ĐỀ 15-LŨY THỪA_MŨ_LOGARIT

ĐỀ SỐ 15 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: CÁC HÀM SỐ LŨY THỪA-MŨ-LOGARIT Câu 1. Cho các số dương a  1 và các số thực  ,  . Đẳng thức nào sau đây là sai? A. a .a  = a +  . B. a .a  = a . C. Câu 2. Tập xác định của y = ln ( − x 2 + 5 x − 6 ) là a = a −  .  a D. ( a ) = a .  C. ( −; 2  3; +  ) . A. ( −; 2 )  ( 3; +  ) . B. ( 2; 3) . D.  2; 3 . Câu 3. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( −; +  ) . x  3+ 2 A. y =   . 4   B. y = ( ) 3− 2 . Câu 4. Tập xác định của hàm số y = ( x + 2 ) A. ( −2; + ) . B. −2 2 3  3+ 2 D. y =   . 3   C.  −2; + ) . D. x 4 3 B. a . Câu 6. Tìm tập xác định của hàm số y = ( 4 x − 1) . 6 7 C. a . D. a . −4 2  1 1 A.  − ;  . B. ( 0; +  ) . C. .  2 2 Câu 7. Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x ? x ln10 1 A. ( log x ) = . B. ( log x ) = . C. ( log x ) = . ln10 x x ln10 Câu 8. Cho số thực a  1 và các số thực  ,  . Kết luận nào sau đây đúng? 1 A. a  1,   . B. a  a      . C.   0,   . a Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y = log 3 ( 3 x + 1) . A. y = 3 . 3x + 1 B. y = \ −2 . a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là ? 7 6 A. a . x 2 C. y =   . e là . Câu 5. Cho a là một số dương, biểu thức a 5 6 x 1 . 3x + 1 C. y = 3 . ( 3x + 1) ln 3 D.  1 1 \ − ;  .  2 2 D. ( log x ) = x ln10 . D. a  1,   D. y = . 1 . ( 3x + 1) ln 3 5 a2a 2 3 a4 , ( a  0 ) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. a5 A. P = a . B. P = a5 . C. P = a4 . D. P = a2 . Câu 11. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ( −; + ) ? Câu 10. Viết biểu thức P = 6 x e A. y =   . 2 B. y = ( ) x 5−2 . x 3 C. y =   .   D. y = ( 0, 7 ) . x HOÀNG XUÂN NHÀN 161 Câu 12. Cho các số thực dương a , b , c khác 1 . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây. log c a b A. log a = log a b − log a c . B. log a b = . log c b c log c b C. log a ( bc ) = log a b + log a c . D. log a b = . log c a Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = log 2 ( x + 1) . A. f  ( x ) = 1 . x +1 x . ( x + 1) ln 2 B. f  ( x ) = ( Câu 14. Cho a , b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P = 4 3 A. ab2 . B. a2b . Câu 15. Đạo hàm của hàm số y = e1−2 x là: A. y = −2e1−2 x . B. y = e1−2 x . D. f  ( x ) = C. f  ( x ) = 0 . a3 .b2 ) 1 . ( x + 1) ln 2 4 được kết quả là a12 .b6 C. ab . D. a 2b2 . C. y = 2e1−2 x . D. y = e x . Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số y = ( x 2 − 3) . −2 A. D =   \ − 3; 3 . B. D = . ( ) ( C. D = −; − 3  ) 3; +  . \ − 3 . D. D = Câu 17. Biểu thức T = 5 a 3 a với a  0 . Viết biểu thức T dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là: 3 2 1 A. a 5 . B. a15 . Câu 18. Tìm tập xác định của hàm số y = log 2 ( x − 3) . 4 C. a 3 . D. a15 . B. D = . C. D = ( 3; + ) . D. D = 3; + ) . Câu 19. Hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở dưới nghịch biến trên các khoảng xác định của nó? A. D = ( −;3) . −x −2 x +1 1 e A. y =   . B. y =   . 3 2 2 Câu 20. Tìm tập xác định D của hàm số y = e x + 2 x . A. D = . B. D =  0; 2 . x 3 C. y =   . e \ 0; 2 . C. D = Câu 21. Hàm số y = log 2 ( x 2 − 2 x ) đồng biến trên A. (1; + ) . B. ( 2; + ) . D. y = 2022x . D. D =  . C. ( −1;1) . Câu 22. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( x 2 + m ) 2 D. ( 0; + ) . có tập xác định là A. mọi giá trị m . B. m  0 . C. m  0 . Câu 23. Cho 1  a  0 , x  0 , y  0 , khẳng định nào sau đây sai? A. log a x =  log a x . C. log a ( xy ) = log a x + log a y . . D. m  0 . 1 B. log a x = log a x . 2 1 D. log a x = log a x . 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 162 Câu 24. Cho a là số thực dương, khác 1 . Khi đó 8 3 2 4 a 3 bằng 3 8 3 A. a . B. a . C. a 2 . Câu 25. Cho a là số thực dương khác 1 . Khẳng định nào dưới đây là sai? 6 A. loga 2.log2 a = 1 . C. log a 2 = B. log a 1 = 0 . D. a . 1 . log a 2 D. loga a = 1 . 2 Câu 26. Tìm tập xác định của hàm số y = ( 3x − x 2 ) 3 . A. D = . B. D = ( −;0 )  ( 3; +  ) . C. D = \ 0;3 . D. D = ( 0;3) . ) ( Câu 27. Cho 0  a  1 . Giá trị của biểu thức P = log a a. 3 a 2 là 4 . B. 3 . 3 Câu 28. Khẳng định nào sau đây sai? A. C. 5 . 3 D. 5 . 2 D. . x 1   A. Hàm số y =   đồng biến trên ( −; +  ) .  3− 2 1 B. Hàm số y = ( x − 3) 3 có tập xác định D = C. Hàm số log 21 ( x + 1) có đạo hàm là y = . 1 . ( x + 1) ln 21 D. Hàm số log e x nghịch biến trên ( 0; +  ) .  Câu 29. Tập xác định của hàm số y = ( x − 2 ) là: −1 A. ( 2; + ) . B. 2 . C. \ 2 . Câu 30. Với a và b là các số thực dương. Biểu thức log a ( a b ) bằng 2 A. 2 − loga b . Câu 31. Câu 32. Câu 33. Câu 34. B. 2 + loga b . C. 1 + 2log a b . D. 2loga b . log3 5log5 a − log 6 b = 2 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định Với hai số thực dương a, b tùy ý và 1 + log 3 2 đúng? A. a = b log6 2 . B. a = 36b . C. 2a + 3b = 0 . D. a = b log6 3 . Đặt ln 2 = a , log5 4 = b . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? ab + 2a 4ab + 2a ab + a 2ab + 4a A. ln100 = . B. ln100 = . C. ln100 = . D. ln100 = . b b b b 1 Cho hàm số y = ln ( e x + m2 ) . Với giá trị nào của m thì y (1) = . 2 1 A. m = e. B. m = −e. C. m = . D. m =  e. e Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = log ( x 2 − 2mx + 4 ) có tập xác định là . HOÀNG XUÂN NHÀN 163 m  2 . A.  B. m = 2.  m  −2 C. m  2. D. −2  m  2. Câu 35. Cho a , b , c dương và khác 1 . Đồ thị các hàm số y = loga x , y = logb x , y = logc x như hình vẽ Khẳng định nào dưới đây đúng? A. a  c  b . B. a  b  c . C. c  b  a . D. b  c  a Câu 36. Cho a , b , c là các số thực dương khác 1 . Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số y = a x , y = b x , y = log c x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  b  c. B. c  b  a. C. a  c  b. D. c  a  b. b Câu 37. Cho a  0 , b  0 và a khác 1 thỏa mãn log a b = ; 4 16 log 2 a = . Tính tổng a + b . b A. 16 . B. 12 . C. 10 . D. 18 . Câu 38. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. log x  0  x  1. B. log3 x  0  0  x  1 . C. log 1 a  log 1 b  a  b  0 . D. log 1 a = log 1 b  a = b  0 . 3 3 3 3 Câu 39. Cho log5 2 = m , log3 5 = n . Tính A = log25 2000 + log9 675 theo m , n . A. A = 3 + 2m − n . B. A = 3 + 2m + n . C. A = 3 − 2m + n . D. A = 3 − 2m − n . 2 2 Câu 40. Cho a  0, b  0 thỏa mãn a + b = 7ab . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 3 A. log ( a + b ) = ( log a + log b ) . B. 2 ( log a + log b ) = log ( 7ab ) . 2 1 a+b 1 = ( log a + log b ) . C. 3log ( a + b ) = ( log a + log b ) . D. log 2 3 2 x y Câu 41. Cho các số thực x , y thỏa mãn 2 = 3 , 3 = 4 . Tính giá trị biểu thức P = 8x + 9 y . A. 43 . B. 17 . C. 24 . D. log32 3 + log32 4 . Câu 42. Biết log ( xy 3 ) = log ( x 2 y ) = 1 . Tính log ( xy ) . 1 3 . B. log ( xy ) = . 2 5 x   Câu 43. Đặt t = log 4   thì xlog2 6 bằng: 2 A. log ( xy ) = A. 6t 6 . B. 6t. 6 . Câu 44. Cho m  0 , a = m m , y = C. log ( xy ) = 1 . C. 4 6t . D. log ( xy ) = D. 21+ 6t 5 . 3 . 3 m . Mệnh đề nào dưới đây đúng? a . m 2 4 HOÀNG XUÂN NHÀN 164 A. y = 1 B. y = 1 . a2 C. y = 1 D. y = A. 4 . 9 a 35 B. 9 . 4 C. 9 . 1 . 6 11 a a 34 m ln x − 2 Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên ( e 2 ; + ) . ln x − m − 1 A. m  −2 hoặc m = 1. B. m  −2 hoặc m = 1. C. m  −2. D. m  −2 hoặc m  1 . 1 1 + Câu 46. Cho hai số thực a , b đều lớn hơn 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = bằng log ab a log 4 ab b 18 . 9 . 2 D. 1 4 y +1 Câu 47. Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn log3 ( x + 1)( y + 1)  = 9 − ( x − 1)( y + 1) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2 y là 11 27 A. Pmin = . B. Pmin = . C. Pmin = −5 + 6 3 . D. Pmin = −3 + 6 2 . 2 5 2 f (1) . f ( 3) ... f ( 2n − 1) Câu 48. Cho f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 n  N * . Đặt un = . f ( 2 ) . f ( 4 ) ... f ( 2n ) n = 2022 . 2 A. n = 22022 . B. n = 22023 . C. n = 22020 . D. n = 22021 . Câu 49. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: 5x + 25y + 125z = 2022 . Tìm giá trị nhỏ nhất của x y z biểu thức: S = + + . 6 3 2 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: log 2 un + log 1 1 A. SMin = log5 2022 . B. SMin = log5 2020 . 3 6 2 n3 + n 2 + 1 D. SMin = log 5 2021 6 x + y +1 Câu 50. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện x , y  0 ; z  −1 và log 2 = 2 x − y . Khi đó 4x + y + 3 giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = A. 4 2 . B. 6 . C. SMin = 1 log5 2022 . 2 ( x + z + 1)2 ( y + 2)2 + tương ứng bằng 3x + y x + 2z + 3 C. 6 3 . D. 4 . ______________HẾT______________ HOÀNG XUÂN NHÀN 165 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 15 1 B 11 A 21 B 31 B 41 A 2 B 12 B 22 C 32 D 42 B 3 D 13 D 23 D 33 D 43 B 4 D 14 C 24 B 34 D 44 A 5 B 15 A 25 C 35 A 45 C 6 D 16 D 26 D 36 B 46 B 7 C 17 D 27 C 37 D 47 D 8 B 18 C 28 B 38 C 48 B 9 C 19 B 29 C 39 B 49 B 10 B 20 A 30 B 40 D 50 D Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 15 m ln x − 2 nghịch biến trên ( e 2 ; + ) . ln x − m − 1 B. m  −2 hoặc m = 1. D. m  −2 hoặc m  1 . Hướng dẫn giải: Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = A. m  −2 hoặc m = 1. C. m  −2. Điều kiện: ln x − m − 1  0, x  ( e2 ; + )  m + 1  ln x,  ln x  ( 2; + )  m + 1  2  m  1 (1). Ta có: y =  m  −2 (2).  0, x  ( e2 ; + )  −m2 − m + 2  0   x ( ln x − m − 1) m  1 −m2 − m + 2 2 + + Choïn →C Từ (1) và (2), ta có được m  −2 . ⎯⎯⎯ Câu 46. Cho hai số thực a , b đều lớn hơn 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = A. 4 . 9 B. 9 . 4 C. 9 . 2 1 1 + bằng log ab a log 4 ab b D. 1 4 Hướng dẫn giải: Ta có: S= 1 5 1 1 1 + . + = log a ( ab ) + logb 4 ab = 1 + log a b + ( logb a + 1) = log a b + 4 log a b 4 log ab a log 4 ab b 4 Vì a, b  1  loga b  0 . Áp dụng AM-GM, ta được: log a b + 1 1  2 log a b. = 1. 4 log a b 4 log a b 1 5 5 9 +  1+ = . 4 log a b 4 4 4 1 1 1  log a 2 b =  log a b =  b = a . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi log a b = 4 log a b 4 2 Suy ra S = log a b + HOÀNG XUÂN NHÀN 166 Vậy min S = 9 Choïn →B , khi đó b = a . ⎯⎯⎯ 4 y +1 Câu 47. Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn log3 ( x + 1)( y + 1)  = 9 − ( x − 1)( y + 1) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2 y là 11 27 A. Pmin = . B. Pmin = . C. Pmin = −5 + 6 3 . D. Pmin = −3 + 6 2 . 2 5 Hướng dẫn giải: log3 ( x + 1)( y + 1)  y +1 = 9 − ( x − 1)( y + 1)  ( y + 1) log 3 ( x + 1) + log 3 ( y + 1)  + ( x − 1)( y + 1) = 9 .  ( y + 1) log 3 ( x + 1) + log3 ( y + 1) + x − 1 = 9  log3 ( x + 1) + x − 1 =  log3 ( x + 1) + ( x + 1) − 2 = 9 − log3 ( y + 1) y +1 9 9 . − 2 + log 3 y +1 y +1 Xét hàm số f ( t ) = log 3 t + t − 2 với t  0 có f  ( t ) = luôn đồng biến trên ( 0; + ) . 1 + 1  0 với mọi t  0 nên hàm số f ( t ) t ln 3 9 9 8− y , do x  0 nên y  ( 0;8 ) . x= −1 = y +1 y +1 y +1 8− y Khi đó: P = x + 2 y = + 2y y +1 Từ đó suy ra x + 1 = AM −GM 9 9 9 = 2 ( y + 1) + − 3  2 2 ( y + 1) . −3 = 6 2 −3. y +1 y +1 y +1 9 3 Choïn →D  y= − 1. ⎯⎯⎯ Vậy Pmin = −3 + 6 2 ; khi đó: 2 ( y + 1) = y +1 2 2 f (1) . f ( 3) ... f ( 2n − 1) Câu 48. Cho f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 n  N * . Đặt un = . f ( 2 ) . f ( 4 ) ... f ( 2n ) = 2 y −1 + n = 2022 . 2 B. n = 22023 . C. n = 22020 . Hướng dẫn giải: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: log 2 un + log A. n = 22022 . 2 n3 + n 2 + D. n = 22021 . 2 Ta có : f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 = ( n2 + 1) ( n + 1) + 1 .   (12 + 1)( 22 + 1)(32 + 1)( 42 + 1) ... ( 2n −1)2 + 1 4n2 + 1 1 2 = 2 Khi đó: un = . = 2 2 ( 22 + 1)( 32 + 1)( 42 + 1)(52 + 1) ... 4n2 + 1 ( 2n + 1) + 1 ( 2n + 1) + 1 2n + 2n + 1 2 Ta có : log 2 un + log 2 n3 + n 2 + n 1 n    3 2 = log 2  2  + log 2  n + n +  2 2  2n + 2n + 1   n . ( 2n 2 + 2n + 1) n = log 2 2 2 = log 2 . 2n + 2n + 1 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 167 n Choïn →A = 2022  n = 22023 . ⎯⎯⎯ 2 Câu 49. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: 5x + 25y + 125z = 2022 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x y z thức: S = + + . 6 3 2 1 1 1 1 A. SMin = log5 2022 . B. SMin = log5 2020 . C. SMin = log5 2022 . D. SMin = log 5 2021 3 6 2 6 Hướng dẫn giải: Theo đề, ta có được: log 2 Đặt a = 5x , b = 52 y , c = 53z ; vì x, y, z  0  a  1, b  1, c  1 . Khi đó: a + b + c = 2022 . 1 1 log5 c log b 5 x y z log5 a 2 1 3 + + = log5 ( abc ) . Ta có: S = + + = 6 3 2 6 3 2 6 S nhỏ nhất khi và chỉ khi abc nhỏ nhất. Ta xem xét bất đẳng thức phụ sau: Với mọi X  1, Y  1 thì ( X − 1)(Y − 1)  0  XY  X + Y − 1 . Áp dụng cho các số a  1, b  1, c  1, ta có: ab  a + b −1  abc  ac + bc − c  (a + c −1) + (b + c −1) − c = a + b + c − 2  2022 − 2 = 2020 . 1 Choïn →B Vì vậy Min ( abc ) = 2020  SMin = log 5 2020 . ⎯⎯⎯ 6 1 Dấu " = " xảy ra khi a = b = 1, c = 2020; khi đó 5x = 52 y , 53z = 2020  x = y = 0, z = log5 2020 . 3  Nhận xét: Nếu thay đổi vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức trên, ta cũng nhận được kết quả giống với lời giải này, chỉ khác nhau khi dấu đẳng thức xảy ra mà thôi. x + y +1 Câu 50. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện x , y  0 ; z  −1 và log 2 = 2 x − y . Khi đó 4x + y + 3 giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = A. 4 2 . B. 6 . ( x + z + 1)2 ( y + 2)2 + tương ứng bằng 3x + y x + 2z + 3 C. 6 3 . Hướng dẫn giải: D. 4 . x + y +1 x + y +1 = 2 x − y  1 + log 2 = 2x − y +1 4x + y + 3 4x + y + 3 2x + 2 y + 2  log 2 = (4 x + y + 3) − (2 x + 2 y + 2) 4x + y + 3 Ta có: log 2  log2 (2x + 2 y + 2) + (2x + 2 y + 2) = log2 (4 x + y + 3) + (4 x + y + 3)  f (2x + 2 y + 2) = f (4x + y + 3) với hàm f (t ) = log 2 t + t , t  0 . 1 + 1  0, t  0 ; do đó hàm f (t ) đồng biến trên ( 0; + ) . t ln 2 Do vậy: f (2 x + 2 y + 2) = f (4 x + y + 3)  2 x + 2 y + 2 = 4 x + y + 3  y = 2 x + 1 . Ta có: f  ( t ) = ( x + z + 1)2 ( y + 2)2 ( x + z + 1) 2 (2 x + 3) 2 + = + Thay vào biểu thức T ta được: T = . 3x + y x + 2z + 3 5x + 1 x + 2z + 3 HOÀNG XUÂN NHÀN 168 Áp dụng bất đẳng thức dạng cộng mẫu: ( x + z + 1)2 (2 x + 3)2 ( x + z + 1 + 2 x + 3) 2 (3x + z + 4) 2 1 (3x + z + 4) 2 T= +  = = . 5x + 1 x + 2 z + 3 5x + 1 + x + 2 z + 3 6 x + 2 z + 4 2 3x + z + 2  1 (t + 2)2 1  4 4  1  Đặt t = 3x + z + 2  T  . =  t + + 4   .  2. t. + 4  = 4 . Vậy TMin = 4 . 2 t 2 t t  2     y = 2x +1  x = z = 0 Choïn →D Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:  t = 2 = 3x + z + 2   . ⎯⎯⎯ y = 1   x + z +1 2x + 3  = x + 2z + 3  5x + 1 HOÀNG XUÂN NHÀN 169