chuyên đề tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần A. Tóm tắt lý thuyết Công thức tích phân từng phần: u x    ; b bbaa au x    . Vài tình huống gợi việc sử dụng công thức tích phân từng phần: Tích phân v x   dễ tính hơn tích phân u x  ; Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa \'u dx; Biểu thức \'v đơn giản. B. Các dạng toán hay gặp Dạng 1. Tích phân từng phần có quy tắc Nội dung phương pháp Quy tắc khử đa thức Xét các tích phân 1axI dx, 2sinI axdx, 3cosI axdx, trong đó P là một hàm đa thức, là hằng số khác 0. Ba tích phân nó trên có cách tính tương tự, sau đây ta nêu cách tính 1I. 11 1\'ax ax ax ax axI dxa a      . Việc ính 1I được quy về tính tích phân \'axJ dx. Đa thức dưới dấu tích phân là \'P có bậc thấp hơn đa thức dưới dấu tích phân 1I một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho đến khi đa thức dưới dấu tích phân bị khử hoàn toàn. Cách tích phân 2I, 3I cũng được tính một cách tương tự. Quy tắc khử Lô-ga Xét tích phân lnkI xdx. Ta có lnkI xdF x, trong đó F là một nguyên hàm của P x. Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có 1ln ln \' ln lnk kF xI xF dx xF xdxx  .2 Ta luôn có thể chọn F sao cho F có nhân tử là x, do đó biểu thức F xx thực chất là một đa thức đồng bậc với P x. Như vậy, so với thì 1lnkF xJ xdxx có lũy thừa của Lô-ga nhỏ hơn một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho đến khi biểu thức Lô-ga bị khử hoàn toàn. Xét hai tích phân 1sinaxI bxdx và 2cosaxI bxdx. Hai tích phân nói trên có phương pháp tính tương tự. Dưới đây, ta chỉ xét 1I. 11 1sin sin sin sin cosax ax ax ax axI bxd bxe bx bxe bxdxa a    1sin cosax axbbxe bxdxa a  21sin cosax axbbxe bxd ea a  21sin cos cosax ax axbbxe bxe bxa a  22 21sin cos sinax ax axb bbxe bxe bxdxa a  212 21sin cosax axb bbxe bxe Ia a . Từ đó, ta tính được 1I. Một số ví dụ Ví dụ 1. Tính tích phân sau: 1) [ĐHD06] 1202xI dx . 2) ln 3212xJ dx  Giải 1) 1 112 200 01 12 22 2x xI dx     12 201 52 12 4xe e       . 2) Ta có ln ln ln 3ln 32 211 12 ln ln 1x xKJ de dx  . Lại có3 ln ln 3ln ln 31 11 11 ln ln 6x xK de e  . Do đó 2 23 ln ln ln ln 12 ln 12I e . Ví dụ 2. Tính tích phân sau: 1) 4204 sin 2I xdx ; 2) 2202 osJ xdx . Giải 1) Ta có 4 442 200 01 14 cos cos cos 32 2I xd x        4 40 03 12 cos sin 22 2x xdx x   44003 12 sin sin 22 2x xd x       403 12 cos 22 4x          . b. Vì 21 os2xos2cc x. Cho nên 2 220 01 os2x 12 os os2xdx2 2cI xdx dx dx c      22 220 01 12 sin sin sin .22 22 20 0x dx             =2 210 os2x 128 40c       Chú :4 Qua ví dụ trên ta có các nhận xét sau Bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng lớn Nếu bậc của P(x) cao nhất là thì ta phải láy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết quả Tổng quát Nếu gặp phải các tích phân có dạng ( sin axdx os axdxn nP c   Ta phải sử dụng các công thức hạ bậc Như 31 os2x os2x sin sin cos os3xsin os sin os2 4c cx x  Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm dược nhờ các gợi đã biết Ví dụ 3. Tính các tích phân sau a. 3 21202 1xx xdxe  b. 2130xx dx. c. 22202xx edxx. Cao đẳng GTVT-2004 Giải a. 3 21202 1xx xdxe  Đặt 3 22 222 ;x xdxu du dx dv ve e Thay vào (*) 123 22 2012 62 10x xx xx dx Je e     . Tương tự Ta tính Đặt 21 12 223 ;x xdxu du dx dv ve e . Do đó 122 2012 43 20x xxJ dx Ke e . Ta tính 1206 4xxK dxe +/ Đặt 22 226 ;x xdxu du dx dv ve e +/ Do đó 12 201 12 14 30 0x xdxK xe e     Thay (3) vào (2) 24 46 2( 2) 2Je e . Lại thay vào (1) ta có :5 26 142 6Ie e    b. 21 13 20 0.x xx dx xdx . Đặt 22 0, 1( )tdt xdx tt xf dx te dt   Do đó 1 10 011 1. .02 2t tI dt e  c. 22202xx edxx. Ta giải bằng hai cách Cách 1. Đặt 2 2212 ;22x xdxu du dx xe dx dv vxx  Vậy 2 22 2220 02 210 022x xx xx eI dx xe dx xe exx  Cách 2. Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân từng phần sau Đặt 222, 2; 4222( 4ttdt dx tt xt ef dx dt dtt t       Suy ra 4 422 22 24 1tt teI te dt dt dt Lt   . Các tích phân J,K,L các em đều có thể tính được Chú Qua ví dụ ta có một số nhân xét quan trọng sau Đối với tích phân có dạng ax( )eI dxP x, ta vẫn có thể áp dụng cách giải của dạng tích phân ax( )I dx được Ta có thể kết hợp cả hai phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần Nghĩa là trước khi lấy tích phân từng phần ta đổi biến số Ví dụ 4. Tính các tích phân sau a. 4204 sin 2x xdx  b. 220.sinx xdx c. 420osxdxc x d. 220osxdxx c Giải6 a. 4204 sin 2x xdx  Đặt 214 sin os2x2u du dx dv xdx c . Thay vào (*) 4201 1os2x os2xdx 142 20I J  Tính 4 40 01 12 os2xdx sin sin sin 242 20J xdx        54 os2x42 20c          . Thay vào (1) 42 16I     . b.2 22 20 01 os2x 1.sin os2xdx sin 222 20cx xdx dx xdx x                2 2201 8.sin sin os2x2 22 160 0x xdx c                  . c. 4 420 01. anx anx anxdx ln osx ln 24 4os 20 0xdx cc x     d. 220osxdxx c. Đặt 22 osxdx v=sinxu du xdx dv c . Do đó 2 22 220 0.s inx .s inxdx osx osx osxdx2 24 40 0I c          240 inx24 40       Ví dụ 1. Tính các tích phân sau a. 21lnex xdx. KD-2007) b. 223lnx dx. KD-2004 )7 c. 31lnexdx d. 21lnex xdx. Tham khảo 2005 Giải a. 21lnex xdx. Đặt 41ln ln ,4dxu du dv dx xx  Do đó 4 44 31 11 1.ln ln ln 114 2e eex eI dx xdx Jx  . Tính 31lneJ xdx. +/ Đặt 41 11ln ,4dxu du dv dx xx  +/ Do đó 44 411 1ln1 14 16 16ee ee eJ dx x . Thay vào (1) ta có 41 14 16 32e eI     . b. 223lnx dx. Đặt 222 1ln ,xu du dx dv dx xx x . Do đó 3 322 232 12 1. ln ln ln 221 1x xxI dx dxx x    3 32 231ln 54 ln 54 ln ln 221d xdx xx  . c. 31lnexdx Đặt 2ln ln ,dxu du dv dx xx Do đó 3 21ln ln 11eeI xdx J .Tính 21lneJ xdx +/ Đặt 21 12 lnln ,xu du dx dv dx xx +/ Do vậy 21 1ln ln ln ln 21 1e ee eJ xdx dx e      .8 +/ Thay vào (1) 3 2I e d. 21lnex xdx.. Đặt 31ln ,3dxu du dv dx xx  Do đó 33 311 1ln1 13 9ee ee eI dx x  Chú Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần như vậy số lần lấy tích phân từng phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x). Ví dụ 2. Tính các tích phân sau a. 3213 ln1xdxx. KB-2009 b. 231lnxdxx. KD-2008 c. 221ln 1xdxx. CĐ cơ khí luyện kim-2006 Giải a. 3 32 21 13 ln ln11 1x xdx dx dxx x   . Với 32133 311 41dxxx  Với 3 321 127ln3 3ln ln ln ln 316ln1 11 41x xdx dx dxx xx      Thay vào (1) 27 27ln ln316 164 4I b. 231lnxdxx. Đặt 23 211ln ,2dx dxu du dv vx x  Do vậy 22 212 21 ln ln 2ln1 12 16dxI xx x 9 c. 2 221 1ln ln 11 ln 1ln 21 1x xdx dx dxx x       . 2ln ln ln ln 3ln ln ln ln 312 2xx    Chú Qua ví dụ ta thấy tích phân dạng ln( )xdxP x, vẫn có thể áp dụng cách giải cho tích phân dạng lnI xdx Ví dụ 3. Tính các tích phân sau a. 120ln 1x dx. CĐKTKT công nghiệp II-2006 b. 320ln 5x dx. CĐTCKT-2006 c. 34ln anxsin 2dxx. (CĐTCHải quan -2006 Giải a. 1 12 20 011 1ln ln ln 102 2x dx x      . 212 ln 112 ln 102 2x    b. 320ln 5x dx. Đặt 222 5, 1451( ln ln2dt xdx tt xf dx dx tdt    Do đó 145141 14 ln 14 ln 11ln ln52 2I tdt t   c. 3 32 24 4ln anx1 13ln anx ln anx ln anx ln ln 3sin 164dx dx        . Cách khác Đặt 22 2dxdt= 1cos 1t anx1; 34 3dtt dx dxx ttx t    . Với 22sin 21txt10 Khi đó 3 321 12ln ln 1121 21t dt tI dt Jtt tt  +/ 3 32 21 1ln 13ln ln ln ln ln 32 81tJ dt tt  +/ Thay vào (1) ta có 21ln 316I Chú Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần Ví dụ 1. Tính các tích phân sau a. 220os3xdxxe c b. 230sin 5xI xdx( CĐKTKT-2005) c. 20sinxe xdx d. 2121( sin )x xe dx. ĐHTN-2000) Giải a. 220os3xdxxe c. Đặt u=2 212 os3xdx v= sin 33x xe du dv x Do đó 22 201 1sin sin 123 30x xI xdx e   Tính =220sin 3xe xdx. Đặt 212 sin os3x3x xu du dx dv xdx c Do vậy 22x 201 1os3x.e os3xdx 223 30xJ I  Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình Giải hệ ta có I=3 213e b. 230sin 5xI xdx. Đặt 313 sin os5x5x xu du dx dv xdx c Do đó 33223 3201 1os5x os5xdx 125 50x xeI e 