Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân

[email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang CHUYÊN ð TÍCH PHÂN Bng công thc tích phân bt ñnh ∫= Cdx0 ∫+= Cxdx 111−≠++=∫+nCnxdxxnn Cxdxx+=∫ln1 ∫+= Cedxexx ∫= Caadxaxxln ∫+−= Cxxdx cossin ∫+= Cxxdx sincos ∫+= Cxdxxtancos12 ∫+−= Cxdxxcotsin12 ∫+=′Cxudxxu xu)(ln)( )( ∫++−=− Cax axadxax ln2 1122 ∫+++++=+ Caxxaaxxdxax222ln22 Phương pháp bi#n s% ph& Cho hàm s\" )( xf liên t$c trên ño%n []ba có nguyên hàm là )( xF. Gi s, )( xu là hàm s\" có ñ%o hàm và liên t$c trên ño%n []βα, và có mi/n giá tr là []ba thì ta có [][]CxuxFdxxuxuf+=∫)()()('.)( BÀI T5P Tính các tích phân sau a)∫+=10 211x xdxI b)∫−=1021x xe dxeI c)∫+=ex dxxI13ln1 Bài làm a) ð9t 2212dtxdxxdxdtxt =⇒=⇒+= ð:i c;n =→= =→=21 10tx tx V;y 2ln21ln212112121 121===+=∫ ∫ttdtx xdxI b) ð9t dxedtetxx=⇒−= [email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang ð:i c;n −=→= −=→=12 112etx etx V;y )1ln(ln111111 0222+===−=−−−−∫∫ ettdte dxeIe eeex c) ð9t dxxtdtxt 1ln1 =⇒+= ð:i c;n =→= =→=211tex tx Tích phân lư+ng giác D%ng ∫=βαnxdxmxI cos.sin Cách làm: bi>n ñ:i tích sang t:ng D%ng ∫=βαdxxxInm.cos.sin Cách làm N>u nm, ch@n ð9t xttan= N>u ch@n lA ð9t xt sin= (trưCng hDp còn l%i thì ngưDc l%i) D%ng ∫++=βαcxbxa dxIcos.sin. Cách làm ð9t   +−= +=⇒=22211cos 12sin2tanttx ttxxt D%ng ∫+ +=βαdxxdxc xbxaI .cos.sin. cos.sin. Cách làm ð9t xdxcxdxcBAxdxcxbxacos.sin.)sin.cos.(cos.sin.cos.sin.+−+=++ Sau ñó dùng ñJng nht thc D%ng 5: ∫++ ++=βαdxnxdxc mxbxaI .cos.sin. cos.sin. Cách làm )122(3232ln12121 2313−===+=∫∫tdttx [email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang ð9t nxdxcCnxdxcxdxcBAnxdxcmxbxa+++++−+=++++cos.sin.cos.sin.)sin.cos.(cos.sin.cos.sin. Sau ñó dùng ñJng nht thc. BÀI T5P Tính tích phân a)∫+=20 41)1(sin cosπxxdxI b)∫=2 52cosπxdxI c)∫=40 63tanπxdxI Bài làm a) ð9t xdxdtxt cos1sin=⇒+= ð:i c;n  =→= =→=22 10tx txπ V;y 24 73 1)1(sin cos21321 42 041=−==+=∫∫tt dtx xdxIπ b) ð9t xdxdtxt cossin=⇒= ð:i c;n  =→= =→=12 00tx txπ V;y )15 8325 211cos10 1035 10 10 24222 52= +−= −+=−==∫ ∫∫ttt dtttdttxdxIπ c) ð9t dxxdtxt )1(tantan2+=⇒= ð:i c;n  =→= =→=14 00tx txπ V;y 415 1335 1111tan401035 0102242 640 63πππ−=− +−= +−+−=+==∫∫ ∫∫duttt dttttt [email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang Tính các tích phân sau a)∫+=20 22221cos.sin. cos.sinπdxxbxa xxI b)∫+=3022cos2 cosπdxxxI Bài làm a) ð9t xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin.222222+−=⇒+= ð:i c;n  =→= =→=2220btx atxπ N>u ba V;y )baab batab tdtabdxxbxa xxIba ba+=− −=−= −=+=∫ ∫11 21cos.sin. cos.sin2222 02222122 22π N>u ba V;y axaxdxa axdxxdxxbxa xxI212cos4 12sin2 cos.sincos.sin. cos.sin2020 2020 22221=−== =+=∫ ∫∫ππ ππ b) ð9t xdxdtxt cossin=⇒= ð:i c;n  =→= =→=233 00tx txπ V;y ∫∫∫−=−=+=230 2230 23 022321232cos2 costdttdtdxxxIπ ð9t ududtut sin23cos23−=⇒= ð:i c;n  =→= =→=42 20ππut [email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang V;y )242121 cos123 sin2 32123212 44 242230 22πππππ ππ=== −=−=∫ ∫∫udu uudutdtI Tính các tích phân sau a)∫++=2015cos3sin4 1πdxxxI b)∫++ ++=2 025cos3sin4 6cos7sinπdxxx xxI Bài làm a) ð9t 1212tan2tan22+=⇒ +=⇒=tdtdxdxxdtxt ð:i c;n  =→= =→=12 00tx txπ V;y )6121 151 131 24 1210 0210222 21=+−= +=++ −++ +=∫∫t tdtdttttttI b)ð9t 5cos3sin45cos3sin4sin3cos45cos3sin46cos7sin+++++−+=++++xxCxxxxBAxxxx Dùng ñJng nht thc ta ñưDc: 1,1,1===CBA V;y )6189ln25cos3sin4ln 5cos3sin4 15cos3sin4 sin3cos415cos3sin4 6cos7sin120202 02++=++++= +++++ −+=++ ++=∫∫ππππIxxx dxxxxx xxdxxx xxI B%n ñPc tQ làm a)∫=26 231sincosππdxx xI b)∫=2 32sin.cosπxdxxI c)∫+=2 032sinπ[email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang c)∫+=2 331cos sin4πdxx xI d)∫ ++=2053cos2sin 1πdxxxI d)∫++ +−=2 063cos2sin 1cossinπdxxx xxI Tính nguyên hàm,tích phân các hàm h0u t1 D%ng )( )Caxnax dxInn+−−−=−=−∫11.11 vRi (){}()1,0, −×∈NCna ta có N>u Ran∈=,1 ta có CxaxdxI +=−=∫ln D%ng )∫+++= dxcbxax xIn2βα trong ñó <−= ∈04,,,,2acb Rcbaβα Giai ño%n 0≠α,làm xut hiUn t, thc ñ%o hàm cWa tam thc cbxax ++2, sai khác mYt s\" )( )( )∫∫∫++ −+++ +=++ −++=nnncbxax dxbaadxcbxax baxadxcbxax babaxaI2222222222α βαααβα Giai ño%n Tính )( )∫∫− +=+− −=++=baxt nnntdtaadxcbxax dxI2 2212.4 Giai ño%n Tính )∫+=dttIn112 có thZ tính b[ng hai phương pháp truy hJi ho9c ñ9t φtan=t D%ng ()( )∫= dxxQ xPInm Ta có ()( )01 01...... ......bxbxb axaxaxQ xPnn mmnm+++ +++= N>u ()()QPdegdeg thì ta thQc hiUn phép chia ()( )( )( )()( )xQ xRxAxQ xPnrnmnm+=− trong ñó phân s\" ()( )xQ xRnr có ()()QRdegdeg N>u ()()QPdegdeg ta có các qui t`c sau *Qt 1: )( )( )( )( )nnnnnxmax Aax Aax Aax P−+−++−=−−−111...... Vd$ 1a ()( )( )∑∏==−=−ni iiini iimax Aax xP11 Vd$ 1b ()( )22))()((cx Dcx Cbx Bax Acxbxax xPm−+−+−+−=−−−[email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang *Qt 2': ()( )( )( )( )nnnnnnnmcbxax BxAcbxax BxAcbxax BxAcbxax xP++++++++++++=++−−−212 112 112...... vRi 0< *Qt 3: ()( )( )( )( )∑ ∑= =++ ++−=++−mi nk iiiinm tcbxax BxAx Acbxaxx xP1 212αα Vd$ ()( )( )cbxax CBxx Acbxaxx xPt++++−=++−22)(αα Vd$ ()( )( )( )( )( )22 222 1122cbxax CxBcbxax CxBx Acbxaxx xPt++++++++−=++−αα BÀI T5P Tính các tích phân sau a)∫++=10 2123 xx dxI b)( )∫++=10 22223 xx dxI Bài làm a)( )( )∫∫∫ +−+=++=++=101 0102121112123 dxxxxx dxxx dxI b)( )( )( )( )( )dxxxxxdxxx dxI∫∫ ++−+++=++=1 0221022221 2211123 )OKxxxx = +−+−+−+−=102ln1ln22111 Tính các tích phân sau a)∫++=10 24133 xx dxI b)( )( )∫++ −=1 2221 24dxxx xI Bài làm a)* B%n ñPc db dàng chng minh ñưDc ∫+=+=CaxaaxdxI arctan1220 vRi 0>a )( )dxxxxx dxxx dxI∫ ∫∫ +−+=++=++=10 10 22221 02413111213133 )32923arctan31arctan2110−= −=πxx ]34ln2ln1ln10=+−+= [email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang b) ð9t )( )()()( )( )12 221212 242222++ +++++=++++=++ −xx ACCBxBAxx CBxx Axx Do ñó ta có hU  == −=⇔  =+ =+ =+02 202 42 0CBAAC CB BA V;y )( )∫ ∫ +++−=++ −=1 10 222122221 24dxx xxdxxx xI []94ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2102=−++−=+++−= xx B%n ñPc tQ làm a)( )∫−+=3 2111dxxx xI b)∫−+=52 2232 xx dxI c)dxxxxI∫−−=21 3334 d)∫+−=23 24323 dxxx xI HD: a) )11122−++=−+x Cx BxAxx b) 313212++−=−+xBxAxx c) )( ) −+ −+=−−1212 41414 133xxx xxxx d) 22112324−+++++−=+−xDx Cx Bx Axx ð2ng th3c tích phân Mu\"n chng minh ñeng thc trong tích phân ta thưCng dùng cách ñ:i bi>n s\" và nh;n xét mYt s\" ñ9c ñiZm sau C;n tích phân ch@n lA tufn hoàn c;n trên c;n dưRi, …. Chúng ta cfn phi nhR nhjng ñeng thc nfy và xem nó như b: ñ/ áp d$ng. BÀI T5P Chng minh r[ng )∫ ∫−=−1 1011 dxxxdxxxmnnm Bài làm Xét )∫−=101 dxxxInm ð9t dtdxdxdtxt−=⇒−=⇒−[email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang ð:i c;n =→= =→=01 10tx tx V;y )∫ ∫∫−=−−=−=01 1010111 dtttdtttdxxxInmnmnm (ñpcm) Chng minh r[ng n>u )( xf là hàm lA và liên t$c trên ño%n []aa ,− thì )∫−==aadxxfI Bài làm )1)(00∫ ∫− −+==aa adxxfdxxfdxxfI Xét )∫−0adxxf ð9t dtdxdxdtxt−=⇒−=⇒−= ð:i c;n =→= =→−=00 tx atax ;y )∫ ∫∫−=−=−a aadttfdttfdxxf0 00 Th> vào (1) ta ñưDc 0=I (ñpcm) Tương tQ b%n ñPc có thZ chng minh N>u)( xf là hàm chen và liên t$c trên ño%n []aa ,− thì )∫ ∫−==aa adxxfdxxfI02 Cho 0>a và ()xf là hàm ch@n liên t$c và xác ñnh trên R. Chng minh r[ng ()( )∫ ∫−=+αα αdxxfdxa xfx01 Bài làm Xét ()dxa xfx∫−+01α ð9t dtdxdxdtxt−=⇒−=⇒−= ð:i c;n =→= =→−=00 tx txαα V;y ()()()∫ ∫∫+=+−=+−−α αα0 00111tttxa tfadta tfdxa xf ()()()( )∫ ∫− −+++=+αα α001111 dxa xfdxa xfdxa [email protected] http://ebook.here.vn Thư vin sách trc tuyn Trang 10 Th> vào (1) ta ñưDc ()()()( )∫∫ ∫=+++=+− −ααα α000111 dxxfdxa xfdxa xfadxa xfxxxx (ñpcm) Cho hàm s\" ()xf liên t$c trên []1,0. Chng minh r[ng )( )∫ ∫=π ππ0 0sin2sin. dxxfdxxfx Bài làm Xét )∫π0sin. dxxfx ð9t dtdxdxdtxt−=⇒−=⇒−=π ð:i c;n =→= =→=00tx txπ V;y )[ ]( )∫ ∫∫−=−−=π πππππ0 00sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx )∫ ∫−=π ππ0 0sin.sin dttftdttf )( )( )dxxfdxxfx dxxfdxxfx∫∫ ∫∫=⇒ =⇒ππ ππππ00 00sin2sin. sinsin.2 Tl bài toán trên b%n ñPc có thZ mV rYng bài toán sau N>u hàm s\" ()xf liên t$c trên []ba và ()()xfxbaf =−+. Thì ta luôn có )( )∫ ∫+=b adxxfbadxxfxπ02. Cho hàm s\" ()xf liên t$c,xác ñnh tufn hoàn trên Rvà có chu kì T. Chng minh r[ng )∫ ∫+=Taa Tdxxfdxxf0 Bài làm )∫∫∫∫∫ ∫+++++=+=TaTTaTaTTaa Tadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf00 V;y ta cfn chng minh )∫ ∫+=a aTdxxfdxxf0 Xét )∫adxxf0 ð9t dxdtTxt=⇒+=Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.