0 nên suy ra 2 P  x 2  y 2  2 z 2  2 xyz  x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx    x  y  z   9 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  3; y  z  0 hoặc y  3, x  z  0 . GTNN. Ta có: 2 2 2 2 P   x  y   2 z  2 xy  z  1   3  z   2 z   z  1 Hay P   x  y 2 2 2 2   3  z   2 z   z  1 3  z  2 2 1 9 9 3 z  z 2  z  3   . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z  0, x  y  . 2 2 2 2 Bài 13. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: ab  a  b  3 . Tìm giá trị lớn nhất của P 3a 3b ab P     a 2  b2  . b 1 a 1 a  b Giải: Đặt t  a  b suy ra t  0 , ta có ab  t  3  ab  3  t nên t  3 ( do a, b  0 ). 2 Mặt khác ta có:  a  b   4ab suy ra t 2  4  3  t   t 2  4t  12  0   t  2  t  6   0  t  2 vậy 2  t  3 Đưa P về f  t  . Ta có: 3a  a  1  3b  b  1 2 3  a  b   3  a  b   6ab ab ab 2 2 P    a  b   2ab     a  b   2ab ab ab  a  b  1 a b  a  1 b  1 Thay t  a  b, ab  3  t ta có: P  f t   3t 2  3t  6  3  t  3  t 2 1 1 1 3   t  2 3  t    t 2  t   . 4 t 4 4 2 t 1 1 1 3 3 Ta chứng minh: f  t   f  2    22  2    4 4 2 2 2 Tức là chứng minh: 1 1 1 3 3 12  t 2  t     t 2  t  2   6  t 3  t 2  4t  12  0   t  2   t 2  t  6   0 4 4 2 t 2 t Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Bất này luôn đúng do t  2 . Vậy P max bằng 3 tại a  b  1 . 2 Bài 14. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  1 . Tìm GTLN,GTNN của P  a  b  c  ab  bc  ca . Hướng dẫn: 2 Ta chứng minh được: 3  a 2  b 2  c 2    a  b  c   a  b  c  3  a 2  b2  c 2   3 . Ta chứng minh: ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  1 . 1 Suy ra P  3  1 . Tại a  b  c  thì P  3  1 nên GTLN của P là 3 3  1. Cách khác: P  a bc  a  b  c 2   a 2  b2  c2  2 a  b  c  a bc 2 2 1 suy ra 2 P  t 2  2t  1 . Với t  a  b  c . 2 Ta có  a  b  c   3  a 2  b 2  c 2   3   3  t  3 . 2 Suy ra 2 P   t  1  2  2  P  1 , dấu = xảy ra khi và chỉ khi t  1 ….. 2P    2 3  1  2  2  2 3  P  3  1 ….. Bài 15: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm GTLN,GTNN của P 1 1 1   . 1  ab 1  bc 1  ca Hướng dẫn: Trước hết ta chứng minh: P  27 . 8 1 .Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 27 1  ab 1  bc   1  bc 1  ca   1  ca 1  ab   27 hay 8 1  ab 1  bc 1  ca  Từ giả thiết a  b  c  1 ta suy ra abc  Nguyễn Trung Kiên 0988844088 3  2  ab  bc  ca   abc  a  b  c  27  2 2 2 1   ab  bc  ca   abc  a  b  c   a b c 8  8 3  2  ab  bc  ca   abc   27 1   ab  bc  ca   abc  a 2 b 2 c 2  Hay 3  11 ab  bc  ca   19abc  27 a 2 b 2 c 2  0  4 3  19abc  27 a 2 b 2 c 2   11.4  ab  bc  ca  Từ bất đẳng thức quen thuộc  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc suy ra 1  2a 1  2b 1  2c   abc  11.4  ab  bc  ca   111  9abc  . Ta cần chứng minh 4 3  19abc  27 a 2 b 2 c 2   111  9abc  . Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 1  27abc 1  4abc   0 . Bất đẳng thức cuối cùng đúng do abc  1 .Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 27 1 abc . 3 Tiếp theo ta chứng minh: P  3 . Ta có 1  ab,1  bc,1  ca  1 nên P  3 , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  a; b; c  là hoán vị của bộ số  0;0;1 . Bài 16. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm GTLN,GTNN của P  a 2  abc  b 2  abc  c 2  abc  3 abc . Hướng dẫn: Ta có a 2  abc  a 2  a  b  c   abc  a  a  b  a  c  . Do đó ta được a 2  abc  a  a  b  a  c   Chứng minh tương tự ta được : Do đó ta được: b 2  abc  a a  b  a  c a  a  1  2 2 b  b  1 ; 2 a 2  abc  b 2  abc  c 2  abc  c 2  abc  c  c  1 2 a  a  1 b  b  1 c  c  1   2 2 2 Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có a  a  1 2  a 1 b  c   a  b  c 1  abc  a    a  a 2  2  2   Chứng minh tương tự ta được: b  b  1  abc  b ; 2 c  c  1  abc  c 2 Như vậy ta có: P  a 2  abc  b 2  abc  c 2  abc  3 abc  a  b  c Mà ta có a  b  c  3  a  b  c   3 . Nên ta suy ra P  3 .Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ 1 khi a  b  c  . 3 Dễ thấy P  a 2  b2  c 2  a  b  c  1 dấu đẳng thức xảy ra khi  a, b, c  là hoán vị của bộ số 1;0;0  Bài 17. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: ab  bc  ca  3 . Tìm GTNN của biểu thức P   a 3  a  5  b5  b3  5  c 7  c5  5  . Hướng dẫn: Nhận xét: Với mọi số thực dương x thì x  1, x 2  1; x 3  1, x 5  1 luôn cùng bằng 0 hoặc cùng dấu. 2 Ta có:  a  1  a 2  1   a  1  a  1  0  a 3  a 2  a  1  0  a 3  a  5  a 2  4 . b c 2 2  1 b3  1   b  1  b  1  b 2  b  1  0  b5  b3  5  b 2  4 , tương tự ta có 2  1 c 5  1  0  c 7  c5  5  c 2  4 Dẫn đến P   a 3  a  5 b5  b3  5  c 7  c 5  5    a 2  4  b 2  4  c 2  4  . 2 Trước hết ta chứng minh:  a 2  4  b 2  4  c 2  4   5  a  b  c  2  (*) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:  a  b  c  2 2 2   b  c  2 2   bc2  2  a     .2    a  4  1  2 4         b  c  22  Ta quy bài toán về chứng minh: 5  a  4  1     a 2  4  b 2  4  c 2  4  4   2 Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Hay 2 5  4   b  c  2    4  b 2  4  c 2  4   40  5b 2  5c 2  10bc  20  b  c   4  b 2c 2  4b 2  4c 2  16    Hay 2 2 2 2 4b 2c 2  10bc  11b 2  11c 2  20  b  c   24  0   2bc  2    b  c   10  b  1  10  c  1  0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng (*) được chứng minh. 2 2 Bây giờ ta có:  a  b  c   3  ab  bc  ca   9  a  b  c  3 dẫn đến 5  a  b  c  2   125 vậy P  125 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 . Vậy GTNN của P là 125 tại a  b  c  1 .   Bài 18.Với x, y , z là các số thực không âm thỏa mãn: 5 x 2  y 2  z 2  6  xy  yz  zx  Chứng minh: 2 2  x  y  z   2  y 2  z 2   3 . Hướng dẫn: 2 Sử dụng bất đẳng thức:  A  B   2  A2  B 2  ta có: 5x 2  5 6 2 2  y  z   5x 2  5  y 2  z 2   6 x  y  z   6 yz  6 x  y  z    y  z  2 4 2 Suy ra 5 x 2  6 x  y  z    y  z   0  5 x   y  z    x   y  z    0  yz  x  y  z  x  y  z  2 y  z . 5 2 Suy ra 2 2  x  y  z   2  y 2  z 2   2 4  y  z    y  z  đặt y  z  t  0 . Ta chứng minh: 2 4t  t 4  3  t 4  4t  3  0   t  1  t 2  2t  3  0 bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu ‘=’ xảy x  y  z 1  ra khi và chỉ khi  y  z  x  1, y  z  . 2 y  z 1  Bài 19. Cho các số thực dương x, y , z sao cho xy  yz  zx  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  x2 y 2 z 2  2 P   x  y  z     . z x  y Hướng dẫn: Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Ta có  x2 y 2 z 2  x 2 y 2 z 2          xy  yz  zx  y z x  y z x  1  x3 z y 3 x   y 3 x z 3 y   z 3 y x 3 z   2 2 2 3 3 3         x z  y x  z y  x  y  z . 2  y z   z x   x y   x 3 z y 3 x   y 3 x z 3 y   z 3 y x3 z  2 2 2 Mặt khác ta có:         2x y  2 y z  2z x . y z z x x y       Suy ra: Hay x2 y 2 z 2    x 2 y  y 2 z  z 2 x  x 2 z  y 2 x  z 2 y  x3  y 3  z 3   x  y  z   x 2  y 2  z 2  . y z x x2 y 2 z 2 2     x  y  z   x  y  z   2  . Dẫn đến:   y z x 2 2 P   x  y  z    x  y  z   x  y  z   2  . Đặt t  x  y  z ta có P  t 3  t 2  2t do    x  y  z 2  3  xy  yz  zx   3  t  3 . Ta chứng minh:   t 3  t 2  2t  3  3  t 3  t 2  2t  3  3  0  t  3 t 2     3  1 t  1  3   0 . Bất đẳng  thức cuối cùng luôn đúng do t  3 . Vậy GTLN của P là 3  3 tại x  y  z  1 . Bài 20. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1 . Tìm GTLN,GTNN của P   x  y 1 z   y  z  1 x   z  x 1 y . Hướng dẫn: 2 Sử dụng bất đẳng thức  Ax  By  Cz    A2  B 2  C 2  x 2  y 2  z 2  Ta có: P 2   x  y  1  z   y  z  1  x   z  x  1  y  2   x  y  y  z  z  x   x  y 1  z    y  z 1  x    z  x 1  y    4 1  xy  yz  zx  2 Lại có 3  xy  yz  zx    x  y  z   1  xy  yz  zx  1 tại x  y  z  . 3 1 4 suy ra P  3 dấu đẳng thức xảy ra 3 3 Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Ta cũng có: P   x  y  1  z   y  z  1  x   z  x  1  y   x  y    y  z    z  x   2 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x; y; z  là hoán vị của bộ số 1;0; 0  . Bài 21. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: 0  y  x  4, x  y  7 . Chứng minh: x 2  y 2  25 . Hướng dẫn: Cách 1: Do x  4 suy ra x  x  y   4  x  y  (tạo x 2 ). Ta có y  x  y   7 y Cộng 2 bất đẳng thức suy ra x  x  y   y  x  y   4  x  y   7 y  x 2  y 2  4 x  3 y  3  x  y   x  3.7  4  25 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  4, x  y  7  x  4, y  3 . Cách 2: Ta chứng minh: x 2  y 2  42  32   4  x  4  x    3  y  3  y   0 . Sử dụng công thức khai triển Abel : a1b1  a2b2   a1  a2  b1  a2  b1  b2  . Ta có:  4  x  4  x    3  y  3  y   1  x  y  4  x    3  y  7  x  y  . Rõ rang với điều kiện đề bài thì 1  x  y  4  x    3  y  7  x  y   0 ddpcm. Bài 22. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm GTLN của 2 2 2 2 2 2 P  4 a   b  c   4 b   a  c   4c   a  b  . Hướng dẫn: Ta có 2 2 P  4a   b  c   4b   a  c   4c   a  b   4a   b  c   4b   a  c   4c   a  b  2 2 2 Hay P  4a  1  a   4b  1  b   4c  1  c   a  1  b  1  c  1  4 . Dấu đẳng thức xảy ra khi  a; b; c  là hoán vị của bộ số 1;0;0  . Bài 23. Cho các số thực x, y, z  0 thỏa mãn: của P  x  y  z  xy  yz  zx . Hướng dẫn: x  2 y  1  x  2 z  1  4 . Tìm GTLN,GTNN 2 Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Tìm GTNN. Cách 1: Từ giả thiết ta suy ra 16   x  2 y 1  x  2z 1  2  1  1 2 x  2 y  2 z  2   4  x  y  z  1 suy ra x  y  z  3 Ta có P  x  y  z  3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  3, y  z  0 . Cách 2: Đặt a  2  x  2 y  1  0  x  2 z  1  2  a do x, y, z  0 nên 1  a  1 . Ta có: 2  x  y  z  1  2  a 2  4   x  y  z  a 2  3 và y  z  4a . Do a 2  0 nên x  y  z  3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  3, y  z  0 . Tìm GTLN: 2 2 2 Chú ý rằng: 4  x  y  z   3  y  z   12  xy  yz  zx    2 x  y  z   12  xy  yz  zx  Suy ra xy  yz  zx  1 1 1 1 2 2 2 2  x  y  z    y  z  .Dẫn đến P  x  y  z   x  y  z    y  z  3 4 3 4 a 2  a 2  3 2 1 2 2  6  6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay P  a  3   a  3  4a  3 3 x  y  z  1. 2 Bài 24. Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: (a  c)(b  c )  4c 2 . Tìm GTLN của biểu thức: A a b ab   . b  3c a  3c bc  ca Bằng cách: a  xc, b  yc . Giả thiết trở thành:  xc  c  yc  c   4c2   x  1 y  1  4  x  y  xy  3 . Biểu thức A trở thành: A  xc yc xc. yc x y xy   2    2 yc  3c xc  3c yc  xc y3 x3 x y Bài toán trở thành: Cho x, y  0 , x  y  xy  3 . Tìm GTLN A  x y xy   . y 3 x3 x y 2 Đặt t  x  y suy ra xy  3  t do x, y  0  0  t  3 . Lại có  x  y   4 xy suy ra t 2  4  3  t  2 hay t 2  4t  12  0   t  2   16  t  2  4  t  2 vậy 2  t  3 . Nguyễn Trung Kiên 0988844088 2 x 2  3x  y 2  3 y xy  x  y   2 xy  3  x  y   xy  t 2  2  3  t   3t  3  t Ta có A    xy  3  x  y   9 x y 3t   3  t   9 t  x  3 y  3 x  y A t 2  2  3  t   3t 3t   3  t   9   t  1 t  6   3  1  t  3  3  f t . 3  t t 2  5t  6 3   1   t 2t  12 t 2  t  6 t 2 t 2 Ta chứng minh: A  f  2   1 hay t 3 3 t 3 5    1     0  t 2  6  5t  0   t  2  t  3  0 luôn đúng do 2  t  3 . 2 t 2 2 t 2 Dấu bằng xảy ra tại t  2  x  y  1  a  b  c . Bài 25. Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a  b  c  4 và a 2  b2  c 2  6 . a. Tính giá trị biểu thức M  ab  bc  ca b. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  a 3  b3  c 3 . Hướng dẫn: 2   a. Từ giả thiết ta có: 2  ab  bc  ca    a  b  c   a 2  b 2  c 2  16  6  10  ab  bc  ca  5 . a  b  c  4 b. Ta có  2 suy ra 2 2 a  b  c  6  2  6  a2    4  a  2 Tương tự ta cũng có b  c  4  a 2 mà 2 b2  c 2   b  c  b, c suy ra  2 2 2 b  c  6  a 3a  2  0 2   3a  2  a  2   0   3a  2  3a  6   0    a2 3 3a  6  0   2  b, c  2 . 3 3 Sử dụng đẳng thức x3  y 3   x  y   3xy  x  y  Ta có 3 3 P  a 3  b 3  c 3   a  b   3ab  a  b   c3   4  c   3ab  4  c   c 3 3 3   4  c   c 3  12ab  3abc P   4  c   c 3  12ab  3abc  64  48c  12c 2  12ab  3abc  12c  4  c   12ab  3abc  64 Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Hay P  12c  a  b   12ab  3abc  64  64  12  ab  bc  ca   3abc  3abc  4 Vì  a  2  b  2  c  2   0  2 2  a, b, c  2 suy ra  a  2   b  2  c 0   3 3  3  3  abc  4  a  b  c   2  ab  bc  ca   8  0 50 86     abc  2 suy ra  P  10 . 4 2 8 27 9 0 abc   a  b  c    ab  bc  ca    9 3 27 2 5 86 Khi a  2, b  1, c  1 thì P  10 , a  , b  c  thì P  . 3 3 9 Vậy GTLN của P là 10, giá trị nhỏ nhất của P là 86 . 9