chuyên đề khảo sát hàm số

Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ. Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. I. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: cho hàm y=f(x) xác định trên (a; b). - Hàm y=f(x) tăng( đồng biến) trong (a; b)  x1 , x2  (a; b) : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . - Hàm y=f(x) giảm( nghịch biến) trong (a; b)  x1 , x2  (a; b) : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . - Hàm số hoặc đồng biến hoặc nghịch biến được gọi là hàm số đơn điệu. 2. Định lý: cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a, b). - f(x) đồng biến trên (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b). ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm). - f(x) nghịch biến trên (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b). ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm). 3. Điểm tới hạn: là điểm xo  (a, b) : f ' ( x0 )  0   f ' ( xo ). 4. Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của hàm số: - Tìm TXĐ D. - Tính y'. Giải phương trình y'=0. (để tìm điểm tới hạn). - Lập bảng biến thiên: + xét dấu y', suy ra tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. 5. Chú ý: - Đa thức bậc 3 chỉ đổi dấu ở nghiệm đơn và nghiệm bội 3. Tại nghiệm bội 2 không đổi dấu. - Dấu của vùng cuối cùng luôn cùng dấu với hệ số cao nhất. II. BÀI TẬP: 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a. y  x 2  2 x  3 c. y  3 5 x 3x  1 d.y  1 x b. y  3x  1 3 x  3x2  7 x  1 3 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a. y  2 x  x 2 b. y  x  1  5  x c. y  x 2  3x  1 x3 Dạng 1: Bài toán đồng biến, nghịch biến đối với hàm có chứa tham số. 1.- f(x) đồng biến trên (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b). - f(x) nghịch biến trên (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b). 2. Xét f ( x)  ax 2  bx  c (a  0) Page 1 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế. Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ  f ( x)  0, x   f ( x)  0, x  www.VNMATH.com a  0    0 a  0    0 + Để hàm số f(x) không đổi dấu trên toàn R là   0 . 3. Thông thường dẫn đến việc so sánh các nghiệm của tam thức với các số  . 1.x1    x2  a. f ( )  0    0  2.x1  x2    a. f ( )  0 S   2    0  3.  x1  x2  a. f ( )  0 S   2 4. f ( x)  0, x  xo  f ( x)  0, x  ( f ( x) liên tuc)  f ( )  0 5.a  0 : f ( x)  0, x  ( ,  )    f ( )  0 1 3 Bài 1: Cho hàm y  (m  1) x3  mx 2  (3m  2) x (1) . Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. HD: (1) đồng biến trên R  y '  0, x  Bài 2: Tìm m sao cho hàm số y   m  2. x  2mx  m  2 đồng biến trên từng khoảng xác định. xm 2  m  1 HD:  m  2 Bài 3: định m để hàm số y  mx 2  (m  6) x  3 nghịch biến trên (1, ) . Bài 4: tìm m để hàm số y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 (Cm ) đồng biến trên (2, ) Hd: m  1 . Bài 5: tìm m để hàm số y  x 4  2mx 2  3m  1 đồng biến trên (1, 2). m  0 : y '  0, x  m  0 m  0: y'  0  0  m 1 Vậy m  1 . Hd: Page 2 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế. Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com 1 3 Bài 6: tìm m để hàm số y  x3  2 x 2  mx  2 đồng biến trên Hd: , (,1) . y '  x2  4 x  m y '  0, x  1  x 2  4 x  m  0, x  1  m   x 2  4 x Vậy m  3 . Bài 2: CỰC ĐẠI- CỰC TIỂU. I. LÝ THUYẾT: 1. Lân cận của xo : 2. Cực đại, cực tiểu: Định lý 1: f a.  f f b.  f - '( x)  0, x  ( xo  h, xo ) '( x)  0, x  ( xo , xo  h) '( x)  0, x  ( xo  h, xo ) '( x)  0, x  ( xo , xo  h)  xo là điểm cực đại của f(x).  xo là điểm cực tiểu của f(x). c. Các điểm cực đại, cực tiểu gọi là cực trị. Định lý Ferma: nếu hàm số y=f(x) coa đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại xo thì f '( xo )  0 . Mọi điểm cực trị đều là điểm tới hạn. Quy tắc: Tìm TXĐ D. Tính y'. giải phương trình y'=0 tìm điểm tới hạn. Lập bảng biến thiên. Định lý 2:  f '( x)  0 a.   xo là điểm cực tiểu của f(x)  f ''( x)  0  f '( x)  0 b.   xo là điểm cực đại của f(x)  f ''( x)  0 - Quy tắc: Tìm TXĐ D. Tính y'. giải pt y'=0 để tìm điểm tới hạn xi . Tính y'' và thế xi vào y''. từ đó áp dụng định lý 2. II. BÀI TẬP: Bài 1: tìm cực trị của hàm số: Page 3 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế. Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ a. y  f ( x)  www.VNMATH.com x 1 x2  x  1 b. y  x 3 (1  x) 2 Bài 2: xác định m để y  x3  3mx 2  (m2  1) x  2 đạt cực đại tại x=2. Chú ý: nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu tam thức bậc 2 thì ta lập luận : hàm số có cực trị khi và chỉ khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt. 1 x Bài 3: (A-2005) Cho hàm số y  mx  . Tìm m để hàm số có cực trị và tìm tọa độ các điểm cực trị. Bài 4: tìm m để y  f ( x)  x3  2 x 2  mx  1 có cực trị. 1 3 Bài 5: cho hàm số y  x3  mx 2  (m2  m  1) x  1 . Với giá trị nào của m thì hàm đạt cực tiểu tại x=1. Chú ý: nếu f '( x0 )  0 thì x0 chưa hẳn là cực trị . Lúc này x0 là cực trị thì đạo hàm cấp 1 phải đổi dấu hoặc f ''( x0 )  0 . x 2  mx  1 Bài 6: tìm m để hàm số y  f ( x)  đạt cực đại tại x=2. xm  x  m  1 , lập bảng biến thiên: m=-3. Hd: f '( x)  0    x  m  1 Chú ý: khi làm việc với tam thức bậc 2 có chứa m, nên lập  . Nếu  là bình phương của một biểu thức thì tam thức có nghiệm đẹp. Hãy lấy nghiệm và làm việc theo nghiệm. x 2  mx  2 có 2 cực trị. x 1 Bài 8: (B-2002) tìm m để hàm số y  mx 4  9(m 2  9) x 2  10 có 3 cực trị.  m  3 Hd:  0  m  3 Bài 7: tìm m để y  f ( x)  Bài 9: tìm m để đồ thị hàm số y   x3  (2m  1) x 2  (m2  3m  2) x  4 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung. Hd: 1=0. Ví dụ 2: cho hàm số (Cm ) : y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 .tìm quỹ tích các điểm cực tiểu của hàm số. Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT. I. LÝ THUYẾT: 1. Cho hàm số y=f(x) xác định trên D.  f ( x)  D, x  D M  max f ( x)   D xo : f ( xo )  M  f ( x)  D, x  D m  m inf ( x)   D xo : f ( xo )  m 2. 3. Cần phân biệt các cặp khái niệm: Giá trị lớn nhất và giá trị cực đại. Giá trị bế nhất và giá trị cực tiểu. Tìm GTLL, GTNN: a. Trên khoảng (a, b)( sử dụng bảng biến thiên): lập bảng xét dấu của y' và yCD là GTLL nếu cực đại là duy nhất, yCT là GTNN nếu cực tiểu là duy nhất. b. Trên đoạn [a, b]( áp dụng đối với hàm số phức tạp, lượng giác): giải phương trình y'=0 có nghiệm x1 , x2 ,...  [a, b]. Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f (a), f (b) . Số lớn nhất là GTLL, số nhỏ nhất là GTNN. II. BÀI TẬP: Tìm GTLL, GTNN của: Bài 1: y  f ( x)  x 4  2 x 2  3 trên [-3, 4].  Bài 2: y  f ( x)  2cos2 x  4sin x trên [0, ] . 2 4 3 Bài 3: y  f ( x)  2sin x  sin 3 x trên [0,  ] . x   Bài 4: y  f ( x)   sin 2 x trên [ , ] . 2 Bài 5: (D-03) y  f ( x)  x 1 x2  1 2 2 trên [-1, 2]. Bài 6: (B-03) y  f ( x)  x  4  x 2 Bài 7: y  sin 20 x  cos 20 x Page 7 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế. Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com Hd: đặt t  sin 2 x, 0  t  1 . Bài 8: cho x>0,y>0 thỏa điều kiện x+y=1. Tìm GTLN, GTNN của P  Bài 9: y  f ( x)  x y .  y 1 x 1 sin 4 x  cos 4 x sin 6 x  cos 6 x Hd: đặt t  sin 2 x.cos 2 x , 0  t  1 4 Bài 10: cho x>0, y>0 thỏa x+y=1. Tìm GTNN của P  xy  1 . xy Bài 4: TIỆM CẬN. Cho hàm số y=f(x). 1. Tiệm cận đứng: Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp sau lim  , lim  , lim  , lim   thì x a xa xa x a x=a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2. Chú ý: xét y  u ( x) , nếu a là nghiệm của mẫu thì x=a là tiệm cận đứng của đồ thị. v( x) Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: 2x 1 a. f ( x)  x2 x3 b. f ( x)  2 x  5x  4 x3 c. f ( x)  x 1 x2  6 x  5 d.y  2 x  4x  3 3. Tiệm cận ngang: đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng y=b làm tiệm cận ngang khi xảy ra một trong hai trường hợp sau: lim f ( x)  b, lim f ( x)  b x  x  4. Chú ý: đồ thì hàm số hữu tỷ có đường tiệm cận ngang khi bậc tử  bậc mẫu. Ví dụ: tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: 2x 1 . a. y  f ( x)  3x  4 x 1 b. y  2 c. y  x  3x  4 Bài 5: KHẢO x2  x  1  x 2  3x  2 d.y  2x 1 2x  5 SÁT HÀM SỐ Các bước giải bài toán: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=f(x). 1. Tìm tập xác định D ( tính chẵn, lẻ nếu có) 2. Chiều biến thiên: - Tìm các giới hạn ở vô tận. - Tìm các đường tiệm cận( nếu có). - Tính đạo hàm y'. Tìm các điểm tới hạn. Xét dấu y' để tìm khoảng tăng, giảm và tìm cực trị( nếu có) của hàm số. - Lập bảng biến thiên. 3. Vẽ đồ thị: Page 8 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế. Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ - www.VNMATH.com Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị: + Các điểm cực trị. + Giao điểm của đồ thị với trục Oy, Ox. Vẽ đường tiệm cận. Vẽ đồ thị. I. Hàm bậc ba y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) : Khảo sát tổng quát: - D . - Tiệm cận- giới hạn: , lim f ( x)   , , lim f ( x)   x  , x  a0 a0 a0 a0 - y '  3ax 2  2bx  c . - y ''  6ax  2b  0  x  - Điểm uốn của đồ thị là điểm ngăn cách giữa phần lồi và phần lõm của đồ thị. Khi đó tiếp tuyến đâm xuyên qua đồ thị. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Bảng biến thiên: có 6 trường hợp. Đồ thị: có 6 dạng. b : hoành độ của điểm uốn . 3a Caùc daïng ñoà thò: *a>0: 1. y'=0 có 2 nghiệm phân biệt: 12 10 8 6 4 14 2 12 -15 -10 -5 5 10 -2 8 -4 6 3. y'=0 vô nghiệm: 4 2 -15 -10 -5 5 10 15 2.y'=0 có nghiệm kép: Page 9 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế. 10 15 Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com 12 8 10 6 4 8 2 6 -15 -10 -5 5 10 15 5 10 15 4 -2 2 -4 -15 -10 -5 5 10 15 -6 -2 -8 6.y'=0 vô nghiệm: -4 8 Ví dụ 1: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 6 y  f ( x)  x3  3x 2  2 4 2 Ví dụ 2: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  x3  3x 2  3x  1 -15 -10 -5 -2 -4 -6 *a<0 4.y'=0 có 2 nghiệm phân biệt: -8 6 Ví dụ 3: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 1 y  f ( x)   x3  x 2  3 x  4 3 2 -15 -10 -5 5 10 15 Ví dụ 4: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số -2 y  f ( x)   x 3  3 x 2 -4 -6 -8 5. y'=0 có nghiệm kép: II. Hàm trùng phương y  f ( x)  ax 4  bx 2  c (a  0) : - D - Đồ thị nhận trục trung làm trục đối xứng( vì hàm chẵn). - Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y'=0 có 3 nghiệm phân biệt  ab  0 8 8 6 6 4 4 2 -15 -10 -5 2 5 10 15 -15 -10 -5 5 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 Page 10 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế. 10 15