53 câu hàm số Vận dụng cao năm 2021

A. ĐỀ BÀI
I. HÀM SỐ
Câu 1: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b sao cho hàm số y 

ax  b
x2  1

đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

đều là các số nguyên và tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên. Giá trị của a2  2b2 bằng
A. 36.

B. 34.

C. 41.

Câu 2: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên như sau

D. 25.

1 5
Bất phương trình f  3  4x   e 34 x  2m đúng với mọi x   ;  khi và chỉ khi
4 4

A. m  f  2  

1
.
e2

f 2

B. m 

2

1
 e2 .
2

C. m 

f  2 
2



1
.
2e 2

D. m  f  2   e 2 .


1
Câu 3: Cho hàm số y  x2  2  m   x  m  m  0  . Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
m


1;1 lần lượt là y 1 , y 2 . Số giá trị của m để y1  y 2  8 là
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .

D. 4 .

Câu 4: Giá trị tham số thực k nào sau đây để đồ thị hàm số y  x  3kx  4 cắt trục hoành tại ba điểm
3

2

phân biệt.
A. 1  k  1 .

B. k  1 .

D. k  1 .

C. k  1 .


xy2
x  y  z  3
Câu 5: Cho các số thực x, y , z thỏa mãn điều kiện  2
. Hỏi biểu thức P 
có thể nhận
2
2
z2

x  y  z  5

bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 2 .

B. 1 .

Câu 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
x

D. 4 .

\ 2; 2 và có bảng biến thiên như sau:

–2

–∞

y’
y

C. 3 .

2

–

–

0

+∞

+∞

+∞

3

+
–∞

2018

–∞

Số nghiệm của phương trình f  2018x  2019   2020 là
A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 7: Cho hàm số y  f  x   x   2m  1 x   2  m x  2 . Tập tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
3

2

  có 5 điểm cực trị là  ba ; c  với a , b , c là các số nguyên và ba

y f x

A. a  b  c  11 .





B. a  b  c  8 .

C. a  b  c  10 .

là phân số tối giản. Tính a  b  c.
D. a  b  c  5 .

Câu 8: Cho hàm số

f  x  thỏa mãn  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x  với mọi x dương. Biết
2

f 1  f  1  1 tính f 2  2  .
A. f 2  2   ln 2  1 .
Câu

9:

Tìm

C. f 2  2   2ln2  2 .

B. f 2  2   ln 2  1 .

tất

cả

giá

trị



của

tham

số

D. f 2  2   2ln 2  2 .
m

thực

để

phương

trình



2log 2  x  2   log 2  x  2   2log 2 2 x  6 x  m có đúng hai nghiệm phân biệt.
2

2

B. m   20; 4    5;7  .

A. m   20; 4  .

C. m   5;    .

D. m  20; 4    5;7  .

Câu 10: Cho hàm số y  x3  3x  2 C  . Biết rằng đường thẳng d : y  mx  1 cắt  C  tại ba điểm phân
biệt A , B , C . Tiếp tuyến tại ba điểm A , B , C của đồ thị  C  cắt đồ thị  C  lần lượt tại các điểm A, B, C 
(tương ứng khác A , B , C ) . Biết rằng A, B, C  thẳng hàng, tìm giá trị của tham số m để đường thẳng đi
qua ba điểm A, B, C  vuông góc với đường thẳng  : x  2018 y  2019  0 .
A. m 

1009
.
2

Câu 11: Cho hàm số y 

B. m 

1009
.
4

C. m 

2009
.
4

D. m 

2019
.
4

2x  1
có đồ thị  C  . Tiếp tuyến tại M  x0 ; y0  x0  0  của đồ thị  C  tạo với hai
x1

đường tiệm cận của đồ thị  C  một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Giá trị biểu thức
T  2018 x0  2019 y0 bằng

C. T  2018 .

B. T  2016 .

A. T  2021 .

D. T  2019 .

Câu 12: Cho hàm số y  x3  3x  1C  . Biết rằng tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị  C  phân biệt và có cùng
hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một
tam giác cân. Gọi S là tập các giá trị của k thỏa mãn điều kiện trên, tính tổng các phần tử của S.
A. 3 .

B. 9 .

Câu 13: Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn e

P

4

 x  z

2



x y  z

C. 12 .

D. 0 .

C. 268 .

D. 106 .

 e  x  y  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4
1
 3.
xz y

A. 108 .



B. 106 .



Câu 14: Hàm số y  x  2 x  1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0.

2

B. 1.

C. 2.

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình


1
B. m   2;  .
2


 5
A. m   1;  .
 2
Câu 16: Cho hàm số



f f f f 4

D. 3.

2 x 1
x 2

 m có 2 nghiệm phân biệt.
 1 
D. m    ; 2  .
 2 

C. m  0; 3 .

f  x   x3  12x2  ax  b đồng biến trên

, thỏa mãn

   4. Tìm f 7  .

A. 31.

B. 32.

C. 33.

 



f f f  3   3 và

D. 34.

Câu 17: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d ( a  0 ) đạt cực trị tại các điểm x1 , x 2 thỏa mãn

x1   1;0  ; x2  1; 2  . Biết hàm số đồng biến trên khoảng  x1 ; x2  , đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có
tung độ dương. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0.

B. a  0, b  0, c  0, d  0.

D. a  0, b  0, c  0, d  0.

C. a  0, b  0, c  0, d  0.

Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x  1. Gọi d1 , d2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y  f  x  và y  g  x   x. f  2x  1 tại điểm có hoành độ x  1. Biết rằng hai đường thẳng d1 và d 2 vuông

góc với nhau. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

C. f 1  2 2.

B. f 1  2.

2  f 1  2.

Câu 19: Cho hàm số bậc ba f  x  và g  x    f  mx  n  m, n

D. 2  f 1  2 2.

 có đồ thị như hình vẽ dưới đây

y

f (x)

g(x)

3
O

2

–1

x

Biết hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 5. Giá trị biểu thức 3m  2n là
B. 

A. –5.

13
.
5

C.

Câu 20: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau.
x

–∞

16
.
5

4

–2
+

y'

D. 4.

–

0

+∞

+

0

6

+∞

y
2

–∞





Hàm số y  f x  3 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.

B. 6.

C. 3.

D. 1.

Câu 21: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó tổng số nghiệm của hai









phương trình f g  x   0 và g f  x   0 là
y

y = f (x)
4

3
2

-3 -2

1
-1
O

x

3
-1

1

2

4

5

-2
-3
-4
y = g(x)

A. 25.

B. 22.

C. 21.

D. 26.

Câu 22: Cho hàm số y  x3  11x có đồ thị là C  . Gọi M1 là điểm trên  C  có hoành độ x1  2. Tiếp
tuyến của  C  tại M1 cắt  C  tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của  C  tại M 2 cắt  C  tại điểm M 3

khác M2 ,..., tiếp tuyến của  C  tại điểm Mn1 cắt  C  tại điểm Mn khác Mn1

n

, n  4  . Gọi

Mn  xn ; yn  . Tìm n sao cho 11xn  yn  22019  0 .
A. n  675.

C. n  674.

B. n  673.

và f   x   x4 

Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên

D. n  672.

2
 2 x x  0 và f 1  1 . Khẳng định
x2

nào sau đây đúng?

A. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  0;1 .
B. Phương trình f  x   0 có đúng 3 nghiệm trên  0;   .
C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  1; 2  .
D. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  2; 5  .

Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên
y

và có đồ thị như hình vẽ:
3

O

x

1

–6
f x
f x
Đặt g  x   2    3  . Tìm số nghiệm của phương trình g  x   0

A. 5.

B. 3.

C. 2.



D. 6.



Câu 25: Cho phương trình sin x  2  cos 2 x   2 2 cos 3 x  m  1

2 cos 3 x  m  2  3 2 cos 3 x  m  2 .

 2 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm x  0;  ?
 3 
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.

4x 
2x
Câu 26: Các giá trị thực của tham số m để bất phương trình  1 
m
 3 nghiệm đúng với
2 
1  x2
 1 x 
mọi số thực x là
2

A. m   ; 4    ;   .
3


2

B. m   ;   .
3



2
C. m   4;  .
3


D. m  ; 4  .

Câu 27: Gọi T là tập hợp các giá trị nguyên của m sao cho trong nửa khoảng 1; 2019 , phương trình
x2  4 x  5  1  m  0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó số phần tử của T là

A. 2006.

B. 2009.

C. 2019.

D. 2018.

A. 3.

B. 2.

C. 5.

D. 4.

Câu 28: Có bao nhiêu giá trị nguyên a nhỏ hơn 5 để bất phương trình a  x  4   3  x với mọi x  2;1 ?
Câu 29: Giả sử đường thẳng y  x  m cắt đồ thị  C  của hàm số y 

x 1
tại hai điểm phân biệt E và
1  2x

F . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với  C  tại E và F . Tìm giá trị nhỏ nhất minS của
biểu thức S  k14  k24  3k1k2 .

200 bài toán VD – VDC
A. minS  1.

facebook.com/huyenvu2405
5
B. min S   .
8

C. min S  135.

Câu 30: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên

D. min S  

25
.
81

và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Đặt

g  x   f  f  x  . Tìm số nghiệm của phương trình g '  x   0 .
y

3

O -1

-1

2

4 x

3

-6
-7

A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Câu 31: Cho hàm số y  x3  6x2  9x  1 có đồ thị là  C  . Gọi T là tập hợp tất cả các điểm thuộc đường
thẳng y  x  1 mà từ điểm đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị  C  . Tìm tổng tung độ của các điểm
thuộc T .
A. 1 .

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 32: Cho hàm số y  x3  3x2  72x  90 . Tìm tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn  5; 5 .
A. 328.

B. 470.

C. 314.

D. 400.

Câu 33: Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài là 12cm và chiều rộng là 6cm. Thực hiện thao tác gấp
góc dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại (như hình vẽ). Hỏi chiều dài L
tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu?
A. min L  6 2 cm.

B. min L 

9 3
cm.
2

Câu 34: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên

C. min L 

7 3
cm.
2

D. min L  9 2 cm.

và có đồ thị như hình vẽ.

y
3

1

x

O

–6
f x
f x
Đặt g  x   2    3  . Tìm số nghiệm của phương trình g  x   0

A. 5.

B. 3.

Câu 35: Cho x , y  0 và x  y 
A. x2  y 2 

25
.
32

C. 2.

D. 6.

4 1
5
sao cho biểu thức P  
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó:
x 4y
4

B. x2  y 2 

17
.
16

C. x2  y 2 

25
.
16

D. x2  y 2 

13
.
16

x 1
có đồ thị C  , điểm M di động trên C  . Gọi d là tổng khoảng cách từ M
x1
đến hai trục tọa độ. Khi đó giá trị nhỏ nhất của d là:

Câu 36: Cho hàm số y 

207
B. 2  1.
C. 2 2  1.
D. 2 2  2.
.
250
Câu 37: Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục Ox từ thời điểm t  0 . Tại thời

A.

1
điểm t , vị trí của chất điểm A được cho bởi x  f  t   6  2t  t 2 và vị trí của chất điểm B được cho
2

bởi x  g t   4sin t . Biết tại đúng hai thời điểm t1 và t2 ( t1  t 2 ), hai chất điểm có vận tốc bằng nhau. Tính
theo t1 và t2 độ dài quãng đường mà chất điểm A đã di chuyển từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 .
A. 4  2  t1  t2  
C. 2  t2  t1  







B. 4  2  t1  t2  

1 2 2
t t .
2 1 2



D. 2  t1  t2  

1 2 2
t t .
2 2 1





1 2 2
t t .
2 1 2





1 2 2
t t .
2 1 2

Câu 38: Cho hàm số f  x   x3  3ax2  3x  3 có đồ thị  C  và g  x   x3  3bx2  9x  5 có đồ thị  H  , với
a,b là các tham số thực. Đồ thị C  ,  H  có chung ít nhất 1 điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P a 2 b
A.

21.

B. 2 6  6.

D. 3  5 3.

D. 2 6.

 1 x  1 x
khi x  0


x
Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f  x   
liên tục tại x  0 .
m  1  x
khi x  0

1 x


A. m  1

B. m  2

C. m  1

Câu 40: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên

, với f  x   0, x 

D. m  0

và f  0   1. Biết rằng

f '  x   3x  x  2  f  x   0, x  . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m  0
có bốn nghiệm thực phân biệt.
A. 1  m  e 4 .

B. e 6  m  1.

C. e 4  m  1.

D. 0  m  e 4 .

Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau vô nghiệm:
x6  3x5  6 x4  mx3  6 x2  3x  1  0.

A. Vô số.

B. 26.

C. 27.

Câu 42: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x  y 

D. 28.

4 1
5
thì biểu thức S  
đạt giá trị nhỏ nhất khi
x 4y
4

x  a
thì a.b có giá trị là bao nhiêu?

y  b
3
A. a.b  .
8

B. a.b 

25
.
64

1
D. a.b  .
4

C. a.b  0.

Câu 43: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ.

y

Đặt g  x   3 f  x   x3 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g  2   g  2   g  1 .

4

B. g  2   g  2   g  1 .
C. g  1  g  2   g  2  .
D. g  1  g  2   g  2  .

1

-2

-1

O

1

x

Câu 44: Cho hàm số f  x  có đạo hàm là f   x  . Đồ thị của hàm

y  f  x

số

cho

như

hình

vẽ.

Biết

y

rằng

f  2   f  4   f  3  f  0  . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

f  x  trên đoạn 0; 4  lần lượt là:
A. f  2  ; f  0  .
B. f  4  ; f  2  .
C. f  0  ; f  2  .

4

O
2

x

D. f  2  ; f  4  .

Câu 45: Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn 2020; 2020 để hàm số y  x3  3x2   2m  5 x  5
đồng biến trên khoảng  0;+ ?
A. 2020.

B. 2022.

C. 2021.

Câu 46: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên

D. 2023.

và

y

đồ thị hàm số y  f   x  cắt trục hoành tại các điểm có
4
4
hoành độ 3; 2; a; b; 3; c; 5 với   a  1;1  b  ;
3
3
4  c  5 có dạng như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu





giá trị nguyên của m để hàm số y  f 2 x  m  3 có

a

-3 -2

O

b

c

3

5

x

7 điểm cực trị?
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. Vô số.

Câu 47: Cho hàm số f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  trên  3; 2  như hình vẽ (phần cong của đồ thị là
một phần của parabol y  ax2  bx  c ).
y
2

1
-3

-1

-2

2

O

x

Biết f  3  0 , giá trị của f  1  f 1 bằng
31
23
.
B.
.
6
6
Câu 48: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

A.

35
.
3
và có đồ thị như hình vẽ.

C.

y

-4

O

D.

9
.
2

16 y = f (x)
3

x

 3sin x  cos x  1
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 
 2cos x  sin x  4


2
  f m  4m  4 có


nghiệm?
A. 4.

B. 5.

C. Vô số.

D. 3.









Câu 49: Cho số thực m và hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f 2 x  2 x  m có nhiều
nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1; 2  ?
y

3

O

5

2

A. 2.

B. 3.

x

C. 4.

D. 5.

. Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ.

Câu 50: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên

y

-2

2
5

O

x

Hàm số y  g  x   f  3  2x  nghịch biến trên khoảng nào?
B.  1;  .

A.  ; 1 .

Câu 51: Cho hàm số y  f  x  

C.  0; 2  .

D. 1; 3 .

1
1

 x  x  m , với m là tham số. Gọi a là giá trị nguyên nhỏ nhất
x x 1

của m để hàm số có ít điểm cực trị nhất; A là giá trị nguyên lớn nhất của m để hàm số có nhiều điểm cực
trị nhất. Giá trị của A  a bằng
A. 7 .

B. 4 .

Câu 52: Cho hàm số y  f  x  xác định trên

C. 3 .

D. 4 .

\1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như hình vẽ sau:
x

–∞

y’

–

+

+∞

3

-1

0

+

2 +∞

+∞

y

–∞

-4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2020; 2020 để phương trình



m3 f 3  x   3mf  x   12m2  7
A. 4041.



12m2  1  36m2  7 có hai nghiệm phân biệt?

B. 2019.

C. 2010.

D. 2021.

Câu 53: Biết rằng họ đồ thị Cm  : y   m  3 x3  4  m  3 x2   m  1 x  m luôn đi qua ba điểm cố định
thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định này.
A. y  4x  3 .

B. y  4 x  3 .

C. y  4x  3 .

D. y  4 x  3 .

Ngọc Huyền LB

The Best or Nothing

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I. HÀM SỐ
Câu 1: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b sao cho hàm số y 

ax  b

đạt giá trị

x2  1

nhỏ nhất, giá trị lớn nhất đều là các số nguyên và tập giá trị của hàm số đã cho
chỉ có đúng 6 số nguyên. Giá trị của a2  2b2 bằng
A. 36.

B. 34.

C. 41.

D. 25.

Lời giải
Bằng cách sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình, chúng ta có: Khi
a  0 thì hàm số chỉ đạt giá trị lớn nhất (khi b  0 ) hoặc chỉ đạt giá trị nhỏ nhất

(khi b  0 ). Còn khi a  0 thì
Do đó, min y 

b  a2  b2
b  a2  b2
y
.
2
2

b  a2  b2
b  a2  b2
và max y 
.
2
2

Vì min y; max y là các số nguyên nên tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng
6 số nguyên khi và chỉ khi max y  min y  5  a2  b2  5  a2  b2  25 .

Suy ra, min y 

b5
b5
và max y 
.
2
2

Theo giả thiết, thì b là số nguyên lẻ và a  0 nên a2  16, b2  9 .
Do đó, a2  2b2  34 .
Đáp án B.
Câu 2: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên như sau

STUDY TIP
Cho hàm số

liên tục

trên đoạn

.

Đặt

và
. Khi đó:

(1):

có

thuộc

nghiệm

khi và chỉ khi
.

(2):

1 5
Bất phương trình f  3  4x   e 34 x  2m đúng với mọi x   ;  khi và chỉ khi
4 4

A. m  f  2  

đúng với mọi
khi và chỉ khi

C. m 

.
(3):

đúng với mọi

khi và chỉ khi
(4):

.
có nghiệm

thuộc

khi và chỉ khi
.

(5):

có nghiệm

thuộc

khi và chỉ khi
.

f  2 
2



f 2

1
 e2 .
2

1
.
e2

B. m 

1
.
2e 2

D. m  f  2   e 2 .

2

Lời giải
Đặt g  x   f  3  4x   e 34 x .
Ta có g  x   4 f   3  4x   4e 34 x .
1 5
Với x   ;  thì 3  4x   2; 2  . Từ bảng biến thiên của hàm số y  f   x  , ta có
4 4
 1 5
1 5
f   3  4x   0, x   ;  . Do đó, g  x   0, x   ;  hay hàm số g  x  đồng
4 4
4 4

36 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn

200 bài toán VD – VDC

facebook.com/huyenvu2405

1 5
biến trên khoảng  ;  . Do đó bất phương trình g  x   2m đúng với mọi
4 4
f  2 
5
1
1 5
 2.
x   ;  khi và chỉ khi g    2m  m 
2
2e
4
4 4
Đáp án C.

1
Câu 3: Cho hàm số y  x2  2  m   x  m  m  0  . Gọi giá trị lớn nhất, giá trị
m



nhỏ nhất của hàm số trên 1;1 lần lượt là y 1 , y 2 . Số giá trị của m để y1  y 2  8
là
A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải


1
1
Đặt y  f  x   x2  2  m   x  m , y '  2x  2  m  
m
m



STUDY TIP
Cho hàm số

với

y  0  x  m 
. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số.
+ Nếu

thì
.

+ Nếu

thì

1
.
m

* Với m  0, m 

1
 2 . Khi đó, hàm số nghịch biến trên 1;1 .
m

 y1  f  1  3m 

2
2
 1 ; y2  f 1  1  m  .
m
m

Theo đề bài ta có:
y 1  y 2  8  3m 

* Với m  0, m 

2
2
 1  1  m   8  m  0   m2  2 m  1  0  m  1 .
m
m

1
 2 . Khi đó, hàm số đồng biến trên 1;1 .
m

 y1  f 1  1  m 

2
2
; y2  f  1  3m   1 .
m
m

Theo đề bài ta có:
2
2
 1  1  m   8  m  0   m2  2m  1  0  m  1 .
m
m
Vậy có đúng hai giá trị của m thỏa mãn.
y1  y 2  8  3m 

Đáp án A.
Câu 4: Giá trị tham số thực k nào sau đây để đồ thị hàm số y  x3  3kx2  4 cắt
trục hoành tại ba điểm phân biệt.
B. k  1 .

A. 1  k  1 .

C. k  1 .

D. k  1 .

Lời giải
Cách 1: Ta có y  3x2  6kx .
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  Đồ thị hàm số có hai
cực trị nằm về hai phía so với trục hoành
2

 y  0
 k  0
 

2 k 2 xCĐ  4 2 k 2 xCT  4  0
 yCĐ .yCT  0








 k  0
 4
2
4 k xCĐ xCT  8 k  xCĐ  xCT   16  0
Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 37

Ngọc Huyền LB

The Best or Nothing


 x  xCT  2 k
Theo Vi-et, ta có  CĐ
. Suy ra

 xCĐ .xCT  0


k  0
 k 1.

3

16 k  16  0

Cách 2: Xét phương trình hoành độ giao điểm x 3  3kx 2  4  0 
STUDY TIP
Một số hướng tìm điều kiện
để phương trình bậc ba có
ba nghiệm phân biệt:
+ Hướng 1: Cô lập m quy về
khảo sát hàm số.
+ Hướng 2: Nhẩm nghiệm
đi đến phương trình

x3  4
 k   ,
3x 2

x0

x3  4
3x 4  24 x


y

.
3x 2
9x4

Xét hàm số y 

Với x  0  9x4  0  y  0  3x4  24x  0  x  2
Bảng biến thiên
x

tích

+ Hướng 3: Dùng điều kiện
.

y’

–
∞

y

+
∞

0

2
–

–

0

+

+
∞
+
∞

+
∞

1
–
∞
Từ bảng biến thiên  Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
 k 1.

x  0
Cách 3: Ta có y  3x2  6kx . Xét y  0  
.
 x  2k
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  Đồ thị hàm số có hai
điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành

2 k  0
 k  0

 k 1 .
Điều kiện: 
3
16  16 k  0
 y  0  .y  2 k   0
Đáp án B.

x  y  z  3
Câu 5: Cho các số thực x, y , z thỏa mãn điều kiện  2
. Hỏi biểu thức
2
2

x  y  z  5

xy2
có thể nhận bao nhiêu giá trị nguyên?
z2
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .

P

Lời giải
Cách 1: Điều kiện: z  2 .
STUDY TIP
Trong biểu thức P vai trò
của z khác x, y do đó, ta tìm
cách rút x, y theo z từ điều
kiện ban đầu. Từ đó quy về
phương trình ẩn z và tìm
điều kiện để phương trình
có nghiệm.

xy2
 P  z  2  2  x  y
z2
xy z  3 xy  3z

P

x2  y 2  z2  5   x  y    x  y   2z 2  10
2

2

  x  y   10  2z 2   3  z    x  y   3z 2  6z  1 .
2

2



Do đó, P  z  2   2







2



2

 3z 2  6 z  1



 P 2  3 z 2  4P 2  4P  6 z  4P 2  8P  3  0 1

Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi   0



 
2





 2P2  2P  3  P2  3 4P2  8P  3  0

38 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn

D. 4 .

200 bài toán VD – VDC

facebook.com/huyenvu2405





 4P4  4P2  9  8P3  12P2  12 P  4 P4  8 P3  15P2  24 P  9  0

36
 P0.
23
Do đó, P có thể nhận các giá trị nguyên là 0; 1 .
 23P 2  36 P  0  

STUDY TIP
Các biểu thức liên hệ giữa x,
y, z có dạng phương trình
mặt phẳng, mặt cầu. Từ đó
giúp ta nghĩ đến việc xét vị
trí tương đối giữa mặt cầu
với đường thẳng và mặt
phẳng.

Cách 2: Ta có:
P

xy2
 x  y  Pz  2 P  2  2 
z2

x  y  z  3  3

x2  y 2  z 2  5  4 
Phương trình  2  ,  3  là các phương trình mặt phẳng.
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến d có vectơ chỉ phương là

 2P  5 2P  1 
u  P  1; P  1; 2  và đi qua điểm M 
;
;0  .
2
 2

u; OM   1  2 P; 2 P  5; 5P  2 



Phương trình  4  là phương trình mặt cầu S có tâm O(0; 0; 0) bán kính R  5

x, y , z tồn tại khi và chỉ khi d cắt S  d  O , d   R 

u; OM 


u

 5

2
2
2
2
2
  2P  1   2P  5   5P  2   5  P  1   P  1  4 



36
 P0.
23
Do đó, P có thể nhận các giá trị nguyên là 0; 1 .
 23P 2  36 P  0 

Đáp án A.
Câu 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

\ 2; 2 và có bảng biến thiên như

sau:
x

–2

–∞

y’
y

2

+∞

3
–

–

+

0

+∞

+∞

–∞
2018

–∞

Số nghiệm của phương trình f  2018x  2019   2020 là
A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải
Bảng biến thiên của hàm số y  f  x 
x
y’
y

–2

–∞

2
–

+

–

+∞

+∞
0

+∞

3
0

+∞

+

–∞
2018

Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 39

Ngọc Huyền LB

The Best or Nothing

Đường thẳng y  2020 cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại 4 điểm phân biệt có hoành

STUDY TIP

Để tìm số nghiệm phương

độ x1 , x2 , x3 , x4 .

trình

 2018 x  2019  x1

2018 x  2019  x2
Do đó, f  2018 x  2019   2020  
các phương trình này cho
 2018 x  2019  x3

 2018 x  2019  x4

khi biết

đồ thị hoặc bảng biến thiên
của hàm số

ta xác

định số giao điểm của
đường thẳng
với đồ
thị hàm số

. Gọi

hoành độ các giao điểm đó
là
ta có

ta 4 nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình f  2018x  2019   2020 có 4 nghiệm phân biệt.
Đáp án C.
Câu 7: Cho hàm số y  f  x   x3   2m  1 x2   2  m x  2 . Tập tất cả các giá trị

Bài toán trở về tìm số
nghiệm của phương trình

  có 5 điểm cực trị là  ba ; c  với a , b , c là các

của m để đồ thị hàm số y  f x





a
là phân số tối giản. Tính a  b  c.
b
A. a  b  c  11 .
B. a  b  c  8 .
C. a  b  c  10 .

số nguyên và

D. a  b  c  5 .

Lời giải
Tập xác định D 

.

f   x   3x  2  2m  1 x   2  m
2

Yêu cầu bài toán  f   x   0 có 2 nghiệm dương phân biệt
 2 m  12  3  2  m   0
  0
 4 m2  m  5  0
5



 1
 m2
S  0  2 m  1  0
4
P  0
2  m  0
 m2
2



 a  5, b  4, c  2

Vậy a  b  c  11 .
Đáp án A.
Câu 8: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x  với mọi x
2

dương. Biết f 1  f  1  1 tính f 2  2  .
A. f 2  2   ln 2  1 .

B. f 2  2   ln 2  1 .

C. f 2  2   2ln 2  2 .

D. f 2  2   2ln 2  2 .

Lời giải
2
2
1
Ta có  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x     f   x    f  x  f   x   1  2
x


1 
1
  f  x  f   x     x    f   x  . f  x   x   C1
x
x

Do f 1  f  1  1 nên ta có C1  1.
Do đó, f   x  . f  x   x 

40 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn

 f 2  x    x 2

1
    ln x  x 
1  

 2   2
x




200 bài toán VD – VDC

facebook.com/huyenvu2405

 f 2  x   x2  2ln x  2x  C2 .
Mà f 1  1 nên ta có C 2  2.
Vậy f 2  x   x2  2ln x  2x  2  f 2  2   2ln2  2 .
Câu 9: Tìm tất cả giá trị của tham số thực m



để phương trình



2log 2  x  2   log 2  x  2   2log 2 2 x2  6 x  m có đúng hai nghiệm phân biệt.
2

A. m   20; 4  .

B. m   20; 4    5;7  .

C. m   5;    .

D. m  20; 4    5;7  .

Lời giải
 x  2

x  2
Phương trình đã cho   2
2x  6x  m  0

2 log  x  2   2 log x  2  2 log 2 x 2  6 x  m
2
2
2




FOR REVIEW
Sai lầm thường gặp:
Biến đổi



 x  2
 x  2


x  2
 2
 x  2
2 x  6 x  m  0

2
 x  2  x  2  2 x2  6 x  m  x  2  x  2  2 x  6 x  m


 x 2  6 x  4 nÕu x  2
Xét hàm số f  x    x  2  x  2  2 x 2  6 x  
2
3x  6 x  4 nÕu  2  x  2

2 x  6 nÕu x  2
x  3
f  x  
; f  x  0  
6 x  6 nÕu  2  x  2
x  1
Bảng biến thiên:
x

–2

f’(x)

2

1
+

0

_

+

0

–20

–∞

4



_

5

7

f (x)

+∞

3

  

Từ bảng biến thiên ta có m 20;4  5;7 .
Đáp án B.
Câu 10: Cho hàm số y  x3  3x 2 C  . Biết rằng đường thẳng d : y  mx  1
cắt  C  tại ba điểm phân biệt A , B , C . Tiếp tuyến tại ba điểm A , B , C của đồ thị

C  cắt đồ thị C  lần lượt tại các điểm

A, B , C (tương ứng khác A , B , C ) . Biết

rằng A, B, C  thẳng hàng, tìm giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua ba
điểm A, B , C vuông góc với đường thẳng  : x  2018 y  2019  0 .
A. m 

1009
.
2

B. m 

1009
.
4

C. m 

2009
.
4

D. m 

2019
.
4

Lời giải
Giả sử A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  , C  x3 ; y3 .
Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 41

Ngọc Huyền LB
Ta

phương



Bài toán bên được xây
dựng từ ý tưởng của bài
toán gốc sau đây: Cho hàm
có 3

điểm A, B, C thuộc đồ thị

tiếp

tuyến

tại

A

của

đồ

thị

C 

là:





cắt

lần lượt tại các điểm
A’, B’, C’ (tương ứng khác
A, B, C). Biết rằng A, B, C
thẳng hàng, chứng minh
rằng A’, B’, C’ thẳng hàng.



Xét phương trình 3x12  3  x  x1   x13  3x1  2  x3  3x  2 .





Do đó A 2 x1 ; 8 x13  6 x1  2 .





Lại có 8x13  6x1  2  8 x13  3x1  2  18x1  18  8 y1  18x1  18

 8  mx1  1  18x1  18  2x1  4m  9   10

Tiếp tuyến tại 3 điểm
A, B, C của đồ thị

trình

1 : y  3x12  3  x  x1   x13  3x1  2

FOR REVIEW

số

có

The Best or Nothing

 yA   4m  1 xA  10 . Tương tự ta có yB   4m  9 xB  10
Do đó phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm A’, B’, C’ là

2 : y   4m  9  x  10.

Theo đề bài    2 nên 4m  9  2018  0  m 

2009
(thỏa mãn).
4

Đáp án C.
Câu 11: Cho hàm số y 

2x  1
có đồ thị  C  . Tiếp tuyến tại M  x0 ; y0  x0  0 
x1

của đồ thị  C  tạo với hai đường tiệm cận của đồ thị  C  một tam giác có bán
kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Giá trị biểu thức T  2018 x0  2019 y0 bằng
A. T  2021 .

B. T  2016 .

C. T  2018 .

D. T  2019 .

Lời giải
Chú ý: Ta có một số bài toán sau có thể giải bằng công thức tính nhanh
Cho hàm số y 

ax  b
cx  d

C 

với ad  bc  0, ac  0

1. Tìm điểm M  C  sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận
STUDY TIP
Để giải bài toán này ta sử
dụng công thức tính nhanh
liên quan đến hàm phân
thức.

a. Một tam giác vuông cân.
b. Một tam giác vuông có cạnh huyền nhỏ nhất.
c. Một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
d. Một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.
e. Một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
2. Tìm điểm M  C  sao cho tiếp tuyến của C  tại M vuông góc với đường
thẳng IM.
3. Tìm điểm M  C  sao cho khoảng cách từ điểm I đến tiếp tuyến của đồ
thị C  tại M lớn nhất.
4. Tìm 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị C  sao cho độ dài
MN đạt giá trị nhỏ nhất.
5. Tìm 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị C  sao cho tiếp
tuyến tại M và N song song với nhau đồng thời MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Công thức tính nhanh cho các bài toán trên như sau:
Hoành độ điểm M (hoặc hoành độ hai điểm M, N) cần tìm là nghiệm của
phương trình:  y  1
2

42 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn

200 bài toán VD – VDC

facebook.com/huyenvu2405

\1 ; y 

Cách 1: TXĐ:

1

 x  1

2

x  0
2
 1 
Xét phương trình  y   1  
 1 
 x 1
 x  2

Do x0  0 nên x0  2  y0  3. Vậy T  2021
Cách 2:

Phương trình tiếp tuyến của  C  tại M  x0 ; y0  là:

:y



x

0

C  có tiệm cận . d

1

 1

2

x  x  
0

2 x0  1
x0  1

: x  1; d2 : y  2; d1  d2  I  1; 2  .


2 x0 
Gọi A  d1  1  A  1;
 ; B  d2    B  2x0  1; 2 
x0  1 

2
 IA 
; IB  2 x0  1  IA.IB  4
x0  1
MEMORIZE
Công thức tính bán kính
đường tròn nội tiếp
(S, P lần lượt là diện tích,
chu vi của tam giác đó)

Do ABI vuông tại I nên bán đường tròn nội tiếp IAB bằng
2SIAB
IA.IB
IA.IB
4
r



 2 1
2
2
IA  IB  AB IA  IB  IA  IB
2 IA.IB  2IA.IB 4  2 2

x  0
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB  x0  1  1   0
 x0  2
Do

x0  0

nên x0  2  y0  3. Vậy T  2021 .
Đáp án A.

Câu 12: Cho hàm số y  x3  3x  1C  . Biết rằng tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị

C  phân biệt và có cùng hệ số góc

k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp

điểm của hai tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Gọi S là tập
các giá trị của k thỏa mãn điều kiện trên, tính tổng các phần tử của S.
A. 3 .

B. 9 .

C. 12 .

D. 0 .

Lời giải
Cách 1:
STUDY TIP
Ta lập phương trình đường
thẳng đi qua hai tiếp điểm
của hai tiếp tuyến với
bằng phương pháp gián tiếp

Tập xác định

, y  3x2  3

Theo bài ra ta có phương trình 3x2  3  k 1 có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó k  3  * 
Gọi x1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương trình (1), M  x1 ; y1  ; N  x2 ; y2   C 
Ta có: y1  x13  3x1  1 

x1
k

k
3x12  3  2x1  1  x1  2x1  1    2  x1  1
3
3
3






k

Tương tự y2    2  x2
3

k

Do đó phương trình MN là: y    2  x  1  d 
3


Vì  d  tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân nên d có hệ số góc bằng 1 hoặc 1
Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 43

Ngọc Huyền LB
+)

The Best or Nothing

k
 2  1  k  9 (thỏa mãn (*))
3

k
 2  1  k  3 (thỏa mãn (*))
3
Vậy tổng các phần tử của S là 12.

+)

Cách 2:
Ta có y  6x, y  0  x  0  C  có điểm uốn I  0;1

STUDY TIP
Cho

là đồ thị hàm số

TH1: Đường thẳng MN có hệ số góc bằng 1 và đi qua I

bậc 3. Nếu hai điểm M, N

 Phương trình MN: y  x  1

thuộc đồ thị

 Hoành độ M, N là nghiệm của phương trình:

tuyến của

mà tiếp
tại hai điểm

này song song với nhau thì
M, N luôn đối xứng nhau
qua điểm uốn của

x  0 l
x 3  3x  1  x  1  x x 2  4  0  
 k  y  2   y  2   9.
 x  2





TH2: Đường thẳng MN có hệ số góc bằng 1 và đi qua I
 Phương trình MN: y  x  1
 Hoành độ M, N là nghiệm của phương trình:
x  0 l
x3  3x  1   x  1  
 k  y
 x   2

 2   y   2   3

Vậy tổng các phần tử của S bằng 12.
Đáp án C.
Câu 13: Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn e x y z  e  x  y  z  . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P 
A. 108 .

4

 x  z

2



4
1
 3.
xz y

B. 106 .

C. 268 .

D. 106 .

Lời giải
Xét hàm số f t   et  et , t   0;   ; f  t   et  e , f  t   0  t  1
MEMORIZE

Ta có bảng biến thiên:
t

Bất đẳng thức Cauchy –
Schwarz: Giả sử
là

số

_

f’(t)

thực bất kì và
là số thực dương.

Khi đó ta có:

+∞

1

0

0

+

f(t)
0
Từ bảng biến thiên ta có et  et  0 t  0  e x y z  e  x  y  z 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi

Kết hợp với giả thiết ta có x  y  z  1
2
 1
1  2

4  1
1
36
1


 3  4.
 3
 3
Khi đó P  4
2
2
2
 x  z
4 xz  y
 x  z  y 1  y  y



Xét hàm số g  y  

g  y  

72

1  y 

3



36

1  y 

2



1
với y   0;1
y3

3
1
; f  y  0  y 
4
3
y

44 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn

200 bài toán VD – VDC
t

facebook.com/huyenvu2405
1

1/3

0

_

g’(t)

+

0

g(t)
108
Do đó g  y   108; y   0;1
4
1
2
Vậy min P  108 đạt được khi x  ; y  ; z 
9
3
9

Đáp án A.





Câu 14: Hàm số y  x  2 x2  1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải





 x  2  x 2  1 nÕu x  2

Ta có: y  
.
  x  2  x2  1 nÕu x  2







2

nÕu x  2
3x  4 x  1
Suy ra y  
và y  không xác định tại x  2.
2
 3 x  4 x  1 nÕu x  2







Ta có bảng xét dấu của y :

x

–1/3

–∞

y'

–

1
–

0

+

0

2

+∞
+

Ta thấy y  đổi dấu 3 lần  Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Lưu ý: Có thể giải thích đạo hàm của hàm số đã cho không xác định tại x  2
theo 2 cách như sau:
Cách 1: Ta có y 
Do đó y 

 x  2  x
2

x2

 x  2

2

x

2

2



1 .

  x  2  .2 x .
2

1 

 

 

Vậy y  không xác định tại x  2.

 

 

Cách 2: Ta có y 2  5; y 2  5  y 2  y 2  y  2  không xác định.
(Đọc bài đọc thêm “Đạo hàm một bên”, SGK Đại số và Giải tích 11, NXB GDVN).
Lưu ý: Ta có thể giải nhanh bài toán trên dựa vào nhận xét sau: “Số điểm cực trị
của hàm số y  f  x  bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y  f  x  và số
nghiệm (không trùng với các điểm cực trị) của phương trình f  x   0 ”.

STUDY TIP
Số điểm cực trị của hàm số
bằng tổng số
điểm cực trị của hàm số
và

số

nghiệm

(không trùng với các điểm
cực trị) của phương trình
.









Ta có: y  x  2 x 2  1  y   x  2  x 2  1 (do x2  1  0 x ).





Xét hàm số f  x    x  2  x2  1 có f   x   3x2  4x  1.
Vậy f  x  có 2 điểm cực trị x 

1
và x  1.
3

Mặt khác phương trình f  x   0 có nghiệm duy nhất x  2 (không trùng với các
điểm cực trị nêu trên).
Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 45

Ngọc Huyền LB

The Best or Nothing





Do đó hàm số y   x  2  x 2  1 có 3 điểm cực trị.
Đáp án D.
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

2 x 1
x 2

 m có

2 nghiệm phân biệt.


1
B. m   2;  .
2


 5
A. m   1;  .
 2

 1 
D. m    ; 2  .
 2 

C. m  0; 3 .

Lời giải
Cách 1: Tập xác định: D  .
Ta có

2 x 1
x 2

 m  2 x  1  m x  2m   2  m  x  2m  1 (*)

+ Nếu 2  m  0  m  2 : (*) vô nghiệm.
MEMORIZE
- Hàm số

+ Nếu 2  m  0  m  2 : (*)  x 
là một

hàm số chẵn nên có đồ thị
đối xứng qua Oy.
- Các bước vẽ đồ thị hàm số

 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 

2m  1
1
 0    m  2.
2m
2

Cách 2: Ta có:
2x  1
;
x2
2 x 1
+ Hàm số y 
là một hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy
x 2

+ Với x  0 thì y 

:
Bước 1: Vẽ đồ thị

2m  1
.
2m

của

hàm số
Bước 2: Giữ nguyên phần
nằm bên phải Oy của
xóa phần nằm bên trái Oy
của
Bước 3: Lấy đối xứng phần
đồ thị có được ở bước 2 qua
Oy, ta được đồ thị hàm số

(đường thẳng x  0 ).
5
2x  1
 0 x  2 nên là hàm đồng biến trên
* Xét hàm số y 
có y 
2
x2
x

2
 
từng khoảng xác định.
Bảng biến thiên của hàm số y 
x

2x  1
:
x2

–2

–∞

y’

0

+

+∞
+
2

+∞

y
2
Suy ra bảng biến thiên của hàm số y 
x

–∞

2 x 1
x 2
0

2
y

Vậy phương trình

–1/2

–∞
:

+∞
2

1
−
2

2 x 1

1
 m có 2 nghiệm phân biệt    m  2.
2
x 2

Đáp án D.
46 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn

200 bài toán VD – VDC

facebook.com/huyenvu2405

Câu 16: Cho hàm số f  x   x3  12x2  ax  b đồng biến trên

 





f f f  3   3 và f f f f  4 
A. 31.

B. 32.

, thỏa mãn

   4. Tìm f 7  .

C. 33.

D. 34.

Lời giải
* Giả sử f  3  3. Vì f  x  là hàm bậc ba đồng biến trên

 





Suy ra f f f  3   f f  3   f  3   3. Mâu thuẫn với giả thiết.

STUDY TIP
Cho

 



nên f f  3  f  3 .

là hàm số đồng

biến (chặn) trên

Nếu
thì suy ra

* Tương tự ta thấy f  3   3 cũng không thể xảy ra.
* Vậy f  3   3 (1).
* Tương tự ta có f  4   4 (2).

3a  b  84
a  48
* Từ (1) và (2) ta có 
.

4a  b  132 b  60
Khi đó f  x   x3  12x2  48x  60 có f   x   3x2  24x  48  0 x  .
Do đó f  7   31.
Đáp án A.
Câu 17: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d ( a  0 ) đạt cực trị tại các điểm x1 , x 2
thỏa mãn x1   1;0  ; x2  1; 2  . Biết hàm số đồng biến trên khoảng  x1 ; x2  , đồ
thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Khẳng định nào dưới đây
đúng?

STUDY TIP

B. a  0, b  0, c  0, d  0.

C. a  0, b  0, c  0, d  0.

D. a  0, b  0, c  0, d  0.

Lời giải

Cho hàm số
có hai
điểm cực trị

A. a  0, b  0, c  0, d  0.

.

+ Nếu
đồ thị hàm số
có dạng “dấu ngã”, hàm số
nghịch biến trên khoảng
;

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d  0.
Hàm số đồng biến trên khoảng  x1 ; x2  nên a  0.

Vì x1   1;0  ; x2  1; 2  nên x2  x1 . Do đó ta có x1 x2  0 và
Đạo hàm y  3ax2  2bx  c có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x2  0 và

+ Nếu
đồ thị hàm số
có dạng “dấu đồng dạng”,
hàm số đồng biến trên

c
2b
 0.
 0 và P 
3a
3a
Do đó b  0 và c  0 (do a  0 ).

khoảng

Vậy a  0, b  0, c  0, d  0.

.

x1  x2  0. Suy ra S  

Đáp án A.
Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x  1. Gọi d1 , d2 lần lượt là tiếp
tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  và y  g  x   x. f  2x  1 tại điểm có hoành độ

x  1. Biết rằng hai đường thẳng d1 và d 2 vuông góc với nhau. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
A.

2  f 1  2.

C. f 1  2 2.

B. f 1  2.
D. 2  f 1  2 2.
Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 47