Chuyên đề mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

CHỦ ĐỀ 4. HÌNH NÓN, MẶT NÓN, KHỐI NÓN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng  . Xét một đường thẳng d cắt  tại O và không vuông góc với  (Hình 1). Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng dnhư thế khi quay quanh  gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón).  gọi là trục của mặt nón. d gọi là đường sinh của mặt nón. O gọi là đỉnh của mặt nón. Nếu gọi  là góc giữa d và  thì 2 gọi là góc ở   đỉnh của mặt nón 00  2  1800 . 2. Hình nón tròn xoay Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2). Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón. 3. Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có: Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l Diện tích đáy (hình tròn): Sd  r 2 Diện tích toàn phần hình tròn: S  Sd  Sxq 1 V  r 2 .h 3 Thể tích khối nón: 4. Tính chất Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→Thiết diện là tam giác cân. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Gọi l,R,h lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng 2 2 2 1 1 1 A. l  h  R B. 2  2  2 l h R 2 2 2 C. R  h  l 2 D. l  hR Hướng dẫn giải Áp dụng định lý Pitago trong tam giác S vuông SOA ta có 2 2 2 SA2  SO2  OA2 hay l  h  R l h Vậy chọn đáp án A. O R A Câu 2. Gọi l,R,h lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón (N). Diện tích xung quanh S xq của hình nón (N) là A. S xq   Rl C. S xq  2 Rl B. S xq   Rh 2 D. S xq   R h Hướng dẫn giải Áp dụng công thức S xq   Rl . Vậy ta chọn đáp án A. Câu 3. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón (N). Diện tích toàn phần Stp của hình nón (N) là A. Stp  Rl  R2 2 B. Stp  2 Rl  2 R 2 C. Stp   Rl  2 R 2 D. Stp   Rh   R Hướng dẫn giải Stp  Sxq  Sd  Rl  R2 . Vậy ta chọn đáp án A. Câu 4. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của khối nón (N). Thể tích V của khối nón (N) là 2 A. V   R h 1 2 B. V   R h 3 2 C. V   R l Hướng dẫn giải 1 2 D. V   R l 3 1 2 Áp dụng công thức V   R h . Vậy ta chọn đáp án B. 3 Câu 5. Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích xung quanh hình nón là A. 40 a 2 B. 20 a 2 D. 12 a 2 C. 24 a 2 Hướng dẫn giải S Áp dụng công thức Sxq  Rl  4a.5a  20a2 . 3a Vậy chọn đáp án B. O 4a A Câu 6. Cho hình nón có bán kính đáy là 3a, chiều cao là 4a. Thể tích của hình nón là A. 12 a3 C. 15 a3 B. 36 a3 D. 12 a3 Hướng dẫn giải S Áp dụng công thức 1 1 V  R2 h  .9a2 .4a  12a3 . 3 3 4a Vậy chọn đáp án A. O 3a A Câu 7. Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích toàn phần hình nón là 2 A. 38 a 2 B. 32 a 2 C. 36 a 2 D. 30 a Hướng dẫn giải Áp dụng công thức Stp  Sxq  Sd  Rl  R2 3a  .4a.5a  .16a2  36a2 . Vậy chọn đáp án C O 4a A Câu 8. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa một cạnh bên 0 và đáy bằng 60 , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC là A. 13a2 12 B. a2 13 12 C. a2 12 Hướng dẫn giải D. a2 13 12 Áp dụng công thức Sxq  Rl S Với A 1 1 a 3 a 3 R  OH  AH  .  3 3 2 6 600 l  SH  SO2  OH2   AO.tan 60  0 2 a O O C A B H H C B  OH 2 2 2 2 a 3  a 3 a2 a 13   . . 3     a2  3 2   6  12 2 3     Vậy Sxq   a 3 a 13 a2 13 . Vậy chọn đáp án B. .  6 2 3 12 Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và đáy 0 bằng 60 , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC là A.  a2 4 B.  a2 6 C.  a2 3 D. 5 a 2 6 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức S Sxq  Rl A Với 1 1 a 3 a 3 R  OH  AH  .  3 3 2 6 O a A C 600 O B H H C B a l  SH  Vậy Sxq OH a 2 3  1 3 cos60 2 0 a 3 a a2 . Vậy chọn đáp án B.  .  6 6 3 Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và 0 đáy bằng 60 . Thể tích khối nón nội tiếp trong hình chóp là: A. a3 36 B. a3 72 a3 48 Hướng dẫn giải C. D. a3 24 Áp dụng công thức S 1 V  R2 h 3 A Với O a 1 1 a 3 a 3 R  OH  AH  .  3 3 2 6 h  SO  OH tan 600  A C 600 O B C H H B a 2 1 1  a 3  a a 3 Vậy V  R 2h    . Vậy chọn đáp án B. .  3 3  6  2 72 Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên và 0 đáy bằng 60 , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình chóp là A. 3a2 B. a2 3 2a2 3 Hướng dẫn giải D. 2a2 C. Áp dụng công thức Sxq  Rl S 2 a 3 a 3  Với R  AH  . 3 2 3 l  SA  AH a 3 2a 3   1 cos60 3 3. 2 Vậy Sxq   600 A a 3 2a 3 2a2 .  3 3 3 C a H I B Vậy chọn đáp án C. Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp là A. a2 2 B. a2 2 4 a2 2 Hướng dẫn giải C. D. a2 2 2 Hình nón ngoại tiếp hình S chóp tứ giác đều có đỉnh là S và đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Lúc đó: R  AH  A a 2 và l  SA  a 2 D B H C Vậy Sxq  . a 2 a2 2 .a  .Vậy chọn đáp án D. 2 2 Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp ABCD là A.  a 2 17 B. 8  a 2 15 4 C.  a 2 17 D. 6  a 2 17 4 Hướng dẫn giải Với R  OH  a và 2 S 2 l 2 2 a 2 a 2a   4a    2 4   A 2a A 2 17a a 17   4 2 D a O H O B D C B C a a 17 a2 17  Vậy Sxq   . 2 2 4 Vậy chọn đáp án D. Câu 14. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón là A. B. 2 a 2  a2 2 2 C.  a2 2 D. 3  a2 2 4 Hướng dẫn giải S Áp dụng công thức Sxq  Rl  . a 2 a2 2 .a  2 2 a B Vậy chọn đáp án A O A Câu 15. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền 2a. Thể tích của khối nón bằng A.  a3 3 B. 2 a 3 3 3 C.  a 3 D. 2 a Hướng dẫn giải Áp dụng công thức S 1 1 a3 V  R2 h  .a2 .a  3 3 3 B Vậy chọn đáp án A a O A Câu 16. Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết diện qua trục là tam giác đều là A. 6 B. 12 C. 18 D. 16 Hướng dẫn giải Đặt cạnh của tam giác đều SAB là a. S Ta có: 1 1 1 1   2 2 3  OH2 SO2 OB2 a a 3      2  2   1 4 4 1 16      a4 2 2 3 3a 3 3a2 a  1  1  H 3 B O Vậy Stp  .2.4  .22  12 . A Vậy chọn đáp án B. Câu 17. Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 300 . Diện tích xung quanh của hình nón này là A.  3l 2 4 B.  3l 2 2 C.  3l 2 8  3l 2 D. 6 Hướng dẫn giải S Ta có Sxq  Rl  .l.cos300.l  l2 3 . 2 l 300 Vậy chọn đáp án B. O Câu 18. Thể tích V của khối nón (N) có chiều cao bằng a và độ dài đường sinh bằng a 5 là 4 3 A. V   a 3 3 B. V  4 a 5 3 C. V   a 3 2 3 D. V   a 3 Hướng dẫn giải Ta có: R  5a2  a2  2a 2 1 4a3 Vậy V  .  2a  .a  . 3 3 S a 5 a Vậy chọn đáp án A. O Câu 19. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600 . Diện tích của thiết diện này bằng A. a2 2 2 B. C. 2a 2 a2 2 3 D. a2 2 4 Hướng dẫn giải 1 Diện tích thiết diện là SSCD  SH.CD 2 Ta có: AB  a 2  R  S a 2  SO 2 a 2 SO a 2 SH   2  3 3 sin 600 2 a O A a2 CD  2CH  2 R  OH  2  SO.tan 300 2 2  2 Vậy diện tích SSCD  B 600  2 D H C 2 a2  a 2 3  2 3 2  . a     2  2 3  3 1a 2 2 3 2a2 . Chọn đáp án B. . a 2 3 3 3 Câu 20. Hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm là 12cm. Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là A. 450(cm2 ) B. 500(cm2 ) C. 600(cm2 ) D. 550(cm2 ) Hướng dẫn giải Theo đề: S h  20,R  25,OH  12 Ta có: 1 OH  2  1 1 SO 2  2  1 1 H OM OM OH  OM  15 2  2 1 SO 2  1 OM 2  1 12 2  1 20 2  1 225 O M D C SM  SO2  OM2  202  152  25 CD  2CM  2 R2  OH2  2 252  152  40 1 1 Vậy SSCD  SM.CD  .40.25  500 . Chọn đáp án B. 2 2 Câu 21. Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a . Thiết diện song song và cách mặt đáy một 64 2  a . Khi đó, thể tích của khối nón (N) là đoạn bằng a, có diện tích bằng 9 3 A. 48 a B. C. 16 a 25 3 a 3 3 D. 16 3 a 3 Hướng dẫn giải Diện tích của thiết diện S  r 2  S 64 2 8 a  r  a 9 3 O r 2 3 3 8 Ta có:   R  r  . a  4a R 3 2 2 3 r O Vậy thể tích khối chóp là: R 1 1 V  R2 h  .16a2 .3a  48a3 . Vậy chọn đáp án A. 3 3 Câu 22. Một khối nón có thể tích bằng 4 và chiều cao là 3 . Bán kính đường tròn đáy của hình nón là A. 2 B. 2 3 3 C. 4 3 D. 1 Hướng dẫn giải 1 12 12   4  R  2 . Vậy chọn đáp án A. Ta có: V  R2 h  4  R2  3 h 3 Câu 23. Cho khối nón có chu vi đường tròn đáy là 6 , chiều cao bằng 7 . Thể tích của khối nón là A. 12 B. 9 7 C. 3 7 D. 36 Hướng dẫn giải Chu vi đường tròn đáy là: 2R  6  R  3 . 1 9 7  3 7 . Vậy chọn đáp án C. Thể tích khối nón là: V  .9. 7  3 3 Câu 24. Cho hình nón có diện tích xung quanh 25 , bán kính đường tròn đáy bằng 5 . Độ dài đường sinh bằng A. 5 B. 1 C. 3 D. 5 2 Hướng dẫn giải Ta có: Sxq  Rl  25  l  25 25   5 . Vậy chọn đáp án A. R 5 Câu 25. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2 3 . Thể tích của khối nón này là A. 3 3 B.  3 C. 3 Hướng dẫn giải D. 3 2 Ta có: l S 2 3 2  6 và R  3 Suy ra: h  6  3  3. 1 Do đó: V  . 3  3 . 3   2 3 R O Vậy chọn đáp án B. Câu 26. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 4 . Diện tích xung quanh của hình nón là A. 8 B. 8 2 C. 2 2 D. 4 2 Hướng dẫn giải Ta có: S 1 SSPQ  4  .l2  4  l  2 2 2 Và R  2 Suy ra: Sxq  Rl  .2.2 2  4 2 Q R O Vậy chọn đáp án D. P Câu 27. Một khối nón có thể tích bằng 30 , nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng A. 60 C. 40 B. 120 D. 480 Hướng dẫn giải 1 Gọi V1  R12 h1 là thể tích khối nón ban đầu. 3 2 1 1 4 Gọi V2  R22 h1    2R1  h1  R12 h1 3 3 3 Như vậy V2  4V1  120 . Vậy chọn đáp án B. Câu 28. Cho hình nón có đáy là đường tròn có đường kính 10 . Mặt phẳng vuông góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn như hình vẽ. Thể tích của khối nón có chiều cao bằng 6 là A. 8 B. 24 00 C. 9 D. 96 r 6 6 6   r  R  .10  4 R 15 15 15 15 P 9 O Hướng dẫn giải Ta có: 6 10