Dấu của tam thức và 1 số ứng dụng Toán 10

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG
I. Dấu của biểu thức
1. Dấu của tam thức bậc 2: f  x   ax 2  bx  c, a  0
Tính   b 2  4ac
TH1:   0 thì f  x  luôn cùng dấu với a, x  
x

Cùng dấu với a
f  x



b
2a
 b 
và f  x  luôn cùng dấu với a, x   \  
 2a 
b



x
2a
cùng dấu với a
0
cùng dấu với a
f  x
TH2:   0 thì f  x   0 có nghiệm kép x  

TH3:   0 thì f  x   0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 )
x



f  x

x1

cùng dấu a



x2

0

trái dấu a

0

cùng dấu a

Ví dụ: Xét dấu của f  x 
1)

f  x   2 x 2  3x  4

2)

f  x   4 x2  4 x  1

3)

f  x   2 x 2  5 x  2
Hướng dẫn giải:
2

1) f  x   2 x  3x  4
2
   3  4.2.4  23  0 
Ta có:
  f  x   0, x  
a20

2
2) f  x   4 x  4 x  1

f  x   0  4 x2  4 x  1  0  x 
x

1
(nghiệm kép)
2
1
2



f  x

+

0

1 
2 

Vậy f  x   0  x   \  
3) f  x   2 x 2  5 x  2

f  x   0  2 x 2  5 x  2  0  x  2  x 

1
2
1


+

x

1
2



f  x

-



2

0

+

0

-

1 
f  x  0  x   ; 2
2 
1

f  x   0  x   ;    2;  
2


Vậy

2. Dấu của biểu thức chứa tích, thương của các nhị thức, tam thức

f  x  .g  x 

Giả sử cần xét dấu biểu thức P 

h x

Cách thực hiện:
Bước 1: Cho từng nhị thức, tam thức bằng 0 tìm nghiệm (nếu có)

f  x   0  ...
g  x   0  ...
h  x   0  ...
Bước 2: Lập bảng xét dấu:
- Sắp xếp các nghiệm từ nhỏ đến lớn theo chiều từ trái sang phải
- Mỗi nhị thức, tam thức ta xét dấu 1 dòng
- Dòng cuối là dấu của biểu thức P:
Dòng tổng hợp dấu này ta thực hiện như sau:
 Tại vị trí các nghiệm, nghiệm nào làm tử bằng 0 thì P = 0 ta để số 0, nghiệm nào làm mẫu
bằng 0 thì P không xác định ta để dấu


Dấu của P được tổng hợp theo qui tắc nhân, chia số âm, dương thông thường (để đơn giản ta
chỉ cần đếm dấu “-”, nếu lẻ dấu “-” thì khoảng đó sẽ mang dấu “-” còn chẵn dấu “-” thì
khoảng đó sẽ mang dấu “+”)
x



f  x
g  x
h x
P
Bước 3: dựa vào bảng xét dấu ta kết luận







Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức f  x   3 x 2  4 x 2 x 2  x  1

Hướng dẫn giải:

4
3



3x2  4 x  0  x  0  x 



2x2  x 1  0  x  1 x  

1
2
2

x





1
2

0

3x 2  4 x

+

2x2  x  1
f  x

+

0

-

+

0

-

+

4
3

1

0

-

0

-

-

0

+

+

0

-



0

+
+

0

+

1

4

f  x   0  x   ;     0;1   ;  
2

3

 1   4
f  x   0  x    ;0   1; 
 2   3

Vậy

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức

3x
f  x 



2

 x 1  2 x 

4 x 2  x  3
Hướng dẫn giải:

1
3



3x2  x  0  x  0  x 



1 2x  0  x 



4 x 2  x  3  0  x  1  x 



x

3x 2  x
1  2x
4 x 2  x  3
f  x
Vậy

1
2

-1
+
+
-

1
3

0
+

0

-

+
+

0

+

1
2

0

+

+
+
0

-

0

1 1 3

f  x   0  x   1;0    ;    ;  
3 2 4

 1 1 3
f  x   0  x   ; 1   0;    ; 
 3  2 4

Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức f  x  





3
4

x2  6 x  9

 4 x

2



 x  1 x2  4



Hướng dẫn giải:
x  6 x  9  0  x  3 (nghiệm kép)
4 x 2  x  1  0 : phương trình vô nghiệm
2

x 2  4  0  x  2  x  2
3

3
4
+

+
+

0

+

0


+

+

0
-

+



x

-2

2

+

+

+

4 x 2  x  1

-

-

-

x2  4
f  x

+

x  6x  9

Vậy

2

0

-

-

0



3
0

+
-

+

+

+

-

0

-

f  x   0  x   2; 2 
f  x   0  x   ; 2    2;3   3;  

II. Một số ứng dụng
1. Giải bất phương trình và hệ bất phương trình
 Để giải bất phương trình
Bước 1: Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng:

f  x   0, f  x   0, f  x   0, f  x   0
Bước 2: Lập bảng xét dấu
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình
 Để giải hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi giao nghiệm lại





Ví dụ 1: Giải bất phương trình:  2 x  1 x 2  x  30  0
Hướng dẫn giải:



Đặt f  x    2 x  1 x 2  x  30





1
2
2
x  x  30  0  x  5  x  6

2x  1  0  x  

Bảng xét dấu:
x





-6

2x  1

-

x 2  x  30
f  x

+

0

-

-

0

+

-

1
2
0
0

1



2
x  9 x  14
0
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2
x  5x  4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S   6;    5;  
2

4



5
+

+

-

0

+

-

0

+

Hướng dẫn giải:
2

x  9 x  14
x2  5x  4
x 2  9 x  14  0  x  2  x  7
x2  5x  4  0  x  1  x  4

Đặt f  x  



Bảng xét dấu:



x

1

x 2  9 x  14

+

x2  5x  4
f  x

+

+
0

2
0

4
-

-

+

-

-

-

0

0

7
0

+

+

-


+
+

0

+

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S   ;1   2; 4    7;  
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:

2x  5
1

x  6x  7 x  3
2

Hướng dẫn giải:
Ta có:

2x  5
1
2x  5
1

 2

0
x  6x  7 x  3
x  6x  7 x  3
2

 2 x  5 x  3   x 2  6 x  7 
x 2  5 x  22

0 2
0
 x 2  6 x  7   x  3
 x  6 x  7   x  3
Đặt

f  x 

x 2  5 x  22

x

2



 6 x  7  x  3

 x 2  5 x  22  0 : phương trình vô nghiệm
 x 2  6 x  7  0  x  1  x  7
 x 3 0  x  3
Bảng xét dấu:

x
-1
3
2
+
+
x  5 x  22

x2  6x  7
x3

+
-

-

f  x

-

+

0

-

+
-

0

+

Vậy tập nghiệm của phương trình: S     1   3;7 

(1)
(2)

Hướng dẫn giải:
Giải bất phương trình (1)
5

+
0

-

 x 2  2 x  3  0
Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình: 
2
 x  11x  28  0



7
+
+
+

x 2  2 x  3  0  x  1  x  3

x
-1
2
+
0
x  2x  3
Tập nghiệm của (1): S1   ; 1   3;  



-

3
0

+

-

7
0

+

Giải bất phương trình (2)

x 2  11x  28  0  x  4  x  7

x
4
2
+
0
x  11x  28
Tập nghiệm của (2): S1   ;4   7;  



Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình: S  S1  S 2     1  7;  
2. Tìm tham số để f  x  luôn dương, luôn âm
Cho tam thức f  x   ax 2  bx  c, a  0

a  0
f  x   0, x    
  0
a  0
 f  x   0, x    
  0
a  0
 f  x   0, x    
  0
a  0
 f  x   0, x    
  0
Chú ý:
* Ta có thể thay  bởi  '


* Khi giải bài tập mà hệ số a chứa tham số ta phải xét thêm trường hợp a  0
Ví dụ 1: Tìm m để f  x   x 2   m  2  x  8m  1 luôn dương
Hướng dẫn giải:

f  x  luôn dương  f  x   0, x  
1  0
a  0


2
  0
 m  2   4. 8m  1  0
 m 2  28m  0 (do 1 > 0: luôn đúng)
 0  m  28
Vậy 0  m  28 thì f  x  luôn dương
Ví dụ 2: Tìm m để f  x    m  4  x 2   m  1 x  2m  1 luôn âm
Hướng dẫn giải:

f  x  luôn âm  f  x   0, x  

(*)

TH1: m  4  0  m  4  f  x   5 x  7
6

x



f  x


-

7
5



0

+

7

f  x   0, x   ;   không thỏa (*) nên ta loại m  4
5

TH2: m  4  0
a  0
f  x   0, x    
  0
 m  4  0

2
 m  1  4  m  4  2m  1  0
 m  4

2
 7 m  38m  15  0
m  4
3


m
3
7
m  7  m  5
Vậy m 

3
thì f  x  luôn âm.
7

Bài toán có thể hỏi dưới dạng: bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, bất phương trình vô
nghiệm, hàm số xác định trên R …
 Bất phương trình f  x   0 nghiệm đúng x    f  x   0, x  


Bất phương trình f  x   0 vô nghiệm  f  x   0, x  



Hàm số y 

f  x  có tập xác định là R  f  x   0, x  

Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình:  m  1 x 2  2  m  1 x  3m  3  0 nghiệm đúng x  
Hướng dẫn giải:
2

Đặt f  x    m  1 x  2  m  1 x  3m  3

f  x   0 nghiệm đúng x    f  x   0, x   (*)
TH1: m  1  0  m  1  f  x   4 x  6
x

f  x

3
2


-



0

+

3

f  x   0, x   ;   không thỏa (*) nên ta loại m  1
2

TH2: m  1  0
a  0
f  x   0, x    
 '  0
7

 m  1  0

2
 m  1   m  1 3m  3   0
 m  1

2
 2m  2m  4  0
 m  1

 m 1
 m  2  m  1
Vậy m  1 thỏa yêu cầu bài toán
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số: y 

 m  2 x2  2  m  1 x  4

xác định trên 

Hướng dẫn giải:
Đặt f  x    m  2  x 2  2  m  1 x  4

 m  2 x2  2  m  1 x  4 xác định trên R  f  x   0, x  
TH1: m  2  0  m  2  f  x   6 x  4
Hàm số y 

x

f  x




-

2
3

(*)



0

+

 2

f  x   0, x    ;   không thỏa (*) nên ta loại m  2
 3

TH2: m  2  0
a  0
f  x   0, x    
 '  0
m  2  0

2
 m  1  4  m  2   0
 m  2
 2
 m  6m  7  0

m  2

 1  m  7
 1  m  7
3. Tìm tham số để phương trình bậc 2 có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm thỏa điều kiện
Nhắc lại:
Xét phương trình: ax 2  bx  c  0

a  0
  0

Phương trình có nghiệm kép  

a  0
  0
Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P  0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt  

8

  0
P  0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu  

  0

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt   S  0
P  0

  0

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt   S  0
P  0

a  0

 b  0
a  0
Phương trình có nghiệm   
(khi làm toán ta nên xét 2 trường hợp a  0 và a  0 )
 b  c  0

a  0
    0
 a  0

 b  0
Phương trình vô nghiệm   
c  0 (khi làm toán ta nên xét 2 trường hợp a  0 và a  0 )

 a  0
   0

b
a

Trong đó: S   ; P 

c
a

Chú ý: Ta có thể thay  bằng  '
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x 2  2  m  1 x  9m  5  0 có 2 nghiệm âm phân biệt
Hướng dẫn giải:

 m  12  1.  9m  5   0
 '  0


Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt   S  0  2  m  1  0
P  0
9m  5  0



 m 2  7m  6  0
m  1  m  6


 m  1  0
  m  1
9 m  5  0

5

m 

9
5
  m  1 m  6
9
9

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:  m  2  x 2  2mx  m  3  0 có 2 nghiệm dương phân biệt
Hướng dẫn giải:

 2
m   m  2  m  3  0
 '  0


 2m
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt   S  0  
0
P  0
m  2

m  3
 m  2  0
 m  6  0
m  6


  m  0  m  2  m  0  m  2
 m  3  m  2
 m  3  m  2


 m  3

2  m  6
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình:  m  5  x 2  4mx  m  2  0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
TH1: m  5  0  m  5

pt  20 x  3  0
3
x
20
Phương trình có nghiệm x 

3
nên ta nhận m  5
20

TH2: m  5  0  m  5
Phương trình có nghiệm   '  0

 4m 2   m  5  m  2   0

 3m 2  7m  10  0  m  
Kết hợp điều kiện m  5 ta có: m  

10
 m 1
3

10 m  1

3 m  5

10
 m  1 thì phương trình đã cho có nghiệm.
3
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình:  m  2  x 2  2  2m  3 x  5m  6  0 vô nghiệm.
Vậy m  

Hướng dẫn giải:
TH1: m  2  0  m  2

pt  2 x  4  0
 x  2
Phương trình có nghiệm x  2 nên ta loại m  2
TH2: m  2  0  m  2
Phương trình vô nghiệm   '  0
2

  2m  3   m  2  5m  6   0
10

  m 2  4m  3  0
 m  1 m  3
Vậy m  1  m  3 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
4. Giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong căn bậc 2
Cần nhớ:








 g  x   0
f  x  g  x  
2
 f  x    g  x 
 f  x   hay g  x    0
f  x  g  x  
 f  x   g  x 
 f  x  0


f  x   g  x   g  x   0

2
 f  x    g  x  
  g  x   0

 f  x   0
f  x  g  x  
(khi làm toán ta nên chia 2 trường hợp)
  g  x   0

2
f
x


g
x









2

Chú ý: Nếu  g  x   bậc lớn thì ta có thể đặt ẩn phụ để giải
Ví dụ 1: Giải phương trình:

 x2  2x  4  x  2
Hướng dẫn giải:

Ta có:

 x  2  0
 x2  2x  4  x  2   2
2
  x  2 x  4   x  2 
 x  2
 2
2 x  6 x  0
x  2

 x3
x  0  x  3
Vậy tập nghiệm của phương trình: S  3 .
Ví dụ 2: Giải phương trình:

x 2  2 x  2 x 2  4 x  3
Hướng dẫn giải:

Nhận xét:

Ta thấy vế phải có bậc 2 nên nếu bình phương lên bậc sẽ lớn, bài toán sẽ khó
11

Để ý vế phải nếu đặt -2 làm thừa số chung sẽ xuất hiện đại lượng giống biểu thức trong
căn nên ta sẽ đặt ẩn phụ
Đặt

t  x2  2 x
t  0
 2
2
t  x  2 x

pt 





x 2  2 x  2 x 2  2 x  3

 t  2t 2  3
t  1
 2t  t  3  0  
3
t   (loai )

2
2

 x  1  2
t  1  x2  2 x  1  x2  2 x  1  0  
 x  1  2
Vậy tập nghiệm của phương trình: S  1  2; 1  2 .



Ví dụ 3: Giải bất phương trình:



 x 2  4 x  21  x  3
Hướng dẫn giải:

 x 2  4 x  21  0

 x 2  4 x  21  x  3   x  3  0
 2
2
 x  4 x  21   x  3
 7  x  3

  x  3
 2
 2 x  10 x  12  0
 7  x  3

  x  3
1 x  3
 x  6  x  1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S  1;3 .
Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

x 2  3 x  10  x  2
Hướng dẫn giải:

  x  2  0
 2
 x  3 x  10  0
x 2  3x  10  x  2  
  x  2  0
  x 2  3 x  10   x  2 2
 

x  2
 x  2  0

 x  2
2
 x  3 x  10  0
 x  2  x  5

TH1: 

12

 x  2  0
x  2
 x  14
2 
2
x

14
x

3
x

10

x

2





TH2: 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S   ; 2   14;   .
Ví dụ 5: Giải bất phương trình:

2 x 2  8 x  12  x 2  4 x  6
Hướng dẫn giải:

Đặt

2

t  2 x  8 x  12 , điều kiện t  0

t 2  12
 t  2 x  8 x  12  t  12  2 x  4 x  x  4 x 
2
2
t  12
bpt  t 
6
2
 t 2  2t  24  0
 4  t  6 . Do t không âm nên t  6
2

2



2



2

2

t  6  2 x 2  8 x  12  6
2 x 2  8 x  12  36
2 x 2  8 x  24  0


2
2
2 x  8 x  12  0
2 x  8 x  12  0
 2  x  6

 2  x  6
x



Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S   2;6 .
5. Giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong trị tuyệt đối
Cần nhớ:









g  x  0

f  x   g  x    f  x   g  x 

  f  x    g  x 
 f  x  g  x
f  x  g  x  
 f  x    g  x 

 f  x   g  x 
f  x  g  x  g  x  f  x  g  x  
 f  x    g  x 
 f  x  g  x
f  x  g  x  
 f  x    g  x 
2

2

f  x   g  x    f  x     g  x     f  x   g  x    f  x   g  x    0

Nếu phương trình, bất phương trình chứa nhiều trị tuyệt đối hoặc không phải các dạng trên thì
ta xét dấu rồi chia trường hợp ra để giải.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2  5 x  4  x 2  6 x  5
13

Hướng dẫn giải:
2

 x  6x  5  0

x2  5 x  4  x 2  6 x  5   x 2  5 x  4  x 2  6 x  5
 2
2
  x  5 x  4   x  6 x  5
 x  5  x  1
 x  5  x  1

1

   11x  1  0  
x
1
11
 2 x 2  x  9  0
 x   11


Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1/11}
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:  x 2  x  1  2 x  5
Hướng dẫn giải:
2

 x  x  1  2 x  5
 x2  x 1  2x  5  
2
 x  x  1  2 x  5
  x 2  x  6  0
x  


2
1  x  4
  x  3 x  4  0
 1  x  4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S   1;4 .
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x  6  x 2  5 x  9
Hướng dẫn giải:


 x

2


  x  6
 5x  9  0
  x  6  x  5 x  9  x  6  x  5 x  9   0
   x  6 x  15  x  4 x  3  0 (*)
2

x  6  x2  5x  9   x  6  x2  5x  9
2

2

2

2

2

2

2

1 x  3
(Giải bất phương trình (*) bằng cách lập bảng xét dấu)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S  1;3 .
Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

3
 x2
x  3 1
Hướng dẫn giải:

Nhận xét: Bài toán chứa trị tuyệt đối nhưng không phải các dạng đặc biệt như ở trên nên ta phải lập bảng
xét dấu rồi chia từng trường hợp ra để giải.
Bảng xét dấu:
14

x



x3

-

x2

-

-3
0



-2
+

+

-

0

+

TH1: x  3

bpt 

3
3
 x  2 
x20
x  3 1
x  4
3  x2  2 x  4 x  8
 x2  6 x  5

0 
 0 (*)
x  4
x  4
 5  x  4

 x  1

(Giải bất phương trình (*) bằng cách lập bảng xét dấu)
Kết hợp với điều kiện ta có: S1   5; 4 
TH2: 3  x  2

3
3
 x  2

 x20
x  3 1
x2
x2  4 x  7

0
x2
 x  2  0 (do x 2  4 x  7  0, x   )
x  2
Kết hợp với điều kiện ta có: S 2  
TH3: x  2
3
3
bpt 
 x2

 x20
x  3 1
x2
 x2  4 x  1

 0 (*)
x2
 x  2  3

 2  x  2  3
bpt 



Kết hợp với điều kiện ta có: S3  2; 2  3 





Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S  S1  S 2  S3   5; 4   2; 2  3 

15

