Bài tập giải tích 12 phần 2

TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 12 TAÄP 2 OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC Naêm 2009 Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit CHÖÔNG II HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT I. LUYÕ THÖØA 1. Ñònh nghóa luyõ thöøa Soá muõ a Cô soá a a = nÎ N* a =0 aÎR a¹0 a = -n ( n Î N * ) a¹0 m (m Î Z , n Î N * ) n a = lim rn (rn Î Q, n Î N * ) a= Luyõ thöøa aa aa = a n = a.a......a (n thöøa soá a) aa = a 0 = 1 1 a a = a -n = n a m a>0 a a = a n = n a m (n a = b Û b n = a) a>0 a a = lim a rn 2. Tính chaát cuûa luyõ thöøa · Vôùi moïi a > 0, b > 0 ta coù: a b a .a = a a +b ; aa = aa -b b a · a > 1 : aa > a b Û a > b ; · Vôùi 0 < a < b ta coù: a a b ; (a ) = a a .b a a ; (ab) = a .b a aa æaö ; ç ÷ = a b èbø 0 < a < 1 : aa > a b Û a < b am < bm Û m > 0 ; am > bm Û m < 0 Chuù yù: + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá a phaûi khaùc 0. + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông. 3. Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc · Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho b n = a . · Vôùi a, b ³ 0, m, n Î N*, p, q Î Z ta coù: n ab = n a .n b ; Neáu p q = thì n m n n ap = a na = (b > 0) ; b nb m n a q (a > 0) ; Ñaëc bieät · Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì n p a p = ( n a ) ( a > 0) ; n a= mn mn a = mn a am aç ÷ è 2 ø è 2 ø Baøi 7. Coù theå keát luaän gì veà soá a neáu: a) ( a - 1) - 2 3 d) (1 - a ) - 1 3 3 n -3 -1 b) ( 2 a + 1) > (1 - a ) - 1 2 3 (2 - a)4 5 a) 4 = 1024 d) ( 3 3 ) m < ( a - 1) e) æ1ö =ç ÷ è9ø x -2 - 1 17 > ( 2 a + 1) > (2 - a) - x+1 x = 8 125 -x a) 0,1 > 100 27 = 64 h) 0,2 = 0, 008 ( x x 12 ) . ( 3 ) = x æ1ö b) ç ÷ > 3 0, 04 è5ø Trang 53 1 6 n m 2 - 1) < ( 2 - 1) æ1ö c) ç ÷ èaø -0,2 < a2 æ 1 ö2 æ 1 ö f) ç ÷ > ç ÷ èaø èaø c) 81 - 3 x = æ3ö f) ç ÷ è2ø - 1 2 3 1 32 x 2 -5 x +6 æ 9 ö i) ç ÷ è 49 ø x l) ( i) a -0,25 < a- Baøi 9. Giaûi caùc baát phöông trình sau: x 2 1 8 æ2ö æ 8 ö e) ç ÷ . ç ÷ è 9 ø è 27 ø -x f) 1 ç ÷ è9ø è9ø n 5 - 1) < ( 5 - 1) 1 3 7 2x > ( 2) - g) a < a Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau: x ( m =1 3 x -7 æ7ö =ç ÷ è3ø m) 71- x .41- x = c) 0,3 x > 100 9 1 28 7 x -3 n Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit d) 7 x+ 2 . 49 ³ 343 1 27 Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau: g) ( 3 ) x .3 > Traàn Só Tuøng æ1ö e) ç ÷ è3ø x+2 1 <9 27 h) 27 x .31- x < 1 3 f) 3 x < 1 9 3 x æ 1 ö i) ç ÷ .3 2 > 1 è 64 ø a) 2 x + 2 x+2 = 20 b) 3 x + 3 x+1 = 12 c) 5 x + 5 x-1 = 30 d) 4 x -1 + 4 x + 4 x +1 = 84 e) 42 x - 24.4 x + 128 = 0 f) 4 x +1 + 22 x +1 = 48 g) 3.9 x - 2.9- x + 5 = 0 h) 3 x 2 -5 x + 6 =1 Trang 54 i) 4 x + 2 x+1 - 24 = 0 Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit II. LOGARIT 1. Ñònh nghóa · Vôùi a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta coù: log a b = a Û aa = b ìa > 0, a ¹ 1 Chuù yù: log a b coù nghóa khi í îb > 0 lg b = log b = log10 b · Logarit thaäp phaân: n æ 1ö ln b = log e b (vôùi e = lim ç 1 + ÷ » 2,718281 ) è nø · Logarit töï nhieân (logarit Nepe): 2. Tính chaát · log a 1 = 0 ; log a a b = b ; log a a = 1 ; a log a b = b ( b > 0) · Cho a > 0, a ¹ 1, b, c > 0. Khi ñoù: + Neáu a > 1 thì log a b > log a c Û b > c + Neáu 0 < a < 1 thì log a b > log a c Û b < c 3. Caùc qui taéc tính logarit Vôùi a > 0, a ¹ 1, b, c > 0, ta coù: · log a (bc) = log a b + log a c æbö · log a ç ÷ = log a b - log a c · log a ba = a log a b ècø 4. Ñoåi cô soá Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b ¹ 1, ta coù: log a c · log b c = hay log a b.log b c = log a c log a b · log a b = 1 log b a 1 log a c (a ¹ 0) a · log aa c = Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau: a) log2 4.log 1 2 d) 4 g) log 2 3 +9 4 log 3 b) log5 2 e) log log a3 a.log a4 a1/3 log 1 a 7 1 .log27 9 25 c) log a 3 a 8 f) 27 h) log3 6.log8 9.log 6 2 i) 9 2 2 log 9 2 +4 log8 27 2 log3 2 + 4 log81 5 a log3 5 k) 81 n) 9 1 log6 3 + 27 +4 log 9 36 1 log8 2 +3 4 log9 7 log5 6 l) 25 + 49 1+ log9 4 o) 3 +4 log7 8 2 - log2 3 q) lg(tan10 ) + lg(tan 2 0 ) + ... + lg(tan 89 0 ) r) log8 éë log 4 (log 2 16) ùû .log 2 éë log 3 (log 4 64) ùû Trang 55 3-2 log5 4 m) 5 +5 log125 27 p) log 6 3.log3 36 Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng Baøi 2. Cho a > 0, a ¹ 1. Chöùng minh: log a ( a + 1) > loga +1 (a + 2) HD: Xeùt A = = log a+1 (a + 2) log a (a + 1) log a +1 a( a + 2) 2 Baøi 3. So saùnh caùc caëp soá sau: 1 a) log3 4 vaø log 4 3 d) log 1 3 = log a+1 a.log a +1( a + 2) £ < loga +1 (a + 1)2 2 2 4 g) log7 10 vaø log11 13 d) Chöùng minh: log 1 3 = =1 b) log 0,1 3 2 vaø log 0,2 0,34 c) log 3 1 1 vaø log 1 80 15 + 2 2 HD: log a+1 a + log a +1 ( a + 2) 2 3 vaø log 5 5 4 log6 3 vaø 2 1 log6 3 2 e) log13 150 vaø log17 290 f) 2 h) log2 3 vaø log3 4 i) log9 10 vaø log10 11 1 1 < 4 < log 1 80 15 + 2 2 e) Chöùng minh: log13 150 < 2 < log17 290 g) Xeùt A = log7 10 - log11 13 = = log 7 10.log7 11 - log 7 13 log7 11 1 æ 10.11.7 10 11 ö + log 7 .log 7 ÷ > 0 ç log7 log7 11 è 7.7.13 7 7ø h, i) Söû duïng baøi 2. Baøi 4. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho: a) Cho log2 14 = a . Tính log 49 32 theo a. b) Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a. c) Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ; 1 log81 100 . d) Cho log7 2 = a . Tính log 1 28 theo a. 2 Baøi 5. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho: 49 theo a, b. 8 b) Cho log30 3 = a ; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b. a) Cho log25 7 = a ; log2 5 = b . Tính log 3 5 c) Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b. d) Cho log2 3 = a ; log3 5 = b ; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c. Baøi 6. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau (vôùi giaû thieát caùc bieåu thöùc ñaõ cho coù nghóa): a) b log a c =c loga b b) log ax (bx ) = log a b + log a x 1 + log a x c) log a c log ab c a+b 1 = (logc a + logc b) , vôùi a2 + b2 = 7ab . 3 2 1 e) log a ( x + 2 y ) - 2 log a 2 = (loga x + loga y ) , vôùi x 2 + 4 y 2 = 12 xy . 2 d) logc Trang 56 = 1 + log a b Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit f) log b +c a + logc -b a = 2 logc +b a.logc -b a , vôùi a2 + b2 = c2 . g) 1 1 1 1 1 k (k + 1) + + + + ... + = . log a x log a2 x log a3 x log a 4 x log a k x 2 log a x h) log a N .log b N + logb N .logc N + logc N .log a N = i) x = 10 k) l) 1 1- lg z , neáu y = 10 1 1- lg x vaø z = 10 1 1- lg y log a N .log b N .logc N log abc N . 1 1 1 1 + + ... + = . log2 N log3 N log 2009 N log 2009! N log a N - log b N log b N - logc N = log a N logc N , vôùi caùc soá a, b, c laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Trang 57 . Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng III. HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT 1. Khaùi nieäm a) Haøm soá luyõ thöøa y = xa (a laø haèng soá) Soá muõ a Haøm soá y = xa Taäp xaùc ñònh D a = n (n nguyeân döông) y = xn D=R a = n (n nguyeân aâm hoaëc n = 0) y = xn D = R \ {0} a laø soá thöïc khoâng nguyeân y = xa D = (0; +¥) Chuù yù: Haøm soá y = 1 xn khoâng ñoàng nhaát vôùi haøm soá y = n x (n Î N *) . b) Haøm soá muõ y = a x (a > 0, a ¹ 1). · Taäp xaùc ñònh: D = R. · Taäp giaù trò: T = (0; +¥). · Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán. · Nhaän truïc hoaønh laøm tieäm caän ngang. · Ñoà thò: y y=ax y y=ax 1 1 x x a>1 0 0, a ¹ 1) · Taäp xaùc ñònh: D = (0; +¥). · Taäp giaù trò: T = R. · Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán. · Nhaän truïc tung laøm tieäm caän ñöùng. · Ñoà thò: y y y=logax O x 1 O x 1 01 Trang 58 y=logax Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit 2. Giôùi haïn ñaëc bieät · 1 x) x lim (1 + x ®0 x ex - 1 · lim =1 x ®0 x ln(1 + x ) =1 · lim x ®0 x æ 1ö = lim ç 1 + ÷ = e x ®±¥ è xø 3. Ñaïo haøm · ( xa )¢ = a xa -1 ( x > 0) ; ( n x )¢ = Chuù yù: · · 1 n n x n -1 ( ua )¢ = a ua -1.u¢ æ vôùi x > 0 neáu n chaün ö ç vôùi x < 0 neáu n leû ÷ . è ø ( a x )¢ = a x ln a ; ( au )¢ = au ln a.u¢ ( e x )¢ = e x ; ( eu )¢ = eu .u¢ ( loga x )¢ = x ln1 a ; ( loga u )¢ = u lnu¢ a ( ln x )¢ = 1 ( ln u )¢ = u¢ x (x > 0); ( n u )¢ = u¢ n n u n-1 u Baøi 1. Tính caùc giôùi haïn sau: æ x ö a) lim ç ÷ x ®+¥ è 1 + x ø x æ 3x - 4 ö d) lim ç ÷ x ®+¥ è 3 x + 2 ø æ 1ö b) lim ç 1 + ÷ x ®+¥ è xø x +1 3 x +1 x æ x +1 ö e) lim ç ÷ x ®+¥ è 2 x - 1 ø x e2 x - 1 x ®0 3 x ln x - 1 x ®e x - e g) lim 2 a) y = x + x + 1 b) y = d) y = 3 sin(2 x + 1) e) y = cot 1 + x 2 g) y = 3 sin h) y = Baøi 3. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: ( ) a) y = x 2 - 2 x + 2 e x d) y = e 2x + x 2 x cos x g) y = 2 .e 11 5 9 + 6 x9 ( ) b) y = x 2 + 2 x e - x e) y = x.e h) y = 1 x- x 3 3x 2 x - x +1 Trang 59 x m) lim x ( e - 1) 1 x x ®+¥ c) y = 3 x+3 4 æ 2x +1 ö f) lim ç ÷ x ®+¥ è x - 1 ø i) lim x +1 x -1 4 2 x -1 ex - e x ®1 x - 1 h) lim e x - e- x esin 2 x - esin x k) lim l) lim x ®0 sin x x ®0 x Baøi 2. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 3 æ x +1 ö c) lim ç ÷ x ®+¥ è x - 2 ø f) y = 5 x2 + x - 2 x2 + 1 1- 3 2x 1+ 3 2x i) y = 4 x2 + x + 1 x2 - x + 1 c) y = e -2 x .sin x f) y = e2 x + e x e2 x - e x i) y = cos x.ecotx