Đa thức, các bài toán về đa thức

ĐA THỨC

Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức ra thừa số, dùng sơ đồ Horner để chia đa thức, giải các phương trình đại số. 

Bài giảng này sẽ hệ thống hoá lại những kiến thức cơ bản nhất về đa thức 1 biến, các dạng toán thường gặp về đa thức. Ở cuối bài sẽ đề cập 1 cách sơ lược nhất về đa thức nhiều biến.

1. Đa thức và các phép toán trên đa thức

1.1. Định nghĩa. Đa thức trên trường số thực là biểu thức có dạng
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, trong đó ai ( R và an ( 0.
ai được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó an được gọi là hệ số cao nhất và a0 được gọi là hệ số tự do. 
n được gọi là bậc của đa thức và ký kiệu là n = deg(P). Ta quy ước bậc của đa thức hằng P(x) = a0 với mọi x là bằng 0 nếu a0 ( 0 và bằng nếu a0 = 0.

Để tiện lợi cho việc viết các công thức, ta quy ước với đa thức P(x) bậc n thì vẫn có các hệ số ak với k > n, nhưng chúng đều bằng 0. 

Tập hợp tất cả các đa thức 1 biến trên trường các số thực được ký hiệu là R[x]. Nếu các hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỷ, các số nguyên thì ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỷ, đa thức với hệ số nguyên và tương ứng là các tập hợp Q[x], Z[x].

1.2. Đa thức bằng nhau
Hai đa thức
bằng nhau khi và chỉ khi m = n và ak = bk với mọi k=0, 1, 2, …, m.

1.3. Phép cộng, trừ đa thức.
Cho hai đa thức
. Khi đó phép cộng và trừ hai đa thức P(x) và Q(x) được thực hiện theo từng hệ số của xk, tức là 


Ví dụ: (x3 + 3x2 – x + 2) + (x2 + x – 1) = x3 + 4x2 + 1.

1.4. Phép nhân đa thức. 
Cho hai đa thức
. Khi đó P(x).Q(x) là một đa thức có bậc m+n và có các hệ số được xác định bởi

.
Ví dụ: (x3 + x2 + 3x + 2)(x2+3x+1) = (1.1)x5 + (1.3 + 1.1)x4 + (1.1 + 1.3 + 3.1)x3 + (1.1 + 3.3 + 2.1)x2 + (3.1 + 2.3)x + (2.1) = x5 + 4x4 + 7x3 + 12x2 + 9x + 1. 

1.5. Bậc của tổng, hiệu và tích của các đa thức

Từ các định nghĩa trên đây, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây

Định lý 1. Cho P(x), Q(x) là các đa thức bậc m, n tương ứng. Khi đó
a) deg(P(Q) ( max{m, n} trong đó nếu deg(P) ( deg(Q) thì dấu bằng xảy ra. Trong trường hợp m = n thì deg(P(Q) có thể nhận bất cứ giá trị nào ( m. 
b) deg(P.Q) = m + n.

1.6. Phép chia có dư.

Định lý 2. Với hai đa thức P(x) và Q(x) bất kỳ, trong đó deg(Q) ( 1, tồn tại duy nhất các đa thức S(x) và R(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện:
P(x) = Q(x).S(x) + R(x)
deg(R) < deg(Q)
Chứng minh. Tồn tại. Ta chứng minh bằng quy nạp theo m = deg(P). Nếu deg(P) < deg(Q) thì ta có thể chọn S(x) ( 0 và R(x) = P(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện i) và ii). Giả sử m ( n và định lý đã được chứng minh với các đa thức có bậc nhỏ hơn m. Ta chứng minh định lý đúng với các đa thức bậc m. Giả sử