Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét sự tương giao của đồ thị hàm số

Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ Dạng 1: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = a . , f ( u ( x ) ) = a . Dạng 2: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = g ( m ) , f ( u ( x ) ) = g ( m ) . Dạng 3: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = f ( m ) , f ( u ( x ) ) = f ( m ) . Dạng 4: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có ( ) dạng = f ( x )= a ; f ( x ) a= ; f u ( x) a= ; f ( u ( x ) ) a ... . Dạng 5: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có ( ) dạng f ( x ) g= = ( m ) ; f ( x ) g ( m= ) ; f u ( x ) g ( m= ) ; f ( u ( x ) ) g ( m ) ... . Dạng 6: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) g= = ( x ) ; f (u ( x )) g ( v ( x )) . Dạng 7: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) ... . Dạng 8: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ' ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng= f ( x ) 0; f = f ( x) g ( x); f = ( u ( x ) ) 0;= ( u ( x ) ) g ( v ( x ) ) ... . Dạng 9: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ' ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng= f ( x ) m ; f= ; f ( x ) g ( m ) ; f= ( u ( x ) ) m= ( u ( x ) ) g ( m ) ... Dạng 10: Biết số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 , xét các bài toán liên quan đến phương trình có chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) ... . Dạng 11: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) ... có thể có tham số. Dạng 12: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ' ( x ) , xét các bài toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) ... có thể có tham số. Trang 1 Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN 1. Từ dạng 1 đến dạng 4) Dạng 1: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = a . , f ( u ( x ) ) = a . Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) của phương trình f ( sin x ) = −4 là B. 1 . A. 0 . C. 2 . Lời giải D. 4 . Chọn C sin x = α ∈ ( −1;0 ) Xét phương trình: f ( sin x ) = −4 ⇔  sin x= β ∈ ( 0;1) β ( 0;1) . Vậy Vì x ∈ ( 0; π ) ⇒ sin x ∈ ( 0;1] . Suy ra với x ∈ ( 0; π ) thì f ( sin x ) = −4 ⇔ sin x =∈ phương trình đã cho có 2 nghiệm x ∈ ( 0; π ) (thỏa mãn). Vậy chọn Câu 2. C. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau: Trang 2 Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Phương trình f ( cos x ) = 13 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 3 A. 0 . B. 1 . C. 2 . Lời giải  π π − ; ?  2 2 D. 4 . Chọn C  π π Đặt t = cos x , x ∈  − ;  ⇒ t ∈ ( 0;1] .  2 2 13 13 Phương trình f ( cos x ) = trở thành f ( t ) = 3 3 13 có đúng một nghiệm t ∈ ( 0;1) 3 Với một nghiệm t ∈ ( 0;1) , thay vào phép đặt ta được phương trình cosx = t có hai nghiệm Dựa vào bảng biến thiên trên ta có phương trình f ( t ) =  π π phân biệt thuộc thuộc khoảng  − ;  .  2 2 Vậy phương trình f ( cos x ) = Câu 3. 13 có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng 3  π π − ; .  2 2 Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  \ {0} có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình 2 f ( 3 x − 5 ) − 7 = 0 là A. 1 . B. 2 . C. 3 . Lời giải D. 4 . Chọn C 2 f ( 3x − 5) − 7 = 0 ⇔ f ( 3x − 5) = 7 . 2 t 3 x − 5 , phương trình trở thành f ( t ) = Đặt = 7 . 2 7 t +5 nên số nghiệm t của phương trình f ( t ) = 2 3 bằng số nghiệm của phương trình 2 f ( 3 x − 5 ) − 7 = 0. Với mỗi nghiệm t thì có một nghiệm x = Trang 3 Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) suy ra phương trình f ( t ) = phân biệt nên phương trình 2 f ( 3 x − 5 ) − 7 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Câu 4. 7 có 3 nghiệm 2 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn điều kiện lim f ( x ) = lim f ( x ) = −∞ và có x →−∞ x →+∞ đồ thị như hình dưới đây ) ( Với giả thiết, phương trình f 1 − x 3 + x = a có nghiệm. Giả sử khi tham số a thay đổi, phương trình đã cho có nhiều nhất m nghiệm và có ít nhất n nghiệm. Giá trị của m + n bằng A. 4 . B. 6 . C. 3 . Lời giải D. 5 . Chọn C Dễ thấy điều kiện của phương trình đã cho là x ≥ 0 . Đặt t = 1 − x3 + x (1) ⇒ t ∈ (−∞;1] . Dễ thấy phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất ∀t ∈ (−∞;1] . = f ( t ) a (2), t ≤ 1 . Phương trình đã cho có dạng: Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số nghiệm của (2). Đồ thị hàm= số y f ( t ) , t ≤ 1 có dạng: Trang 4 Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Do đó: (2) vô nghiệm khi a > 1 . (2) có hai nghiệm khi −3 ≤ a < 1 . (2) có nghiệm duy nhất khi a = 1 hoặc a < −3 . Vậy m = 2, n =1 ⇒ m + n =3 . Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Gọi m là số nghiệm của ( ) phương trình f f ( x ) = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m = 6 . B. m = 7 . C. m = 5 . Lời giải D. m = 9 . Chọn B Trang 5 Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao  x = x1 ∈ ( −1;0 )  1  x =x2 ∈ ( 0;1) . Ta có: f ( x ) =⇔ =  x x3 > 2  f ( x ) = x1 (1)  1 ⇔  f ( x) = x2 ( 2 ) . Suy ra: f ( f ( x ) ) = f x =x 3  ( ) 3( ) +) Xét (1): f ( x ) = x1 ∈ ( −1;0 ) , ta có đường thẳng y = x1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. +) Xét ( 2 ) : f ( x= ) x2 ∈ ( 0;1) , ta có đường thẳng y = x2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình ( 2 ) có 3 nghiệm phân biệt. +) Xét ( 3) : f ( x= ) x3 > 2 , ta có đường thẳng y = x3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 1 điểm nên phương trình ( 3) có 1 nghiệm. Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: m = 3 + 3 + 1 = 7 . Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau. Số nghiệm của phương trình f ( 2sin x ) = 1 trên đoạn [ 0; 2π ] là A. 1 . B. 2 . C. 3 . Lời giải D. 4 . Chọn C Đặt t = 2sin x , t ∈ [ −2; 2] . Xét phương trình f ( t ) = 1 , dựa vào đồ thị ta thấy Trang 6 Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao t = −3  t = −2 f (t ) = 1⇔  t = −1 t = 5  (l ) ( n )  2 sin x = −2 sin x = ⇔ ⇔ ( n )  2sin x = −1 sin x =  (l ) − Với sin x = −1 ⇔ x = −1 1. − 2 π 3π + k 2π , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = . 2 2 π  − + k 2π x = 5π 4π 1 3 Với sin x = , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = , . − ⇔ 4π 3 3 2 = x + k 2π  3 Vậy phương trình có 3 nghiệm Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f ( f ( x ) ) = 0 có bao nhiêu nghiệm. A. 6. B. 7. C. 8. Lời giải. D. 9. Chọn D y=c y=b y=a = x a ( a ∈ ( −2; −1) )  Phương trình f ( x ) = 0 có ba nghiệm phân biệt là: =  x b ( b ∈ ( 0;1) )  =  x c ( c ∈(1;2 ) ) f ( x ) a= , f ( x ) b= , f ( x ) c đều có 3 nghiệm phân biệt. Các phương trình= Trang 7 Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt. Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. y 3 -1 x 1 -1 0 là Số nghiệm của phương trình 3 f ( x) − 4 = A. 1 . B. 3 . C. 0 . Lời giải D. 2 . Chọn B Ta có 3 f ( x ) − 4 = 0 ⇔ f ( x ) = 4 3 (1) . Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 4 . Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. 3 y 3 y= 4 3 -1 1 x -1 Dựa vào đồ thị của hai hàm số y f= = ( x) , y 4 ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt 3 nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt. Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau 0 là Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) − 3 = Trang 8 Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao A. 2 . B. 4 . C. 3 . Lời giải D. 1 . 3 0 ⇔ f ( x) = Phương trình 2 f ( x ) − 3 = . 2 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = 3 . 2 0 là 2 . Từ bảng biến thiên suy ra số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) − 3 = Câu 10. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  có đồ thị y = f ( x ) như hình vẽ bên. Phương trình f ( 2 − f ( x )) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt. A. 4. B. 5. Chọn B C. 6. D. 7. Lời giải Theo đồ thị:  x = a ( −2 < a < −1) 2 − f ( x ) = a  f ( x ) = 2 − a (1)    f ( x ) = 0 ⇔  x = b ( 0 < b < 1) ⇒ f ( 2 − f ( x )) = 0 ⇔ 2 − f ( x ) = b ⇔  f ( x ) = 2 − b ( 2)     x = c (1 < c < 2 ) 2 − f ( x ) = c  f ( x ) = 2 − c ( 3) Nghiệm của phương trình (1); (2); (3) là giao điểm của đường thẳng y= 2 − a ; y= 2 − b ; y= 2 − c với đồ thị hàm số f ( x ) .  a ∈ ( −2;1) ⇒ 2 − a ∈ ( 3; 4 ) suy ra phương trình (1) có đúng 1 nghiệm.  b ∈ ( 0;1) ⇒ 2 − b ∈ (1; 2 ) suy ra phương trình (2) có đúng 1 nghiệm.  c ∈ (1;2 ) ⇒ 2 − c ∈ ( 0;1) suy ra phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt. Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biệt. Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Trang 9 Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 f ( x ) + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt? A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 f ( x ) + m = 0 ⇔ f ( x ) = −m 2 ( *) . Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng ( d ) : y = y = f ( x ) tại 4 điểm phân biệt ⇔ −2 < −m cắt đồ thị hàm số 2 −m < 1 ⇔ −2 < m < 4 . 2 Do m ∈  nên m ∈ { − 1; 0; 1; 2; 3} . Chọn B. Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình f  f ( cos 2 x )  = 0 ? A. 1 điểm. B. 3 điểm. C. 4 điểm. Lời giải D. Vô số. ChọnC Dựa vào đồ thị ta thấy khi x ∈ [ −1;1] thì y ∈ [ 0;1]. Do đó nếu đặt t = cos 2 x thì t ∈ [ −1;1] , khi đó f ( cos 2 x ) ∈ [ 0;1] .  f ( cos 2 x ) = 0  Dựa vào đồ thị, ta có f  f ( cos 2 x )  = 0 ⇔  f ( cos 2 x ) = a ( a < −1) ( loaïi ) .  f cos 2= x ) b ( b > 1) ( loaïi )  ( cos 2 x = 0  Phương trình f ( cos 2 x ) = 0 ⇔ cos 2 x = a ( a < −1) ( loaïi ) cos= 2 x b ( b > 1) ( loaïi )  ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = π 4 +k π 2 ( k ∈ ). Vậy phương trình đã cho có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Trang 10