Chuyên đề Phương trình mặt cầu Toán 12

CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. HỆ THỐNG KIẾN THỨC I - Định nghĩa mặt cầu: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu tâm O và bán kính R. Kí hiệu S  O; R  Trong không gian với hệ trục Oxyz: 2 2 2 1. Mặt cầu (S) tâm I  a; b; c  bán kính R có phưong trình là :  x  a    y  b    z  c   R 2 . 2. Phương trình : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 là phương trình mặt cầu tâm I  a; b; c  , bán kính R  A2  B 2  C 2  D . II - Vị trí tương đối của mặt phẳng   và mặt cầu  S  :  d  I ,     R khi và chỉ khi   không cắt mặt cầu  S  .  d  I ,     R khi và chỉ khi   tiếp xúc mặt cầu  S  .  d  I ,     R khi và chỉ khi   cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng (P) có tâm K và có bán kính r  R2  d 2 . III - Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng. a) Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của O lên  và d=OH là khoảng cách từ O đến  (H.3.1) (H.3.2)  Nếu dR thì  không cắt mặt cầu (H.3.3) (H.3.3) B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1) Nhận biết. Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của mặt cầu A. x 2  y 2  z 2  10 xy  8 y  2 z 1  0. B. 3 x 2  3 y 2  3 z 2  2 x  6 y  4 z  1  0. C. x 2   y  z 2  2 x  4  y  z  9  0. D. 2 x 2  2 y 2  2 z 2  2 x  6 y  4 z  9  0. Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu? A. x 2  y 2  z 2  x  2 y  4 z  3  0. B. 2 x 2  2 y 2  2 z 2  x  y  z  0. C. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  10  0. D. 2 x 2  2 y 2  2 z 2  4 x  8 y  6 z  3  0. Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu có phương trình nào sau đây đi qua gốc tọa độ? A. S1  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2  0. B. S2  : x 2  y 2  z 2  4 y  6 z  2  0. Page 1 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 C. S3  : x 2  y 2  z 2  2 x  6 z  0. D. S 4  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0. Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  :  x 12   y  2 2   z  32  9. Điểm nào sau đây nằm ngoài mặt cầu S  ? A. M 1;2;5. B. N 0;3;2. C. P 1;6;1. D. Q 2;4;5. 2 2 2 Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  : x  y  z  6 x  4 y  2 z  0. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu B. N 0;3;2. C. P 1;6;1. D. Q 1;2;0. S  ? A. M 0;1;1. Câu 6 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  : x 2   y 12   z  22  25. Điểm nào sau đây nằm bên trong mặt cầu S  ? A. M 3;2; 4. B. N 0;2;2. C. P 3;5;2. D. Q 1;3;0. Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  :  x  12   y  22   z 12  9. Tọa độ tâm I và bán kính R của S  là A. I 1;2;1 và R  3. B. I 1;2;1 và R  3. C. I 1;2;1 và R  9. D. I 1;2;1 và R  9. 2 2 2 Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  : x  y  z  2 x  2 z  7  0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 7. B. 3. C. 15. D. 9. Câu 9. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu nào sau đây có tâm nằm trên trục Oz ? A. S1  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2  0. B. S2  : x 2  y 2  z 2  6 z  2  0. C. S3  : x 2  y 2  z 2  2 x  6 z  0. D. S 4  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0. Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu nào sau đây có tâm nằm trên mặt phẳng tọa độ Oxy  ? A. S1  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2  0. B. S2  : x 2  y 2  z 2  4 y  6 z  2  0. C. S3  : x 2  y 2  z 2  2 x  6 z  2  0. D. S 4  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0. 2) Thông hiểu. Câu 11. Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I 2;3;4, bán kính bằng 4 có phương trình là A.  x  22   y  32   z  4 2  16. B.  x  22   y  32   z  4 2  16. C.  x  22   y  32   z  4 2  4. D.  x  22   y  32   z  4 2  4. Câu 12. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I 3;0;4 và đi qua điểm A 3;0;0 có phương trình A. ( x  3) 2  y 2  ( z  4) 2  4. B. ( x  3) 2  y 2  ( z  4) 2  16. C. ( x  3) 2  y 2  ( z  4) 2  16. D. ( x  3) 2  y 2  ( z  4) 2  4. Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;4;1, B 2;2;3. Phương trình mặt cầu đường kính AB là A. x 2   y  32   z  12  9. B. x 2   y  32   z 12  9. C. x 2   y  32   z  12  3. D. x 2   y  32   z  12  9. Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu S  có tâm I 2;1;1, tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oyz . Phương trình của mặt cầu S  là A.  x  22   y  12   z 12  4. B.  x  22   y 12   z  12  1. C.  x  22   y 12   z  12  4. D.  x  22   y 12   z  12  2. Câu 15. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu có tâm I 1;2;3 và tiếp xúc với trục Oy có bán kính bằng A. 2. B. 5. C. 10. D. 13. Câu 16. Trong không gian tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  m  0 là phương trình của một mặt cầu. A. m  9. B. m  9. C. m  9. D. m  9. Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , giả sử tồn tại mặt cầu S  có phương trình x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2az  10 a  0. Tập tất cả các giá trị của a để S  có chu vi đường tròn lớn bằng 8 là Page 2 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 A. 1;11. B. 1;10. C. 1;11. D. 10;2. Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  :  x  1   y  2 2   z  52  4. Mặt phẳng nào sau đây cắt mặt cầu S  ? A. Oxy . B. Oyz . C. Oxz . D. Cả A, B, C. Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu nào sau đây tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oxy  ? 2 A. S1  :  x 12  y 2   z  22  2. B. S 2  :  x 12   y  32   z 12  2. C. S3  :  x 12   y  12  z 2  1. D. S 4  : x 2  y 2   z  4 2  16. Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu nào sau đây tiếp xúc với hai trục tọa độ Oy và Oz ? A. S1  :  x 12  y 2   z  22  2. B. S 2  :  x 12  y 2  z 2  1. C. S3  :  x 12   y  12  z 2  1. D. S 4  :  x 12   y  32   z 12  2. 3) Vận dụng thấp Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 2,0,0, B 0, 4,0, C 0,0,4 . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ( O là gốc tọa độ)? A. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  0. B.  x 12   y  22   z  22  9. C.  x  22   y  4 2   z  4 2  20. D. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  9. Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu S  đi qua A 0,2,0, B 2;3;1, C 0,3;1 và có tâm ở trên mặt phẳng Oxz . Phương trình của mặt cầu S  là A. x 2   y  62   z  4 2  9. B. x 2   y  32  z 2  16. C. x 2   y  72   z  52  26. D.  x 12  y 2   z  32  14. Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu S  có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng Oyz  và có tâm nằm trên tia Ox . Phương trình của mặt cầu S  là A. S  :  x  2 2  y 2  z 2  4. B. S  : x 2   y  22  z 2  4. C. S  :  x  22  y 2  z 2  4. D. S  : x 2  y 2   z  22  4. Câu 24. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  :  x  32  y 2   z  2 2  m 2  4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mặt cầu S  tiếp xúc với mặt phẳng Oyz . A. m  0. B. m  2. C. m  5. D. m   5. 2 Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho S  :  x  a    y  b 2  z 2  2cz  0 là phương trình mặt cầu, với a, b, c là các số thực và c  0. Khẳng định nào sau đây đúng? A. S  luôn đi qua gốc tọa độ O. B. S  tiếp xúc với mặt phẳng Oxy . C. S  tiếp xúc với trục Oz . D. S  tiếp xúc với các mặt phẳng Oyz  và Ozx . Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  có phương trình x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  0. Mặt phẳng Oxy  cắt S  theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có bán kính r bằng A. r  2. B. r  5. C. r  6. D. r  4. Câu 27. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  :  x  22   y 12   z  22  9 và điểm M thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM bằng A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 2 2 2 Câu 28 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  : x  y  z  4 x  4 y  4 z  0 và điểm A 4;4;0. Gọi B a; b; c  là điểm có hoành độ dương thuộc S  sao cho tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ). Tổng a  b  c bằng A. 8. B. 0. C. 4. D. 8. Câu 29Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1,0,0, B 0,2,0, C 0,0,3. Tập hợp các điểm M  x ; y; z  thỏa MA2  MB 2  MC 2 là mặt cầu có bán kính A. R  2. B. R  2. C. R  2 2. D. R  4. Page 3 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 Câu 30. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;0;0 và B 5;0;0. Gọi  H  là tập hợp các điểm M   trong không gian thỏa mãn MA.MB  0. Khẳng định nào sau đây là đúng? A.  H  là một đường tròn có bán kính bằng 2. B.  H  là một đường tròn có bán kính bằng 4. C.  H  là một mặt cầu có bán kính bằng 2. D.  H  là một mặt cầu có bán kính bằng 4. 4) Cận dụng cao Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng 2 x  2 y  z  9  0 và mặt cầu (S ) : ( x  3)2  ( y  2)2  ( z  1)2  100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị nhỏ lớn nhất là  11 14 13   29 26 7   29 26 7   11 14 13  A. M   ; ;  . B. M  ;  ;   . C. M   ; ;   . D. M  ; ;   . 3 3 3 3  3 3 3  3  3 3 3 3 Câu 32: Gọi  S  là mặt cầu đi qua A 1;1;1 , tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ Oxy , Oyz , Oxz và có bán kính lớn nhất. Viết phương trình mặt cầu  S  . 2 2 2 2 2 2 2 2 2  3 3   3 3   3 3  63 3 A.  S  :  x  .    y     z    2 2 2 2        3 3   3 3   3 3  63 3 B.  S  :  x  .    y     z    2   2   2  2   3 3   3 3   3 3  63 3 C.  S  :  x  .    y     z    2 2 2 2       2 2 2 D.  S  :  x  3   y  1   z  1  9 . Câu 33 Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2; 2; 2  , B  3; 3;3 . M là điểm thay đổi trong không gian thỏa mãn MA 2  . Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng? MB 3 5 3 . 2 Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu A. 12 3 . B. 5 3 . D. 6 3 . C. 2 2  S  :  x  2    y  1   z  1 2  9 và M  x0 ; y0 ; z0    S  sao cho A  x0  2 y0  2 z0 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó x0  y0  z0 bằng A. 1. B. 2 . C. 1 . D. 2 . Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A  m;0;0  , B  0; m  1;0  ; C  0;0; m  4  thỏa mãn BC  AD , CA  BD và AB  CD . Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCD 7 14 bằng A. . B. . C. 7 . D. 14 . 2 2 Page 4 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT 1) Đáp án 1-B 10-A 19-B 28-D 2-C 11-B 20-B 29-A 3-C 12-C 21-B 30-C 4-C 13-D 22-D 31-C 5-A 14-C 23-C 32-A 6-D 15-C 24-D 33-A 7-A 16-A 25-B 34-C 8-B 17-C 26-B 35-B 9-A 18-C 27-B 2) Hướng dẫn chi tiết các câu vận dụng từ 21 đến 35 Câu 21. Gọi I a; b; c  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Ta có 2   a 2  b 2  c 2  a  2   b 2  c 2    IO 2  IA 2   a 1     4 a  4  0    IO 2  IB 2   a 2  b 2  c 2  a 2  b  4 2  c 2      8 b  16  0  b      2.        2 2 2 2 2 2 2 2    8c  16  0   IO  IC  c  2   a  b  c  a  b  c  4        Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là R  IO  12  2 2  2 2  3. Câu 22. Gọi tâm mặt cầu S  là I a;0; b   Oxz . 2 2 2 2    I 1;0;3   IA  IB a 1    a  4  b  a  2  9  b 1    Ta có     .   2 2 2 2     IA  IC    b  3   R  14  a  4  b  a  9  b 1 Câu 23. Gọi I a;0;0  Ox với a  0 là tâm của S . Theo giả thiết, ta có d  I ,Oyz   R  x I  2  a  2. Vậy S  :  x  22  y 2  z 2  4. Câu 24. Mặt cầu S  có tâm I 3;0;2, bán kính R  m 2  4. Để S  tiếp xúc với Oyz  khi d  I ,Oyz   R  x I  R  3  m 2  4  m   5. Câu 25. Viết lại S  :  x  a 2   y  b 2   z  c 2  c 2 . Suy ra S  có tâm I a; b; c , bán kính R  c . Nhận thấy R  c  d  I ,Oxy    S  tiếp xúc với mặt phẳng Oxy . Câu 26. .Đường tròn giao tuyến của S  với mặt phẳng Oxy  có phương trình  x 12   y  22   z  32  14   x 12   y  22  5    .       z  0 z  0 Từ phương trình ta thấy đường tròn giao tuyến có tâm J 1,2,0  Oxy  và có bán kính r  5. Câu 27. Từ phương trình S  ta có bán kính R  3. Dễ thấy O 0;0;0 thuộc S . Mà M thay đổi trên mặt cầu, do đó OM lớn nhất khi OM là đường kính của S . Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM là 2 R  2.3  6. a 2  b 2  c 2  4a  4b  4c  0 B  S         2 2 . Câu 28. Theo giả thiết, ta có OA  OB  a 2  b 2  c 2  32     2 2 2 2 2   OA  AB      4  a    4  b   c  32 Giải hệ ta tìm được hai nghiệm a; b; c   0;4;4loaïi hoặc a; b; c    4;0;4. Câu 29. Ta có MA 2  MB 2  MC 2   x 12  y 2  z 2  x 2   y  22  z 2  x 2  y 2   z  32  x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  12  0   x  1   y  2    z  3  2. 2 2 2 Page 5 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 Suy ra tập hợp các điểm M  x, y, z  thỏa mãn là mặt cầu có bán kính R  2.  I 3;0;0  Câu 30. Gọi I là trung điểm AB    .      IA  IB           Ta có MA.MB  0  MI  IA . MI  IB  0  MI  IA . MI  IA  0  2  2  MI  IA  0  MI 2  IA 2  0   MI 2  4.       Câu 31: Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; 2;1) và bán kính R  10 . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) : d ( I ;( P ))  6  R nên ( P ) cắt ( S ) . Khoảng cách từ M thuộc ( S ) đến ( P ) lớn nhất  M  ( d ) đi qua I và vuông góc với ( P )  x  3  2t  Phương trình (d ) :  y  2  2t . z  1 t  Ta có: M  ( d )  M (3  2t ; 2  2t ;1  t )  10  29 26 7  t  3  M 1  3 ;  3 ;  3    Mà: M  ( S )    10  11 14 13  t    M 2   ; ;  3  3 3 3   29 26 7  Thử lại ta thấy: d ( M1 ,( P))  d (M 2 ,( P)) nên M   ; ;   thỏa yêu cầu bài toán. 3  3 3 Câu 32: Do  S  tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ nên mặt cầu  S  nằm trọn trong một phần của không gian Oxyz do 3 mặt phẳng tọa độ chia. Do  S  đi qua A 1;1;1 và tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ nên  S  có tâm I  t; t ; t   t  0  .  3 3 t  2 2 2 Ta có R  IA  d  I ;  Oxy    3  t  1  t    3 3 t   2 3 3 Do  S  có bán kính lớn nhất nên t  . 2 2 Câu 33 2 2  3 3   3 3   3 3  63 3 Vậy  S  :  x  .    y     z    2 2 2 2       Gọi M  x; y; z  . Ta có: MA 2 2 2 2 2 2 2   9 MA2  4 MB 2  9  x  2    y  2    z  2    4  x  3   y  3   z  3      MB 3  x2  y2  z 2 12x 12 y 12z  0  M  mặt cầu  S  tâm I  6;6; 6  bán kính R  6 3 . Khi đó OM max  d  O; I   R  OI  R  6 3  6 3  12 3 . Câu 34: Tacó: A  x0  2 y0  2 z0  x0  2 y0  2 z0  A  0 nên M   P  : x  2 y  2 z  A  0 , do đó điểm M là điểm chung của mặt cầu  S  với mặt phẳng  P  . Mặt cầu  S  có tâm I  2;1;1 và bán kính R  3 . Page 6 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 |6 A|  3  3  A  15 3 Do đó, với M thuộc mặt cầu  S  thì A  x0  2 y0  2 z0  3 . Tồn tại điểm M khi và chỉ khi d  I ,  P    R  Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của  P  : x  2 y  2 z  3  0 với  S  hay M là hình chiếu của I lên  P  . Suy ra M  x0 ; y0 ; z0   x0  2 y0  2 z0  3  0 t  1 x  2  t x  1  0  0  thỏa:   y0  1  2t  y0  1  z0  1  2t  z0  1 Vậy  x0  y0  z0  1 . Câu 35: Đặt BC  a ; CA  b ; AB  c . Gọi M , N lần lượt là trrung điểm của AB và CD . Theo giả thiết ta có tam giác ABC  CDA  c.c.c   CM  DM hay tam giác CMD cân tại M  MN  CD . Chứng minh tương tự ta cũng có MN  AB . Gọi I là trung điểm của MN thì IA  IB và IC  ID . Mặt khác ta lại có AB  CD nên BMI  CNI  IB  IC hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . MN 2 AB 2 MN 2  c 2 Ta có IA2  IM 2  AM 2    . 4 4 4 2a 2  2b 2  c 2 2 Mặt khác CM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên CM  4 2 2 2 2 2 2 2 2a  2b  c c a b c   .  MN 2  CI 2  CN 2  4 4 2 2 2 2 a2  b2  c2 a 2  b 2  c 2  2m 2  2  m  1  2  m  4   6  m  1  28 Vậy IA2  .Với 8 2 6  m  1  28 7 7 14 2  Vậy IA    IAmin  . 2 2 8 2 Page 7 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU