500 câu trắc nghiệm khảo sát hàm số có giải

ThsCaoĐì Tuyể nc họ n500 KHẢO H Ki mN g ư u : Họ ch à n hc h ă mc h ỉ , c ẩ nt h ậ n ! Mục lục Tính chất hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ax + b Tính chất hàm số bậc nhất/bậc nhất: y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cx + d Tính chất hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đồng biến, nghịch biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tương giao của hai đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ứng dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình . . . . . . . . . . . . Định lý về dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điều kiện tam thức bậc hai không đổi dấu trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hệ thức Viét, so sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực cho trước . Liên hệ về số nghiệm giữa phương trình trùng phương và phương trình bậc hai tương ứng CÁC DẠNG BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tương giao của đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐÁP SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tương giao của đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 11 11 29 44 55 60 67 91 92 92 93 94 95 97 97 98 99 Ths Cao Đình Tới 0986358689 https://www.facebook.com/Luyenthitracnghiemtoanhanoi/ I. Tính chất hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d • Điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị hàm số • Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất hoặc lớn nhất • Luôn cắt trục tung tại một điểm • Luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm, nhiều nhất ba điểm • Số cực trị: 0 hoặc 2 • Luôn có một điểm uốn • Số tiệm cận: 0 • Dạng đồ thị: a > 0, y0 = 0 vô nghiệm a < 0, y0 = 0 vô nghiệm a > 0, y0 = 0 có nghiệm kép a < 0, y0 = 0 có nghiệm kép a > 0, y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt a < 0, y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt Luyện thi đại học khu vực Hà Nội 2 Trắc nghiệm toán 12-Khảo sát hàm số Ths Cao Đình Tới 0986358689 https://www.facebook.com/Luyenthitracnghiemtoanhanoi/ ax + b II. Tính chất hàm số bậc nhất/bậc nhất: y = cx + d ad − bc (cx + d)2 • Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng xác định ⇔ hàm số đồng biến (nghịch biến) d d trên (−∞; − ) và (− ; +∞) c c d • Tiệm cận đứng: x = − c a • Tiệm cận ngang: y =  c  d a • Tâm đối xứng: I − ; (Là giao điểm của 2 tiệm cận) c c • Số cực trị: 0 • Dạng đồ thị: • Đạo hàm: y0 = y0 < 0 y0 > 0 III. Tính chất hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c • Nhận trục tung làm trục đối xứng • Số điểm uốn: 2 hoặc 0 • Số cực trị 3 (khi ab < 0) hoặc 1 (khi ab > 0) • Số tiệm cận: 0 • Số giao điểm với trục tung: 1 • Số giao điểm với trục hoành: 0 đến 4 • Đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất trên tập xác định • Dạng đồ thị: Luyện thi đại học khu vực Hà Nội 3 Trắc nghiệm toán 12-Khảo sát hàm số Ths Cao Đình Tới 0986358689 https://www.facebook.com/Luyenthitracnghiemtoanhanoi/ a > 0, b > 0, y0 = 0 có 1 nghiệm a < 0, b < 0, y0 = 0 có 1 nghiệm a > 0, b < 0, y0 = 0 có 3 nghiệm phân biệt a < 0, b > 0, y0 = 0 có 3 nghiệm phân biệt IV. Đồng biến, nghịch biến 1 Định nghĩa: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K. • Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) • Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) 2 Định lý: • Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f 0 (x) > 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a; b] . • Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f 0 (x) < 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a; b] . 3 Lưu ý: • Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định ⇔ y0 ≥ 0 (y0 = 0 vô nghiệm hoặc y0 có dạng √ y0 = A2 , y0 = A4 , y0 = A) • Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định ⇔ y0 ≤ 0 ( y0 = 0 vô nghiệm hoặc y0 có dạng √ y0 = −A2 , y0 = −A2 , y0 = − A) • Đồng biến (nghịch biến) trên (a; b) thì đồng biến (nghịch biến) trên [a; b] ⊂ (c; d) Luyện thi đại học khu vực Hà Nội 4 Trắc nghiệm toán 12-Khảo sát hàm số Ths Cao Đình Tới 0986358689 https://www.facebook.com/Luyenthitracnghiemtoanhanoi/ V. Cực trị: 1 Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D ⊆ R và x0 ∈ D) • x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và f (x) < f (x0 ) với mọi x ∈ (a; b) \ {x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . • x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và f (x) > f (x0 ) với mọi x ∈ (a; b) \ {x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . • Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. 2 Chú ý: • Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . • Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0 ; f (x0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f . • Số cực trị là số nghiệm phân biệt + nghiệm kép bậc lẻ của phương trình y0 = 0 • Hàm số không có cực trị (cực đại, cực tiểu) ⇔ y0 ≥ 0 hoặc y0 ≤ 0(chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm) ⇔ y0 = 0 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm kép bậc chẵn. • Tồn tại hàm số không có đạo hàm tại xo nhưng đạt cực trị tại xo (y = |x|). • Tồn tại hàm số có y0 (x0 ) = 0 nhưng không đạt cực trị tại x0 (y0 = (x − 1)2 ). x2 + 3 ). • Tồn tại hàm số có yCD < yCT (y = x−1 3 Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: (Thường dùng để tìm cực trị) • Tính y0 • Tìm các giá trị của xi để y0 = 0 hoặc không xác định • Lập bảng biến thiên ( Nếu f 0 (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 . ( Nếu f 0 (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 . Quy tắc 2: (Thường dùng khi xác định tham số để hàm số đạt cực trị tại x0 ) • Tính y0 và y00 • Tìm các nghiệm xi của y0 = 0 • Tính y00 (xi ) ( y0 (x0 ) = 0 ( Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔ 00 y (x ) < 0 ( 0 y0 (x0 ) = 0 ( Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔ 00 y (x0 ) > 0 Luyện thi đại học khu vực Hà Nội 5 . . Trắc nghiệm toán 12-Khảo sát hàm số Ths Cao Đình Tới 0986358689 https://www.facebook.com/Luyenthitracnghiemtoanhanoi/ VI. Tiệm cận: 1 Định nghĩa: • Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) nếu lim f (x) = y0 hoặc lim f (x) = y0 . x→+∞ x→−∞ • Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) = −∞. lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞ lim f (x) = +∞ x→x0− x→x0− x→x0+ x→x0+ • Đường thẳng y = ax + b được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) nếu lim [ f (x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim [ f (x) − (ax + b)] = 0. x→+∞ x→−∞ • Xác định a, b bằng công thức: f (x) a = lim ; b = lim [ f (x) − ax] hoặc x→+∞ x x→+∞ f (x) a = lim ; b = lim [ f (x) − ax]. x→−∞ x x→−∞ 2 Chú ý: Hàm phân thức (Tối giản, tử và mẫu là các đa thức): • Mẫu có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiệm cận đứng. • Bậc của tử ≤ bậc của mẫu ⇒ có 1 tiệm cận ngang. • Bậc tử − bậc mẫu = 1 ⇒ có 1 tiệm cận xiên. Tử c • = ax + b + ⇒ tiệm cận xiên là y = ax + b. Mẫu mẫu VII. Tiếp tuyến: 1 Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M(x0 ; y0 ) ∈ (C) có dạng: y0 = f 0 (xo )(x − xo ) + y0 Trong đó k = f 0 (x0 ) = tan α được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến và α là góc giữa tiếp tuyến và chiều dương trục Ox. 2 Chú ý: • Để viết phương trình tiếp tuyến cần biết 3 yếu tố: x0 , y0 = f (x0 ) và k = f 0 (x0 ). Nếu để bài cho một yếu tố thì phải đi tìm hai yếu tố còn lại: ( Nếu biết x0 , thay x0 vào f (x) và f 0 (x) để tìm y0 và f 0 (x0 ). ( Nếu biết y0 , giải phương trình f (x) = y0 để tìm x0 rồi tính f 0 (x0 ). ( Nếu biết hệ số góc k, giải phương trình f 0 (x) = k để tìm x0 rồi tính f (x0 ). • Tiếp tuyến có hệ số góc k thì f 0 (x0 ) = k. • Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng (d) thì đưa (d) về dạng y = ax + b. Luyện thi đại học khu vực Hà Nội 6 Trắc nghiệm toán 12-Khảo sát hàm số Ths Cao Đình Tới 0986358689 https://www.facebook.com/Luyenthitracnghiemtoanhanoi/ ( Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì f 0 (x0 ) = a. ( Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì f 0 (x0 ).a = −1 . VIII. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: 1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập D ⊂ R. • Nếu tồn tại điểm x0 ∈ D sao cho f (x) ≤ f (x0 ) với mọi x ∈ D thì số M = f (x0 ) được gọi là giá trị lớn nhất (max) của hàm số f trên D. Ký hiệu M = max f (x). x∈D • Nếu tồn tại điểm x0 ∈ D sao cho f (x) ≥ f (x0 ) với mọi x ∈ D thì số m = f (x0 ) được gọi là giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số f trên D. Ký hiệu m = min f (x). x∈D 2 Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: Quy tắc 1: (Tìm min, max của hàm số f trên khoảng, đoạn) • Tính f 0 (x) • Tìm các điểm xi mà tại đó f 0 (x) bằng 0 hoặc không xác định • Lập bảng biến thiên để suy ra min, max Quy tắc 2: ( Tìm min, max của hàm số f (x) trên đoạn [a; b]) • Tìm các điểm x1 , x2 , ..., xn ∈ (a; b) mà tại đó f 0 (x) bằng 0 hoặc không xác định • Tính f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn ), f (a) và f (b) • So sánh các giá trị tìm được ( Số lớn nhất trong các số đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a; b]. ( Số nhỏ nhất trong các số đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [a; b]. 3 Chú ý : • Khi đề bài yêu cầu tìm min, max của hàm số (mà không nói rõ trên tập nào) ta hiểu là tìm min, max trên tập xác định của nó. Khi đó ta phải tìm tập xác định trước • Giá trị cực trị chưa chắc là min, max • Khi làm các bài toán thực tế, lời văn phải tìm điều kiện của biến x. IX. Tương giao của hai đồ thị: • Cách tìm giao điểm, số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f (x) và y = g(x): ( Lập phương trình hoành độ giao điểm: f (x) = g(x) (*). (Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình (*)) ( Giải phương trình (*) để tìm nghiệm xo . ( Số nghiệm của của phương trình là số giao điểm) ( Thay xo vào y = f (x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm yo . (Nên thay vào phương trình nào đơn giản hơn) ( Tọa độ giao điểm là (xo ; yo ) Luyện thi đại học khu vực Hà Nội 7 Trắc nghiệm toán 12-Khảo sát hàm số