Chuyên đề hình học giải tích

AD = 12 nên AD = 12 AB = 2 p 2 ⇒ M A = MD = p 2 Đường thẳng AD qua M (3;0) và nhận −−→ I M = µ 3 2 ; 3 2 ¶ làm VTPT có phương trình là: 3 2 (x − 3) + 3 2 ¡ y − 0 ¢ = 0 ⇔ x + y − 3 = 0 Phương trình đường tròn tâm M bán kính R = p 2 là: (x − 3) 2 + y 2 = 2 Tọa độ A và D là nghiệm của hệ phương trình: ( x + y − 3 = 0 (x − 3) 2 + y 2 = 2 ⇔ ( y = 3 − x (x − 3) 2 + (3 − x ) 2 = 2 ⇔ ( x = 2 y = 1 ∨ ( x = 4 y = −1 Suy ra: ta chọn A (2;1) , D (4; −1) Vì I là trung điểm của AC nên: ( x C = 2x I − x A = 9 − 2 = 7 y C = 2 y I − y A = 3 − 1 = 2 ⇒ C (7;2) Vì I là trung điểm của BD nên: ( x B = 2x I − x D = 5 y B = 2 y I − y D = 4 ⇒ B (5;4) Trang 12 trong 110 Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A (2;1) , B (5;4) , C (7;2) , D (4; −1).

−→ AC = 0 A ′ là hình chiếu vuông góc của A xuống BC ⇐⇒ −−→ AA ′ ⊥ −→ BC −−→ B A ′ cùng phương −→ BC I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC ⇐⇒ I A = I B = I C D là chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC ⇐⇒ −−→ DB = − AB AC −−→ DC E là chân đường phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC ⇐⇒ −→ EB = AB AC −→ EC J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC ⇐⇒ −→ J A = − B A BD −→ J D 1.8 Kiến thức cơ bản thường sử dụng khác Nếu tam giác ABC có −→ AB = (a 1 ; a 2 ) và −→ AC = (b 1 ; b 2 ) thì S△ABC = 1 2 ¯ a 1 .b 2 − a 2 .b 1 ¯ 4/110 Trang 5 trong 110 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 2.1 Các VTCP và VTPT của đường thẳng −→ v là vtcp của đường thẳng (∆) đn ⇐⇒ −→ v 6= −→ 0 −→ v có giá song song hay trùng với (∆) −→ n là vtpt của đường thẳng (∆) đn ⇐⇒ −→ n 6= −→ 0 −→ v có giá vuông góc với (∆) Chú ý: Nếu đường thẳng (∆) có vtcp là −→ v = (a; b) thì −→ n = (−b; a) cũng là vtpt của (∆) Nếu đường thẳng (∆) có vtpt là −→ n = ( A; B ) thì −→ v = (−B ; A) cũng là vtcp của (∆) 2.2 Phương trình đường thẳng 2.2.1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc Đường thẳng (∆) đi qua M (x 0 ; y 0 ) với vtcp là −→ v = (a; b) có pt tham số là x = x 0 + at y = y 0 + bt t ∈ R Đường thẳng (∆) đi qua M (x 0 ; y 0 ) với vtcp là −→ v = (a; b) có pt chính tắc là x − x 0 a = y − y 0 b (a, b 6= 0) 2.2.2 Phương trình tổng quát Đường thẳng (∆) đi qua M (x 0 ; y 0 ) với vtpt là −→ n = ( A; B ) có pt là A(x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) = 0 ( A 2 + B 2 6= 0) Phương trình Ax + B y + C = 0 với A 2 + B 2 6= 0 là pt tổng quát của đường thẳng có vtpt −→ n = ( A; B ) 2.2.3 Các dạng khác của phương trình đường thẳng Đường thẳng AB đi qua A(x A ; y A ), B (x B ; y B ) có pt là ( y B − y A )(x − x 0 ) − (x B − x A )( y − y 0 ) = 0 Đường thẳng cắt Ox tại A(a;0), cắt Oy tại B (0; b) với a, b 6= 0 có pt là x a + y b = 1 Đường thẳng (∆) có pt y = kx + b khi đó ta gọi k là hệ số góc của (∆) và k = tan α với α là góc của Ox và ∆.

Giải: A B C C ′ Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra B là hình chiếu vuông góc của A trên (d ) Phương trình đường thẳng (∆) qua A và vuông góc với (d ) là: 2x + y + m = 0 A (0;2) ∈ (∆) ⇔ 2 + m = 0 ⇔ m = −2 Suy ra: (∆) : 2x + y − 2 = 0 Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: ( 2x + y = 2 x − 2 y = −2 ⇔ x = 2 5 y = 6 5 ⇒ B µ 2 5 ; 6 5 ¶ Đặt C (2t − 2; t ) ∈ (d ), theo giả thiết ta có: AB = 2BC ⇔ AB 2 = 4BC 2 ⇔ µ 2 5 − 0 ¶ 2 + µ 6 5 − 2 ¶ 2 = 4 ·µ 2t − 12 5 ¶ 2 + µ t − 6 5 ¶ 2 ¸ ⇔ 2t 2 − 12t + 7 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ C (0;1) t = 7 5 ⇒ C µ 4 5 ; 7 5 ¶ Vậy các điểm cần tìm là: B µ 2 5 ; 6 5 ¶ , C (0;1) hoặc B µ 2 5 ; 6 5 ¶ , C µ 4 5 ; 7 5 ¶ Bài 11.

Giải: −1 1 2 −1 1 2 3 0 A B C D M H Gọi các đường thẳng đã cho lần lượt là: AD ; BM ; C H , và gọi tọa độ các điểm như sau: A ∈ AD ⇒ A(a;3 − a); B ∈ BM ⇒ B (b; b + 1); C ∈ C H ⇒ C (c ; −2c − 1) Khi đó ta có tọa độ điểm M là trung điểm của AC là: M µ a + c 2 ; 2 − a − 2c 2 ¶ Mà M ∈ BM , nên thay M vào phương trình BM , ta được: 2a + 3c = 0 (1) Ta có: −→ AB = (b − a; a + b − 2).

Một hệ quả quen thuộc, nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì H cũng là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MNP với M , N , P lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh A, B , C (Ta dễ dàng chứng minh hệ quả này bằng tứ giác nội tiếp ) Theo tọa độ 3 điểm M , N , P đã biết ta dễ dàng viết được phương trình các đường thẳng: MN : 4x − 3 y − 2 = 0, NP : y − 2 = 0, MP : x + 1 = 0 Tới đây ta có thể làm theo hai cách để tìm tọa độ điểm H Cách 1: Vì H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP nên : d (H ; MP ) = d (H ; P N ) = d (H , MN ).

Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho tam giác ABC có trọng tâm G µ 4 3 ;1 ¶ , trung điểm BC là M (1;1), phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B là x + y − 7 = 0.

nên M thuộc đường trung trực của BC suy ra M (a;6 − a) Ta có −→ AG = (x G − 5; y G − 2), −−→ AM = (a − 5;4 − a) Theo tính chất trọng tâm ta có −→ AG = 2 3 −−→ AM ⇔ x G − 5 = 2 3 (a − 5) y G − 2 = 2 3 (4 − a) ⇔ x G = 2a 3 − 5 3 y G = −2a 3 + 14 3 Mà G thuộc trung tuyến CD nên 2 µ 2a 3 − 5 3 ¶ − µ −2a 3 + 14 3 ¶ + 3 = 0 ⇔ a = − −5 6 suy ra M µ −5 6 ; 41 6 ¶ Phương trình đường thẳng BC : 1 µ x − 5 6 ¶ − µ y − 41 6 ¶ = 0 ⇔ x − y + 23 3 = 0 Nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ x − y + 23 3 = 0 2x − y + 3 = 0 x = 14 3 y = 37 3 hay C µ 14 3 ; 37 3 ¶ Mà M là trung điểm của BC nên B µ −19 3 ; 4 3 ¶ Kết luận: B µ −19 3 ; 4 3 ¶ , C µ 14 3 ; 37 3 ¶ Bài 60.

Tọa độ điểm H là giao điểm của 2 phương trình đường thẳng trên ⇒ H (0;1) Phương trình đường thẳng AB qua P (−1;2) nhận −−→ HP làm pháp tuyến:x − y + 3 = 0 Phương trình đường thẳng BC qua M (−1; −2) nhận −−→ HM làm pháp tuyến:x + 3 y + 7 = 0 Phương trình đường thẳng AC qua N (2;2) nhận −−→ HN làm pháp tuyến:2x + y − 6 = 0 Kết luận: Vậy phương trình các cạnh của tam giác ABC là: AB : x − y + 3 = 0; BC : x + 3 y + 7 = 0; AC : 2x + y − 6 = 0 Bài 29.

Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho tam giác ABC có trọng tâm G (1; 1); đường cao từ đỉnh A có phương trình 2x − y + 1 = 0 và các đỉnh B , C thuộc đường thẳng ∆ : x + 2 y − 1 = 0.

Do B = BC ∩ B H nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình : x + 3 y + 5 = 0 x − y + 1 = 0 ⇔ x = −2 y = −1 ⇒ B (−2; −1) Gọi CK là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB có vecto pháp tuyến −→ n = (a; b).

Trong mặt phẳng Ox y , tìm tọa độ các dỉnh còn lại của tam giác ABC biết A(5;2), phương trình đường trung trực của BC , đường trung tuyến CD lần lượt có phương trình là : x + y − 6 = 0 và 2x − y + 3 = 0.

Trên mặt phẳng tọa độ Ox y , hãy viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A (1;6) và hai đường trung tuyến nằm trên hai đường thẳng có phương trình là x − 2 y + 1 = 0,3x − y − 2 = 0.

Cụ thể ta có tọa độ điểm N ′ (x ′ ; y ′ ) được xác định bởi công thức: x ′ = 2x I − x N = 4 y ′ = 2 y I − y N = −5 ⇒ N ′ (4; −5) Lúc đó ta có đường thẳng AB là đường thẳng đi qua hai điểm M ; N ′ nên: N ′ ∈ AB −→ u AB = µ 4; − 16 3 ¶ nên phương trình AB : x − 4 4 = 3(x + 5) 16 ⇔ 4x + 3 y − 1 = 0 Bây giờ ta quan sát đến dữ kiện giả thiết AC = 2BD .

Trong mặt phẳng toạ độ Ox y , cho hình chữ nhật ABCD biết đường thẳng AB có phương trình x − 2 y − 1 = 0, đường thẳng BD có phương trình x − 7 y + 14 = 0 và đường thẳng AC đi qua điểmM (2;1) .Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Giải: Trang 25 trong 110 −1 1 2 3 4 5 6 7 −1 1 2 3 4 5 0 A C I B D E N M Cách 1: Vì I là trung điểm AC nên ta suy ra được tọa độ điểm C (4;3) Các cạnh AB , AD có phương trình:x − 2 = 0 và y − 1 = 0 Chuyển hệ trục toạ độ Ox y sang hệ trục J X Y qua phép tịnh tiến theo −→ OJ với J (2;1).