Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Đề 43-ÔN TẬP_GT(ĐẾN PP NGUYÊN HÀM)_HH(MẶT CẦU)

c7bff2d92f321ca0ceca97cb4b4f5096
Gửi bởi: Nguyễn Trần Thành Đạt 28 tháng 7 lúc 13:32 | Được cập nhật: 28 tháng 7 lúc 14:56 | IP: 113.176.48.255 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 102 | Lượt Download: 2 | File size: 0.641624 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

ĐỀ SỐ 43
ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12

HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA

Trắc nghiệm: 50 câu
Thời gian: 90 phút

Nội dung:
Giải tích: Đến phương pháp nguyên hàm.
Hình học: Đến phương trình mặt cầu.

Câu 1. Tập xác định của hàm số y = ( x 2 − 5 x + 6 )

−2024



A. ( −; 2 )  ( 3; + ) .

B. ( 2;3 ) .

C. R \ 2;3 .

D. ( −; 2  3; + ) .

Câu 2. Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm , độ dài đường sinh bằng 26 cm . Tính thể tích V của khối nón
tương ứng.
800
1600
cm3 .
cm3 .
A. V = 1600 cm3 .
B. V = 800 cm3 .
C. V =
D. V =
3
3
Câu 3. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?
x−2
x−2
−x + 2
x+2
A. y =
.
B. y =
.
C. y =
.
D. y =
.
−x + 2
x+2
x+2
−x + 2
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; 2 ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;1) .
Câu 5. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x + 1)
khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
A. ( −1;1) .
B. (1; 2 ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) .
2022

( x − 1)

2021

(2 − x)

2023

C. ( −; −1) .

. Hàm số f ( x ) đồng biến trên

D. ( 2; + ) .

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = cos 2 x + mx đồng biến trên .
A. m  −2 .
B. m  2 .
C. −2  m  2 .
D. m  −2 .
4
2
Câu 7. Giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = 2 x − 8 x − 1 là
A. yCT = 1 − 2 .

B. yCT = −1.

C. yCT = − 2 .

D. yCT = −1 − 2 .

Câu 8. Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6 ( cm ) và thiết diện đi qua trục là một
hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 (cm).
A. 18 ( cm3 ) .
B. 24 ( cm3 ) .
C. 48 ( cm3 ) .

D. 72 ( cm3 ) .
HOÀNG XUÂN NHÀN 447

ln 2 x
trên đoạn 1; e3  .
x
9
4
4
9
C. M = 2 ; m = 2 .
D. M = 2 ; m = 2 .
e
e
e
e

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y =

4
4
B. M = 2 ; m = 0 .
;m = 0.
2
e
e
x x+1
Câu 10. Tập nghiệm của phương trình 3 .2 = 72 là
1 
 3
A. 2 .
B.   .
C. −2 .
D. −  .
2
 2
4
2
Câu 11. Cho hàm số f ( x ) = x . Hàm số g ( x ) = f  ( x ) − 3x − 6 x + 1 đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại x1 , x2 .
A. M =

Tìm m = g ( x1 ) .g ( x2 ) .
A. m = 0 .

B. m = −

371
.
16

C. m =

1
.
16

D. m = −11 .

1
. Tính khoảng cách AB .
x
A. AB = 3 2 .
B. AB = 4 .
C. AB = 2 5 .
D. AB = 2 2 .
Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị như hình
Câu 12. Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x +

vẽ:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực đại.
B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.
D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một điểm cực trị.
Câu 14. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 + 1 trên đoạn  −1;1 lần lượt là
A. 2 và −7 .
B. 1 và −7 .
C. −1 và −7 .
D. 1 và −6 .
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1;1;2) , M (1;2;1) . Mặt cầu tâm A đi qua M
có phương trình là
A. ( x + 1)2 + ( y −1)2 + ( z − 2)2 = 1.
B. ( x −1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2)2 = 6 .
C. ( x + 1)2 + ( y −1)2 + ( z − 2)2 = 6 .

D. ( x + 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 2)2 = 6 .

Câu 16. Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

1− x
.
( x − 1) x

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. n = 0, d = 2 .
B. n = d = 1 .
C. n = 1, d = 2 .
D. n = 0, d = 1.
Câu 17. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên \ 1 . Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ
dưới đây. Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu tiệm cận?

HOÀNG XUÂN NHÀN 448

A. 1 .
B. 4 .
C. 3 .
4
2
Câu 18. Tìm m để phương trình x − 4 x − m + 3 = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt.
 m  −3
A. m  4 .
B. −1  m  3 .
C. 
.
 m = −7
Câu 19. Nghiệm của bất phương trình log ( x + 2 )  log ( 5 − x ) là
A. −2  x 

3
.
2

B.

3
 x  5.
2

C. x 

Câu 20. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x +
A. − cot x + x 2 −

2

B. cot x − x 2 +

.

2

.

3
.
2

D. 2
 m = −1
D. 
.
m  3

D. x 

3
.
2

1
 
thỏa mãn F   = −1 là
2
sin x
4
C. − cot x + x2 − 1 .

D. cot x + x 2 −

2

.
16
16
16
Câu 21. Phương trình 9x − 6x = 22 x+1 có bao nhiêu nghiệm âm?
A. 3
B. 0 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Tam giác ABC với A (1; −3;3) , B ( 2; −4;5 ) , C ( a; −2; b ) nhận
điểm G ( 2; c;3) làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng a + b + c bằng
A. −5 .
B. 3 .
C. 1 .
2
Câu 23. Bất phương trình log 0,5 x + 6  5log 0,5 x có tập nghiệm là

(

D. −1.

)

 1
1 1
1

B.  1;  .
C.  ;  .
D.  ; +  .
8 4
 3
8

x
Câu 24. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 2 thoả mãn F ( 0 ) = 0 . Ta có F ( x ) bằng

A.

2; 3 .

2x −1
1 − 2x
.
B. x 2 +
.
C. 1 + ( 2 x − 1) ln 2 .
D. x2 + 2x −1 .
ln 2
ln 2
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; 0 ) , B ( 2; −1;1) . Tìm điểm C có hoành độ dương trên
trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C .
A. C ( 3; 0; 0 ) .
B. C ( 2;0;0 ) .
C. C (1; 0; 0 ) .
D. C ( 5;0;0 ) .
A. x 2 +

Câu 26. Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
1
A. y = x .
3
B. y = − x3 + 1 .
x
C. y = 3 .
D. y = log0,3 x .

dx
được kết quả là:
−x
x −1
x
+C .
+C .
A. ln
B. ln
x
x −1
x −1
+C .
C. ln x 2 − x + C .
D. ln
x
Câu 28. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , biết AB = a, AC = 2a . Mặt bên SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC .
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
6
4
3
Câu 27. Tính nguyên hàm

x

2

HOÀNG XUÂN NHÀN 449

Câu 29. Trong không gian, với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A ( 2; −1;1) , B ( 3; 0; −1) , C ( 2; −1;3 ) ,
D  Oy và có thể tích bằng 5 . Tính tổng tung độ của các điểm D .
A. −6 .
B. 2 .
C. 7 .
D. −4 .
Câu 30. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) và có một nguyên hàm là F ( x ) . Tìm
I =   2 f ( x ) + f  ( x ) + 1 dx ?
A. I = 2 F ( x ) + xf ( x ) + C .

B. I = 2 xF ( x ) + x + 1

C. I = 2 xF ( x ) + + f ( x ) + x + C .

D. I = 2 F ( x ) + f ( x ) + x + C .

Câu 31. Cho biết

( a; b ) ?

 ( 2 x − 3) e

−x

dx = ( a − bx ) e− x + C với a, b, C 

. Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
3
S
Câu 32. Khối cầu ( 1 ) có thể tích bằng 54cm và có bán kính gấp 3 lần bán kính khối cầu ( S 2 ) . Thể tích V
của khối cầu ( S 2 ) là
A. 2cm3 .
B. 18cm3 .
C. 4cm3 .
D. 6cm3 .
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(1; −2;0), B(1;0; −1), C(0; −1;2), D(−2; m; n). Trong các
hệ thức liên hệ giữa m, n dưới đây, hệ thức nào để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng?
A. 2m + n = 13.
B. 2m − n = 13.
C. m + 2n = 13.
D. 2m − 3n = 10.
Câu 34. Chọn khẳng định sai.
A. Hàm số y = ln x không có cực trị trên ( 0; + ) .
B. Hàm số y = ln x có đồ thị nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
C. Hàm số y = ln x luôn đồng biến trên ( 0; + ) .
D. Hàm số y = ln x có giá trị nhỏ nhất trên ( 0; + ) bằng 0.
Câu 35. Nguyên hàm

1

x

2

1
cos dx bằng
x

1
A. − sin + C .
x
Câu 36. Tính nguyên hàm I = 

B. sin

1
+C .
x

1
C. −2sin + C .
x

D. 2sin

1
+C.
x

1
dx .
x ln x + 1

2
(ln x + 1)3 + C .
B. I = ln x + 1 + C .
3
1
(ln x + 1) 2 + C .
C. I =
D. I = 2 ln x + 1 + C .
2
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; −3) và C ( 7; 4; −2 ) . Nếu điểm E thỏa
A. I =

mãn đẳng thức CE = 2 EB thì tọa độ điểm E là:
8
8
1
 8 8
8


A.  3; ; −  .
B.  ;3; −  .
C.  3;3; −  .
D.  1; 2;  .
3
3
3
 3 3
3


x+3
dx = m ln x + n ln x − 2 + p ln x + 2 + C . Hãy tính m + n + p .
Câu 38. Cho biết F ( x ) =  3
x − 4x
A. m + n + p = 1 .
B. m + n + p = −1 .
C. m + n + p = −2 .
D. m + n + p = 0 .
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1; −2;3) , B ( 0;3;1) , ( 4; 2; 2 ) . Côsin của góc BAC bằng
HOÀNG XUÂN NHÀN 450

A.

−9
.
35

B.

9
.
2 35

C.

9
.
35

D.

−9
.
2 35

x 2 .ln x x 2
Câu 40. Cho F ( x ) =
là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x ( a, b là hằng số ). Tính a 2 − b.

a
b
1
A. 8 .
B. 0 .
C. 1 .
D. .
2
Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0; 0;3) , D (1; 2;3 ) . Phương trình mặt
cầu đi qua bốn điểm A , B , C , D là:
A. x2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z = 0 .
B. x2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z − 14 = 0 .
C. x2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z − 6 = 0 .
D. x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4 y − 6z = 0
Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 (tham
khảo hình vẽ). Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD .
6 a 2
8 a 2
5 a 2
7 a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABCD có A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) ;
D ( 0; 2a;0 ) , A ( 0;0; 2a ) với a  0 . Độ dài đoạn thẳng AC  là

A. a .

B. 2 a .

C. 3 a .

D.

3
a.
2

x − m2
Câu 44. Cho hàm số f ( x ) =
với m là tham số thực. Giả sử m0 là giá trị dương của tham số m để hàm
x +8
số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0;3 bằng −3 . Giá trị m0 thuộc khoảng nào trong các khoảng cho
dưới đây?
A. ( 2;5 ) .

B. (1; 4 ) .

C. ( 6;9 ) .

D. ( 20; 25 ) .

Câu 45. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng ( ABCD ) là trung điểm của cạnh AB . Gọi M là trung điểm của SD . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM và SC bằng
a 2
a 5
a 5
A. a .
B.
.
C.
.
D.
4
10
5
4
2 2
Câu 46. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + m4 + 3 có ba điểm
cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp.
1 
1 
1 
1 
 1
 1
 1
 1
;1; −
;−
A. S =  ;1; −
D. S = 
 . B. S = 
 . C. S =  ; −
.
.
3
2
3
2
 2
 2
 3
 3
Câu 47. Trong

không

( S ) : ( x + 1)

2

gian

Oxyz ,

cho

hai

A ( 3;1; −3 ) ,

điểm

B ( 0; −2;3)



mặt

cầu

+ y 2 + ( z − 3) = 1 . Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu ( S ) , giá trị lớn nhất của

MA2 + 2MB 2 bằng
A. 102 .

2

B. 78 .

C. 84 .

D. 52 .

f ( x ) thỏa mãn  xf  ( x )  + 1 = x 1 − f ( x ) . f  ( x )  với mọi x dương. Biết
f (1) = f  (1) = 1. Tính f 2 ( 2 ) .

Câu 48. Cho hàm số

A. f 2 ( 2 ) = 2 ln 2 + 2.

2

B. f 2 ( 2 ) = ln 2 + 1.

2

C. f 2 ( 2 ) = 2ln 2 + 2. D. f 2 ( 2 ) = ln 2 + 1.

HOÀNG XUÂN NHÀN 451

Câu 49. Cho hai số a, b thỏa mãn log a2 +4b2 +1 (2a − 8b) = 1 . Tính P =
lớn nhất
8
13
A. .
B. − .
5
2
Câu 50. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

a
khi biểu thức S = 4a + 6b − 5 đạt giá trị
b

13
17
.
D.
.
44
4
thỏa mãn f ( −1) = 5, f ( −3) = 0 và có bảng xét dấu đạo hàm
C. −

như sau:

Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3 f ( 2 − x ) + x 2 + 4 − x = m có nghiệm
trong khoảng ( 3;5 ) là
A. 16 .

B. 17 .

C. 0 .

D. 15 .

__________________HẾT__________________

HOÀNG XUÂN NHÀN 452

ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 43
1
C
11
D
21
B
31
A
41
A

2
B
12
C
22
C
32
A
42
A

3
C
13
B
23
C
33
C
43
C

4
D
14
B
24
A
34
D
44
A

5
B
15
C
25
A
35
A
45
D

6
B
16
A
26
A
36
D
46
C

7
D
17
B
27
A
37
A
47
C

8
D
18
D
28
B
38
D
48
A

9
A
19
A
29
A
39
B
49
B

10
A
20
A
30
D
40
B
50
D

Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 43
Câu 45. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng ( ABCD ) là trung điểm của cạnh AB . Gọi M là trung điểm của SD . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM và SC bằng
a 2
A. a .
B.
.
4

C.

a 5
.
10

D.

a 5
5

Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm AB, ta có: SH ⊥ ( ABCD ) . Gọi K là

 MK //CD //AH

trung điểm của SC , khi đó: 
 AMKH
1
 MK = 2 CD = AH
là hình bình hàn  AM // HK  AM // ( SHK ) .
Do đó: d ( AM , SC ) = d ( AM , ( SHC ) )

= d ( A, ( SHC ) ) = d ( B, ( SHC ) ) .

Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ BI ⊥ CH tại I (1).
Ta lại có: BI ⊥ SH (2). Từ (1) và (2) suy ra BI ⊥ ( SHC )
nên d ( AM , SC ) = d ( B, ( SHC ) ) = BI .
Xét tam giác BCH vuông tại B có đường cao: BI =

BH .BC
BH 2 + BC 2

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC bằng

=

a
.a
a 5
2
=
.
2
5
a
2
+a
4

a 5
Choïn
→D
. ⎯⎯⎯
5
HOÀNG XUÂN NHÀN 453

Câu 46. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2m2 x2 + m4 + 3 có ba điểm
cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp.
1 
1 
1 
1 
 1
 1
 1
 1
;1; −
;−
A. S =  ;1; −
D. S = 
 . B. S = 
 . C. S =  ; −
.
.
3
2
3
2
 2
 2
 3
 3
Hướng dẫn giải:

x = 0
Ta có: y = 4 x3 − 4m2 x = 4 x ( x 2 − m2 ) = 0   2
Hàm số có ba cực trị  m  0 .
2 .
x = m
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị là A, B, C với A ( 0; m4 + 3) , B ( m ;3) , C ( −m ;3) .
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBAC . Ta thấy tam
giác ABC luôn cân tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp thuộc
Oy  I ( 0; a ) , đồng thời thoả mãn IA = IB = IC = IO (*) trong
đó IB = IC là hiển nhiên (do tính chất đối xứng của cực trị hàm
trùng phương).
Vì vậy: (*)  IA = IB = IO  IO = IB (1) và I là trung điểm
OA (2).
Xét (1): IB = IO  m2 + ( 3 − a ) = a 2  6a − m2 − 9 = 0 .
2

Xét (2): I là trung điểm của OA  2a = m4 + 3 .

m = 0 (l )
1 
 1

. Vậy S =  ; −
.
Thay (2) vào (1): 3 ( m + 3) − m − 9 = 0  3m − m = 0  
1
m=
( n)
3
 3

3
Choïn
⎯⎯⎯
→C
Câu 47. Trong

không

( S ) : ( x + 1)

2

4

2

gian

Oxyz ,

4

cho

hai

2

điểm

A ( 3;1; −3 ) ,

B ( 0; −2;3)



mặt

cầu

+ y 2 + ( z − 3) = 1 . Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu ( S ) , giá trị lớn nhất của
2

MA2 + 2MB 2 bằng
A. 102 .

B. 78 .

C. 84 .
Hướng dẫn giải:

D. 52 .

Xét điểm C thỏa CA + 2CB = 0  C (1; −1;1) ,

CA2 = 24 , CB 2 = 6 .
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1;0;3) , bán kính R = 1.

(

)

2

(

Ta có: MA2 + 2MB 2 = MC + CA + 2 MC + CB

)

2



= 3MC 2 + 2MC  CA + 2CB  + CA2 + 2CB 2


=0



= 3MC 2 + CA2 + 2CB2 = 3MC 2 + 36 .
Ta thấy: MA2 + 2MB 2 lớn nhất  MC lớn nhất.
Dựa vào hình vẽ, ta có: CM  CM 0 = CI + R = 3 + 1 = 4 hay CM Max = 4 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng với M 0 như hình vẽ.
HOÀNG XUÂN NHÀN 454

Choïn
→C
Vậy max ( MA2 + 2MB 2 ) = 3.42 + 36 = 84 . ⎯⎯⎯

f ( x ) thỏa mãn  xf  ( x )  + 1 = x 2 1 − f ( x ) . f  ( x )  với mọi x dương. Biết
f (1) = f  (1) = 1. Tính f 2 ( 2 ) .
2

Câu 48. Cho hàm số

C. f 2 ( 2 ) = 2ln 2 + 2. D. f 2 ( 2 ) = ln 2 + 1.
Hướng dẫn giải:

A. f 2 ( 2 ) = 2 ln 2 + 2.

B. f 2 ( 2 ) = ln 2 + 1.

Ta có:  xf  ( x )  + 1 = x 2 1 − f ( x ) . f  ( x )  x 2  f  ( x ) − x 2 1 − f ( x ) . f  ( x ) = −1
2

2

1
1
  f ( x ) f  ( x ) = 1 − 2 (1) (do x  0 ).
2
x
x
1
Lấy nguyên hàm hai vế (1) : f ( x ) . f  ( x ) = x + + C1 . Do f (1) = f  (1) = 1  C1 = −1.
x
1
Khi đó: f ( x ) . f  ( x ) = x + − 1 (2).
x
  f  ( x ) + f ( x ) . f  ( x ) = 1 −
2

f 2 ( x ) x2
1 


f
x
.
f
x
d
x
=
x
+

1
d
x

= + ln x − x + C
(
)
(
)

  x 
2
2
 f 2 ( x ) = x 2 + 2 ln x − 2 x + C2 . Do f (1) = 1  C2 = 2.

Lấy nguyên hàm hai vế của (2):

Choïn
→ A
Vậy f 2 ( x ) = x 2 + 2 ln x − 2 x + 2  f 2 ( 2 ) = 2 ln 2 + 2. ⎯⎯⎯

Câu 49. Cho hai số a, b thỏa mãn log a2 +4b2 +1 (2a − 8b) = 1 . Tính P =
lớn nhất
8
A. .
5

B. −

13
.
2

C. −

a
khi biểu thức S = 4a + 6b − 5 đạt giá trị
b

13
.
4

D.

17
.
44

Hướng dẫn giải:

a  4b

a  4b

Ta có : log a2 + 4b2 +1 ( 2a − 8b ) = 1   2
.


2
2
2
a

1
+
4
b
+
1
=
4
1
(
)
(
)
(
)
a + 4b + 1 = 2a − 8b


Ta có: S = 4a + 6b − 5 = 4 ( a − 1) + 3.  2 ( b + 1)  − 7 .
Theo bất đẳng thức B-C-S: 4 ( a − 1) + 3.  2 ( b + 1)  

(4

2



2
2
+ 32 ) ( a − 1) + 4 ( b + 1)  = 10 .


=4

Suy ra −10  4 ( a − 1) + 3.  2 ( b + 1)   10  −10 − 7  S  10 − 7 hay −17  S  3
Vì vậy : Smax = 3 ; khi đó :

3 ( a − 1)
4 a −1
=
 8b + 8 = 3a − 3  b + 1 =
3 2b + 2
8

(2)

13

a=

9
25
2
2
2
5
Thay (2) vào (1), ta được : ( a − 1) + ( a − 1) = 4  ( a − 1) = 4  
.
16
16
a = − 3

5
3
8
Với a = − , b = − . Khi đó : S = −17 (loại).
5
5
HOÀNG XUÂN NHÀN 455

Với a =

13
2
a
13
Choïn
→B
. ⎯⎯⎯
, b = − . Khi đó: S = 3 (nhận). Ta có : P = = −
5
5
b
2

Câu 50. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

thỏa mãn f ( −1) = 5, f ( −3) = 0 và có bảng xét dấu đạo hàm

như sau:

Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3 f ( 2 − x ) + x 2 + 4 − x = m có nghiệm
trong khoảng ( 3;5 ) là
A. 16 .

B. 17 .

C. 0 .
Hướng dẫn giải:

D. 15 .

Xét g ( x ) = 3 f ( 2 − x ) + x 2 + 4 − x trên khoảng ( 3;5 ) ; g  ( x ) = −3 f  ( 2 − x ) +
0

x
x2 + 4

− 1.

0

Ta có: 3  x  5  −3  2 − x  −1  f  ( 2 − x )  0, x  ( 3;5 )  −3 f  ( 2 − x )  0 , x  ( 3;5 ) (1) .
Hơn nữa, ta có:

x
x +4
2

 1, x  ( 3;5) 

x
x +4
2

− 1  0 , x  ( 3;5 ) ( 2 ) .

Từ (1) và ( 2 ) suy ra g  ( x )  0, x  ( 3;5 ) . Ta có bảng biến thiên của g ( x ) :

Phương trình 3 f ( 2 − x ) + x 2 + 4 − x = m có nghiệm thuộc khoảng ( 3;5 ) tương đương với

29 − 5  m  12 + 13 . Vì m nguyên dương nên m  1; 2;3.....;15 .
 0,38

15,61

Choïn
→D
Vậy có 15 giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán. ⎯⎯⎯

HOÀNG XUÂN NHÀN 456