Chuyên đề phương trình mũ và logarit - Lưu Huy Thưởng

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP

:………………………………………………………………….

TRƯỜNG

:…………………………………………………………………

HÀ NỘI, 8/2013

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ α

Cơ số a

Luỹ thừa a α

α = n ∈ N*

a∈R

a α = a n = a.a......a (n thừa số a)

α=0

a≠0

aα = a0 = 1

α = −n ( n ∈ N * )

a≠0

a α = a −n =
m
an

m
(m ∈ Z , n ∈ N * )
n

a>0

a =

α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * )

a>0

a α = lim a n

α=

α

1
an
n

= a m (n a = b ⇔ b n = a )
r

2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
α

β

a .a = a

α +β

aα

;

aβ

=a

α −β

;

α β

(a ) = a

α. β

;

α

α

(ab) = a .b

α

;

a α a α
  = α
 b 
b

• a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ; 0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có:
a m < bm ⇔ m > 0 ;

Chú ý:

a m > bm ⇔ m < 0

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho bn = a .

• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có:
n

n

n

ab = a . b ;

Neáu

p
q
=
thì
n
m

n

n

n
a
a
=
(b > 0) ;
n
b
b

ap =

m

n

p

a p = (n a ) (a > 0) ;

a q (a > 0) ; Đặc biệt n a =

mn

m n

a = mn a

am

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 1

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a < n b .

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a < n b .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:

C = A(1 + r )N

VẤN ĐỀ II: LOGARIT
1. Định nghĩa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b = α ⇔ a α = b
a > 0, a ≠ 1
Chú ý: loga b có nghĩa khi 
b > 0

• Logarit thập phân:

lg b = log b = log10 b

n

1 

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b (với e = lim 1 +  ≈ 2,718281 )

n

2. Tính chất
• loga 1 = 0 ;

loga a = 1 ;

loga a b = b ;

a

loga b

= b (b > 0)

• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:
• loga (bc) = loga b + loga c

b 
• loga   = loga b − loga c
c 

• loga b α = α loga b

4. Đổi cơ số
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 2

Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:
• logb c =

loga c

• loga b =

1
logb a

loga b

hay loga b.logb c = loga c
1
log c (α ≠ 0)
α a

• log α c =
a

Bài tập cơ bản
HT 1: Thực hiện các phép tính sau:
1) log2 4.log 1 2

1
.log27 9
25

2) log5

4

4) 4

7)

log2 3

+9

log

3

2

5) log

log 3 a.log 4 a 1/3
a

a
7

2 2

3) loga

6) 27

8

log 9 2

a

+4

log 8 27

2 log3 2 + 4 log81 5

8) log3 6.log8 9.log6 2

log 1 a

3

9) 9

a
log3 5

10) 81

13) 9

1
log6 3

+ 27

+4

log9 36

+3

4 log9 7

1
log8 2

11) 25

log5 6

+ 49

1+ log9 4

14) 3

HT 2: So sánh các cặp số sau:
1
1) log 3 4 vaø log 4
3

+4

log7 8

2−log2 3

12) 5

+5

log125 27

2) log0,1 3 2 vaø log0,2 0, 34

3−2 log5 4

15) log

3) log 3
4

1
1
4) log 1
vaø log 1
80
3
2 15 + 2

6) 2

5) log13 150 vaø log17 290

6

3.log 3 36

2
3
vaø log 5
5
4

log6 3

2

vaø 3

log6

1
2

HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho log2 14 = a . Tính log49 32 theo a.
2)Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a.
3)Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ;

1
log81 100

.

4)Cho log7 2 = a . Tính log 1 28 theo a.
2

HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
49
theo a, b.
1)Cho log25 7 = a ; log2 5 = b . Tính log 3
5 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 3

2)Cho log30 3 = a ; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b.

3)Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b.
4)Cho log2 3 = a ; log3 5 = b ; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c.

VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1. Khái niệm
1)Hàm số luỹ thừa y = x α (α là hằng số)

Số mũ α

Hàm số y = x α

Tập xác định D

α = n (n nguyên dương)

y = xn

D=R

α = n (n nguyên âm hoặc n = 0)

y = xn

D = R \ {0}

α là số thực không nguyên

y = xα

D = (0; +∞)

Chú ý: Hàm số y =

1
n
x

không đồng nhất với hàm số y = n x (n ∈ N *) .

2)Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác định:

D = R.

• Tập giá trị:

T = (0; +∞).

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:
y

1

a>1

y=ax

y

y=ax
1
x

x

0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 4

3)Hàm số logarit y = loga x (a > 0, a ≠ 1)

• Tập xác định:

D = (0; +∞).

• Tập giá trị:

T = R.

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thị:

y
y

x

1

x

1

O

y=logax

y=logax

O

0
a>1
2. Giới hạn đặc biệt
•

1
x
lim(1 + x )
x →0

x

1 

= lim 1 +  = e
x →±∞ 
x

ex − 1
=1
x →0
x

ln(1 + x )
• lim
=1
x →0
x

• lim

3. Đạo hàm
•

(x α )′ = αx α−1 (x > 0) ;

(u α )′ = αu α−1.u ′

( n x )′ =

vôùi x > 0 neáu n chaün

 .


vôùi x ≠ 0 neáu n leû 

Chú ý:

•

•

1
n

n x n−1

(a x )′ = a x ln a ;

(a u )′ = a u ln a.u ′

(e x )′ = e x ;

(e u )′ = e u .u ′

(loga x )′ = x ln1 a ;

(loga u )′ = u uln′ a

(ln x )′ = 1 (x > 0);

(ln u )′ = u ′

x

(n u )′ =

u′
n

n u n −1

u

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 5

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 6

Bài tập cơ bản
HT 5: Tính các giới hạn sau:
 x x

1) lim 
x →+∞  1 + x 
 3x − 4 

4) lim 
x →+∞  3x + 2 


1
2) lim 1 + 
x →+∞ 
x
x +1
3

x +1
x

 x + 1 x

5) lim 
x →+∞  2x − 1 

e 2x − 1
x →0
3x

ln x − 1
x →e x − e

 x + 12x −1

3) lim 
x →+∞  x − 2 
 2x + 1x

6) lim 
x →+∞  x − 1 

ex − e
x →1 x − 1

7) lim

8) lim

i) lim

e x − e −x
k) lim
x → 0 sin x

e sin 2x − e sin x
l) lim
x →0
x

m)

lim x (e

)

1
x

−1

x →+∞

HT 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3

x +1
x −1

1) y = x 2 + x + 1

2) y =

4) y = 3 sin(2x + 1)

5) y = cot 1 + x 2

7) y = 3 sin

4

3) y =

3

x +3
4

8) y =

11

5

9 + 6 x9

6) y =

9) y =

5

x2 + x − 2
x2 + 1

1 − 3 2x
1 + 3 2x
4

x2 + x + 1
x2 − x + 1

HT 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2) y = (x 2 + 2x )e −x

1) y = (x 2 − 2x + 2)e x

4) y = e

2x +x 2

x

7) y = 2 .e

5) y = x .e

cos x

8) y =

1
x− x
3

3x
2

x −x +1

3) y = e −2x .sin x

6) y =

e 2x + e x

e 2x − e x

i) y = cos x .e cot x

HT 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = ln(2x 2 + x + 3)

2) y = log2 (cos x )

3) y = e x .ln(cos x )

4) y = (2x − 1)ln(3x 2 + x )

5) y = log 1 (x 3 − cos x )

6) y = log3 (cos x )

2

7) y =

ln(2x + 1)

8) y =

2x + 1

ln(2x + 1)
x +1

9) y = ln (x + 1 + x 2 )

HT 9: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
1) y = x .e

−

x2
2 ;

xy ′ = (1 − x 2 )y

2) y = (x + 1)e x ; y ′ − y = e x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 7

3) y = e 4x + 2e −x ;

y ′′′ − 13y ′ − 12y = 0

5) y = e−x .sin x ;

y ′′ + 2y ′ + 2y = 0

4) y = a.e −x + b.e −2x ; y ′′ + 3y ′ + 2y = 0
6) y = e −x .cos x ; y

( 4)

+ 4y = 0

HT 10: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
 1 
1
;
; xy′ = y  y ln x − 1
xy ′ + 1 = ey
1) y = ln 
2) y =

1 + x + ln x
1 + x 
3) y = sin(ln x ) + cos(ln x ); y + xy ′ + x 2y ′′ = 0

4) y =

1 + ln x
; 2x 2y ′ = (x 2y 2 + 1)
x (1 − ln x )

HT 11: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:
1) f '(x ) = 2 f (x ); f (x ) = e x (x 2 + 3x + 1)

2) f '(x ) +

1
f (x ) = 0;
x

f (x ) = x 3 ln x

3) f '(x ) = 0; f (x ) = e 2x −1 + 2.e1−2x + 7x − 5

VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Với a > 0, a ≠ 1 :

1. Phương trình mũ cơ bản:

b > 0
a x = b ⇔ 
x = loga b

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
1) Đưa về cùng cơ số:

Với a > 0, a ≠ 1 :

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:

a f (x ) = a g (x ) ⇔ f (x ) = g(x )
a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N ) = 0

a f (x ) = b g (x ) ⇔ f (x ) = (loga b ).g (x )

2) Logarit hoá:
3) Đặt ẩn phụ:
• Dạng 1:

t = a f (x ), t > 0
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
P (a f (x )) = 0 ⇔ 
P (t ) = 0

• Dạng 2:

αa 2 f (x ) + β(ab)f (x ) + γb 2 f (x ) = 0

Chia 2 vế cho b

2 f (x )

a f (x )
, rồi đặt ẩn phụ t =  
b 

• Dạng 3: a f (x ) + b f (x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a f (x ) ⇒ b f (x ) =
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

1
t
Page 8

4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:

f(x) = g(x)

(1)

• Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:
 f (x ) ñoàng bieán vaø g(x ) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët).


 f (x ) ñôn ñieäu vaø g(x ) = c haèng soá

• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) ⇔ u = v

5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A = 0
• Phương trình tích A.B = 0 ⇔ 
B = 0

A = 0
• Phương trình A2 + B 2 = 0 ⇔ 
B = 0

6) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:

f(x) = g(x)

(1)

 f (x ) ≥ M
Nếu ta chứng minh được: 
g(x ) ≤ M

thì

 f (x ) = M
(1) ⇔ 
g(x ) = M

Bài tập cơ bản
HT 12: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
2x

2) (3 − 2 2 )

1) 9 3x −1 = 38x −2

3) 4x

2

−3x +2

5) 2x

2

−1

 1 x
7)  
 2 

2

+ 4x

+ 2x

2

+2

2

+ 6x + 5

= 42x

2

= 3x + 3x

2

2

+ 3x +7

+1

−1

11)

=

x 2 +4

= 25

 1 x +7  1 1−2x


=2
8)   . 
2 
2 

4− 3x

9) 3x .2x +1 = 72
x +10
16 x −10

4) 52x − 7x − 52x .35 + 7x .35 = 0
x−
6) 5

−2

=2

= 3+2 2

10) 5x +1 + 6. 5x – 3. 5x −1 = 52

x +5
x
0,125.8 −15

12) (

x −1

5 + 2)

=(

x −1

5 − 2)x +1

HT 13: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
 2 4x +1  1 3x +2
1)  
=  
 5 
 7 
x

4) 3

x
x
+
.8 2

=6

x

2) 5

2x −1
.2 x +1

= 50

5) 4.9x −1 = 3 22x +1

x

3) 3

6) 2x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

3x
x
.2 +2

2

−2x

=6

.3x = 1, 5
Page 9

2

x

2

x

8) 23 = 32

7) 5x .3x = 1

9) 3x .2x = 1

HT 14: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
1) 4x + 2x +1 − 8 = 0
2) 4x +1 − 6.2x +1 + 8 = 0
5) 49x + 7x +1 − 8 = 0

4) 16x − 17.4x + 16 = 0
x

x

7) (7 + 4 3 ) + (2 + 3 ) = 6
10) 32x

2

+2x +1

2

− 28.3x

+x

2

8) 4cos 2x + 4cos
11) 4x

+9 = 0

2

+2

+ 31+

x

6) 2x

+2

−x

2

− 22+x −x = 3.

9) 32x +5 − 36.3x +1 + 9 = 0

=3

2

2

+ 8 = 0 12) 3.52x −1 − 2.5x −1 = 0,2

2) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0

3) 3.4x + (3x − 10).2x + 3 − x = 0
x

x

− 9.2x

HT 15: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
1) 25x − 2(3 − x ).5x + 2x − 7 = 0

5) 4x 2 + x .3

3) 34x +8 − 4.32x +5 + 27 = 0

4) 9x + 2(x − 2).3x + 2x − 5 = 0
6) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0

= 2.3 x .x 2 + 2x + 6

7) 4x +(x – 8)2x +12 – 2x = 0

8) (x + 4).9x − (x + 5).3x + 1 = 0

2
2
9) 4x + (x 2 − 7).2x + 12 − 4x 2 = 0

10) 9−x − (x + 2).3−x − 2(x + 4) = 0

HT 16: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):
1) 64.9x − 84.12x + 27.16x = 0 2) 3.16x + 2.81x = 5.36x

3) 6.32x − 13.6x + 6.22x = 0

4) 25x + 10x = 22x +1

6) 3.16x + 2.81x = 5.36x

7)

1
x
6.9

1
x
− 13.6

1
x
+ 6.4

5) 27x + 12x = 2.8x
−

=0

8) 4

x

1
x

−

+6

1
x

−

=9

x

1
x

9)

1
x
2.4

1
x
+6

=

1
x
9

x

10) (7 + 5 2 ) + ( 2 − 5)(3 + 2 2 ) + 3 (1 + 2 ) + 1 − 2 = 0.

HT 17: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
x

x

x

(

) +(

x

)

1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 14

2)

3) (2 + 3)x + (7 + 4 3)(2 − 3)x = 4(2 + 3)

4) (5 − 21 ) + 7 (5 + 21 ) = 2x + 3

x

5) (5 + 24 ) + (5 − 24 ) = 10

7)

(

6 − 35

) +(

x

6 + 35

)

= 12

2− 3

x

=4

x

 7 + 3 5 x
 7 − 3 5 x


6) 
 + 7 
 = 8


2
2



x

x

2+ 3

8) (2 +

(x −1)2

3)

+ (2 −

x 2 −2x −1

3)

=

4

2− 3

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 10

x

x

x

9) (3 + 5 ) + 16 (3 − 5 ) = 2x +3
x

x

10) (3 + 5 ) + (3 − 5 ) − 7.2x = 0

x

11) (7 + 4 3 ) − 3 (2 − 3 ) + 2 = 0

12)

(

x

3

3+ 8

) +(

x

3

3− 8

)

= 6.

HT 18: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
x

x

1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 4x
x

2)

x

(

x

x

3 − 2) + ( 3 + 2) =
x

(

x

3) (3 + 2 2 ) + (3 − 2 2 ) = 6x

4) (3 + 5 ) + 16. (3 − 5 ) = 2x +3

 3 x 7
5)   + = 2x
5
 5 

6)

(

x

2+ 3

x

10 )

) +(

x

2− 3

)

2

= 2x

7) 2x + 3x + 5x = 10x

8) 2x + 3x = 5x

9) 2x −1 − 2x

10) 3x = 5 − 2x

11) 2x = 3 − x

12) 2x +1 − 4x = x − 1

−x

= (x − 1)2

HT 19: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x

2) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20

3) 8 − x .2x + 23−x − x = 0

4) 2x + 3x = 1 + 6x

5) 4x

2

−3x +2

+ 4x

2

+6x + 5

= 42.x

2

+ 3x +7

6) 4x

+1

2

2

+x

2
(x +1)
+ 21−x = 2
+1

7) x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = −x 3 + 8x 2 − 19x + 12

8) x 2 .3x −1 + x (3x − 2x ) = 2(2x − 3x −1 )

9) 4sin x − 21+sin x cos(xy ) + 2 y = 0

10) 22(x

2

+x )

2

+ 21−x − 22(x

2

2

+x )

.21−x − 1 = 0

HT 20: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
1) 2x = cos x 4, với x ≥ 0

2) 3x

 x 3 − x 
 = 3x + 3−x
4) 2.cos2 
 2 

5) π

2

2

−6x +10

sin x

= − x 2 + 6x − 6

3) 3 sin

x

2

= cos x

6) 22x −x =

= cos x

x2 +1
x

2

7) 3x = cos 2x

8) 5x = cos 3x

HT 21: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) 9x + 3x + m = 0

3) 4x − 2x + 1 = m

2) 9x + m 3x − 1 = 0

4) 32x + 2.3x − (m + 3).2x = 0 5) 2x + (m + 1).2−x + m = 0
7) 16x − (m − 1).22x + m − 1 = 0
9) 81sin

2

x

2

+ 81cos

x

=m

6) 25x − 2.5x − m − 2 = 0

8) 25x + m.5x + 1 − 2m = 0
2

2

10) 34−2x − 2.32−x + 2m − 3 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 11

11) 4 x + 1 + 3 − x − 14.2 x + 1 + 3 − x + 8 = m
2
12) 9x + 1−x − 8.3x +

1−x 2

+4 =m

HT 22: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1) m.2x + 2−x − 5 = 0
2) m.16x + 2.81x = 5.36x

3)

(

x

x

5 + 1) + m ( 5 − 1) = 2x

5) 4x − 2x + 3 + 3 = m

 7 + 3 5 x
 7 − 3 5 x

 + m 
 = 8
4) 




2
2

6) 9x + m 3x + 1 = 0

HT 23: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:
1) (m + 1).4x + (3m − 2).2x +1 − 3m + 1 = 0

2) 49x + (m − 1).7x + m − 2m 2 = 0

3) 9x + 3(m − 1).3x − 5m + 2 = 0

4) (m + 3).16x + (2m − 1).4x + m + 1 = 0

5) 4x − 2 (m + 1).2x +3m − 8 = 0

6) 4x − 2x + 6 = m

HT 24: Tìm m để các phương trình sau:
1) m.16x + 2.81x = 5.36x có 2 nghiệm dương phân biệt.
2) 16x − m.8x + (2m − 1).4x = m.2x có 3 nghiệm phân biệt.
2
2
3) 4x − 2x +2 + 6 = m có 3 nghiệm phân biệt.
2
2
4) 9x − 4.3x + 8 = m có 3 nghiệm phân biệt.

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 12

VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản
Với a > 0, a ≠ 1:

loga x = b ⇔ x = a b

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
1) Đưa về cùng cơ số
 f (x ) = g(x )
loga f (x ) = loga g (x ) ⇔ 
 f (x ) > 0 (hoaëc g(x ) > 0)

Với a > 0, a ≠ 1:

2) Mũ hoá
Với a > 0, a ≠ 1:

loga f (x ) = b ⇔ a

loga f (x )

= ab

3) Đặt ẩn phụ
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập
Chú ý:

• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1:

a

logb c

=c

logb a

Bài tập cơ bản
HT 25: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
2) log2 x + log2 (x − 1) = 1
1) log2 x (x − 1) = 1


3) log2 (x − 2) − 6.log1/8 3x − 5 = 2

4) log2 (x − 3) + log2 (x − 1) = 3

5) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8

6) lg(x − 2) + lg(x − 3) = 1 − lg 5

7) 2 log8 (x − 2) − log8 (x − 3) =

2
3

8) lg 5x − 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18

9) log3 (x 2 − 6) = log 3 (x − 2) + 1

10) log2 (x + 3) + log2(x − 1) = 1 / log5 2

11) log4 x + log4 (10 − x ) = 2

12) log5 (x − 1) − log1/5 (x + 2) = 0

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 13

13) log2 (x − 1) + log2 (x + 3) = log2 10 − 1

14) log9 (x + 8) − log3 (x + 26) + 2 = 0

HT 26: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log3 x + log

3

x + log1/3 x = 6

2) 1 + lg(x 2 − 2x + 1) − lg(x 2 + 1) = 2 lg(1 − x )

3) log 4 x + log1/16 x + log 8 x = 5

4) 2 + lg(4x 2 − 4x + 1) − lg(x 2 + 19) = 2 lg(1 − 2x )

5) log2 x + log4 x + log8 x = 11

6) log1/2 (x − 1) + log1/2 (x + 1) = 1 + log

7) log2 log2 x = log3 log3 x

8) log2 log3 x = log3 log2 x

9) log2 log3 x + log3 log2 x = log3 log3 x

10) log2 log3 log4 x = log4 log3 log2 x

1/ 2

(7 − x )

HT 27: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log2 (9 − 2x ) = 3 − x
2) log3 (3x − 8) = 2 − x
3) log7 (6 + 7−x ) = 1 + x
5) log2 (9 − 2x ) = 5

log5 (3−x )

4) log 3 (4.3x −1 − 1) = 2x − 1
6) log2 (3.2x − 1) − 2x − 1 = 0

7) log2 (12 − 2x ) = 5 − x

8) log5 (26 − 3x ) = 2

9) log2 (5x + 1 − 25x ) = 2

10) log4 (3.2x + 1 − 5) = x

11) log 1 (5x + 1 − 25x ) = −2

12) log 1 (6x + 1 − 36x ) = −2

6

5

HT 28: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log5 −x (x 2 − 2x + 65) = 2
2) logx − 1(x 2 − 4x + 5) = 1
3) logx (5x 2 − 8x + 3) = 2
5) logx

−3

(x − 1) = 2

4) logx +1(2x 3 + 2x 2 − 3x + 1) = 3
6) logx (x + 2) = 2

7) log2x (x 2 − 5x + 6) = 2

8) logx + 3 (x 2 − x ) = 1

9) logx (2x 2 − 7x + 12) = 2

10) logx (2x 2 − 3x − 4) = 2

11) log2x (x 2 − 5x + 6) = 2

12) logx (x 2 − 2) = 1

13) log 3x
15) logx

+5

(9x 2 + 8x + 2) = 2

15
= −2
1 − 2x

14) log2x

+ 4

(x 2 + 1) = 1

16) log 2 (3 − 2x ) = 1
x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 14

17) log

x 2 + 3x

18) logx (2x 2 − 5x + 4) = 2

(x + 3) = 1

HT 29: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log23 x + log23 x + 1 − 5 = 0
3) logx 2 − log 4 x +

7
=0
6

5) log2 x + 3 log2 x + log1/2 x = 0
2

7) log5 x − logx

1
=2
5

9) 2 log5 x − 2 = logx

2) log2 x + 3 log2 x + log1/2 x = 2
2

4) log21 4x + log2
2

6) log 2 16 + log2x 64 = 3
x

8) log7 x − logx
1
5

x2
=8
8

1
=2
7

log2 x − log2 4x = 0

10) 3

11) 3 log3 x − log 3 3x − 1 = 0

12) log2 3 x + 3 log2 x = 4 / 3

13) log2 3 x − 3 log2 x = −2 / 3

14) log22 x + 2 log4

15) log22 (2 − x ) − 8 log1/4 (2 − x ) = 5

16) log25 x + 4 log25 5x − 5 = 0

17) logx 5 + logx 5x =

19)

9
+ logx2 5
4

1
2
+
=1
4 − lg x 2 + lg x

1
=0
x

18) log 2 3 + log9 x = 1
x

20)

1
3
+
=1
5 − lg x 3 + lg x

21) log2x x 2 − 14 log16x x 3 + 40 log4x x = 0

HT 30: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
log2 x

log2 6

1) log23 x + (x − 12)log3 x + 11 − x = 0

2) 6.9

3) x .log22 x − 2(x + 1).log2 x + 4 = 0

4) log22 x + (x − 1)log2 x = 6 − 2x

+ 6.x 2 = 13.x

5) (x + 2)log2 3 (x + 1) + 4(x + 1)log3 (x + 1) − 16 = 0 6) log 2 (2 + x ) + log
x

7) log23 (x + 1) + (x − 5)log3 (x + 1) − 2x + 6 = 0

2−x

x =2

8) 4 log3 x − 1 − log3 x = 4

9) log2 (x 2 + 3x + 2) + log2 (x 2 + 7x + 12) = 3 + log2 3

HT 31: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log7 x = log3( x + 2)

2) log2 (x − 3) + log3 (x − 2) = 2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 15

3) log3 (x + 1) + log5 (2x + 1) = 2

5) 4
7) x

log7 (x +3)

log2 9

log6 x

) = log6 x

6) log2 (1 + x ) = log3 x

=x

= x 2 .3

4) log2 (x + 3

log2 x

−x

log2 3

8) log 3x +7 (9 + 12x + 4x 2 ) + log2x +3 (6x 2 + 23x + 21) = 4
9) log2 (x − x 2 − 1).log3 (x + x 2 − 1) = log6 (x − x 2 − 1)

HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
1) x + x

log2 3

=x

log2 5

(x > 0)

2) x 2 + 3

log2 x

=5

log2 x

3) log5 (x + 3) = 3 − x

4) log2 (3 − x ) = x

5) log2 (x 2 − x − 6) + x = log2 (x + 2) + 4

6) x + 2.3

log2 x

=3

7) 4(x − 2)  log2 (x − 3) + log 3 (x − 2) = 15(x + 1)

HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
1) log2 x + 2.log7 x = 2 + log2 x .log7 x
2) log2 x .log3 x + 3 = 3.log3 x + log2 x
2

3) 2 (log9 x ) = log 3 x .log 3 ( 2x + 1 − 1)

HT 34: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
1) ln(sin2 x ) − 1 + sin3 x = 0
3) 22x +1 + 23−2x =

2) log2 (x 2 + x − 1) = 1 − x 2

8

log3 (4x 2 − 4x + 4)

HT 35: Tìm m để các phương trình sau:
1) log2 (4x − m ) = x + 1 có 2 nghiệm phân biệt.
2) log23 x − (m + 2).log 3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27.
3) 2 log4 (2x 2 − x + 2m − 4m 2 ) = log2 (x 2 + mx − 2m 2 ) có 2 nghiệm x1, x2 thoả x 12 + x 22 > 1 .


4) log23 x + log23 x + 1 − 2m − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3  .

(

5) 4 log2 x

2

)

+ log2 x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 16

VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:
• Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ.
• …….

HT 36: Giải các hệ phương trình sau:
x + 2y = 5

1) 
x − 2y = 1

y

x − 3 = 1
3)  2
x + 3y = 19


2x = 4y

2)  x
4 = 32y

x y −1 = 8

4)  2y −6
x
=4


HT 37: Giải các hệ phương trình sau:
4x − 3y = 7

1)  x y
4 .3 = 144


y
 x
2 + 3 = 17
2)  x
3.2 − 2.3y = 6


x +y

= 56
2x + 2.3
3) 
x
+
y
+
1
3.2x + 3
= 87


 2x +2 + 22y +2 = 17
3
4)  x +1
2.3
+ 3.2y = 8



3
5) 
3


2
 2(x 2 −1)
− 4.4x −1.2y + 22y = 1
4
6) 
22y − 3.4x 2 −1..2y = 4


x +1

− 2y = −4

x +1

− 2y +1 = −1

 2
y −x 2
=1
(x + y )2
8) 
9(x 2 + y ) = 6x 2 −y


y
 2
cot x = 3
7) 
cos x = 2y


32x − 2y = 77

9)  x
3 − 2y = 7


2x − 2y = (y − x )(xy + 2)

10)  2
x + y 2 = 2


HT 38: Giải các hệ phương trình sau:
3x = 2y + 1

1)  y
3 = 2x + 1

2x − 2y = y − x

3)  2
x + xy + y 2 = 3


3x + 2x = y + 11

2)  y
3 + 2y = x + 11

7 x −1 = 6y − 5

4)  y −1
7
= 6x − 5


HT 39: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 17

x + y = 6
1) 
log2 x + log2 y = 3

log y + log x = 2
y
2)  x
x + y = 6


x + log y = 4
2
3) 
2x − log2 y = 2

x 2 − y 2 = 3

4) 
log 3 (x + y ) − log5 (x − y ) = 1

xy = 32
5) 
logy x = 4

log x + 2log2 y = 3

6)  y 3
x = 9


2(log x + log y ) = 5
y
x
7) 
xy = 8


 x − 1 + 2 − y = 1

8) 
3 log (9x 2 ) − log y 3 = 3
9
3


 1
 log x 2 − log y = 0
3
3
9) 
2
3

x + y 2 − 2y = 0

HT 40: Giải các hệ phương trình sau:
log (3x + 2y ) = 2

1)  x
logy (2x + 3y ) = 2

y − log x = 1
3
10)  y
12
x = 3

log (6x + 4y ) = 2
2)  x
logy (6y + 4x ) = 2




log 1 − x  = 2 − log y

2
2


y 
3) 
log x + log y = 4
3
3

2
2


log x − log y 2 = 1
2
4)  y
log 4 x − log 4 y = 1


log x 2 + y 2 + 6 = 4

5)  2
log x + log y = 1
3
 3

x log2 y + y log2 x = 16
6) 
log2 x − log2 y = 2


x log 3 y + 2.y log3 x = 27

7) 
log3 y − log 3 x = 1

log x
 log y
3.x 2 + 2.y 2 = 10
8) 
log x 2 + log y = 2
2
 4

log (2x + y − 2) = 2

9)  x
logy (2y + x − 2) = 2

log (xy ) = 4
 2
x 
10) 
log2   = 2
 y 


(

)

HT 41: Giải các hệ phương trình sau:
lg x + lg y = 4
1)  lg y
= 1000
x

x x −2y = 36
2) 
4 (x − 2y ) + log6 x = 9


BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 18


(x + y )3y −x = 5
3) 
27

+
=
3
log
(
)
x
y
x −y

5

3lg x = 4lg y

4) 
(4x )lg 4 = (3y )lg 3


2 log x − 2 log y  + 5 = 0
  1
x2 


5)   y
 2
xy = 32


HT 42: Giải các hệ phương trình sau:
 log 2 x
2
= y4
1) 
log x − log y = 1
2
 2


x −y
 1 x − 2y

(
)
=  
2)  3
3

(
)
log x + y + log2 (x − y ) = 4
 2

x log8 y + y log8 x = 4

3) 
log 4 x − log 4 y = 1

 x y
3 .2 = 18
4) log (x + y ) = −1
 1
 3


x −y
 1 x −2y

=  
3
5) 
 3 


log2 (x + y ) + log2 (x − y ) = 4

 x + y
 y x
= 32
6) 4

log x − y ) = 1 − log 3 (x + y )
 3 (

3x.2y = 972

7) 
log (x − y ) = 2
3


3−x.2y = 1152

8) 
log (x + y ) = 2
5


x
y

(x + y ) = (x − y )
9) 
log x − log y = 1
2
 2

4 log3 xy = 2 + (xy )log3 2

10)  2
x + y 2 − 3x − 3y = 12


x log3 y + 2y log3 x = 27
11) 
 log3 y − log3 x = 1


log xy = log x 2
 x
y
12)  2 log x
y y = 4y + 3


( )

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 19