Chuyên đề khảo sát hàm số 2016

Gv: Trần Quốc Nghĩa 1 CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ  Vấn đề 1. Vị trí tương đối giữa hai đường I. Hàm đa thức bậc ba 1. Cho hàm số y  x3  3(m  1)x 2  2(m2  4m  1)x  4m(m  1) (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. ĐS : m  1 / 2  m  1 ĐH Ngoại thương - 94 2. 1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C): y = x 3 – 6x2 + 9x b) Tìm tất cả các đường thẳng qua A(4; 4) và cắt (C) tại ba điểm phân biệt. 2) Cho (P): y  x 2  2x  3 và đường thẳng d cùng phương với đường thẳng y = 2x sao cho d cắt (P) tại hai điểm A và B. a) Viết phương trình d khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc. b) Viế phương trình d khi AB = 10. ĐH Quốc gia - 96 3. ĐS : 1. b) k  0  k  9 ; 2. a) y = 2x – 23/4 b) y  2x  2 Cho hàm số y  x 3  (1  m)x 2  m2 (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. ĐH QG Hà Nội - 96 4. ĐS : Không có m Cho hàm số (C): y  x 3  6x 2  9x . Tìm k để đường thẳng qua M(4; 4) với hệ số góc k cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. ĐH QG TPHCM khối B - 96 ĐS : k > 0  k ≠ 9 5. Cho hàm số y  x 3  6x 2  9x (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng y = mx cắt (C) tại ba điểm O(0; 0), A, B. Chứng minh trung điểm I của AB thuộc đường thẳng song song với trục Oy. ĐH Mỏ - Địa chất - 98 ĐS: b) m  0  m  9; I  d : x  3 Chuyên đề HÀM SỐ 6. 2 Cho hàm số (Cm): y  x3  mx 2  (2m  1)x  m  2 . Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. ĐH Cần Thơ khối B - 99 7. ĐS : m > 7 1 2 Cho hàm số y  x 3  mx 2  x  m  (Cm). 3 3 Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2, x3 sao cho x12  x 22  x 32  5 . HV Chính trị QG - 99 8. ĐS : m = 0 Cho hàm số y  x3  3mx 2  3(m2  1)x  m3 (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm < 0 . ĐH QG TPHCM khối A - 99 9. ĐS : 0 < m < 2/3 Cho hàm số y  x3  3(m  1)x 2  2(m2  4m  1)x  4m(m  1) (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. ĐS : m  1 ĐH Hồng Đức - 99 10. Cho hàm số y  x3  (2m  1)x 2  9x (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. ĐS : m  1/2 ĐH Mở Hà Nội - 00 11. Cho hàm số y  x3  (2m  1)x 2  9x (Cm). a) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm tập hợp điểm I là trung điểm của AB. b) Tính AB theo m. Tìm m để AB nhỏ nhất. ĐH QG TPHCM khối D - 00 ĐS : a) d: y = 5 – 2x b) ABmin  5 2  m  1 12. Cho hàm số y  x 3  3x (C). Tìm m sao cho d: y = m(x + 1) + 2 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. HV Công nghệ BCVT - 01 ĐS : m  2  2 2 /3 3 1 13. Cho hàm số y  x 3  mx 2  m3 (Cm). 2 2 Tìm m sao cho d: y = x cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, B, C mà AB = AC. ĐH Huế - 01 ĐS : m  0  m   2 Gv: Trần Quốc Nghĩa 3 14. Cho hàm số (Cm): y  x3  3mx 2  9x  1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. ĐS : b) m  0  m   2 ĐH Khối D - 04 15. Cho hàm số y  x 3  3x  2 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS : b) m  15 / 4  m  24 ĐH Khối D - 06 16. Cho hàm số y  x 3  3x 2  1 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Gọi d là đường thẳng đi qua A(–1; 5) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt. ĐH SG Hệ CĐ Khối A,B - 07 ĐS : b) k  0  k  1 2 8 17. Cho hàm số (C): y  x 3  x 2  4x  . 3 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x – 4y = 0. 8 c) Tìm m để đường thẳng y  mx  cắt (C) tại ba điểm phân biệt . 3 CĐ Xây dựng 2 - 07 8 7 35 ĐS : b) y  4x  ; y  4x  c) m    m  4 3 3 8 18. Cho hàm số y  x 3  3x 2  4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) đều cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB. ĐH Khối D - 08 ĐS : b) m  15 / 4  m  24 19. Cho hàm số y  x3  2x 2  (1  m)x  m (1), với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2, x3 sao cho x12  x 22  x 32  4 . ĐH Khối A - 10 ĐS : b) –1/4 < m < 1  m ≠ 0 Chuyên đề HÀM SỐ 4 20. Cho hàm số y  2x3  3mx 2  (m  1)x  1 (1), với m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để đường thẳng y = – x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. ĐH Khối D - 13 ĐS : b) m  0  m  8/9 II. Hàm đa thức bậc bốn 21. Cho hàm số y  f (x)  x 4  2mx 2  m (Cm). a) Tìm m để f (x)  0, x . b) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng y = – 3 tại bốn điểm phân biệt trong đó một điểm có hoành độ lớn hơn 2 và ba điểm còn lại có hoành độ nhỏ hơn 1. c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = – 2. ĐS : a) m  0 ĐH Kiến trúc HN - 94 22. Cho hàm số y  x 4  5x 2  4 (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt. c) Tìm m để (C) chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau. ĐH Huế khối D - 00 ĐS : b) –9/4 < m , 4 c)m = 7/4 23. Cho hàm số y  3x 4  4(1  m)x3  6mx 2  1  m (Cm). Tìm các giá trị âm của tham số m để (Cm) và đường thẳng d: y = 1 có 3 giao điểm phân biệt. ĐH Thủy sản Nha Trang - 01 ĐS : m  ( 1  5 ) / 2 24. Cho hàm số (Cm): y  x 4  (3m  2)x 2  3m , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0. b) Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị (Cm) tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. ĐH Khối D - 09 ĐS : b) –1/3 < m < 1  m ≠ 0 Gv: Trần Quốc Nghĩa 5 III. Hàm nhất biến x 1 (H). x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H). b) Gọi d: 2x – y + m = 0. Chứng minh rằng d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B trên hai nhánh của (H). c) Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn nhất. 25. Cho hàm số y  CĐ SP TPHCM - 98 ĐS : c) ABmin  2 5  m  1 2x  1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Gọi d là đường thẳng đi qua I(2; 0) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho I là trung điểm của AB. 26. Cho hàm số y  ĐH SG Hệ CĐ Khối D - 07 ĐS : b) m = 2/3 x . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm m để đường thẳng d: y = – x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt. CĐ Khối A, B, D - 08 ĐS : b) m < 0  m > 4 27. Cho hàm số y  2x  1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm m để đường thẳng d: y = – 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, 28. Cho hàm số y  B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng ĐH Khối B - 10 3 (O là gốc tọa độ). ĐS : b) m = ± 2 x  1 . 2x  1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) 29. Cho hàm số y  tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. ĐH Khối A - 11 ĐS : b) max( k1  k2 )  2  m  1 Chuyên đề HÀM SỐ 6 IV. Hàm hữu tỉ 30. Cho hàm số y  x 2  (m  2)x  m x 1 (Cm). Tìm m để đường thẳng y = – x – 4 cắt (Cm) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho tam giác OMN đều (với O là gốc tọa độ). HV Kỹ Thuật Quân sự - 96 31. Cho hàm số y  ĐS : Không có m x 2  4x  1 (1). x2 Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng (dm): y = mx + 2 – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C). ĐS : m  1  m  4 / 3 ĐH Công đoàn - 98 32. Cho hàm số y  x  3  m  1 xm (1). a) Chứng minh hàm số luôn có cực trị với mọi m. b) Tìm a để đường thẳng : y = a(x + 1) + 1 cắt đồ thị (C) (khi m = 2) tại hai điểm có hoành độ trái dấu. ĐS : b) 1  a  2 ĐH Huế khối A - 98 2x 2  3x  m , m là tham số thực. x2 a) Gọi A là giao điểm (C m) và trục Oy. Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A. b) Tìm k để đường thẳng y = 2kx – k cắt (C) (khi m = 0) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (C) 33. Cho hàm số họ đường cong (Cm): y  ĐS : a) y  ĐH Giao thông Vận tải - 98 34. Cho hàm số y   x  3  6 m m x b) k > 1 4 2 3 (C). x 1 Chứng minh đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm có hoành độ x1, x2. Tìm m sao cho d = (x1 – x2)2 đạt giá trị nhỏ nhất. ĐH Cần Thơ Khối AB - 98 ĐS : mind = 4  m = 0 Gv: Trần Quốc Nghĩa 35. Cho hàm số y  7 mx 2  (2m2  1)x  2m  1 (Cm). x  2m Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm. ĐH Hàng hải - 98 ĐS: m > 1 x 2  x  1 (C). x 1 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = m luôn cắt (C) tại hai điểm 36. Cho hàm số y  phân biệt A, B. Tìm m sao cho độ dài AB ngắn nhất ĐH QG Hà Nội - 99 37. Cho hàm số (C): y  ĐS : m = –1 x2  3 (1). x 1 Viết phương trình đường thẳng d qua A(2; 2/5) sao cho d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B và M là trung điểm của đoạn AB. ĐS : y  6 x / 5  2 ĐH Bách khoa HN - 01 38. Cho hàm số y  mx 2  x  m x 1 (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. ĐH Khối A - 03 39. Cho hàm số y  ĐS : –1/2 < m < 0 x 2  2x  4 x2 (1). Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. ĐH Khối D - 03 40. Cho hàm số y  ĐS : m > 1  x 2  3x  3 2(x  1) (1). Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 1. ĐH Khối A - 04 ĐS : m  ( 1  5 )/2 Chuyên đề HÀM SỐ Vấn đề 2. 8 Bài toán tiếp xúc I. Hàm đa thức bậc ba 41. Cho (Cm): y  x3  3(m  1)x 2  2(m2  4m  1)x  4m(m  1) , m  R. a) Chứng minh (Cm) luôn đi qua điểm cố định. b) Tìm các giá trị của tham số m để (C m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 0. Tìm M  (C) sao cho qua M vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C). ĐH Ngoại thương - 94 ĐS : a) (2; 0) b) m  1 / 2  m  1 c) M(1; 0) là điểm uốn 42. Cho hàm số y  x(x  a)2 (Ca). a) Chứng minh rằng với mọi a ≠ 0 hàm số không thể luôn luôn đồng biến. b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi a = 3. c) Tìm k để đường thẳng d: y = kx + b không tiếp xúc với (C). ĐH Quốc gia HN khối B - 95 ĐS : c) k < – 3 43. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 (Cm). a) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm C(0, 1), D và E phân biệt. b) Tìm m để tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau. ĐH Y Dược TPHCM - 95 ĐS : a) 0 ≠ m < 9/4 b) m = 9  65 /8 44. Cho hàm số y  x 3  mx 2  1 (Cm). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = – 3. b) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C m) tại B và C vuông góc. ĐH QG HN Khối D - 96 ĐS: b) m   5 45. Cho hàm số y  x 3  3x 2  3x  5 (C). a) Chứng minh rằng không tồn tại 2 điểm nào trên đồ thị để tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. b) Tìm a để trên (C) có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = ax. ĐH Y khoa HN - 96 ĐS : b) a < 0 Gv: Trần Quốc Nghĩa 9 46. Cho hàm số (Ck): y  x3  1  k(x  1) , với k là tham số. a) Tìm k để đồ thị (Ck) tiếp xúc với trục hoành. b) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C k) với trục Oy. Tìm k để nó chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. HV Quân Y - 97 ĐS : a) k = 3  k = 3/4 b) Pttt: y = – kx + 1 – k; k  { 9  4 5; 7  4 3 } 47. Cho hàm số y  x 3  3x 2  9x  5 (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b) Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. ĐS: b) kmin  12  M  I( 1;16 ) ĐH Ngoại thương TPHCM - 98 48. Cho hàm số y  3x  4x 3 (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số từ đó suy ra đồ thị hàm số y  x (3  4x 2 ) (vẽ hình riêng). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 3). ĐS: b) d1 : y  3x,d2 : 24x  27 HV Ngân hàng khối A - 98 49. Cho hàm số y  x 3  12x  12 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Xác định giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y = – 4. c) Tìm trên đường thẳng y = – 4 các điểm từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến (C). HV CN BC Viễn thông - 98 ĐS: c) M( m; 4 ) với m  4  m  4/3  m  2 b) d tiếp xúc với (C) tại (2, – 4) và cắt (C) tại (–4; –4) 50. Cho (Cm): y  2mx3  (4m2  1)x 2  4m2 , m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. b) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành. ĐH Thương mại HN - 98 ĐS : b) m = 0 m = ± 2 /2 51. Cho (C a): y  f (x)  x 3  ax , m là tham số thực. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 3. Viết phương trình parabol qua A(  3 ; 0), B( 3 ; 0) và tiếp xúc với (C). b) Tìm x để tồn tại t khác x sao cho f(x) = f(t). HV Kỹ Thuật QS - 98 ĐS : a) y   3( x 2  3 ) b) 2 a/3  x  2 a/3 với a > 0