Bất đẳng thức tích phân toán lớp 12

Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1Chöùng minh raèng 344341 226011. dx3 sin 23 cot 12. dx12 31 13. dx2 xπππππππππππππππππ ππ ππ π−−−−ππππ−−−−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫



1025 314. ln dx 41 x15. dxx 8x6. dx18 39 3ππππ< << << <++++ππππ+ ++ ++ +π ππ ππ π+ ++ ++ +∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫1010

Baøi giaûi 33 34 44 42 222 23 11. sin sin sin sin 14 sin x21 dx dx dx dx2 sin sin ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ π−−−−−−−−π ππ ππ π− −− −− −∫ ∫∫ ∫∫ ∫⇒ ⇒⇒


3 34 434cot gx cot gx cot gx 42. dx dx dx4x x3 4x3 cot gx dx12 3π ππ ππ ππ ππ ππ ππππππππππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ π∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫13⇒ ⇒3⇒





Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ña ïo haøm. 12 26 66 013. .... 121 11 dx dx1 xI< −< −< −− −− −− −∫ ∫∫ ∫∫ ∫0⇒ ⇒⇒


Vôùi 2201I dx1 x∫Ñaët sin dx cos tdt2 2π ππ ππ π   = == == =      12 220 01x 0cos tdt2I dt6t sin t6ππππ= == == =ππππ−−−−∫ ∫∫ ∫∫ ∫⇒ Vaäy12601 1dx2 61 xππππ−−−−∫∫∫∫ 24. x+ ++ ++ +⇒ (((( ))))[[[[ ]]]]21 11 0, 1x x1 x+ ++ ++ +++++⇒ ∀
Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi 0x 1  (1 (1) (1 (1 )VT VGxVG VP∅∅∅∅⇒
∈
Do ñoù :1 20 01 dx 1dx dx ln dx1 41 xππππ< << << <+ ++ ++ ++ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫⇒ Chuù yù :1 201dx1 4ππππ====++++∫∫∫∫ Xem baøi taäp .Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 22 22 21 20 01 15. 22 2( 1)1 ++ ++ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫⇒ ⇒⇒

x xx xdx dx dxx Ñaëtx tgt dx dt tg t)dtcos t= += += +2211⇒ ππ ππ π+ π+ π+ π= == == =ππππ++++∫ ∫∫ ∫∫ ∫4 42 20 00 11 404⇒ tg tI dt dt Itg tt Vaäy ππππ+ ++ ++ +∫∫∫∫12012 8
dxx (((( ))))5 35 34 33 31 11 30 06. 301 13 313 31 Ñaët 1+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ += == == =+ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫°1 10 00⇒ ⇒⇒








x xx xx xx xx xx xdx dx dxx xx xI dx dx xx x20 1; 0) 0====⇒1 xt dx tdtt 21 11 20 01 .3 1= == == =+ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫t dtI dtt tÑaët= == == =3 20 130 1⇒ tu du dtu ππππ= == == =++++∫∫∫∫11 2029 18⇒duIu Keát quaû :ππππ====4I(baøi taäp 5) ππππ= == == =++++∫∫∫∫12 30°39 xIx(töông töï) Vaäy( ++ ++ +∫∫∫∫1125 3013⇔
xI dx Ix ππ ππ π+ ++ ++ +∫∫∫∫5 318 39 310
xdxx 1,Chöùng minh raèng :(((( )))) (((( ))))24 40121 ++ ++ +∫∫∫∫sin cossin cos x xdxx xππππππππ 2.Neáu :(((( ))))   = >= >= >      ∫∫∫∫400 ;cos 4∀ ∈ttg xI dx txtππππthì :(((())))23334++++   + >+ >+ >      tg tgttg eππππ Baøi giaûi 1. Ta coùcos sin sin cos x:( sin x)( cos x) sin x)( cos x) sin x)( cos x)+ ++ ++ +====+ ++ ++ +2 44 43 21 sin cos( sin )( cos sin )( cos sin cos+ ++ ++ += += += ++ ++ ++ +4 44 43 11 1⇒x xx xTs. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 3sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin( sin )( cos sin cos sin )( cos sin cossin cos sin sin( sin )( cos sin cosπ ππ ππ π   +++ ++ +++   + ++ ++ +      +++++ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫2 24 44 03 21 13 21 1⇒ ⇒⇒ x xx xx dx dx dxx xsin Ñaët sin sinsinππππππππ= == == =++++∫∫∫∫∫∫∫∫220 21 402° 21⇒ xJ dx dt xdxx ππππππππ⇒ =⇒ =⇒ =++++∫∫∫∫11 20020 41 xdtJt (keát quaû I=4π baøi taäp 5) sin Ñaët cos sincosππππ= −= −= −++++∫∫∫∫222 402° 21⇒ xJ dx du xdxx ππππππππ= == == =++++∫∫∫∫12 20020 4⇒ 1xduJu u(keát quaû I=4π baøi taäp 5) sin cos( )( sin )( cos )ππππ+++++ ++ ++ +∫∫∫∫24 4011 6⇒x xdx Jx Vaäy sin cos( sin )( cos )ππππππππ+ ++ ++ +∫∫∫∫24 401 12x xdxx 2. Ñaët( )= == == =++++2211⇒ dtt tgx dt tg dx dxt 42 32 20 0024tgttgt tgt tgtt dt dt tgt 1I -t dt ln tg tgt ln1 t1 tgt 11 tt   ∫ ∫Vì )>>>>0 Itneân31 tgt tg tgt ln 03 tgt 1ln ln         ++++− π− π− π   = >= >= >   ++++   3331 423⇔ ⇒tg tgttgttg tg tgt tg etgt 2nx1. =x Chöùng minh ≤≤ ≤≤ ≤+ ++ ++ +∫∫∫∫101 12 1nI dxn vaølim→ +∞→ +∞ +∞→ +∞====0 nnI dx ()-n xn2. Chöùng minh nJ dxn<<<<++++∫∫∫∫01201
vaø nnlim dx0→+∞= Baøi giaûi ++++++++1 11 12 1⇒
x xx nn nx xx dx dx dxx x+ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫1 10 012 1⇒
(((( ))))(((( ))))n nnx xdx dxn n+++++++++ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫111 10 0001112 11⇒ ⇒2 1

Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 4Ta coù :(((( ))))102 101101→∞→∞ →∞→∞→∞→∞ →∞→∞→∞→∞ →∞→∞====++++====++++==== + + +nnnnlim limxlim nx⇒ (((())))(((())))(((( )))) (((( ))))010 0112 220 11− −−− −−− −−−−−− −− −− −−−−−−−= += += ++ ++ ++ +++++∫ ∫∫ ∫∫ ∫..⇒ ⇒⇒


n nn nx xxxxx hay xx dx dx dxn Ta coù :(((( ))))20 01−−−−→∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞= == == =++++n xx dxnlim lim⇒n Chöùng minh raèng 23 442104 60-1. cos (4 cos )(2 cos 2)dx 2. ln (9 ln ln x)dx 8(e 1)2 493. sin (1 sin )(5 sin )dx 4. tgx (7 tgx )dx 642435. sin x. cos xdx6250 ππ πππ− −π π+ ≤π≤∫ ∫∫ ∫∫ Baøi giaûi Ñaët f(x) cosx (4 cosx )(2 cosx 2) cos cos cos xf (x)f (x)dx dx cos cos )( cos )dx2 22 234 838 8− −⇒ ⇒cauchy


π ππ π + = − π∫ 2. Ñaët( ln ln ln ln ln )( ln )9 x= ln ln ln( )( ln ln ln )1 133 838 1⇒


ee ex xf xf dx dx dx e + − = − −∫ 3. Ñaët( sin sin sin )1 x= sin sin sin xf (x)31 383

 −   Ñaúng thöùcsin sin sin xsin sin sin x   = −= −= −   ⇔ ∅⇔ ∅⇔ ∅   = == == =      15 (x) (x)dx dx sin sin )( sin )dx3 34 428 33 ππ ππ⇒ <∫ 4. Ñaëtf (x) tgx tgx tgx tgx )17 44 −Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 5( )( )20 04 44 41 49( )4 1649 497 416 16xtgx tgxf xf dx dx tgx tgx dx∏ ∏ −≤ ∏⇒ −∫ ∫
22 24 055. sin cos (1 cos ).(1 cos ). cos cos cos1(2 cos )(1 cos ). cos cos cos21 cos cos cos cos cos 5243 243sin cos sin cos6250 6250x xx xx xx xdx= −= − − +≤ ∏⇒ ∏∫ Chöùng minh raèng )2 2235 21. cos sin sin cos3x dx−∏∏∏+ +∫
()( )2 212. ln ln 1ex dx e+ −∫
23 cos sin3.4 44x dxx∏ ∏−+∫
Baøi giaûi 1. Ñaët2 2( )1 cos sin 1. sin cosxf x= )()( )( )( )2 22 22 23 322 cos sin cos sin 25 22 cos sin sin cos3x xxf ff dx dx dx∏ ∏− −∏ ∏∏+ ⇒∏⇒ +∫ ∫


2. Ñaët( )2 21 ln lnxf x= )()( )( )( )( )2 21 12 ln ln 44 ln ln 1x xxe eef dx dx dx e≤ ≤⇒ −∫ ∫
)2 22 02 23. cos sin cos sin3 cos sin cos sin 224 4x xx xdxx x + + + +⇒ ≤+ +∫ ∫Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 6Ñaët()22 1x tgt dx tg dt= ()( )22 20 02 20 04 422 22 10 14 84 1043 cos sin cos sin4 4tg tx dxdt dtx tg ttx xdx dxx x∏ ∏+∏⇒ =∏ +++ ∏⇒ −+ +∫ ∫∫ ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN Chöùng minh raèng 20 00 21 1441. sin cos2. sin sin 13.1xdx xdxxdx xdxx dx dxx x∏ ∏∏∏≤− <+∫ ∫∫ ∫∫ ∫
2202 21 10 04 4sin sin4..5. (ln ln 6. sin cosx xdx dxx xx dx xdxxdx xdx∏ ∏∏∏ ∏><<∫ ∫∫ Baøi giaûi ∏0 04 40 sin 11. 0; sin cos cos0 cos 14sin cos sin cosxx xxx xdx xdx≤ ≤ ∏ ∀ ≤  ≤ ≤ ⇔ ≤∫ ∫Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 7∏ ∏0 02 2cos 12. 0; sin cos sin0 sin2sin sin sin sinxx xxx xdx xdx≤ ∏ ∀ ≤  ≤ ⇔ ≤∫ [] 3. 1; 2x∀ Xeùt hieäu 2- 101 1)x x− −− <+ 12 21 11 1x xdx dxx x− −⇒ <+ +∫ 4. Ñaët -x dx du= ∏∏∏ 0∏∏∏∏ 222sin sin( sin2( )021 10 02xx xdx du dxx xux x∏ −⇒ =∏ −∏< <∏ −∫ Vì :∏ ∏∏02 2sin sin sin sinsin 0x xx dx dxx x> <∏ ∏−∫ ∏∏∏220sin sinx xdx dxx x⇒ >∫ 5. Haøm soá f(x) lnx lieân tuïc treân [1,2] eân g(x) (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2] ]⇒ ⇒∀ ⇒221 12 21 ln ln (*) (ln ln1, (ln lnx xx dx xdx< <<∫
∈ Chuù yù daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 1⊂⊂⊂⊂ [1,2] 0∏∏∏ ∏⇒ ⇔⇔ ⇔044sin6. 14 cossin cos sin cosxx tgx tg xx xdx xdx< << <∫ Chöùng minh raèng 2x10 101018253 031. 51 12. 12 11 13.2626 21dxdxxx dxx+++∫∫∫



<28∏∏ ∏10212 3013. sin4. ln 21 .sin.sin5.1216. 4xx xdxx xe dxexdxx x−−++− −∫∫∫



Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 8 Baøi Giaûi: ≤⇒ ≤∫ ∫2 21 20 01. 52 5x xdx dx dx dx ≤⇒ +⇒ ≤+ +∫ ∫8 88 81 10 82. 21 10 1211 112 1x xx xdx dxdx dxx +⇒ +⇒ +∫ ∫310 10325 25 253 310 1025 251 25 253 30 310 103. 21 12 11 1262 26 21 1x xx xxx xx xx dx dx dx dxx



4. Tröôùc heát ta chöùng minh ]sin; (1) 0,1 .1 sin 1x xxx ∀+ +
Giaû söû ta coù (1). ](1) ⇔1 11 0.1 sin sin 1xx x− −+ +
⇔1 .sin (1 sin 0x x+ ñuùng []∀0,1x∈ Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng khi ñoù: )⇔⇔⇒1 10 10010sin 1(1) 1sin 1.sin ln ln 21 sin. sin ln 2.1 .sin xdx dx dxx xx dx xx xx dxx x = − + +− −+−+∫ ∫∫∫

)( )2 22 21 13 31 10 sin 15. 1, 0, 0110 sin 1sin 10 ;1 1xxxxe xx eexe xxe dx dx dx Ie ex x−−−< = < ++< <⇒ +∫
∈ Ñaët221(1 )cosx tgt dx dt tg dtt= +Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 9()3 3232 44 411 31 124tg txdt dt ttg tt∏ ∏∏ ∏∏ ∏+∏⇒ =∏ +∫ Vaäy213sin0121xe dxex−∏< <+∫ 32 22 22 21 10 26. 04 44 14 14 2x xx xx xx xI dx dx dx Jx x⇒ −⇒ −⇒ =− −∫




 

Ñaët2 sin cosx dx tdt= )20 06 60 cos604 sin6x tdtI dtt t∏ ∏∏⇒ =∏−∫ Ñaët2 sin cosx dx tdt= 104xt∏ )40 2042 cos 22 84 sintdtJt∏∏∏⇒ =−∫ 10 326 84dxx x∏ ∏⇒ ≤− −∫ Chöùng minh raèng 2210sin2011. 12.2 2x xe dxee dx e−∏−∏ ∏∫∫

201 401 63. sin .2 414. 0.88 11x dxdxx∏∏ ≤< +∫∫ Baøi giaûi :Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh ðàLt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 10( )( )2222 2201. 10 2x xx xxxx xx ee eeee e− −−⇒ <⇒ ⇔⇒
 
2° °x Töø (1) vaø (2) suy ra2: 1x xe e− 21 10 011x xee dx dx dx dxe− −−⇒ ⇒∫ ∫
22 22 sin2 sin sin0 02. sin 1.2 2xx xx edx dx dx dx e∏ ∏⇒∏ ∏⇒ ⇒∫

22 22 20 01 33. sin sin sin2 21 61 sin sin .2 4x xdx dx dx dx∏ ∏⇒ +∏ ∏⇒ +∫

4. Caùch 1: ()0,1x∀∈ thì4 24 21 11 1x xx x< )124 01 1ln ln 0, 881 1dx dx xx x1 10 0⇒ +∫ Maët khaùc :144 401 11 11 1x dxx x+ <+ +∫ Vaäy :1 4010, 88 11dxx< <+∫ Chuù yù hoïc sinh töï chöùng minh 22 21 lndx Ca x= ++∫ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn Caùch ()4 14 00,1 11 11 1x xdx Ix x4⇒ +⇒ >+ +∫∈ Vôùi :1 2011I dxx=+∫ Ñaët( )221 1cosx tgt dx dt tg dt=