59 bài tập tích phân hàm ẩn có lời giải chi tiết
Gửi bởi: Thái Dương 27 tháng 1 2021 lúc 11:16:18 | Được cập nhật: 2 giờ trước (2:17:42) Kiểu file: PDF | Lượt xem: 408 | Lượt Download: 8 | File size: 1.736513 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Các đề luyện thi TNTHPT môn Toán
- Chuyên đề sự đồng biến và nghịch biến
- Chuyên đề cực trị của hàm số
- Test công thức
- 300 câu trắc nghiệm chương Đạo hàm theo chủ đề
- 520 bài tập trắc nghiệm đạo hàm
- Đề luyện tập Chuyên đề 1 - Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Đề luyện tập Chuyên đề 2 - Khối đa diện
- Đề luyện tập Chuyên đề 3 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm lôgarit
- ĐỀ 44-TỔNG HỢP (ĐẾN NGUYÊN HÀM-MẶT CẦU)
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN
GIẢI CHI TIẾT
2
2
Câu 1: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) ; f '( x) 2 x f ( x) , x . . Giá trị của f (1) là
9
35
Lời giải
Ⓐ.
.
36
Chọn B
2
2
f '( x)
f '( x)
1
Ⓑ.
.
2x
dx 2 xdx
x2 C
Cách 1: Ta có: f '( x) 2 x f ( x)
2
2
3
f
(x)
f ( x)
f ( x)
19
2
Ⓒ.
.
f (2)
36
9
1
1
1
2
f ( x) 2
C .Vậy f ( x)
f (1) .
2
1
2
3
x C
Ⓓ.
.
x2
5
2
Cách 2:
2
f '( x)
2
2
f '( x)
1
f '( x) 2 x f ( x)
2x
dx 2 xdx 3
3
2
2
f ( x) 1
f ( x)
1 f ( x)
1
2
f (1)
.
3
2
1
Câu 2: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) ; f '( x) x f ( x) , x . . Giá trị của f (1) là
3
11
Lời giải
Ⓐ.
.
6
Chọn B
2
2
f '( x)
f '( x)
1 x2
Ⓑ.
.
Cách
1
Ta
có:
f
'(
x
)
x
f
(
x
)
x
dx
xdx
C
f ( x) 2
2
3
f (x) 2
f ( x)
2
Ⓒ.
.
1
f (2)
9
3
1
2
1
f (1) .
f
(
x
)
C 1 .Vậy f ( x) 2
2
7
3
x 1
x
Ⓓ.
.
C
6
2
Cách 2:
2
2
3
1
2
f '( x) x f ( x)
x
dx xdx
3 f (1)
.
2
2
2
f
(
x
)
3
f ( x)
1 f ( x)
1
1
2
f '( x)
Câu 3: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)
Ⓐ.
41
.
400
2
f '( x)
2
2
1
; f '( x) 4 x3 f ( x) , x . . Giá trị của f (1) là
25
Lời giải
Chọn B
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 1
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
1
.
10
391
Ⓒ.
.
400
1
Ⓓ.
.
40
Ⓑ.
NĂM HỌC 2019 – 2020
f '( x)
2
Cách 1 Ta có: f '( x) 4 x 3 f ( x)
f ( x)
1
x C
f (2)
f ( x)
1
25
C 9 .Vậy f ( x)
4
4x3
2
f '( x)
f ( x)
2
dx 4 x 3dx
1
x4 C
f (x)
1
1
f (1) .
10
x 9
2
Cách 2:
2
1
1
f '( x) 4 x f ( x)
4x
dx 4 x dx 15
3 f (1) .
2
2
f ( x) 1
10
f ( x)
1 f ( x)
1
2
f '( x)
2
3
3
2
1
và f ' x x3 f x với mọi x
5
. Giá trị của f 1
bằng :
4
.
35
71
Ⓑ. .
20
79
Ⓒ. .
20
4
Ⓓ. .
5
Lời giải
Ⓐ.
Chọn D
Ta có f ' x x 3 f x
f ' x
2
Cách 1: Từ (*) suy ra
f x
1
4
x
C
4
f x
f ' x
f x
f 2
1
5
2
x 3 (*).
2
dx x 3dx
1
x4
C .
f x 4
1
1
1
4
C 1 f x 4
f 1 .
5
4C
5
x
1
4
2
2
3
Chọn đáp án.
Ⓓ.
thỏa mãn đồng thời các điều kiện f x 0 với
Câu 5: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên
mọi x
; f ' x e x . f 2 x , x
và f 0
Ⓐ.
Lời giải
2
.
9
Ⓑ.
2
f ln 2
9
Chọn D
Biến đổi
f ' x e . f
x
2
.
Chọn đáp án.
Ⓒ.
Ⓓ.
f ln 2
1
. Tính giá trị của f ln 2 .
2
x
f ' x
f
2
x
e
x
ln 2
0
f ' x
f
2
x
ln 2
dx
0
ln 2
1
e dx
f x
1 f ln 2
x
1
1
3
2
.
3
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 2
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
f ' x
1
15
4
dx
x
dx
f 1 .
Cách 2: (*) suy ra
2
5
1 f x
1
f x 1 4
2
f ln 2
HOCMAI.VN
Câu 4: Cho hàm số f x thỏa mãn f 2
2
f '( x)
3
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Ⓓ.
f ln 2
1
.
3
Câu 6: Cho hàm số y f x có đồ thị C , xác định và liên tục trên
; f ' x x. f x , x
f x 0, x
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
và f 0 2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có
2
hoành độ x 1 của đồ thị C là
Ⓐ.
y 6x 30 .
HOCMAI.VN
Lời giải
Chọn C
f ' x
Ⓑ.
1
x
2
f ' x
1
1
1
1
dx x dx
f 1 6 .
2
3
f x
f x
0
2
y 6x 30 .
Biến đổi
Ⓒ.
y 36x 30 .
Từ f ' x x. f x f ' 1 1. f 1
Ⓓ.
y 36x 42
Chọn đáp án.
f 2 x
0
0
2
2
36 .
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 36 x 1 6 y 36x 30 .
Ⓒ.
.
Câu 7: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn
1 ; 1 , thỏa mãn f x 0, x
và
f x 2 f x 0 . Biết f 1 1 tính f 1 .
Ⓐ.
Lời giải
f 1 e 2 .
f 1 e .
f x 2 f x 0
Ta có
3
1
Ⓒ.
f 1 e 4 .
Ⓓ.
1
f x
f x
f x
f x
1
dx -2dx ln f x
1
1
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Ⓑ.
Chọn C
2 .
2 x
1
1
ln f 1 ln f 1 4
1
ln f 1 4 f 1 e 4
f 1 3 .
Câu 8: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x . f x x4 x2 . Biết f 0 2 . Tính f 2 2 .
Ⓐ.
f 2 2
Lời giải
313
.
15
Ⓑ.
f 2 2
332
.
15
Chọn B
Ⓒ.
324
.
f 2 2
15
2
2
0
0
Ta có f x . f x x x f x . f x dx x 4 x 2 dx
4
1 2
f x
2
f 2 2
2
2
0
x5 x3
3
5
f 2 0
2
2
2
0
136
332
f 2 2
15
15
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 3
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Ⓓ.
f 2 2
323
.
15
Câu 9: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 0 ; , biết
f x 2x 4 f 2 x 0, f x 0, x
1
. Tính f 1 f 2 f 3 .
15
Lời giải
Ⓐ.
Chọn D
f x 2x 4 f 2 x 0
f x
f
2
x
dx
f x
f 2 x
HOCMAI.VN
7
.
15
11
Ⓑ.
.
15
11
Ⓒ.
.
30
7
Ⓓ.
.
30
, f 2
2 x 4 .
1
2x 4 dx f x x
1
2
4x C f x
1
1
.
x 4x C
2
Với f 2
1
1
1
1
.
C 3 f x 2
15
15 12 C
x 4x 3
1 1
1
7
Khi đó f 1 f 2 f 3
8 15 24 30
. Biết f 6 x . f x 12x 13 và f 0 2 . Khi đó
Câu 10: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên
phương trình f x 3 có bao nhiêu nghiệm
Ⓐ. 2 .
Ⓑ. 3 .
Ⓓ. 1 .
Chọn A
Từ f 6 x . f x 12x 13 f 6 x . f x dx 12x 3 dx
f
6
x df x 6x
2
13x C
Suy ra f 7 x 42x2 91x 27 .
f 7 x
7
6 x2 13x C
C
f 0 2
27
.
7
Do đó phương trình f x 3 f 7 x 2187 42x2 91x 2059 0 * .
Phương trình * có ac 0 nên có hai nghiệm trái dấu
1
Câu 11: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f x 2x 3 f 2 x và f 0 . Biết rằng tổng
2
a
a
f 1 f 2 ... f 2017 f 2018 với a và b * và là phân số tối giản. Mệnh đề
b
b
nào sau đây đúng
a
1 .
b
a
Ⓑ. 1 .
b
Ⓒ.
Lời giải
Ⓐ.
a b 1010 .
Ⓓ.
Chọn B
Biến đổi: f x 2 x 3 . f 2 x
f x
f 2 x
2x 3
f x
f 2 x
dx 2 x 3 dx
1
f 0
1
1
2
x 2 3x C f x 2
C 2
f x
x 3x C
b a 3029 .
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 4
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Ⓒ. 7 .
Lời giải
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
f x
1
1
.
x 3x 2
x 1 x 2
2
Khi đó:
a
1
1
1
1
f 1 f 2 ... f 2017 f 2018
....
b
2018.2019 2019.2020
2.3 3.4
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1009
.
...
2018 2019 2019 2020
2020
2 3 3 4
2 2020
Câu 12: (Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017) Giả sử hàm số f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và
thỏa mãn f 1 1, f x f x 3x 1 với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ⓐ.
Lời giải
4 f 5 5 .
Chọn C
Ⓑ.
Ta có f x f x 3x 1
2 f 3 3 .
Ⓒ.
3 f 5 4 .
Ⓓ.
1 f 5 2 .
d f x
3 f x
1
3
f x
f x
1
3x 1
1
3x 1 2 d 3x 1 ln f x
4
C
3
2
4
1 C f x e 3
Khi đó f 1 1 e
3
Cách 2: Với điều kiện bài toán, ta có
5
1
f x
f x
5
1
dx
3x 1
1
f x
f x
5
dx
1
f x
f x
dx
dx
3x 1
.
2
2
3x 1 C f x e 3
3
3 x 1
4
3
3 x 1 C
.
4
3
f 5 e 3,79 3; 4 .
1
3x 1
df x
f x
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
f x f x 3x 1
f 5 4
4
4
ln f x 15 ln
3
3
f 1 3
4
f 5 f 1 .e 3 3,79 3; 4
Câu 13: Cho hàm số f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn
x 2 xf ( x) [f ( x)]2 , x [1; 4], f (1)
391
.
18
361
Ⓑ.
.
18
381
Ⓒ.
.
18
371
Ⓓ.
.
18
HOCMAI.VN
Với điều kiện a , b thỏa mãn bài toán, suy ra a 1009, b 2020 b a 3029
Ⓐ.
3
. Giá trị f (4) bằng
2
Lời giải
Chọn A
Ta có
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 5
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
x 2 xf ( x) [f ( x)]2 x(1 2 f ( x)) [f ( x)]2
[f ( x)]2
x
1 2 f ( x)
f ( x)
x
1 2 f ( x)
f ( x)
4
4
1 2 f ( x)
1
dx xdx
1
14
1
3
14
391
1 2 f (4) 2
f (4)
3
18
Chú ý:
4
f ( x)
4
Nếu không nhìn được ra luôn
1
HOCMAI.VN
1 2 f ( x)
4
1 2 f ( x)
dx 1 2 f ( x) 1 2 f (4) 2 thì ta có thể
1
sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).
+ Vi phân
f ( x)
4
1
1 2 f ( x)
4
dx
1
df ( x)
1 2 f ( x)
dx
1
4
1
2 d(1 2 f ( x)) 1 2 f ( x)
1
2
f
(
x
)
1 2 f (4) 2
1
21
4
+ Đổi biến
Đặt t 1 2 f ( x) t 2 1 2 f ( x) tdt f ( x)dx
Với
x 4 t 1 2 f (4)
1 2 f (4)
Khi đó I
2
1 2 f (4)
tdt
t2
1 2 f (4) 2
t
Câu 14: Cho hàm số f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x). f ( x) 2x f 2 ( x) 1, f (0) 0 . Tổng giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ( x) trên [1; 3] bằng
Ⓐ. 22 .
Lời giải
Ⓑ.
Chọn D
4 11 3 .
Ta có
Ⓒ. 20 2 .
f ( x). f ( x) 2 x f 2 ( x) 1
Ⓓ.
3 11 3 .
f ( x). f ( x)
f 2 ( x) 1
f ( x). f ( x)
f 2 ( x) 1
2x
dx 2 xdx
f 2 ( x) 1 x 2 C
Với f (0) 0 1 C
f 2 ( x) 1 x2 1 f 2 ( x) x4 2 x2 g( x)
Ta có g( x) 4x3 4x 0, x [1; 3]
Suy ra g( x) đồng biến trên [1; 3]
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 6
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
x 1 t 1 2 f (1) 2;
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Suy ra
f ( x ) 0
g(1) g( x) f ( x) g(3) 3 f ( x) 99
2
3 f ( x) 3 11
2
min f ( x) 3; max f ( x) 3 11
[1;3]
[1;3]
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ( x) trên [1; 3] bằng
3 11 3
Chú ý:
f ( x). f ( x)
f ( x) 1
2
dx f 2 ( x) 1 C thì ta có thể sử dụng kĩ
thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).
f ( x). f ( x)
+ Vi phân
f ( x) 1
2
f ( x).df ( x)
dx
1
2
d f
1
f 2 ( x) 1
2
f ( x) 1 2
2
( x) 1
HOCMAI.VN
Nếu không nhìn được ra luôn
f 2 ( x) 1 C
+ Đổi biến
f 2 ( x) 1 t 2 f 2 ( x) 1 tdt f ( x). f ( x)dx
Đặt t
Suy ra
f ( x). f ( x)
f ( x) 1
2
dx
tdt
t C
t
f 2 ( x) 1 C
Câu 15: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm và đồng biến trên R thỏa mãn f (0) 1; f ( x) e x . f ( x), x R .
2
1
Tính tích phân
f ( x)dx bằng
0
Ⓐ. e 2 .
Ⓑ. e 1 .
Chọn B
Ⓒ. e 2 2 .
Ta có
Ⓓ. e 2 1 .
f ( x)
f ( x)
e . f ( x)
2
2
ex
x
f ( x)
1
2
x
2
f ( x)
x
x
2
ex
f ( x)
x
dx e x dx
f ()) 1
f ( x) df ( x) e dx 2 f ( x) 2e C C 0
1
Suy ra
0
1
x
2
f ( x) e f ( x) e x
1
f ( x)dx e x dx e x e 1
0
0
Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f x 6 x2 . f x 3
Ⓐ. 2. .
Ⓑ. 4. .
Ⓒ. 1. .
Ⓓ. 6.
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Lời giải
6
3x 1
1
. Tính
f x dx
0
Lời giải
Chọn B
f x 6x2 . f x3
1
1
1
3
I f x dx 2 3x 2 . f x 3
dx A B
3x 1
3x 1
0
0
6
Gọi A 2 3x 2 . f x 3 dx.
0
Đặt t x3 dt 3x2dx
Đổi cận x 0 t 0; x 1 t 1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 7
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
1
1
0
0
A 2 f t dt 2 f x dx 2 I
I 2I B
1
I B 6
0
1
1
1
1
dx 6 3x 1 2 . .d 3x 1 2.2. 3x 1 4.
0
3
3x 1
0
1
Câu 17: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 4 x. f x2 3 f 1 x 1 x2 .
1
f x dx
HOCMAI.VN
Tính
0
..
4
Ⓑ.
..
6
Ⓒ.
..
20
Ⓓ.
.
16
Lời giải
Ⓐ.
Chọn C
4 x. f x2 3 f 1 x 1 x2
1
1
1
1
0
0
0
2. 2 x. f x 2 dx 3 f 1 x dx 1 x 2 dx 2 A 3B 1 x 2 dx *
0
1
A 2 x. f x 2 dx Đặt t x2 dt 2xdx ; x 0 t 0; x 1 t 1
0
1
1
0
0
A f t dt f x dx
1
B f 1 x dx Đặt t 1 x dt dx; x 0 t 1, x 1 t 0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
* 2 f x dx 3 f x dx
1
1
0
0
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
B f t dt f x dx
1 x 2 dx 5. f x dx 1 x 2 dx
Đặt: x sin t dx costdt , t ; ; x 0 t 0, x 1 t
2
2 2
1
2
1 x dx
2
0
0
1
Vậy
1 cos2t
1 1
1 sin t .cos tdt
dt . t sin 2t 2
2
2 2
0 4
0
2
2
f x dx 20 .
0
Câu 18: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0; 2 thỏa mãn f x f 2 x 2x .
2
Tính
f x dx
0
Ⓐ. 4. .
1
..
2
4
Ⓒ. . .
3
Ⓑ.
Lời giải
Chọn D
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
f x f 2 x 2 x f x dx f 2 x dx 2xdx f x dx f 2 x dx 2xdx
Đặt: t 2 x dt dx
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 8
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
x 0 t 2, x 2 t 0
Ⓓ. 2.
2
2
2
0
0
f 2 x dx f t dt f x dx
0
2
2
4
0
Do đó: 2 f x dx x 2
0
2
Vậy:
f x dx 2
0
giá trị tích phân I
2
f x dx .
1
Ⓐ. I 5 .
Lời giải
5
.
2
Ⓒ. I 3 .
Chọn C
Ⓓ. I 15 .
Ⓑ. I
HOCMAI.VN
2
3
Câu 19: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn
1, 2 và thỏa mãn f x 2xf x 2 3 f 1 x 4x . Tính
f x 2 xf x 2 2 3 f 1 x 4 x 3
2
2
f x dx 2x. f x
1
2
1
2
2
1
1
2 dx 3 f 1 x 4 x 3ds 15 .
Đặt u x 2 du 2xdx ; với x 1 u 1; x 2 u 2 .
2
2
2
2x. f x 2 dx
Khi đó
1
2
f u du
1
2
f x dx 1 .
1
Đặt t 1 x dt dx ; với x 1 t 2; x 2 t 1 .
2
f 1 x dx
1
2
f t dt
1
2
f x dx 2
1
2
Thay 1 , 2 vào ta được 5 f x dx 15
1
2
f x dx 3
1
2
Câu 20: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn
1, 2 và thỏa mãn f x x 2 xf 3 x . Tính giá trị
tích phân I
2
f x dx .
1
14
.
3
28
Ⓑ. I
.
3
4
Ⓒ. I .
3
Ⓓ. I 2 .
Ⓐ. I
Lời giải
Chọn B
f x xf 3 x
2
2
2
x 2 f x dx xf 3 x dx
1
1
2
2
x 2dx
1
14
.
3
Đặt u 3 x du 2xdx ; với x 1 u 2; x 2 u 1 .
2
2
2
2
1
1
Khi đó xf 1 x dx f u du f x dx 2
2 1
2 1
1
2
Thay vào ta được
2
1
f x dx
2
2
1
14
28
f x dx
f x dx
2 1
3
3
1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 9
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Khi đó
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
1
Câu 21: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0,1 và thỏa mãn f x xf 1 x2 3 f 1 x
. Tính
x1
1
giá trị tích phân I f x dx .
0
Ⓐ. I
9
ln 2
2
Lời giải
Chọn B
.
2
ln 2
9
1
1
1
x1
1
1
0
0
f x dx xf 1 x 2 dx 3 f 1 x dx
.
0
4
Ⓒ. I .
3
3
Ⓓ. I .
2
0
HOCMAI.VN
Ⓑ. I
f x xf 1 x 2 3 f 1 x
1
dx
ln x 1 ln 2
0
x1
Đặt u 1 x du 2xdx ; với x 0 u 1; x 1 u 0 .
2
1
Khi đó
2
2xf x 2 dx
0
1
1
1
1
f u du f x dx 1 .
20
20
Đặt t 1 x dt dx ; với x 0 t 1; x 1 t 0 .
1
Khi đó
0
1
1
0
0
f 1 x dx f t dt f x dx 2 .
Thay 1 , 2 vào ta được
1
f x dx
0
1
1
1
1
1
9
2
f x dx 3 f x dx ln 2 f x dx ln 2 f x dx ln 2 .
20
20
9
0
0
1
I f x dx
0
ab 2
với a, b, c
c
và
x3
x2 1
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Câu 22: Cho hàm số y f x và thỏa mãn f x 8 x3 f x 4
0 . Tích phân
a b
; tối giản. Tính a b c
c c
Ⓐ. 6.
Lời giải
Ⓑ. 4 .
Chọn A
Ⓒ. 4.
Cách 1: (Dùng công thức - Dạng 2).
Ⓓ. 10 .
Biến đổi: f x 8 x 3 f x 4
x3
x2 1
0 f x 2 4x3 f x4
x3
x2 1
với
A 1; B 2; C 0 .
1
Áp dụng công thức ta có:
0
f x dx
1
1
1
x3
x3
dx
dx .
2
2
1 2 0
x 1
x 1
0
x 0 t 1
Đặt t x2 1 t 2 x2 1 tdt xdx; với
.
x 1 t 2
Khi đó
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
10
Trang
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
1
1
x2
f x dx
0
x2 1
0
xdx
2
1
t2 1
.tdt
t
2
1
2
t3
t 1 .dt t|1
3
2
2 2 ab 2
.
3
c
Suy ra a 2; b 1; c 3 a b c 6 .
Cách 2: Đổi biến số.
x3
x2 1
1
1
0
0
1
0 f x dx 2 4 x 3 f x 4 dx
0
x3
x2 1
dx 0 * . Đặt
u x4 du 4x3dx; với x 0 u 0; x 1 u 1.
1
Khi đó
1
1
4x f x dx f udu f x dx thay vào * , ta được:
3
4
0
0
1
1
1
0
0
0
f x dx 2 f x dx
HOCMAI.VN
Từ f x 8 x3 f x4
0
x
3
x2 1
1
1
0
0
dx f x dx
x3
x2 1
dx .
x 0 t 1
Đặt t x2 1 t 2 x2 1 tdt xdx; với
.
x 1 t 2
Khi đó
1
0
1
f x dx
0
x2
x2 1
xdx
2
1
t2 1
.tdt
t
2
t
2
1 .dt
1
2
t3
t|1
3
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
2 2 ab 2
.
3
c
1
Câu 23: Cho hàm số liên tục trên đoạn
ln 2; ln 2 và thỏa mãn f x f x e x 1 . Biết
ln 2
f x dx a ln 2 b ln 3 với a, b
. Tính giá trị của P a b
ln 2
1
.
2
Ⓑ. P 2 .
Ⓐ. P
Ⓒ. P 1 .
Ⓓ. P 2 .
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Dùng công thức – Dạng 2
Từ f x f x
ln 2
Suy ra
ln 2
1
. Ta có A 1; B 1; C 0 .
e 1
f x dx
x
ln 2
ln 2
1
dx
1
dx
x
x
1 1 ln 2 e 1 2 ln 2 e 1
Cách 2: Dùng công thức đổi biến số.
ln 2
ln 2
ln 2
1
1
Từ f x f x x
f x dx f x dx x
dx * .
e 1 ln 2
ln 2
ln 2 e 1
Đặt u x du dx; Với x ln 2 u ln 2; x ln 2 u ln 2.
ln 2
Suy ra
ln 2
f x dx
ln 2
ln 2
f u du
ln 2
f x dx thay vào * , ta được:
ln 2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
11
Trang
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
ln 2
2
f x dx
ln 2
ln 2
ln 2
ln 2
1
1
1
dx f x dx x
dx .
x
2 ln 2 e 1
ln 2 e 1
ln 2
Đặt t e x dt e xdx; Với x ln 2 t
ln 2
ln 2
1
; x ln 2 t 2.
2
2
2
2
1
2
1
ex
dt
t
dx x x
dx
ln
Suy ra x
t 1
e 1
1 t t 1
ln 2 e 1
ln 2 e
ln 2 .
ln 2
1
1
1
f x dx 2 ln 2 a ln 2 b ln 3 a 2 ; b 0 P 2
a , b
ln 2
, f 0 0 và f x f x sin xcosx với
2
Câu 24: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
HOCMAI.VN
Khi đó
x
2
. Giá trị của tích phân
xf x dx bằng
0
.
4
1
Ⓑ. .
4
Lời giải
Ⓐ.
Ⓒ.
4
.
Cách 1:
Với f x f x sin xcosx ta có A 1; B 0; C 1.
2
2
Suy ra
0
1 2
1
f x dx
sin xcosx dx .
110
4
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
1
Ⓓ. .
4
Chọn D
Cách 2:
Từ
f x f x sin xcosx f x dx
2
0
0
2
Đặt u
2
x du dx; x 0 u
2
Suy ra
0
2
2
;x
2
1
f x dx sin xcosxdx *
2
2
0
2
u 0.
2
f x dx f u du f x dx thay vào * , ta được:
2
0
0
2
2
2 f x dx
0
2
1
1
f x dx 1
2
4
0
u x
du dx
Đặt
;
dv f x dx v f x
2
xf x dx xf x
0
2
0
2
f x dx
0
2
f f x dx . *
2 2 0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
12
Trang
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
f f 0 0
2
Từ điều kiện f x f x sin xcosx
f 0 2
2
2
f f 0 0
2
Thay 1 , 2 vào * , ta được
2
xf x dx
0
1
4
x2
f 1 2x f 1 2x 2
, x
x 1
3
. Tính tích phân I
f x dx .
1
Ⓐ.
Lời giải
I 2
2
Chọn A
..
Ⓑ. I 1
4
Đặt t 1 2x 1 2x 2 t và x
.
.
Ⓒ.
I
và thỏa mãn
HOCMAI.VN
Câu 25: (Diễn Châu – Nghệ An – Lần 3 – 2018) Cho hàm số f x liên tục trên
1
..
2 8
Ⓓ. I
4
t 1
, khi đó điều kiện trở thành:
2
2
t 1
2
2
2
f t f 2 t t 2t 1 f x f 2 x x 2 x 1 .
f t f 2 t
t 2 2t 5 x2 2x 5
2
t 1
2 1
Cách 1: (Dùng công thức - theo góc nhìn dạng 2)
.
Với f x f 2 x
1
1
x2 2 x 1
dx 0, 429 2 . Chọn đáp án.Ⓐ.
2
x 1 1 x 2 x 5
2
3
Cách 2: (Dùng phương pháp biến đổi – nếu không nhớ công thức)
x2 2x 1
x2 2x 1
Từ , ta có: f x f 2 x 2
f x dx f 2 x dx 2
dx 2 .
x 2 x 5 1
1
1 x 2 x 5
3
3
3
Đặt u 2 x du dx , Với x 1 u 3 và x 3 u 1 .
3
Suy ra
f 2 x dx
1
3
2 f x dx
1
3
f u du
1
3
f x dx thay vào , ta được:
1
x 2x 1
1 x2 2x 1
dx
f
x
dx
1 x2 2x 5
1 2 1 x2 2x 5dx 0, 429 2 2 . Chọn đáp án.A
3
2
3
3
Câu 26: (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2018) Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên
\0 và thỏa mãn x2 f 2 x 2x 1 f x xf x 1 với x \0 và f 1 2 . Tính
2
f x dx .
1
1
Ⓐ. ln 2
2
.
Lời giải
Chọn A
Biến đổi x2 f 2 x 2xf x 1 f x xf x xf x 1 f x xf x .
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
13
2
Trang
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
3
Suy ra: f x dx
x2 2 x 1
, ta có A 1; B 1 .
x2 2x 5
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
3
Ⓑ. ln 2
2
.
ln 2
Ⓒ. 1
.
2
Ⓓ.
3 ln 2
.
2
2
NĂM HỌC 2019 – 2020
Đặt h x xf x 1 h x f x x. f x , Khi đó có dạng:
h 2 x h x
h x
h x
2
1
h x
h x
2
dx dx
dh x
h x
2
xC
1
x C.
h x
h x
1
1
1
f 1 2
xf x 1
2 1
C 0.
xC
xC
1 C
1
1 1
Khi đó xf x 1 f x 2 .
x
x x
1
2
f x dx
1
1 1
1
dx ln 2 . Chọn đáp án.A
2
2
x x
Câu 27: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4; 8 và f 0 0 với x 4; 8 . Biết rằng
f x
1
1
4 4 dx 1 và f 4 4 , f 8 2 . Tính f 6 .
f x
2
8
5
.
8
2
Ⓑ. .
3
3
Ⓒ. .
8
1
Ⓓ. .
3
Lời giải
Ⓐ.
Chọn D
f x
8
f x
Xét
2
4
8
dx
4
df x
f
2
x
1
1
2 4 2 .
f 8 f 4
f x
k dx 0
Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để 2
4 f x
2
8
2
2
8
6
6
f x 1
f x 1
f x
1
1
dx 0 2
2
dx dx
Suy ra k thì 2
2
24
2
f x 2
4 f x
4 f x
2
6
4
df x
f
2
x
dx 1
1
1
1
1
1 4
1 f 6 . Chọn đáp án.
3
f 4 f 6
f 6
Ⓓ.
b
Chú ý:
b
f x dx 0 không được phép suy ra f x 0 , nhưng f x dx 0 f x 0.
2k
a
a
Câu 28: Cho hàm số f x liên tục trên
2
thỏa mãn f x3 x x2 1 . Tính I f x dx ?
0
Lời giải
Chọn D
2
dt 3x 1 dx
Đặt t x x
.
2
f
t
x
1
3
Đổi cận: t 0 x3 x 0 x 0 và t 2 x3 x 2 x 1 .
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
14
Trang
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
8 f x
8
8
f x
f x
2
2
k dx
dx
2
k
dx
k
dx 1 4 k 4 k 2 2 k 1 .
Ta có: 2
4
2
4 f x
4 f x
4 f x
4
8
6
Ⓐ. I .
5
15
Ⓑ. I .
16
6
Ⓒ. I .
5
HOCMAI.VN
2
Suy ra:
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Ⓓ. I
15
.
16
NĂM HỌC 2019 – 2020
2
1
0
0
Casio
Khi đó I f t dt x 2 1 3x 2 1 dx
16
15
Câu 29: Cho hàm số f x liên tục trên
thỏa mãn f x3 2x 2 3x 1 . Tính I
10
f x dx ?
1
Lời giải
Chọn C
2
dt 3x 2 dx
Đặt t x 2 x 2
.
f
t
3
x
1
3
HOCMAI.VN
45
.
4
9
Ⓑ. I .
4
135
Ⓒ. I
.
4
5
Ⓓ. I .
4
Ⓐ. I
Đổi cận: t 1 x3 2x 2 1 x 1 và t 10 x3 2x 2 10 x 2 .
Khi đó I
10
1
2
Casio
f t dt 3x 1 3x 2 2 dx
1
135
4
2
thỏa mãn f x 1 2x 1, x . Tính I f x dx ?
Câu 30: Cho hàm số f x liên tục trên
3
0
Ⓐ. I 2 .
5
.
2
Ⓒ. I 4 .
Ⓑ. I
Ⓓ. I 6 .
Lời giải
Chọn A
2
dt 3x dx
Đặt t x 3 1
.
f
t
2
x
1
Đổi cận: t 0 x3 1 0 x 1 và t 2 x3 1 2 x 1 .
2
0
1
2x 1 3x dx
2
Casio
2
1
Câu 31: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x3 3x 1 3x 2, x
5
. Tính I xf ' x dx .
1
5
.
4
17
Ⓑ. I
.
4
33
Ⓒ. I
.
4
Ⓓ.
Ⓐ. I
I 1761 .
Lời giải
Chọn C
5
5
5
u x
du dx
I xf x f x dx 5 f 5 f 1 f t dt .
Đặt
1
1
1
dv f ' x dx
v f x
2
dt 3x 3 dx
Đặt t x 3x 1
.
f
t
3
x
2
3
Đổi cận: t 1 x3 3x 1 1 x 0; t 5 x3 3x 1 5 x 1 .
Suy ra: f 5 3.1 2
x 1 và f 1 3.0 2 x 0 .
1
Casio
Khi đó I 5.5 2 3x 2 3x 2 3 dx
0
33
. Chọn
4
Câu 32: Cho hàm số y f x liên tục trên 0; thỏa mãn f x4 x 2 x 1
21
a
c
I f x dx ln với a, b, c , d
b
d
2
*
và
1
. Biết
x1
a c
, là các phân số tối giản. Tính
b d
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
15
Trang
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Khi đó I f t dt
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
T abc d.
Ⓐ. T 243 .
Lời giải
Ⓑ. T 306 .
Chọn B
Ⓒ. T 312 .
dt 4 x 3 2 x 1 dx
Đặt t x 4 x 2 x 1
.
1
f t
x1
Ⓓ. T 275 .
Đổi cận: t 2 x4 x2 x 1 2 x 1; t 21 x4 x2 x 1 21 x 2 x 0 .
21
2
2
2
1
HOCMAI.VN
21
Ta có: I f x dx f t dt
1
5
4 x3 2 x 1 dx 4x 2 4x 6
dx .
x1
x 1
1
2
2
4x3
28
3 28
243
2 x2 6 x 5ln x 1
5ln
ln
.
2 3
32
3
1 3
Suy ra a 28; b 3; c 243; d 32 T 306 . Chọn
1 1
Câu 33: Cho hàm số y f x liên tục trên 0; thỏa mãn f x 1 . Biết
x x
5
2
a
I f x dx lnc với a, b, c
b
1
*
và
a
là các phân số tối giản. Tính T a b c .
b
Ⓐ. T 13 .
Lời giải
Chọn B
Ⓒ. T 96 .
1
dt 1 2 dx
1
x
Đặt t x 1
.
x
1
f t
x
Ⓓ. T 88 .
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Ⓑ. T 69 .
1
5
1
5
Đổi cận: t 1 x 1 1 x 1; t x 1 x 2 x 0 .
x
2
x
2
5
2
5
2
1
1
1
1
1 1
Ta có: I f x dx f t dt . 1 2 dx . 1 2 dx 3 dx
x
x
x x
x
x
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
3
ln x 2 ln 2 .
2x 1 8
Suy ra a 3; b 8; c 2 T 13 . Chọn
Câu 34: Cho hàm số f x liên tục trên
2
thỏa mãn f 3 x f x x , x . Tính I f x dx .
0
Ⓐ. I 2 .
3
.
2
1
Ⓒ. I .
2
Ⓑ. I
Lời giải
Chọn D
Đặt y f x x y 3 y dx 3y 2 1 dy .
Đổi cận:
x 0 y3 y 0 y 0 ;
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
16
Trang
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Ⓓ. I
NĂM HỌC 2019 – 2020
x 2 y3 y 2 y 1 .
5
.
4
2
1
1
casio
Khi đó I f x dx y 3 y 1 dy 3 y 3 y dy
0
2
0
Câu 35: Cho f x liên tục trên
0
5
4
thỏa mãn 2 f 3 x 3 f 2 x 6 f x x , x . Tính tích phân
5
I f x dx .
0
Lời giải
Chọn B
HOCMAI.VN
5
.
4
5
Ⓑ. I .
2
5
Ⓒ. I .
12
5
Ⓓ. I .
3
Ⓐ. I
Đặt y f x x 2 y 3 3y 2 6 y dx 6 y 2 6 y 6 dy .
Đổi cận:
x 0 2 y3 3y2 6 y 0 y 0 ;
x 5 2 y 3 3y 2 6 y 5 y 1 .
5
1
0
0
1
casio
Khi đó I f x dx y.6 y 2 y 1 dy 6 y 3 y 2 y dy
Câu 36: Cho f x liên tục trên
0
thỏa mãn x f 3 x 2 f x 1, x
5
2
. Tính tích phân I
1
f x dx .
2
Lời giải
Chọn A
Đặt y f x x y 3 2 y 1 dx 3y 2 2 dy .
Đổi cận:
x 2 y 3 2 y 1 2 y 1 ;
x 1 y3 2y 1 1 y 0 .
Khi đó I
1
2
0
1
casio
f x dx y. 3 y 2 2 dy 3 y 3 2 y dy
Câu 37: Cho f x liên tục trên
1
0
7
4
thỏa mãn 2x f 5 x f x 4 0, x
2
. Tính tích phân I f x dx
1
.
3
.
4
1
Ⓑ. I .
2
5
Ⓒ. I .
3
4
Ⓓ. I .
3
Ⓐ. I
Lời giải
Chọn D
Đặt y f x 2x y 5 y 4 2dx 5y 4 1 dy .
Đổi cận:
x 1 y5 y 4 1 y 1 ;
x 2 y5 y 4 2 y 0 .
2
0
1
casio
Khi đó I f x dx y. 5 y 1 dy 5 y 5 y dy
1
1
4
0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
17
4
3
Trang
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
7
.
4
7
Ⓑ. I .
2
7
Ⓒ. I .
3
5
Ⓓ. I .
4
Ⓐ. I
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
7
Câu 38: Cho hàm số y f x thỏa mãn x f 3 x f x 3 0 . Tính I xf x dx .
1
Lời giải
Chọn C
Đặt:
7
7
7
du dx
7
u x
I
xf
x
dx
xf
x
f
x
dx
7
f
7
f
1
1
f x dx
1
dv
f
x
dx
v
f
x
1
1
f 3 7 f 7 10 0
f 7 2
Từ x f 3 x f x 3 0 3
f 1 1
f 1 f 1 2 0
HOCMAI.VN
5
.
4
51
Ⓑ. I .
4
9
Ⓒ. I .
4
3
Ⓓ. I .
4
Ⓐ. I
Đặt t f x x t 3 t 3 0 x t 3 t 3 dx 3t 2 t dt
x 1 1 t 3 t 3 t 1
Đổi cận
3
x 7 7 t t 3 t 2
7
Khi đó
1
2
Casio
f x dx 3t 2 t dx
1
7
Suy ra I 15 f x dx 15
1
51
4
51 9
4 4
Câu 39: Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 biết f x . f 1 x 1 với
1
dx
.
0 1 f x
3
.
2
1
Ⓑ. .
2
Ⓒ. 1 .
Lời giải
Ⓐ.
Ⓓ. 2 .
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
x 0;1 . Tính giá trị của I
Chọn B
Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh)
Theo Dạng 7: “Cho f x . f a b x k 2
dx
ba
2k
k f x
b
khi đó I
a
dx
1 0 1
2.1 2
0 1 f x
1
Khi đó: I
Cách 2:
Đặt: t 1 x dt dx; f x
1
1
dx
Khi đó I
0 1 f x
0
dt
1
1
f t
1
và x 0 t 1; x 1 t 0
f t
1
0
f t dt
1 f t
1
0
f x dx
1 f x
1
f x dx 1
dx
1
dx 1 I
2
0 1 f x
0 1 f x
0
1
2I
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
18
Trang
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Câu 40: Cho hàm số y f x liên tục trên
phân I
2018
0
, ta có f x 0 và f x . f 2018 x 1 . Giá trị của tích
dx
.
1 f x
Ⓐ. I 2018 .
Lời giải
Ⓑ. I 0 .
Chọn C
Ⓒ. I 1009 .
Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh)
b
khi đó I
a
Khi đó: I
HOCMAI.VN
Theo Dạng 7: “Cho f x . f a b x k 2
Ⓓ. I 4016 .
dx
ba
2k
k f x
2018
0
dx
2018 0
1009
2.1
1 f x
Cách 2:
Đặt: t 1 x dt dx; f x
Khi đó I
2018
0
2I
2018
0
dx
1 f x
dx
1 f x
2018
0
2018
0
1
và x 0 t 2018; x 2018 t 0
f t
dt
1
1
f t
f x dx
1 f x
2018
2018
0
f t dt
1 f t
2018
0
f x dx
1 f x
dx 2018 I 1009
0
phân I
12
1
3 f x dx .
2
14
.
3
2
Ⓑ. I .
3
7
Ⓒ. I .
6
7
Ⓓ. I
3
Ⓐ. I
Lời giải
Chọn D
Sử dụng công thức giải nhanh:
b
Theo dạng 7: " Cho f x . f a b x k 2 , khi đó: I
a
Do đó: I
dx
ba
".
2k
k f x
12 2 7
1
dx
2.3
3
2 3 f x
12
Câu 42: Cho hàm số y f x liên tục trên tập R và thỏa mãn f 4 x f x .Biết
3
x. f x dx 5 .
1
3
Tính tích phân
f x dx .
1
5
.
2
7
Ⓑ. .
2
Lời giải
Ⓐ.
Chọn A
Cách 1: Sử dụng công thức giải nhanh:
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
19
Trang
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Câu 41: Cho hàm số f x liên tục trên tập R, ta có f x 0 và f 0 . f 10 x 9 . Giá trị của tích
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
b
9
.
2
11
Ⓓ.
.
2
Theo dạng 8: "Cho f x f a b x và I x. f x dx . Thì ta có:
Ⓒ.
a
3
Do đó:
b
f x dx a b ”.
2I
a
f x dx 1 3 2 .
2.5
5
1
Cách 2: Đặt t 4 x dt dx và x 1 t 3; x 3 t 1 .
3
3
3
3
1
1
1
1
Khi đó: 5 x. f x dx 4 t . f 4 t dt 4 x . f 4 x dx 4 x . f x dx .
3
3
3
1
1
1
1
5
2
4
Câu 43: Cho hàm số y f x liên tục trên tập R và thỏa mãn f x f 3 x 0 . Biết
x. f x dx 2 . Tính
HOCMAI.VN
3
Suy ra: 10 x. f x dx 4 x . f x dx 4 f x dx f x dx
1
4
tích phân
f x dx .
1
Lời giải
Chọn C
Sử dụng công thức giải nhanh:
b
Theo dạng 8: "Cho f x f a b x và I x. f x dx . Thì ta có:
a
4
Do đó:
b
f x dx a b ”.
2I
a
f x dx 1 4 3
2.2
4
1
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
3
.
2
2
Ⓑ. .
3
4
Ⓒ. .
3
3
Ⓓ. .
4
Ⓐ.
9
x 2 khi x 4
Câu 44: Cho hàm số f x
. Tính tích phân I f x dx.
1
x khi x 4
121
.
6
163
Ⓑ. I
.
6
85
Ⓒ. I .
6
223
Ⓓ. I
.
6
Ⓐ. I
Lời giải
Chọn B
9
4
9
4
9
1
1
4
1
4
Ta có; I f x dx f x dx f x dx xdx x 2 dx
sin x
Câu 45: Cho hàm số f x
sin 2 x
11
.
8
3
Ⓑ. T .
2
Ⓐ. T
khi x
khi x
2 . Biết
163
.
6
f x dx a b a, b . Tính T a b.
4
2
Lời giải
Chọn A
2
2
Ta có : I f x dx f x dx f x dx sin xdx sin xdx
2
4
4
2
4
2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
20
Trang
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
15
.
8
7
Ⓓ. T .
2
Ⓒ. T
1 cos 2 x
1
1
dx sin xdx x sin 2 x
2
4
2
2
4
cos x
2
4
2
5 1
a b .
4 8
2
5
1
11
; b T ab .
4
8
8
2
x 1 khi x 0
Câu 46: Cho hàm số f x 2 x
. Tính tích phân I f x dx.
khi x 0
e
1
Do a, b
a
Ⓐ.
3e 1
.
2e 2
Ⓑ.
I
HOCMAI.VN
I
Lời giải
2
Chọn C
Ta có: I
2
f x dx I
1
7e 1
.
2e 2
0
1
2
0
2
0
1
0
f x dx I f x dx e 2 xdx I x 1dx
9e 2 1
.
2e 2
2
Ⓒ.
I
9e 2 1
.
2e 2
Ⓓ.
11e 2 11
.
I
2e 2
3 x
Câu 47: Cho hàm số f x
4 x
2
khi 1 x 2
2
. Tính tích phân I f x dx.
0
Lời giải
Ⓐ.
5
Ⓒ. .
2
3
Ⓓ. .
2
Chọn A
1
2
1
2
Ta có: I f x dx f x dx 3x dx 4 x dx x 3
2
0
1
0
6 x 2
Câu 48: Cho hàm số y f ( x)
2
a a x
1
khi x 0
khi x 0
1
0
x2
4x
2
2
1
1
5 7
.
2 2
4
và I f ( x)dx . H ỏ i c ó t ấ t c ả b a o n h i ê u s ố
1
n g u y ê n a đ ể I 46 0 ?
Ⓐ. 7 .
Ⓑ. 4 .
Ⓒ. 6 .
Ⓓ. 5 .
Lời giải
Chọn C
0
4
0
1
0
1
4
Ta có I f ( x)dx f ( x)dx 6x dx a a xdx 2 x
2
0
2
3
0
1
aa
2
x2
2
4
2 8a 8a 2
0
Khi đó I 46 0 2 8a 8a2 46 0 a2 a 6 0
2 a 3, a a {2; 1; 0;1; 2; 3}
Vậy có 6 giá trị nguyên của a thỏa mãn.
3
Câu 49: Tính tích phân I max x3 ; 4 x2 3x dx .
0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
21
Trang
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
7
.
2
Ⓑ. 1.
khi 0 x 1
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
117
.
2
707
Ⓑ.
.
2
275
Ⓒ.
.
12
119
Ⓓ.
.
6
NĂM HỌC 2019 – 2020
Lời giải
Ⓐ.
Chọn C
Trên đoạn 0 ; 3 :
Xét x3 4x2 3x x3 4x2 3x 0 x( x 1)( x 3) 0 x [0;1]do x 0 ; 3
3
x [0;1] x 3 4 x 2 3x
x
3
2
Vậy
max x ; 4 x 3x 2
3
2
x[ 0 ;3]
x [1; 3] x 4 x 3x
4 x 3x
1
3
Khi đó I max x3 ; 4 x2 3x dx x 3dx 4x 2 3x dx
0
0
1
khi
x [0;1]
khi
x [1; 3]
.
275
.
12
HOCMAI.VN
3
2
Câu 50: Tính I min{ x; 3 2 x }dx .
0
Ⓐ. I 2 .
3
.
4
Ⓒ. I 1 .
Ⓑ. I
Ⓓ. I
5
.
4
Lời giải
Chọn D
Trên đoạn 0 ; 2 :
x0; 2
x [1; 2]
Xét x 3 2 x x3 2 x x3 x 2 0 ( x 1) x2 x 2 0
x [0;1] x 3 2 x
x khi x [0;1]
Vậy
.
min{ x; 3 2 x } 3
3
x[ 0 ;2 ]
2
x
khi
x
[1;
2]
x
[1;
2]
x
2
x
2
1
0
0
Khi đó I min{x; 3 2 x } dx xdx
2
1
3
Castio
2 xdx
5
.
4
và f 1 2 . Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng
Ⓐ. 4 ln15 .
Lời giải
Ⓑ. 2 ln15
Chọn C
Ⓒ. 3 ln15 .
1
ln 2 x 1 C1 khi x ;
2
2
2dx
Cách 1: Từ f ' x
.
f x
2x 1
2x 1
1
ln 2 x 1 C2 khi x ;
2
Ⓓ. ln15 .
1
ln 2 x 1 1 khi x ;
C 1
2
f 0 1 0 C1 1
Ta có:
.
1
f x
0
C
2
C
2
f
1
2
1
2
2
ln 2 x 1 2 khi x ;
2
Khi đó: f 1 f 3 ln 3 1 ln 5 2 3 ln15 .
0
0
2
1
0
f
0
f
1
f
x
|
f
'
x
dx
dx ln 2 x 1 |01 ln
(1)
1
2x 1
3
1
1
Cách 2: Ta có:
3
3
2
f 3 f 1 f x |3 f ' x dx
dx ln 2 x 1 |13 ln 5 (2)
1
2x 1
1
1
Lấy (2) (1) , ta được: f 3 f 1 f 0 f 1 ln15 f 3 f 1 3 ln15
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
22
Trang
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
1
2
Câu 51: (Đề tham khảo – 2018) Cho hàm số f x xác định trên R \ thỏa mãn f ' x
; f 0 1
2x 1
2
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Câu 52: (Toán học và tuổi trẻ - Số 6 – 2018) Cho hàm số f x xác định trên R \1 thỏa mãn
f ' x
Ⓐ. S 1 .
Ⓑ. S ln 2 .
Ⓒ.
S ln 4035 .
Chọn A
Cách 1: Từ f ' x
1
dx ln x 1 C1 khi x ;1
f x
.
x 1
x 1 ln x 1 C2 khi x 1;
Ta có:
ln x 1 2017 khi x ;1
f 0 2017 0 C1 2017
C 2017
1
f x
.
0
C
2018
C
2018
f
2
2018
ln
x
1
2018
khi
x
1;
2
2
HOCMAI.VN
Ⓓ. S 4 .
1
; f 0 2017 và f 2 2018 . Tính S f 3 f 1
x 1
Lời giải
Khi đó: f 3 f 1 ln 2 2018 ln 2 2017 1 .
0
0
1
1
0
dx ln x 1 |01 ln
(1)
f 0 f 1 f x |1 f ' x dx
x 1
2
1
1
Cách 2: Ta có:
3
3
f 3 f 2 f x |3 f ' x dx
2 x 1 1 dx ln x 1 |32 ln 2 (2)
2
2
Lấy (2) (1) , ta được: f 3 f 1 f 0 f 2 0 S f 3 f 1 f 2 f 0 1
1
Câu 53: (Lục Ngạn – Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f x xác định trên R \ thỏa mãn
3
2
3
; f 0 1 và f 2 . Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng
3x 1
3
Ⓐ. 3 5ln 2
Lời giải
.
Chọn A
Ⓑ.
1
ln 3x 1 C1 khi x ;
3
3
3dx
Cách 1: Từ f ' x
.
f x
3x 1
3x 1
1
ln 3x 1 C2 khi x ;
3
2 5ln 2 .
Ⓒ. 4 5ln 2
.
Ⓓ. 2 5ln 2
.
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
f ' x
1
f 0 1
ln 3x 1 1 khi x ;
0 C1 1
C 1
3
Ta có: 2
.
1
f x
0
C
2
C
2
f
2
1
2
2
3
ln 3x 1 2 khi x ;
3
Khi đó: f 1 f 3 ln 4 1 ln 8 2 3 ln 32 3 5ln 2 .
f 0
Cách 2: Ta có:
f 3
0
f 1 f x |01
f ' x dx
1
3
3
3
3
0
3
3x 1 dx ln 3x 1 |
1
0
1
ln
1
(1)
4
2
2
f f x |32 f ' x dx
dx ln 3x 1 |32 ln 8 (2)
3
2
2 2x 1
3
3
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
23
Trang
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
2
Lấy (2) (1) , ta được: f 3 f 1 f 0 f ln 32 f 1 f 3 3 5ln 2
3
Câu 54: Cho hàm số f x xác định trên 0; \e , thỏa mãn f x
1
1
, f e 2 3, f 2 ln 6 .
x ln x 1
e
1
Tính giá trị biểu thức f f e 3 .
e
Ⓐ.
Lời giải
Chọn A
Ⓑ. 2ln 2 .
Ta có f x f x dx
Ⓒ. 3ln 2 1 .
Ⓓ. ln 2 3 .
HOCMAI.VN
3 ln 2 1 .
d ln x 1
1
dx
ln ln x 1 C
ln x 1
x ln x 1
ln ln x 1 C1 khix e ;
f x
ln 1 ln x C2 khix 0; e
f e2 3
ln ln e 2 1 C1 3
C 3
1
Ta có 1
1
C2 ln 2
f 2 ln 6
ln 1 ln 2 C2 ln 6
e
e
ln ln x 1 3khix e;
Do đó f x
ln 1 ln x ln 2khix 0; e
Câu 55: Cho hàm số f x xác định trên
1
f f e 3 3 ln 2 1
e
\2; 2 , thỏa mãn f x
Ⓐ.
P 3 ln
Ⓑ.
Lời giải
3
Chọn B
.
25
Ta có f x f x dx
P 3 ln 3 .
Ⓒ.
P 2 ln
4
, f 3 0, f 0 1 và
x 4
2
5
.
3
Ⓓ.
5
P 2 ln .
3
4
4dx
x2
dx
ln
C
x2
x 4
x 2 x 2
2
x2
ln
C1 khix 2;
x2
2 x
f x ln
C2 khix 2; 2
x2
x2
ln
C3 khix ; 2
x 2
1
ln C1 2
f 3 2
C1 2 ln 5
5
C2 1
Ta có f 0 1 C2 1
ln 5 C 0
C ln 5
3
3
f 3 0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
24
Trang
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
f 3 2 . Tính giá trị biểu thức P f 4 f 1 f 4 .
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
x2
ln
2 ln 5khix 2;
x
2
2 x
Do đó f x ln
1khix 2; 2
x
2
x2
ln
ln 5khix ; 2
x 2
Suy ra P f 4 f 1 f 4 3 ln 3
\2;1 , thỏa mãn f x
Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4 .
Ⓐ. 1 ln 80 .
4
1
, f 3 f 3 0, f 0 .
3
x x2
2
Lời giải
Ⓑ.
Chọn B
1 1
ln 2 .
3 3
Ⓒ.
Ta có f x f x dx
dx
dx
1
x 1
ln
C
x x2
x 1 x 2 3 x 2
2
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
1 x 1
C1 khix 1;
1 4
ln
3 x 2
1 ln 2 ln
3 5
1 1 x
f x ln
.
C2 khix 2;1
3
x
2
Ⓓ.
1 x 1
ln
1 8
C3 khix ; 2
1 ln .
3 x 2
3 5
1
1 2
1
Ta có f 3 f 3 0 ln 4 C3 ln C1 0 C1 C3 ln10
3
3
3 5
f 0
1
1 1
1
1 1
ln C2 C2 ln 2
3
3 2
3
3 3
1 x 1
1
C3 ln 10khix 1;
ln
3
3 x 2
1 1 x 1 1
Do đó f x ln
3 3 ln 2khix 2;1
3
x
2
1 x 1
ln
C3 khix ; 2
3 x 2
1 5
1
1 1
1 1
1
Suy ra f 4 f 1 f 4 ln C3 ln 2 ln 2 ln C1 ln10 .
3 3
3
3 2
3
3 2
1 1
ln 2
3 3
1
Câu 57: (SỞ BẮC GIANG -2018) Cho hàm số f x xác định trên \1;1 và thỏa mãn f x 2
,
x 1
1
f 3 f 3 0 và f
2
HOCMAI.VN
Câu 56: Cho hàm số f x xác định trên
1
f 2 . Tính giá trị của biểu thức P f 0 f 4 .
2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
25
Trang
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Ⓐ.
Lời giải
3
P ln 2 .
5
Ⓑ.
Chọn C
3
P 1 ln .
5
Ⓒ.
1 x 1
2 ln x 1 C1 , x 1
1 1
1
1
.
dx ln x 1 ln x 1 C
2 x 1 x 1
2
1 ln 1 x C , x 1
2
2 x 1
Ⓓ.
P
1 3
ln .
2 5
f x dx x
2
1
1
dx
dx
1
x 1 x 1
f 3
1
1
ln 2 C1 ; f 3 ln 2 C1 , do đó f 3 f 3 0 C1 0 .
2
2
1
1 1
1
1
f ln 3 C2 ; f ln 3 C2 , do đó f
2
2
2 2
2
f 0 C2 1 ; f 4
1
f 2 f 2 0 và f
2
\1;1 thỏa mãn f x
2
,
x 1
2
1
f 2 . Tính f 3 f 0 f 4 được kết quả
2
Lời giải
Chọn D
Ta có
f x dx x
2
2
2
dx
dx
1
x 1 x 1
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
4
5
6
Ⓑ. 1 ln
5
4
Ⓒ. 1 ln
5
6
Ⓓ. 1 ln
5
1
f 2 C2 1 .
2
1 3
1 3
ln , do đó f 0 f 4 1 ln
2 5
2 5
Câu 58: (SỞ PHÚ THỌ -2018) Cho hàm số f x xác định trên
Ⓐ. 1 ln
HOCMAI.VN
1 3
P 1 ln
2 5
.
Ta có
x 1
ln x 1 C1 , x 1
1
1
d
x
.
ln
x
1
ln
x
1
C
1
x
x 1 x 1
ln
C2 , x 1
x 1
1
f 2 ln 3 C1 ; f 2 ln C1 , do đó f 2 f 2 0 C1 0 .
3
1
1
1
1
f ln 3 C2 ; f ln C2 , do đó f
3
2
2
2
Vậy f 3 f 0 f 4 ln 2 1 ln
1
f 2 C2 1 .
2
3
6
ln 1
5
5
Câu 59: (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4-2018) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y
11
k , k , biết F 0 1 ; F( ) 0 . Tính P F F
với x \
12
12
4
Ⓐ.
1
1 sin 2 x
.
Lời giải
P 2 3.
Chọn D
Ⓑ. P 0 .
Cách 1:
Ⓒ. Không
tồn tại P .
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
26
Trang
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Ⓓ. P 1 .
Ta có
NĂM HỌC 2019 – 2020
f x dx 1 sin 2x dx
1
1
sin x cos x
2
dx
1
5
; k 2
tan x C1 , x
4
4
1
2
4
.
dx
1
3
2
tan x
2 sin x
C1 , x ;
k 2
2
4
4
4 4
11
Khi đó P F F
12
12
HOCMAI.VN
1
1
5
1
1
tan x , x
; k 2
C
1
C
2
2
4 2
4
F 0 1
2 2
2
4
1 C 0
C 1 1 tan x 1 , x ; 3 k 2
F 0
1
4 4
2
1
2
4 2
2
1
1 1
7 1
2 tan 6 2 2 tan 6 2 1
Cách 2:
0
0
dx
F
0
F
F
x
1
12
12
1 sin 2 x
12
dx
F F 11 F x
11 1 sin
2
12
2x
12
11
12
11
Lấy 2 – 1 ta được F F
12
12
0
12
12
11
1 0 F 12 F 12
1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
27
Trang
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
11
casio
F F
12
12
dx
dx
F F 0 1 sin 2 x 1 sin 2 x
11