Công thức tính nhanh Hình học

CÔ NGUYỄN THỊ LANH- CHIA SẺ TÀI LIỆU Công thức tính nhanh hình học A.CÔNG THỨC TÍNH NHANH CỦA THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Bài toán tổng quát 1. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Biết SA a , SB b , SC c . Khi đó Hình vẽ Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Biết SA=2, SB  3 , SC 4. Thể tích khối chóp S.ABC là A. 4. B. 8. C. 24. D. 12. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức em có 2.3.4 4 . VS.ABC  6 → Đáp án A Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Biết diện tích tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là 3, 5, 6. Thể tích khối chóp S.ABC là A a c S C b B A 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Biết diện tích tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là S1 , S2 , S3 . Khi đó A. 2 5. C. C S Áp B 5  3 Hướng dẫn giải dụng công thức em A. 2  4 B. 2  12 C. 2  2 D. 2  3 C A a D. G B Áp Hướng dẫn giải dụng công thức em 3 1. 2 2 VS.ABC    12 12 → Đáp án B http://dodaihoc.com/ có 2.3.5.6 2 5. 3 → Đáp án A Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, cạnh bên bằng 1. Thể tích khối chóp S.ABC là b a3 2 Khi a b thì VS.ABC   12 25  3 VS.ABC  S 3. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b. Khi đó B. 5. https://www.facebook.com/CoNguyenThiLanh 1 có CÔ NGUYỄN THỊ LANH- CHIA SẺ TÀI LIỆU 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . Khi đó S α A a C G B Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 45 . Thể tích khối chóp S.ABC là 1 1 A.  B.  48 24 1 2 D.  C.  12 24 Áp Hướng dẫn giải dụng công thức em có 3 1 .tan 45 1 VS.ABC    12 12 → Đáp án D Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 2, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 . Thể tích khối chóp S.ABC là S 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  b α A C G . Khi đó A. 3  24 C. 33  4 B Áp 33  6 3 D.  4 B. Hướng dẫn giải dụng công thức em có 2 3.23.sin30 .cos 30  33   4 4 → Đáp án C Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng45 VS.ABC  S 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng  . Khi đó A. A a G α B http://dodaihoc.com/ C M a3  12 B. a3  24 a3 2 a3 2 D.   24 12 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức em có C. a3.tan 45  a3 VS.ABC   → Đáp án B 24 24 https://www.facebook.com/CoNguyenThiLanh 2 CÔ NGUYỄN THỊ LANH- CHIA SẺ TÀI LIỆU S 7. Cho hình chóp đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng b. Khi đó Ví dụ 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 1, cạnh b bên bằng S.ABCD là A a3 2 Khi a b thì VS.ABCD   6 D a O B C 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  . Khi đó α A a O C S 9. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  . Khi đó A α B O a 6  6 C. 2  12 2  6 1 D.  6 B. Áp Hướng dẫn giải dụng công thức em VS.ABC 12. 4.  2  2   2.1 6 2  C M D A. 6  6 a3 6  6 B. a3 3  6 a3 6 a3 3 D.   3 3 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức em có C. a3. 2.tan60  a3 6 VS.ABC    6 6 → Đáp án A Ví dụ 9: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45 . Thể tích khối chóp S.ABCD là 2 6 B.  A.  D 3 6 4 2 D.  C.  3 3 Áp Hướng dẫn giải dụng công thức em 3 2 .tan 45 4 VS.ABC    6 3 → Đáp án D http://dodaihoc.com/ có → Đáp án A Ví dụ 8: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng60 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là S B A. 2 . Thể tích khối chóp https://www.facebook.com/CoNguyenThiLanh 3 có CÔ NGUYỄN THỊ LANH- CHIA SẺ TÀI LIỆU S 10. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  . Khi đó Ví dụ 10: Cho hình chóp đều S.ABCD A α O B 3 , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45 . Thể tích khối chóp S.ABCD là 1 2 D A.  B.  3 3 4 3 C.  D.  3 3 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức em có có cạnh bên bằng b M C 3 4. 3 .tan 45  4 VS.ABC    3 3 2  tan 45  3 11. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc ở đáy của → Đáp án C Ví dụ 11: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, góc ở đáy của mặt bên bằng 60 . Thể tích khối chóp S.ABCD là S   mặt bên bằng  với   ;   42  A B Khi đó D O α a A. 2  6 B. 3  6 C. 6  3 D. 3  3 C Áp Hướng dẫn giải dụng công thức em 13. VS.ABC  2 tan60  1  có 2  6 6 → Đáp án A 12. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Biết Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Biết AB a , BC b , AC c . Khi đó AB  5 , BC  10 , AC  13 . Thể tích khối chóp S.ABC là A. A 6  6 3  12 D. 1. B. 5 26  6 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức em C. c a C S b 1 18.8.2 VS.ABC  1 . 12 2 → Đáp án D B http://dodaihoc.com/ https://www.facebook.com/CoNguyenThiLanh 4 có CÔ NGUYỄN THỊ LANH- CHIA SẺ TÀI LIỆU 13. Khối 8 mặt đều có đỉnh là tâm của các mặt lập phương cạnh a có Ví dụ 13: Khối 8 mặt đều có đỉnh là tâm của các mặt lập phương cạnh 1 có thể tích là 1 6 B.  A.  6 6 a C. 6  3 Áp D. 3  3 Hướng dẫn giải dụng công thức em có 3 14. Khối 8 mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có a 1 1 VS.ABC    6 6 → Đáp án B Ví dụ 14: Thể tích của khối lập phương có đỉnh là tâm của các mặt của khối 8 mặt đều cạnh bằng 2 là 4 A. 2 2. B.  9 16 2 C.  2 27 D.  3 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức em có VS.ABC 22   3  3  16 2    27  → Đáp án C B. CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI TRỤ, NÓN, CẦU Bài toán tổng quát 1. Hình nón nội tiếp hình chóp đều S.ABCD có đỉnh là S, đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên là b. Khi đó Hình vẽ Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Thể tích khối nón nội tiếp hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng S b h B a 2 Khi a = b thì h   2 Khi đó V   2  24 http://dodaihoc.com/ A C O r D 1, cạnh bên bằng 2 là   3 A. .  B. 24 12  6  C.  D.  24 12 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức em có 1 r  , h 2  V  2   12  26  2 r2.h  6 → Đáp án C  3 24 https://www.facebook.com/CoNguyenThiLanh 5 CÔ NGUYỄN THỊ LANH- CHIA SẺ TÀI LIỆU S 2. Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều có đỉnh S, đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên h B bằng b. Khi đó a 2 Khi a = b thì h   2 Ví dụ 2: Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bằng 1 là   2 B.  A. . 12 12   2 D.  C.  24 24 b C r O A Áp .1 . 2  2   12 12 → Đáp án A Ví dụ 3: Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy V S 3. Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Khi đó bằng 3a , cạnh bên bằng 2a là b A Khi đó V  O  6  108 a3  12 A. h a 6 Khi a = b thì h   3 C r a B  3a. 6 S h http://dodaihoc.com/ b C r a A 3 a 3a2  , h  2a2  a  2 3 a2 a r .h a3  V  4   3 3 12 → Đáp án B Ví dụ 4: Thể tích của khối nón nội tiếp hình chóp đều S.ABC có các cạnh bằng 1 là B   2 . 9  3  9   6 D.  C.  9 27 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức em có A. a3 6 Khi đó V   27 a3  12 a3 2 a3 6  D.  12 3 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức em có 2 a 6 Khi a = b thì h   3 B. C. r 4. Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Khi đó có 3 D a3 2 Khi đó V   12 Hướng dẫn giải dụng công thức em B. .13. 6  6   27 27 → Đáp án C V https://www.facebook.com/CoNguyenThiLanh 6 CÔ NGUYỄN THỊ LANH- CHIA SẺ TÀI LIỆU 5. Hình nón nội tiếp hình lập phương cạnh a. Khi đó C' B' Ví dụ 5: Thể tích khối nón nội tiếp hình lập phương cạnh bằng 2 là A' D' a h B C O A r D  2 . 3  C.  12 A. B.  2  2 D.  2  6 Hướng dẫn giải dụng công thức em Áp có 3 V 6. Nếu AB, CD là hai đường kính bất kì trên hai đáy của hình trụ thì Khi AB  CD A thì 1 VABCD  AB CD  OO' 6 C O'  2   2  6 12 → Đáp án D Ví dụ 6: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 1, AB và CD là hai đường kính nằm trên hai đáy của hình trụ, góc tạo bởi AB và CD bằng 30 . Thể tích tứ diện ABCD là 2 1 A. . B.  3 3 B O  3  3 C. D D. 2  3 Hướng dẫn giải Vì AB và CD là đường kính của đáy nên AB   2 . CD 2r Áp dụng công thức em có 2.2.sin30 1  VABCD    6 3 → Đáp án B Ví dụ 7: Thể tích khối cầu nội tiếp 7. Hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a. khi đó hình lập phương có cạnh bằng 3 là a r A.  3 . 2 B.   6 C.  3  3 D.  2  3 Hướng dẫn giải dụng công thức em Áp 3   3  3   6 2 → Đáp án A V http://dodaihoc.com/ https://www.facebook.com/CoNguyenThiLanh 7 có CÔ NGUYỄN THỊ LANH- CHIA SẺ TÀI LIỆU 8. Hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có các cạnh là a, b, c. Khi đó a Ví dụ 8: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng 1 là   3 B.  A. . 6 3 b c r a 3  a3 3 Khi a=b=c thì R  , V  2 2 C.  3  2 D.  2  3 Hướng dẫn giải dụng công thức em Áp có 3 .1 . 3  3   2 2 → Đáp án C Ví dụ 9: Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng 1 là V 9. Hình cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Khi đó A.  6. r a C.   3 B. 4 6  3 D.  2  3 Hướng dẫn giải dụng công thức em Áp có V  .1  3. 6  6  → Đáp án A Ví dụ 10: Thể tích khối cầu nội tiếp 10. Hình cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a. Khi đó tứ diện đều cạnh bằng 2 là r a A.  6 . 216 B.  3  216 C.  6  216 D.  3  54 Hướng dẫn giải dụng công thức em Áp 3 V   2 . 216 → Đáp án D 6  3   54 11. Hình cầu bán kính r nội tiếp hình trụ có bán kính đáy R= r, chiều cao h = 2r. Khi đó r h R http://dodaihoc.com/ https://www.facebook.com/CoNguyenThiLanh 8 có CÔ NGUYỄN THỊ LANH- CHIA SẺ TÀI LIỆU 12. Hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = a, SB = b, SC = c. Khi đó Ví dụ 12: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, biết SA  1,SB SC  2. A R O a A. 3 . 2 B. 9  2 C.  2  2 D.  2  3 B S c b C Áp Hướng dẫn giải dụng công thức em 2 R 2 2 1 2 2 3   2 2 3 4  3  9  V      3  2 2 → Đáp án B Giáo viên: Nguyễn Thị Lanh Nguồn: Dodaihoc.com http://dodaihoc.com/ https://www.facebook.com/CoNguyenThiLanh 9 có