1. Tìm Vecto pháp tuyến của (Q) là nQ→, vecto chỉ phương của (d) là u→
2. Gọi vecto pháp tuyến của (P) là nP→
3. Dùng phương pháp vô định giải hệ
4, Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng (Q): y +z +1 =0 góc 600. Phương trình mặt phẳng (P) là:
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0
(A2 +B2 +C2 ≠0).
Đường thẳng Oy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u→(0;1;0)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→=(0;1;1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .nQ→=0
⇔ B=0
Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 600 nên ta có:
⇔ 1/2=
⇔ 1/2=
⇔ A=±C
Chọn C=1, ta có A=±1
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến nP→(A;B;C) là:
x +z=0
-x +z=0
Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y+z-3=0 và đường thẳng
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc α thỏa mãn cosα=√(3/6)
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0
(A2 +B2 +C2 ≠0).
Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương u→(1;-1;-1)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→=(1;2;1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .nQ→=0
⇔ A -B -C =0 ⇔ C =A -B
Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc góc α thỏa mãn cosα=√3/6
⇔ √3/6=
⇔ √3/6=
Với A = 0, chọn B = 1 ⇒ C=-1
Với A =4/3 B, chọn B=3 ⇒ A=4; C=1
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến nP→(A;B;C) là:
y -z -5 =0
4x +3y +z +1 =0
Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) và đường thẳng lần lượt có phương trình: (Q): x+2y-z+5=0 và
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 600
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0
(A2 +B2 +C2 ≠0).
Đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1; -1; 3) và có vecto chỉ phương u→(2;1;1)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→=(1;2; -1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .nP→=0
⇔ 2A +B +C =0 ⇔ C= -2A -B
Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 600 nên ta có:
⇔ 1/2=
⇔ 1/2=
⇔ A=(4±2√3)B
Chọn B=1, ta có A=(4±2√3) ⇒ C= -9±4√3
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; -1; 3) và có vecto pháp tuyến nP→(A;B;C) là:
(4 -2√3)x +y +(-9 +4√3)z +32 -14√3 =0
(4 +2√3)x +y +(-9 -4√3)z +32 +14√3 =0
Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
và mặt phẳng (Q): x+2y+z-5=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với (Q) một góc 300.
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0
(A2 +B2 +C2 ≠0).
Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 2; 0) và có vecto chỉ phương u→(1; -1;1)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→=(1;2; 1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .nP→=0
⇒ A -B +C =0 ⇒ C =B -A
Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 300 nên ta có:
⇒ √3/2=
⇒ √3/2=
Với A=0, chọn B = 1; C = 1
Với A=B, chọn A =B =1; C = 0
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến nP→(A;B;C) là:
y +z -2 =0
x +y -2 =0
Được cập nhật: hôm kia lúc 21:57:29 | Lượt xem: 3956