200 bài toán phương trình MŨ và LOGARIT Lê Văn Đoàn
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
-
![Các đề luyện thi TNTHPT môn Toán]()
-
![Chuyên đề sự đồng biến và nghịch biến]()
-
![Chuyên đề cực trị của hàm số]()
-
![Test công thức]()
-
![300 câu trắc nghiệm chương Đạo hàm theo chủ đề]()
-
![520 bài tập trắc nghiệm đạo hàm]()
-
![Đề luyện tập Chuyên đề 1 - Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số]()
-
![Đề luyện tập Chuyên đề 2 - Khối đa diện]()
-
![Đề luyện tập Chuyên đề 3 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm lôgarit]()
-
![ĐỀ 44-TỔNG HỢP (ĐẾN NGUYÊN HÀM-MẶT CẦU)]()
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Mu & Logarit
Ths. Lê
Lê Vn Đoa
oan
Bât ph
nh
phng
ng tri
trinh
ne
t
Ph
nh
Phng
ng tri
trinh
ilie
u.
Hê ph
nh
phng
ng tri
trinh
w
w
w
.b
ox
ta
Hê bât ph
nh
phng
ng tri
trinh
www.boxtailieu.net
Bài 1.
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2002
Giải các phương trình và bất phương trình sau
1/ 2 log5 x − log x 125 < 1
2/ 4 x −
x 2 −5
− 12.2x −1−
(1)
x 2 −5
+8=0
(2)
Bài giải tham khảo
1/ Giải bất phương trình : 2 log5 x − log x 125 < 1
(1)
● Điều kiện : 0 < x ≠ 1 .
(1) ⇔ 2 log5 x − log
1
125
x
− 1 < 0 ⇔ 2 log5 x −
3
−1 < 0
log5 x
log x < −1
t = log5 x ≠ 0
t = log5 x
x < 1
5
⇔ 2t2 − t − 3
⇔
⇔
⇔
.
5
0 < log x < 3
t < −1 ∨ 0 < t < 3
<0
1 < x < 5 5
5
2
2
t
1
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là : x ∈ 0; ∪ 1; 5 5 .
5
x 2 −5
− 12.2x −1−
x 2 −5
+8=0
)
(2)
u.
2/ Giải phương trình : 4 x −
ne
t
(
x ≤ − 5
● Điều kiện : x − 5 ≥ 0 ⇔
⇒ Tập xác định : D = −∞; − 5 ∪ 5; +∞ .
x ≥ 5
x− x2 −5
2
2
=2
t = 2x − x −5 > 0
x − x2 −5 2
2
−
−
x
x
5
+8 =0 ⇔
⇔
− 6.2
(2) ⇔ 2
2
x− x2 −5
t − 6.t + 8 = 0
=4
2
x ≥ 1
x − 1 ≥ 0
2
x = 3
2
x = 3
2
2
x
5
x
1
−
=
−
x
x
5
1
x
5
x
1
−
−
=
−
=
−
(
)
.
⇔
⇔
⇔
⇔ x ≥ 2 ⇔
x − 2 ≥ 0
x = 9
x − x2 − 5 = 2
x2 − 5 = x − 2
4
9
2
x =
x2 − 5 = (x − 2)
4
(
w
w
w
.b
ox
ta
ilie
2
● Kết hợp với điều kiện, phương trìn có hai nghiệm là x =
Bài 2.
9
; x = 3.
4
Cao đẳng Sư Phạm Hà Tĩnh khối A, B năm 2002
2
log x
(log x)
Giải bất phương trình : 2 2 + x 2 ≤ 4
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 ⇒ tập xác định : D = (0; +∞) .
● Đặt log2 x = t ⇔ x = 2t . Lúc đó :
2
(∗) ⇔ 2t
t
( )
+ 2t
2
2
2
≤ 4 ⇔ 2 t + 2 t − 4 ≤ 0 ⇔ 2 t ≤ 21 ⇔ t2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1
● Với t = log2 x ⇒ −1 ≤ log2 x ≤ 1 ⇔
1
≤ x ≤ 2.
2
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là : x ∈ (0; +∞) .
www.boxtailieu.net
)
Bài 3.
Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002
(x + 1) log23 x + 4xlog3 x − 16 = 0 (∗)
Giải phương trình :
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 ⇒ Tập xác định D = (0; +∞) .
● Đặt t = log3 x và do x > 0 ⇒ x + 1 ≠ 0 . Lúc đó : (∗) ⇔ (x + 1) t2 + 4xt − 16 = 0 .
2
2
● Lập ∆ ' = 4x2 + 16x + 16 = 4 (x + 2) ⇒ ∆ = 4 (x + 2) = 2 (x + 2),
(do x > 0) .
t = −2x + 2 (x + 2) = 4
x +1
x +1.
⇒
t = −2x − 2 (x + 2) = −4
x +1
1
.
81
● Với t = −4 ⇒ log3 x = −4 ⇔ x =
4
4
⇒ log3 x =
x +1
x +1
(1)
ne
t
● Vớ i t =
u.
Nhận thấy phương trình (1) có một nghiệm là x = 3 .
4
−4
< 0, ∀x ⇒ g (x) : nghịch biến trên (0;+∞) .
có g ' (x) =
2
x +1
x
1
+
( )
ta
Hàm số g (x) =
ilie
Hàm số f (x ) = log3 x : là hàm số đồng biến trên (0;+∞) .
ox
Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x = 3 .
1
, x = 3.
81
w
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương năm 2002
w
Giải bất phương trình : 4x2 + x.2x
w
Bài 4.
.b
● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x =
(∗) ⇔ 4x2 + 2x.2x
2
2
+1
2
2
(∗)
+ 3.2x > x2 .2x + 8x + 12
Bài giải tham khảo
2
2
+ 3.2x − x2 .2x − 8x − 12 > 0
2
2
2
⇔ 2x.2x − 8x + 3.2x − 12 + 4x2 − x2 .2x > 0
2
2
2
⇔ 2x 2x − 4 + 3 2x − 4 − x2 2x − 4 > 0
2
2
⇔ 2x − 4 2x + 3 − x2 > 0 ⇔ f (x) = 2x − 4 x2 − 2x − 3 < 0 (1)
(
)
(
)
2
x = ± 2
x2 = 2
2x − 4 = 0
● Cho
⇔
⇔
.
x 2 − 2x − 3 = 0
x = −1 ∨ x = 3
x = − 1 ∨ x = 3
● Bảng xét dấu
x
−∞
− 2
−1
www.boxtailieu.net
2
3
+∞
2
2x − 4
+
x2 − 2x − 3
+
f ( x)
+
0
−
0
−
+
0
−
−
0
+
0
+
0
+
−
0
−
0
+
) (
2; 3 .
(
● Dựa vào bảng xét, tập nghiệm của bất phương trình là : x ∈ − 2; −1 ∪
Bài 5.
+
)
Cao đẳng khối T, M năm 2004 – Đại học Hùng Vương
log 3
log2 (xy)
9
= 3 + 2. (xy) 2
Giải hệ phương trình :
x2 + y2 = 3x + 3y + 6
(1)
(2)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : xy > 0 .
(1) ⇔ 3
− 2.3
log2 (xy)
log (xy)
t = 3log2 xy > 0
= − 1 (L )
t = 3 2
−3 = 0 ⇔ 2
⇔
log2 (xy)
t − 2t − 3 = 0
=3
t = 3
⇔ log2 ( xy) = 1 ⇔ xy = 2
(3) .
u.
x + y = 5
2
− 3 (x + y) − 2xy − 6 = 0 ⇔ (x + y) − 3 (x + y) − 10 = 0 ⇔
(4) .
x + y = −2
ilie
2
(2) ⇔ (x + y)
ne
t
2. log2 (xy)
2
1
log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log2 (3 − x)
2
w
1/ Giải phương trình :
w
Cao đẳng Sư Phạm Hải Phòng – Đại học Hải Phòng năm 2004
(∗)
2
(
)
(
2/ Giải phương trình : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x
w
Bài 6.
.b
ox
ta
xy = 2
5 − 17
5 + 17
x + y = 5
x =
x =
y = 5 − x
2
2
.
⇔ 2
⇔
∨
(3), (4) ⇔ xy = 2
−
+
−
=
x
5x
2
0
+
−
5
17
5
17
(VN)
y =
y =
x + y = −2
2
2
) (∗ ∗)
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình :
2
1
log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log2 (3 − x)
2
(∗)
2
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
−4 < x < 3
● Điều kiện : x + 4 > 0 ⇔ x > −4 ⇔
.
x ≠ 1
3 − x > 0
x < 3
(∗) ⇔ log2 x − 1 − log2 (x + 4) = log2 (3 − x) ⇔ log2 x − 1 = log2 (3 − x)(x + 4)
⇔ x − 1 = (3 − x)(x + 4) ⇔ x − 1 = −x2 − x + 12
www.boxtailieu.net
−x2 − x + 12 ≥ 0
−4 ≤ x ≤ 3
x = − 11
2
⇔ x − 1 = −x − x + 12 ⇔ x = −1 + 14 ∨ x = −1 − 14 ⇔
.
x
1
14
=
−
+
2
x = − 11 ∨ x = 11
x − 1 = x + x − 12
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là : x = − 11 ∨ x = −1 + 14 .
(
)
(
2/ Giải phương trình : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x
) (∗ ∗)
2
2
( x + 1) > 0
x + 2x + 1 > 0
● Điều kiện : 2
⇔
⇔ x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞) .
x + 2x > 0
x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞)
x 2 + 2x + 1 = 3t > 0
● Đặt : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x = t ⇒ 2
x + 2x = 2t > 0
x2 + 2x = 2t
(1)
x2 + 2x = 3t − 1
x 2 + 2x = 2t
x2 + 2x = 2t
.
⇔ 2
⇔ t
⇔ t
⇔ 2 t 1 t
x + 2x = 2t
3 − 1 = 2t
2 + 1 = 3t
+ = 1 (2)
3 3
)
(
)
ne
t
(
u.
● Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình (2) .
ilie
2 t 1 t
● Xét hàm số f (t) = + trên » :
3
3
ta
t
2 t
2 1
1
f ' ( t) = .ln + . ln < 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) nghịch biến trên » .
3 3
3
3
ox
● Do đó, t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2) .
.b
● Thay t = 1 vào (2), ta được : x2 + 2x = 2 ⇔ x2 + 2x − 2 = 0 ⇔ x = −1 ± 3 .
w
Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TWI năm 2004
1 1
>
Giải bất phương trình : log
2
(x−1) 4 2
w
Bài 7.
w
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = −1 ± 3 .
(∗)
Bài giải tham khảo
2
● Điều kiện : 0 < ( x − 1) ≠ 1 ⇔ x ≠ 0,1, 2 .
1
1
1
1
(∗) ⇔ 2 log x−1 4 > 2 ⇔ log x−1 4 > log x−1
x −1
(∗ ∗)
1
x − 1 > 1
> x − 1
⇔
● Nếu x − 1 > 1 thì (∗ ∗) ⇔ 4
(vô lí) ⇒ Không có x thỏa.
x − 1 < 1
−
>
x
1
1
4
● Nếu 0 < x − 1 < 1 thì
1
0 < x − 1 < 1
0 < x < 3
< x − 1
1
4.
⇔
⇔ 0 < x −1 < ⇔
(∗ ∗) ⇔ 4
1
5
4
x −1 <
0 < x − 1 < 1
4
www.boxtailieu.net
3 5
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; ∪ ;2 .
4 4
Bài 8.
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2004
log x 2 + y2 = 5
Giải hệ phương trình : 2
2 log x + log y = 4
4
2
(
)
(∗)
Bài giải tham khảo
2
2
x > 0
x + y > 0
⇔
● Điều kiện :
.
x > 0, y > 0
y > 0
Cao đẳng Sư Phạm Bắc Ninh năm 2004
2
3
2
Giải bất phương trình :
3
>0
(∗)
ta
x +1
ilie
log 1 (x + 3) − log 1 (x + 3)
ox
Bài giải tham khảo
2
2
3
− log 1 (x + 3) < 0
w
(∗) ⇔ log 1 (x + 3)
w
.b
x > −3
.
● Điều kiện :
x ≠ 1
● Trường hợp 1. Nếu x + 1 < 0 ⇔ −3 < x < −1 .
3
⇔ 3 log3 (x + 3) − 2 log2 (x + 3) < 0
w
Bài 9.
{(4; 4)} .
u.
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là S = (x; y) =
ne
t
2
2
x2 + y2 = 32
x 2 + y2 = 32
(x + y) − 2xy = 32
( x + y) = 64
⇔
(∗) ⇔ log x + log y = 4 ⇔ log xy = 4 ⇔
2
2 ( )
xy = 16
xy = 16
2
x = y = 4
x + y = 8
x + y = −8
⇔
∨
⇔
.
x = y = −4
xy = 16
xy = 16
⇔ 3 log3 ( x + 3) − 2 log2 3. log3 ( x + 3) < 0
⇔ log3 (x + 3) . (3 − 2 log2 3) < 0
⇔ log3 (x + 3) > 0
(Do :
3 − 2 log2 3 < 0)
⇔ x + 3 > 1 ⇔ −2 < x < −1 thỏa mãn điều kiện : −3 < x < −1 .
● Trường hợp 2. Nếu x + 1 > 0 ⇔ x > −1 .
2
(∗) ⇔ log 1 (x + 3)
3
− log 1 (x + 3) > 0
2
3
⇔ 3 log3 (x + 3) − 2 log2 (x + 3) > 0
⇔ 3 log3 ( x + 3) − 2 log2 3. log3 ( x + 3) > 0
⇔ log3 (x + 3) . (3 − 2 log2 3) > 0
⇔ log3 (x + 3) < 0
(Do :
3 − 2 log2 3 < 0)
www.boxtailieu.net
⇔ x + 3 < 1 ⇔ x < −2 không thỏa mãn điều kiện x > −1 .
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−2; −1) .
Bài 10.
Cao đẳng Sư Phạm Bình Phước năm 2004
(
)
(∗)
Giải phương trình : 3x2 − 2x 3 = log2 x2 + 1 − log2 x
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 .
(∗) ⇔ log2
x2 + 1
= 3x2 − 2x 3 ⇔ log2 x +
x
1
= 3x2 − 2x 3
x
(∗ ∗)
1 Côsi
1
1
≥ 2 x. ⇔ x + ≥ 2 ⇒ log2 x +
● Ta có ∀x > 0 : x +
x
x
x
● Xét hàm số y = 3x2 − 2x 3 trên khoảng (0;+∞) :
u.
y ' = 6x − 6x2 . Cho y ' = 0 ⇔ x = 0, x = 1 .
x = 1
x = −1 L ⇔ x = 1 .
( )
ne
t
1
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = ⇔ x2 = 1 ⇔
x
1
≥ log2 2 = 1 .
x
Cao đẳng Sư Phạm Kom Tum năm 2004
w
Bài 11.
w
.b
ox
ta
ilie
f (0) = 0
⇒ max y = 1 ⇒ y = 3x2 − 2x 3 ≤ 1 . Dấu " = " xảy ra khi x = 1 .
Mà
f (1) = 1
(0;+∞)
1
log2 x + ≥ 1 (1)
x
● Tóm lại : (∗ ∗) ⇔ 2x2 − 2x 3 ≤ 1
(2) ⇔ Dấu " = " trong (1), (2) đồng thời xảy ra
log x + 1 = 3x2 − 2x 3
2
x
⇔ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
w
Giải phương trình : log5 x. log3 x = log5 x + log3 x
(∗)
Bài giải tham khảo
log x
(∗) ⇔ log5 x. log3 x − log5 x − log5 3 = 0
5
1
⇔ log5 x log3 x − 1 −
= 0
log5 3
⇔ log5 x (log3 x − log3 3 − log3 5) = 0
⇔ log5 x. (log3 x − log3 15) = 0
log x = 0
x = 1
5
.
⇔
⇔
−
=
log
x
log
15
0
3
x = 15
3
Bài 12.
Cao đẳng Giao Thông năm 2004
Giải bất phương trình :
8 + 21+ x − 4 x + 21+ x > 5
www.boxtailieu.net
(1)
Bài giải tham khảo
(1) ⇔
x
8 + 2.2 −
t = 2x > 0
> 5 − 2.2 ⇔
2
8 + 2t − t2 > 5 − 2.t
t > 0
t > 5
2
5
−2 ≤ t ≤ 4
⇔
⇔ 2
⇔1< t≤4.
5
>
t
0
1 < t ≤
2
5
t ≤
2
2
> (5 − 2t)
17
1 < t <
5
2
( )
t > 0
5 − 2t < 0
8 + 2t − t2
⇔
t > 0
5 − 2t ≥ 0
8 + 2t − t2
x
x
Giải bất phương trình :
log22 x + 3
log2 x + 3
u.
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2004
(∗)
>2
ilie
Bài 13.
ne
t
● Thay t = 2x vào ta được : 1 < 2x ≤ 4 ⇔ 20 < 2x ≤ 22 ⇔ 0 < x ≤ 2 .
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;2 .
Bài giải tham khảo
x+3
2
.b
(∗) ⇔ log
log22 x − 2 log2 x − 3
−2 > 0 ⇔
log2 x + 3
w
log22 x + 3
ox
ta
x > 0
x > 0
x > 0
x > 0
⇔
⇔
⇔
● Điều kiện :
.
log2 x + 3 ≠ 0
log2 x ≠ log2 2−3
x ≠ 2−3
x ≠ 1
8
w
w
● Đặt t = log2 x . Khi đó (∗ ∗) ⇔
● Xét dấu f (t) =
t
(t + 1)(t − 3)
−∞
t+3
>0
(∗ ∗)
(t + 1)(t − 3) > 0
t2 − 2t − 3
> 0 ⇔ f (t) =
t+3
t+3
:
−3
f (t)
+
−1
3
0
0
● Kết hợp bảng xét dấu và (∗ ∗ ∗), ta được :
−3 < t < −1
⇔
t > 3
−3 < log x < −1
2
⇔
log x > 3
2
1
2.
>
x
8
1 1
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ; .
8 2
Bài 14.
(∗ ∗ ∗) .
Cao đẳng Cơ Khí Luyện Kim năm 2004
www.boxtailieu.net
+∞
+
(
)
(
) (∗)
Giải phương trình : log2 25x +3 − 1 = 2 + log2 5x +3 + 1
Bài giải tham khảo
25x + 3 − 1 > 0
25x + 3 > 25o
● Điều kiện : x + 3
⇔ x + 3
⇔ x−3> 0 ⇔ x > 3.
5
5
+1> 0
+ 1 > 0 (Ð), ∀x ∈ »
(∗) ⇔ log2 (25x+3 − 1) = log2 4 + log2 (5x +3 + 1)
⇔ log2 25x + 3 − 1 = log2 4. 5x + 3 + 1 ⇔ 25x + 3 − 1 = 4.5x + 3 + 4
5 x + 3 = −1 L
2
( ) ⇔ x + 3 = 1 ⇔ x = −2
x +3
x +3
⇔ 5
− 4.5
− 5 = 0 ⇔ x + 3
=5
5
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = −2 .
(
(
Bài 15.
)
(
)
)
Cao đẳng Hóa Chất năm 2004
(
)
(
)
Bài giải tham khảo
(∗)
ne
t
Giải phương trình : log2 2x + 1 .log2 2x +1 + 2 = 6
(
)
(
)
)
)
ta
(
(
ilie
)
)
ox
(
(
u.
● Tập xác định : D = » .
(∗) ⇔ log2 2x + 1 . log2 2. 2x + 1 = 6
⇔ log2 2x + 1 . 1 + log2 2x + 1 − 6 = 0
t > 0
t = log 2x + 1 > 0
t > 0
2
⇔
⇔ 2
⇔
⇔ t=2
t (1 + t) − 6 = 0
t + t − 6 = 0
t = 2 ∨ t = −3 (L)
.b
⇔ log2 2x + 1 = 2 ⇔ 2x + 1 = 4 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = log2 3 .
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 2004
w
Bài 16.
w
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = log2 3 .
w
Giải phương trình : 32x +5 − 36.3x +1 + 9 = 0
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
(∗) ⇔ 27.32(x +1) − 36.3x+1 + 9 = 0
t = 3x +1 > 0
3x +1 = 1
x = −1
t = 3x +1 > 0
⇔ 2
⇔
⇔
⇔
.
x +1
−1
27t − 36t + 9 = 0
t = 1 ∨ t = 1
x
2
=
−
3
=3
3
● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 và x = −1 .
Bài 17.
Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2004
1/ Giải phương trình : 8sin
3
x
= 8.8
π x
2 cos2 − + sin2 x
4 2
(1)
2/ Tìm tập xác định của hàm số : y = 4 log2 x − log2
www.boxtailieu.net
2
1
− 3 + x2 − 7x + 6
x
(2)
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình : 8
(1) ⇔ 8
sin3 x
sin3 x
= 8.8
π
1+ cos −x+ sin2 x +1
2
=8
π x
2 cos2 − + sin2 x
4 2
⇔ 8sin
3
x
2
= 8sin
(1)
x + sin x +2
⇔ sin3 x = sin2 x + sin x + 2
t = sin x, t ≤ 1
⇔ 3
⇔ t = 2 (loại).
t − t2 − t − 2 = 0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2/ Tìm tập xác định của hàm số : y = 4 log2 x − log2
(2) ⇔ y =
2
1
− 3 + x2 − 7x + 6
x
4 log2 x − log22 x − 3 + x2 − 7x + 6 .
Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2004
u.
ta
Bài 18.
ilie
0 < x ≤ 1 ∨ x ≥ 6
⇔
⇔ 6 ≤ x ≤ 8.
2 ≤ x ≤ 8
● Vậy tập xác định của hàm số là D = 6; 8 .
ne
t
x > 0
x > 0
2
● Hàm số xác định khi và chỉ khi : − log2 x + 4 log2 x − 3 ≥ 0 ⇔
x ≤ 1 ∨ x ≥ 6
2
1 ≤ log2 x ≤ 3
x − 7x + 6 ≥ 0
.b
ox
2
x + 5x + 4 ≤ 0 (1)
Giải hệ phương trình :
(2 + x) .3x < 1 (2)
w
Bài giải tham khảo
● Tập xác định D = » .
w
w
(1) ⇔ −4 ≤ x ≤ −1 ⇒ x ∈ −4; −1 .
1 x
(2) ⇔ x + 2 < 3 .
● Với x ∈ −4; −1 . Xét hàm số f ( x) = x + 2 đồng biến trên
−4; −1 .
⇒ max f (x) = f (−1) = 1 .
−4;−1
1 x
● Với x ∈ −4; −1 . Xét hàm số g (x ) = nghịch biến trên −4; −1 .
3
⇒ min g (x) = f (−1) = 3 .
−4;−1
● Nhận thấy max f (x) < min g (x) , (1 < 3) nên g (x ) > f (x) luôn luôn đúng
−4;−1
−4;−1
∀x ∈ −4; −1 . Do đó tập nghiệm của bất phương trìn là x ∈ −4; −1 .
Bài 19.
Cao đẳng Y Tế Nghệ An năm 2004
www.boxtailieu.net
(2)
Giải phương trình : log3
3
x3
1
. log2 x − log3
= + log2 x
x
2
3
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 .
(∗) ⇔ (log3 3 − log3 x). log2 x − (log3 x 3 − log3
)
3 =
1 1
+ log2 x
2 2
1 1 1
⇔ (1 − log 3 x) . log2 x − 3 log 3 x − = + log2 x
2 2 2
⇔ log2 x − log2 x. log3 x − 3 log3 x +
⇔
1 1 1
− − log2 x = 0
2 2 2
1
log2 x − log2 x.log3 x − 3 log3 x = 0
2
⇔ log2 x − 2 log2 x.log3 x − 6 log3 x = 0
log2 3
=0
⇔ log2 x. 1 − 2 log3 x − 6 log3 2 = 0
ne
t
6. log2 x
u.
⇔ log2 x − 2 log2 x. log3 x −
ta
ilie
log x = 0
x = 1
2
⇔
⇔
log x = 1 − 3 log 2 = log 3 − log 8 = log 3
x = 3 .
3
3
3
3
3
2
8
8
3
.
8
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I năm 2006
.b
Bài 20.
ox
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1, x =
w
Giải phương trình : logx 4.log2
5 − 12x
=2
12x − 8
(∗)
w
Bài giải tham khảo
w
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
⇔ 5
● Điều kiện : 5 − 12x
.
< x < 2
>0
12x − 8
12
3
x = 1
1
5 − 12x
5 − 12x
5 − 12x
(∗) ⇔ log x .log2 12 − 8 = 1 ⇔ log2 12 − 8 = log2 x ⇔ 12 − 8 = x ⇔ 2 5 .
2
x = −
6
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x =
Bài 21.
1
.
2
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2006
2
Giải phương trình : 42x − 2.4 x
2
+x
+ 42x = 0
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
2
2
(∗) ⇔ 42x −2x − 2.4x −x + 1 = 0
(chia hai vế cho 42x > 0 )
www.boxtailieu.net
2
2 2
⇔ 4x −x − 2.4x −x + 1 = 0
2
x = 0
2
t = 4 x −x > 0
.
⇔
⇔ t = 4 x −x = 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔
2
x = 1
t − 2t + 1 = 0
● Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0, x = 2 .
Bài 22.
Cao đẳng Xây Dựng số 2 năm 2006
2x + log y + 2x log y = 5
2
2
Giải hệ phương trình : x
4 + log2 y = 5
2
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : y > 0 .
● Đặt u = 2x , v = log2 y . Lúc đó :
ta
ilie
u.
ne
t
2
2 (u + v) + 2uv = 10 (+)
u + v + uv = 5
∗
⇔
⇔
⇔ (u + v) + 2 (u + v) − 15 = 0
( ) u2 + v2 = 5
2
(u + v) − 2uv = 5
x
2 = 1
u + v = −5 VN
u = 1
x = 2
( o ) v = 2 log y = 2 y = 4
uv = 10
2
.
⇔
⇔
⇔ x
⇔
2 = 2
u + v = 3
u = 2
x = 4
log y = 1
uv = 2
v = 1
y = 2
2
{(2; 4), (4;2)} .
Cao đẳng Giao Thông Vận Tải III khối A năm 2006
89x 25
1
= log x
−
log32 x
2x
2
w
w
Giải phương trình : 3 +
.b
Bài 23.
ox
● So với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình là : S = (x; y) =
(∗)
Bài giải tham khảo
w
0 < x ≠ 1
x ≠ 1
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
5
−
<
<
x
0
5
.
⇔ 89x2 − 25
⇔
⇔
● ĐK : 89x 25
89
x ∈
;
∞
+∞
−
>0
>0
5
2
2x
2x
89
89
89x2 − 25
89x2 − 25
3
(∗) ⇔ 3 + logx 32 = logx 2x ⇔ logx x + logx 32 = logx 2x
⇔ log x 32x 3 = logx
89x2 − 25
89x2 − 25
⇔ 32x 3 =
⇔ 64x 4 − 89x2 + 25 = 0
2x
2x
x2 = 1
x = ±1
⇔
⇔
.
x2 = 25
x = ± 5
8
64
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là : x =
Bài 24.
Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại khối A, D năm 2006
www.boxtailieu.net
5
.
8
2
1/ Giải phương trình : 2 ln x + ln (2x − 3) = 0
2/ Giải bất phương trình :
4 x + 2x − 2
(1) .
> 0.
4 x − 2x − 2
Bài giải tham khảo
2
1/ Giải phương trình : 2 ln x + ln (2x − 3) = 0
(1) .
x > 0
x > 0
⇔
● Điều kiện :
.
2x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
2
ta
ilie
u.
x ≥ 3
3
x = 1
x <
2
2
1
⇔ x = 3 + 17 ∨ x = 1 ⇔ x =
.
2
4
1
3 − 17 x =
x = 3 + 17
x =
2
4
4
ne
t
2x − 3 ≥ 0
2
2x − 3x − 1 = 0
(1) ⇔ 2 ln x + 2 ln 2x − 3 = 0 ⇔ x 2x − 3 = 1 ⇔ 2x − 3 < 0
−2x 2 + 3x − 1 = 0
4 x + 2x − 2
4 x − 2x − 2
(∗) .
>0
.b
2/ Giải bất phương trình :
ox
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1 ∨ x =
x
w
x
+ 2 2x − 1
x
x
x
)(
+ 1)(2
w
(2
(∗) ⇔
(2
w
● Tập xác định D = » .
)>0⇔ 2
2
− 2)
2 x < 1
>0⇔ x
⇔
−2
2 > 2
−1
x < 0 .
x > 1
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞) .
Bài 25.
Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2006
Giải phương trình :
x +1
(
)
2 +1
x
(
− 3+2 2
)
= x −1
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
x +1
(∗) ⇔ (
2 +1
(
2 +1
⇔
)
−
(
2x
)
2 +1
x +1
)
+ x +1 =
= x −1
(
2x
)
2 +1
+ 2x
(1)
(1) có dạng f (x + 1) = f (2x) (2)
● Xét hàm số f (t) =
(
t
)
2 + 1 + t trên » .
www.boxtailieu.net
(∗)
1
3 + 17
∨x =
.
2
4
Ta có f ' (t) =
(
t
) (
2 + 1 . ln
)
2 + 1 + 1 > 0 ⇒ Hàm số f (t) đồng biến trên » (3) .
● Từ (1), (2), (3) ⇒ x + 1 = 2x ⇔ x = 1 .
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Bài 26.
Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối B năm 2006
1
1
Giải phương trình : 5 2 + 5 2
+ log5 sin x
=
1
+ log15 cos x
2
15
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : sin x > 0, cos x > 0 .
5 + 5.5
log5 sin x
= 15.15
⇔ 1 + sin x = 3 cos x ⇔
⇔x=
log15 cos x
⇔ 5 + 5. sin x = 15.cos x
3
1
1
π
π
cos x − sin x = ⇔ cos x + = cos
2
2
2
6
3
π
π
+ k2π ∨ x = − + k2π, (k ∈ ») .
6
2
Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối D1, M năm 2006
Giải phương trình : log9 x = log 3
ilie
Bài 27.
π
+ k2π, (k ∈ ») .
6
u.
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x =
ne
t
(∗) ⇔
(
)
(∗)
2x + 1 − 1
(
)
2x + 1 − 1
ox
1/ Giải phương trình : log9 x = log 3
ta
Bài giải tham khảo
(∗)
x = log 3
(
)
2x + 1 − 1 ⇔
w
(∗) ⇔ log3
w
.b
x > 0
⇔ x > 0.
● Điều kiện :
2x + 1 − 1 > 0
x = 2x + 1 − 1 ⇔ x = 2x + 2 − 2 2x + 1
w
x = 0
⇔ x + 2 = 2 2x + 1 ⇔ x2 + 4x + 4 = 8x + 4 ⇔ x2 − 4x = 0 ⇔
.
x = 4
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 4 .
Bài 28.
Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối A năm 2006
2x −y
2 2x −y
2
2 − 6 = 0
3.
+
7.
Giải hệ phương trình : 3
3
lg (3x − y) + lg (y + x) − 4 lg 2 = 0
Bài giải tham khảo
3x − y > 0 ⊕ x > 0
y
● Điều kiện :
⇔
⇔ x > > 0.
y
y + x > 0
x > > 0
3
3
www.boxtailieu.net
2x −y
2 2x −y
2
2 2x −y
2
(∗) ⇔ 3. 3 + 7. 3 − 6 = 0 ⇔ 3t + 7t − 6 = 0, t = 3 > 0
lg 3x − y)(y + x) = log 16
3x − y)(y + x) = 16
(
(
2x −y
2 2x −y
2
2x − y = 2
t = 2
= ∨ t =
= −3 (L)
⇔
⇔
3
3
3
2xy + 3x2 − y2 = 16
2xy + 3x2 − y2 = 16
x = 2
y = 2x − 2
y = 2x − 2
y = 2
⇔
⇔ 2
⇔
2x (2x − 2) + 3x2 − (2x − 2)2 = 16
3x + 4x − 20 = 0
10
x = −
3
.
( L)
● Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y) = (2;2) .
Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006
Giải phương trình : 9x + 6x = 22x +1
(∗)
Bài giải tham khảo
u.
● Tập xác định : D = » .
x
ox
ta
x
3 x
t = > 0
3 x
2
− 2 = 0 ⇔
⇔ = 1 ⇔ x = 0 .
t = 1
2
t = −2 (L)
ilie
3 2x 3 x
(∗) ⇔ 9 + 6 − 2.4 = 0 ⇔ 2 + 2
x
ne
t
Bài 29.
● Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 .
Cao đẳng Sư Phạm TW năm 2006
.b
Bài 30.
w
Giải phương trình : 4.4x − 9.2x +1 + 8 = 0
(∗)
w
Bài giải tham khảo
w
● Tập xác định : D = » .
2 x = 4
x = 2
⇔
(∗) ⇔ 4.22x
x = −1 .
2 x = 1
2
● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = −1 và x = 2 .
t = 2x > 0
x
− 18.2 + 8 = 0 ⇔ 2
⇔
4t − 18t + 8 = 0
Bài 31.
Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006
Giải bất phương trình : 3x
2
−4
(
)
+ x 2 − 4 .3 x −2 − 1 ≥ 0
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
● Ta có : (∗) ⇔ 3x
2
−4
(
)
+ x 2 − 4 .3x −2 ≥ 1
(1)
x2 −4
+
3
≥1
x2 − 4
3
● Nếu x ≥ 2 ⇒ 2
⇔
+ x2 − 4 .3x −2 ≥ 1
x − 4 .3x−2 ≥ 0
(
)
(
www.boxtailieu.net
)
Do đó (1) luôn đúng với x ≥ 2 hay x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) là tập nghiệm của bất
phương trình.
x2 −4
⊕
3
<1
x2 − 4
3
⇔
+ x2 − 4 .3x −2 < 1
● Nếu x < 2 ⇒ 2
x − 4 .3x−2 < 0
(
(
)
)
Do đó (1) không có tập nghiệm (vô nghiệm) khi x < 2 .
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) .
Bài 32.
Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối M năm 2006
(∗)
Giải bất phương trình : 3x +2 + 9x +1 − 4 > 0
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
3 x = t > 0
3x = t > 0
x
3 = t > 0
(∗) ⇔ 9.3 + 9.9 − 4 > 0 ⇔ 9t2 + 9t − 4 > 0 ⇔ 1
4 ⇔
1
t > ∨ t < −
t >
3
3
3
1
⇔ 3x > 3−1 ⇔ x > −1 .
3
u.
⇔ 3x >
x
ne
t
x
Dự bị – Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006
Giải phương trình : 4
3 x + 5 +1
+ 2.2
3 x +5 + x
= 2.4 x
ta
Bài 33.
ilie
● Vậy tập nghiệm của phương trình là x ∈ (−1; +∞) .
(∗)
ox
Bài giải tham khảo
3 x + 5 +1
(
⇔ 4.2
3 x +5 + x
22x
− 2 = 0 ⇔ 4.4
w
4x
+
2.2
3 x +5 −x
+ 2.2
3 x +5 −x
−2 = 0
3 x +5 −x
1
2
= t = = 2−1
2
⇔
2
3 x +5 −x
4t + 2t − 2 = 0
= t = −1 (L)
2
) + 2.23 x +5 −x − 2 = 0 ⇔ 2
w
2 3 x +5 −x
w
(∗) ⇔
4
.b
● Tập xác định : D = » .
3 x +5 −x
= t>0
⇔ 3 x + 5 − x = −1 ⇔ 3 x + 5 = x − 1 ⇔ x + 5 = x 3 − 3x2 + 3x − 1
⇔ x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3 .
● Vậy phương trình có một nghiệm là x = 3 .
Bài 34.
Cao đẳng Kỹ Thuật Y Tế I năm 2006
(
)
(
) (∗)
Giải phương trình : 1 + log2 9x − 6 = log2 4.3x − 6
Bài giải tham khảo
9x − 6 > 0
● Điều kiện :
.
x
4.3 − 6 > 0
(∗) ⇔ log2 2 + log2 (9x − 6) = log2 (4.3x − 6) ⇔ log2 2.(9x − 6) = log2 (4.3x − 6)
www.boxtailieu.net
x
2
( )
x
⇔ 2.9 − 12 = 4.3 − 6 ⇔ 2. 3
x
3x = −1
− 4.3 − 6 = 0 ⇔ x
1
3 = 3
x
( L) ⇔ x = 1 .
● Thay x = 1 vào điều kiện và thỏa điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 .
Bài 35.
Cao đẳng Tài Chính – Hải Quan khối A năm 2006
Giải bất phương trình : log3
3x − 5
<1
x +1
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện :
(∗) ⇔
3x − 5
5
> 0 ⇔ x < −1 ∨ x > .
x +1
3
3x − 5
3x − 5
−8
<3⇔
−3< 0 ⇔
< 0 ⇔ x + 1 > 0 ⇔ x > −1 .
x +1
x +1
x +1
5
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ; +∞ .
3
Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng năm 2006
(
ne
t
Bài 36.
)
(∗)
u.
Giải phương trình : log2 x2 − 3 − log2 (6x − 10) + 1 = 0
(
ta
x2 − 3 > 0
5
⇔x> .
● Điều kiện :
6x − 10 > 0
3
ilie
Bài giải tham khảo
) = log 1 ⇔ 2 (x
2 x2 − 3
2
) =1⇔ x
x = 1
−
+
=
⇔
3x
2
0
2
x = 2 .
6x − 10
6x − 10
● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2 .
ox
2
Cao đẳng Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 2006
w
Bài 37.
−3
.b
(∗) ⇔ log2
2 + log22 x
w
w
Giải phương trình : x
=8
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 và x ≠ 1 .
1
(∗) ⇔ 2 + log22 x = logx 8 ⇔ log22 x − 3.logx 2 + 2 = 0 ⇔ log22 x − 3. log
2
x
+2 = 0
⇔ log23 x + 2 log2 x − 3 log2 x = 0 ⇔ log2 x = 1 ⇔ x = 2 .
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 2 .
Bài 38.
Cao đẳng Điện Lực Tp. Hồ Chí Minh năm 2006
Giải phương trình :
3
logx 3 − 3 log27 x = 2 log3 x
4
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : 0 < x ≠ 1 .
3
1
(∗) ⇔ 4 . log
3
x
− log3 x − 2 log3 x = 0 ⇔
3
1
1
.
= 3.log3 x ⇔ log23 x =
4 log3 x
4
www.boxtailieu.net
⇔ log3 x =
1
1
1
∨ log3 x = − ⇔ x = 3 ∨ x =
.
2
2
3
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 3 ∨ x =
1
.
3
Bài 39.
Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006
Giải bất phương trình : 5
log3
x −2
x
<1
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện :
(∗) ⇔ log3
x −2
> 0 ⇔ x < 0 ∨ x > 2.
x
x −2
x −2
−2
<0⇔
<1 ⇔
< 0 ⇔ x > 0.
x
x
x
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (2; +∞) .
Giải phương trình : log 1 (x − 3) = 1 + log4
4
1
x
ne
t
Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối D1 năm 2006
(∗)
ilie
Bài giải tham khảo
u.
Bài 40.
ta
x − 3 > 0
x > 3
⇔
⇔ x > 3.
● Điều kiện : 1
> 0
x > 0
x
x−3
x−3
1
= −1 ⇔
= ⇔ x = 4.
x
x
4
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 4 .
ox
1
Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2005
w
Bài 41.
.b
(∗) ⇔ − log4 (x − 3) − log4 x = 1 ⇔ log4
2
w
w
log x
(log x)
Giải bất phương trình : 5 5 + x 5 ≤ 10
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 .
● Đặt log5 x = t ⇒ x = 5t .
2
(∗) ⇔ 5t
t
( )
+ 5t
2
≤ 10 ⇔ 5t ≤ 5 ⇔ t2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1 ⇔ −1 ≤ log5 x ≤ 1 ⇔
1
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ; 5 .
5
Bài 42.
Cao đẳng Kinh Tế – Kỹ Thuật Công Nghiệp I khối A năm 2005
Tìm tập xác định của hàm số : y = log
5
(x
2
)
− 5.x + 2 .
Bài giải tham khảo
● Hàm số được xác định khi và chỉ khi
www.boxtailieu.net
1
≤x≤5
5
x 2 − 5.x + 2 > 0, ∀x ∈ »
5 −1
⇔ x2 − 5.x + 2 ≥ 1 ⇔ x ≤
∨ x≥
2
log x − 5.x + 2 ≥ 0
2
5
5 − 1 5 + 1
;
∪
+∞
● Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = −∞;
.
2 2
(
Bài 43.
)
5 +1
.
2
Cao đẳng Sư Phạm Cà Mau khối B năm 2005
2
Giải phương trình : x lg x = 102 lg
(∗)
x −3 lg x +2
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0
2
(∗) ⇔ lg xlg x = lg102 lg
x −3 lg x +2
⇔ lg2 x = 2 lg2 x − 3 lg x + 2 ⇔ lg2 x − 3 lg x + 2 = 0
Bài 44.
Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối B năm 2006
ne
t
lg x = 1
x = 10
.
⇔
⇔
lg x = 2
x = 100
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 10 ∨ x = 100 .
(∗)
u.
Giải phương trình : log20,5 x + log2 x2 = log x 4x
ilie
Bài giải tham khảo
2
+ 2 log2 x = logx 4 + logx x
1
−1 = 0
log 4 x
.b
⇔ log22 x + 2 log2 x −
ox
(∗) ⇔ − log2 x
ta
● Điều kiện : 0 < x ≠ 1 .
w
⇔ log22 x + 2 log2 x −
2
−1 = 0
log2 x
w
w
x = 2
log x = 1
2
t = log x
t = log2 x
2
log x = −1 ⇔ x = 1 .
⇔ 3
⇔
⇔
2
2
t + 2t − t − 2 = 0
t = 1 ∨ t = −1 ∨ t = −2
2
log2 x = −2
x = 1
4
● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x =
Bài 45.
1
1
∨ x = ∨ x = 2.
4
2
Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối A năm 2006
(
)
Giải bất phương trình : log4 3x − 1 .log 1
4
3x − 1 3
≤
16
4
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : 3x − 1 ≥ 0 ⇔ 3 x ≥ 1 ⇔ x > 0 .
3
(∗) ⇔ log4 (3x − 1). − log4 (3x − 1) + log4 16 − 4 ≤ 0
www.boxtailieu.net
(∗)
(
)
(
)
⇔ − log24 3x − 1 + 2 log4 3x − 1 −
3
≤0
4
t = log 3x − 1
x
log 3x − 1 < 1
x < 1
4
t = log4 3 − 1
4
2
⇔
⇔
⇔
⇔
x > 3 .
4t2 − 8t + 3 ≤ 0
t < 1 ∨ t > 3
3
log 3x − 1 >
4
2
2
2
(
(
)
)
(
(
)
)
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;1) ∪ (3; +∞) .
Bài 46.
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006
log x + 3 5 − log y = 5
3
Giải hệ phương trình : 2
3 log x − 1 − log y = −1
2
3
(∗)
Bài giải tham khảo
ilie
u.
ne
t
x > 0, y > 0
x > 0, y > 0
x > 0, y > 0
x ≥ 2
y
162
≤
⇔
● Điều kiện : 5 − log3 y ≥ 0 ⇔ log3 y ≤ 5 ⇔
.
0 < y ≤ 162
log2 x − 1 ≥ 0
log2 x ≥ 1
x ≥ 2
a 2 = 5 − log y
a = 5 − log y ≥ 0
3
3
⇔ 2
● Đặt :
.
b = log x − 1 ≥ 0
b = log x − 1
2
2
w
w
w
.b
ox
ta
b2 + 1 + 3a = 5
b2 + 3a = 4
∗
⇔
⇔
( ) 3b + a2 − 5 = −1 a2 + 3b = 4 ⇔ b2 + 3a = a2 + 3b ⇔ b2 − a2 + 3a − 3b = 0
a = b
⇔ (b − a )(b + a ) − 3 (b − a ) = 0 ⇔ (b − a )(b + a − 3) = 0 ⇔
a + b = 3
a = b
a = b
2
a + 3a − 4 = 0
a = 1 ∨ a = −4 (L)
a = 5 − log 3 y = 1
⇔
⇔
⇔
b = 3 − a
b = 3 − a
b = log2 x − 1 = 1
a 2 + 9 − 3a = 3
a 2 − 3a + 6 = 0 (VN)
y = 34 = 81
5 − log3 y = 1
log3 y = 4
⇔
⇔
⇔
.
x = 4
log2 x − 1 = 1
log2 x = 2
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là S = (x; y) =
Bài 47.
{(4; 81)} .
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2006
−x y
3 .2 = 1152
Giải hệ phương trình :
(∗)
log (x + y) = 2
5
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x + y > 0 .
3−x.2y = 1152
3−x.2y = 1152
y = 5 − x
y = 5 − x
(∗) ⇔ log x + y = 1 ⇔ x + y = 5 ⇔ 3−x.25−x = 1152 ⇔ 25.6−x = 1152
)
5 (
www.boxtailieu.net
Ths. Lê
Lê Vn Đoa
oan
Bât ph
nh
phng
ng tri
trinh
ne
t
Ph
nh
Phng
ng tri
trinh
ilie
u.
Hê ph
nh
phng
ng tri
trinh
w
w
w
.b
ox
ta
Hê bât ph
nh
phng
ng tri
trinh
www.boxtailieu.net
Bài 1.
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2002
Giải các phương trình và bất phương trình sau
1/ 2 log5 x − log x 125 < 1
2/ 4 x −
x 2 −5
− 12.2x −1−
(1)
x 2 −5
+8=0
(2)
Bài giải tham khảo
1/ Giải bất phương trình : 2 log5 x − log x 125 < 1
(1)
● Điều kiện : 0 < x ≠ 1 .
(1) ⇔ 2 log5 x − log
1
125
x
− 1 < 0 ⇔ 2 log5 x −
3
−1 < 0
log5 x
log x < −1
t = log5 x ≠ 0
t = log5 x
x < 1
5
⇔ 2t2 − t − 3
⇔
⇔
⇔
.
5
0 < log x < 3
t < −1 ∨ 0 < t < 3
<0
1 < x < 5 5
5
2
2
t
1
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là : x ∈ 0; ∪ 1; 5 5 .
5
x 2 −5
− 12.2x −1−
x 2 −5
+8=0
)
(2)
u.
2/ Giải phương trình : 4 x −
ne
t
(
x ≤ − 5
● Điều kiện : x − 5 ≥ 0 ⇔
⇒ Tập xác định : D = −∞; − 5 ∪ 5; +∞ .
x ≥ 5
x− x2 −5
2
2
=2
t = 2x − x −5 > 0
x − x2 −5 2
2
−
−
x
x
5
+8 =0 ⇔
⇔
− 6.2
(2) ⇔ 2
2
x− x2 −5
t − 6.t + 8 = 0
=4
2
x ≥ 1
x − 1 ≥ 0
2
x = 3
2
x = 3
2
2
x
5
x
1
−
=
−
x
x
5
1
x
5
x
1
−
−
=
−
=
−
(
)
.
⇔
⇔
⇔
⇔ x ≥ 2 ⇔
x − 2 ≥ 0
x = 9
x − x2 − 5 = 2
x2 − 5 = x − 2
4
9
2
x =
x2 − 5 = (x − 2)
4
(
w
w
w
.b
ox
ta
ilie
2
● Kết hợp với điều kiện, phương trìn có hai nghiệm là x =
Bài 2.
9
; x = 3.
4
Cao đẳng Sư Phạm Hà Tĩnh khối A, B năm 2002
2
log x
(log x)
Giải bất phương trình : 2 2 + x 2 ≤ 4
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 ⇒ tập xác định : D = (0; +∞) .
● Đặt log2 x = t ⇔ x = 2t . Lúc đó :
2
(∗) ⇔ 2t
t
( )
+ 2t
2
2
2
≤ 4 ⇔ 2 t + 2 t − 4 ≤ 0 ⇔ 2 t ≤ 21 ⇔ t2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1
● Với t = log2 x ⇒ −1 ≤ log2 x ≤ 1 ⇔
1
≤ x ≤ 2.
2
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là : x ∈ (0; +∞) .
www.boxtailieu.net
)
Bài 3.
Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002
(x + 1) log23 x + 4xlog3 x − 16 = 0 (∗)
Giải phương trình :
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 ⇒ Tập xác định D = (0; +∞) .
● Đặt t = log3 x và do x > 0 ⇒ x + 1 ≠ 0 . Lúc đó : (∗) ⇔ (x + 1) t2 + 4xt − 16 = 0 .
2
2
● Lập ∆ ' = 4x2 + 16x + 16 = 4 (x + 2) ⇒ ∆ = 4 (x + 2) = 2 (x + 2),
(do x > 0) .
t = −2x + 2 (x + 2) = 4
x +1
x +1.
⇒
t = −2x − 2 (x + 2) = −4
x +1
1
.
81
● Với t = −4 ⇒ log3 x = −4 ⇔ x =
4
4
⇒ log3 x =
x +1
x +1
(1)
ne
t
● Vớ i t =
u.
Nhận thấy phương trình (1) có một nghiệm là x = 3 .
4
−4
< 0, ∀x ⇒ g (x) : nghịch biến trên (0;+∞) .
có g ' (x) =
2
x +1
x
1
+
( )
ta
Hàm số g (x) =
ilie
Hàm số f (x ) = log3 x : là hàm số đồng biến trên (0;+∞) .
ox
Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x = 3 .
1
, x = 3.
81
w
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương năm 2002
w
Giải bất phương trình : 4x2 + x.2x
w
Bài 4.
.b
● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x =
(∗) ⇔ 4x2 + 2x.2x
2
2
+1
2
2
(∗)
+ 3.2x > x2 .2x + 8x + 12
Bài giải tham khảo
2
2
+ 3.2x − x2 .2x − 8x − 12 > 0
2
2
2
⇔ 2x.2x − 8x + 3.2x − 12 + 4x2 − x2 .2x > 0
2
2
2
⇔ 2x 2x − 4 + 3 2x − 4 − x2 2x − 4 > 0
2
2
⇔ 2x − 4 2x + 3 − x2 > 0 ⇔ f (x) = 2x − 4 x2 − 2x − 3 < 0 (1)
(
)
(
)
2
x = ± 2
x2 = 2
2x − 4 = 0
● Cho
⇔
⇔
.
x 2 − 2x − 3 = 0
x = −1 ∨ x = 3
x = − 1 ∨ x = 3
● Bảng xét dấu
x
−∞
− 2
−1
www.boxtailieu.net
2
3
+∞
2
2x − 4
+
x2 − 2x − 3
+
f ( x)
+
0
−
0
−
+
0
−
−
0
+
0
+
0
+
−
0
−
0
+
) (
2; 3 .
(
● Dựa vào bảng xét, tập nghiệm của bất phương trình là : x ∈ − 2; −1 ∪
Bài 5.
+
)
Cao đẳng khối T, M năm 2004 – Đại học Hùng Vương
log 3
log2 (xy)
9
= 3 + 2. (xy) 2
Giải hệ phương trình :
x2 + y2 = 3x + 3y + 6
(1)
(2)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : xy > 0 .
(1) ⇔ 3
− 2.3
log2 (xy)
log (xy)
t = 3log2 xy > 0
= − 1 (L )
t = 3 2
−3 = 0 ⇔ 2
⇔
log2 (xy)
t − 2t − 3 = 0
=3
t = 3
⇔ log2 ( xy) = 1 ⇔ xy = 2
(3) .
u.
x + y = 5
2
− 3 (x + y) − 2xy − 6 = 0 ⇔ (x + y) − 3 (x + y) − 10 = 0 ⇔
(4) .
x + y = −2
ilie
2
(2) ⇔ (x + y)
ne
t
2. log2 (xy)
2
1
log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log2 (3 − x)
2
w
1/ Giải phương trình :
w
Cao đẳng Sư Phạm Hải Phòng – Đại học Hải Phòng năm 2004
(∗)
2
(
)
(
2/ Giải phương trình : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x
w
Bài 6.
.b
ox
ta
xy = 2
5 − 17
5 + 17
x + y = 5
x =
x =
y = 5 − x
2
2
.
⇔ 2
⇔
∨
(3), (4) ⇔ xy = 2
−
+
−
=
x
5x
2
0
+
−
5
17
5
17
(VN)
y =
y =
x + y = −2
2
2
) (∗ ∗)
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình :
2
1
log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log2 (3 − x)
2
(∗)
2
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
−4 < x < 3
● Điều kiện : x + 4 > 0 ⇔ x > −4 ⇔
.
x ≠ 1
3 − x > 0
x < 3
(∗) ⇔ log2 x − 1 − log2 (x + 4) = log2 (3 − x) ⇔ log2 x − 1 = log2 (3 − x)(x + 4)
⇔ x − 1 = (3 − x)(x + 4) ⇔ x − 1 = −x2 − x + 12
www.boxtailieu.net
−x2 − x + 12 ≥ 0
−4 ≤ x ≤ 3
x = − 11
2
⇔ x − 1 = −x − x + 12 ⇔ x = −1 + 14 ∨ x = −1 − 14 ⇔
.
x
1
14
=
−
+
2
x = − 11 ∨ x = 11
x − 1 = x + x − 12
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là : x = − 11 ∨ x = −1 + 14 .
(
)
(
2/ Giải phương trình : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x
) (∗ ∗)
2
2
( x + 1) > 0
x + 2x + 1 > 0
● Điều kiện : 2
⇔
⇔ x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞) .
x + 2x > 0
x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞)
x 2 + 2x + 1 = 3t > 0
● Đặt : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x = t ⇒ 2
x + 2x = 2t > 0
x2 + 2x = 2t
(1)
x2 + 2x = 3t − 1
x 2 + 2x = 2t
x2 + 2x = 2t
.
⇔ 2
⇔ t
⇔ t
⇔ 2 t 1 t
x + 2x = 2t
3 − 1 = 2t
2 + 1 = 3t
+ = 1 (2)
3 3
)
(
)
ne
t
(
u.
● Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình (2) .
ilie
2 t 1 t
● Xét hàm số f (t) = + trên » :
3
3
ta
t
2 t
2 1
1
f ' ( t) = .ln + . ln < 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) nghịch biến trên » .
3 3
3
3
ox
● Do đó, t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2) .
.b
● Thay t = 1 vào (2), ta được : x2 + 2x = 2 ⇔ x2 + 2x − 2 = 0 ⇔ x = −1 ± 3 .
w
Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TWI năm 2004
1 1
>
Giải bất phương trình : log
2
(x−1) 4 2
w
Bài 7.
w
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = −1 ± 3 .
(∗)
Bài giải tham khảo
2
● Điều kiện : 0 < ( x − 1) ≠ 1 ⇔ x ≠ 0,1, 2 .
1
1
1
1
(∗) ⇔ 2 log x−1 4 > 2 ⇔ log x−1 4 > log x−1
x −1
(∗ ∗)
1
x − 1 > 1
> x − 1
⇔
● Nếu x − 1 > 1 thì (∗ ∗) ⇔ 4
(vô lí) ⇒ Không có x thỏa.
x − 1 < 1
−
>
x
1
1
4
● Nếu 0 < x − 1 < 1 thì
1
0 < x − 1 < 1
0 < x < 3
< x − 1
1
4.
⇔
⇔ 0 < x −1 < ⇔
(∗ ∗) ⇔ 4
1
5
4
x −1 <
0 < x − 1 < 1
4
www.boxtailieu.net
3 5
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; ∪ ;2 .
4 4
Bài 8.
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2004
log x 2 + y2 = 5
Giải hệ phương trình : 2
2 log x + log y = 4
4
2
(
)
(∗)
Bài giải tham khảo
2
2
x > 0
x + y > 0
⇔
● Điều kiện :
.
x > 0, y > 0
y > 0
Cao đẳng Sư Phạm Bắc Ninh năm 2004
2
3
2
Giải bất phương trình :
3
>0
(∗)
ta
x +1
ilie
log 1 (x + 3) − log 1 (x + 3)
ox
Bài giải tham khảo
2
2
3
− log 1 (x + 3) < 0
w
(∗) ⇔ log 1 (x + 3)
w
.b
x > −3
.
● Điều kiện :
x ≠ 1
● Trường hợp 1. Nếu x + 1 < 0 ⇔ −3 < x < −1 .
3
⇔ 3 log3 (x + 3) − 2 log2 (x + 3) < 0
w
Bài 9.
{(4; 4)} .
u.
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là S = (x; y) =
ne
t
2
2
x2 + y2 = 32
x 2 + y2 = 32
(x + y) − 2xy = 32
( x + y) = 64
⇔
(∗) ⇔ log x + log y = 4 ⇔ log xy = 4 ⇔
2
2 ( )
xy = 16
xy = 16
2
x = y = 4
x + y = 8
x + y = −8
⇔
∨
⇔
.
x = y = −4
xy = 16
xy = 16
⇔ 3 log3 ( x + 3) − 2 log2 3. log3 ( x + 3) < 0
⇔ log3 (x + 3) . (3 − 2 log2 3) < 0
⇔ log3 (x + 3) > 0
(Do :
3 − 2 log2 3 < 0)
⇔ x + 3 > 1 ⇔ −2 < x < −1 thỏa mãn điều kiện : −3 < x < −1 .
● Trường hợp 2. Nếu x + 1 > 0 ⇔ x > −1 .
2
(∗) ⇔ log 1 (x + 3)
3
− log 1 (x + 3) > 0
2
3
⇔ 3 log3 (x + 3) − 2 log2 (x + 3) > 0
⇔ 3 log3 ( x + 3) − 2 log2 3. log3 ( x + 3) > 0
⇔ log3 (x + 3) . (3 − 2 log2 3) > 0
⇔ log3 (x + 3) < 0
(Do :
3 − 2 log2 3 < 0)
www.boxtailieu.net
⇔ x + 3 < 1 ⇔ x < −2 không thỏa mãn điều kiện x > −1 .
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−2; −1) .
Bài 10.
Cao đẳng Sư Phạm Bình Phước năm 2004
(
)
(∗)
Giải phương trình : 3x2 − 2x 3 = log2 x2 + 1 − log2 x
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 .
(∗) ⇔ log2
x2 + 1
= 3x2 − 2x 3 ⇔ log2 x +
x
1
= 3x2 − 2x 3
x
(∗ ∗)
1 Côsi
1
1
≥ 2 x. ⇔ x + ≥ 2 ⇒ log2 x +
● Ta có ∀x > 0 : x +
x
x
x
● Xét hàm số y = 3x2 − 2x 3 trên khoảng (0;+∞) :
u.
y ' = 6x − 6x2 . Cho y ' = 0 ⇔ x = 0, x = 1 .
x = 1
x = −1 L ⇔ x = 1 .
( )
ne
t
1
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = ⇔ x2 = 1 ⇔
x
1
≥ log2 2 = 1 .
x
Cao đẳng Sư Phạm Kom Tum năm 2004
w
Bài 11.
w
.b
ox
ta
ilie
f (0) = 0
⇒ max y = 1 ⇒ y = 3x2 − 2x 3 ≤ 1 . Dấu " = " xảy ra khi x = 1 .
Mà
f (1) = 1
(0;+∞)
1
log2 x + ≥ 1 (1)
x
● Tóm lại : (∗ ∗) ⇔ 2x2 − 2x 3 ≤ 1
(2) ⇔ Dấu " = " trong (1), (2) đồng thời xảy ra
log x + 1 = 3x2 − 2x 3
2
x
⇔ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
w
Giải phương trình : log5 x. log3 x = log5 x + log3 x
(∗)
Bài giải tham khảo
log x
(∗) ⇔ log5 x. log3 x − log5 x − log5 3 = 0
5
1
⇔ log5 x log3 x − 1 −
= 0
log5 3
⇔ log5 x (log3 x − log3 3 − log3 5) = 0
⇔ log5 x. (log3 x − log3 15) = 0
log x = 0
x = 1
5
.
⇔
⇔
−
=
log
x
log
15
0
3
x = 15
3
Bài 12.
Cao đẳng Giao Thông năm 2004
Giải bất phương trình :
8 + 21+ x − 4 x + 21+ x > 5
www.boxtailieu.net
(1)
Bài giải tham khảo
(1) ⇔
x
8 + 2.2 −
t = 2x > 0
> 5 − 2.2 ⇔
2
8 + 2t − t2 > 5 − 2.t
t > 0
t > 5
2
5
−2 ≤ t ≤ 4
⇔
⇔ 2
⇔1< t≤4.
5
>
t
0
1 < t ≤
2
5
t ≤
2
2
> (5 − 2t)
17
1 < t <
5
2
( )
t > 0
5 − 2t < 0
8 + 2t − t2
⇔
t > 0
5 − 2t ≥ 0
8 + 2t − t2
x
x
Giải bất phương trình :
log22 x + 3
log2 x + 3
u.
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2004
(∗)
>2
ilie
Bài 13.
ne
t
● Thay t = 2x vào ta được : 1 < 2x ≤ 4 ⇔ 20 < 2x ≤ 22 ⇔ 0 < x ≤ 2 .
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;2 .
Bài giải tham khảo
x+3
2
.b
(∗) ⇔ log
log22 x − 2 log2 x − 3
−2 > 0 ⇔
log2 x + 3
w
log22 x + 3
ox
ta
x > 0
x > 0
x > 0
x > 0
⇔
⇔
⇔
● Điều kiện :
.
log2 x + 3 ≠ 0
log2 x ≠ log2 2−3
x ≠ 2−3
x ≠ 1
8
w
w
● Đặt t = log2 x . Khi đó (∗ ∗) ⇔
● Xét dấu f (t) =
t
(t + 1)(t − 3)
−∞
t+3
>0
(∗ ∗)
(t + 1)(t − 3) > 0
t2 − 2t − 3
> 0 ⇔ f (t) =
t+3
t+3
:
−3
f (t)
+
−1
3
0
0
● Kết hợp bảng xét dấu và (∗ ∗ ∗), ta được :
−3 < t < −1
⇔
t > 3
−3 < log x < −1
2
⇔
log x > 3
2
1
2.
>
x
8
1 1
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ; .
8 2
Bài 14.
(∗ ∗ ∗) .
Cao đẳng Cơ Khí Luyện Kim năm 2004
www.boxtailieu.net
+∞
+
(
)
(
) (∗)
Giải phương trình : log2 25x +3 − 1 = 2 + log2 5x +3 + 1
Bài giải tham khảo
25x + 3 − 1 > 0
25x + 3 > 25o
● Điều kiện : x + 3
⇔ x + 3
⇔ x−3> 0 ⇔ x > 3.
5
5
+1> 0
+ 1 > 0 (Ð), ∀x ∈ »
(∗) ⇔ log2 (25x+3 − 1) = log2 4 + log2 (5x +3 + 1)
⇔ log2 25x + 3 − 1 = log2 4. 5x + 3 + 1 ⇔ 25x + 3 − 1 = 4.5x + 3 + 4
5 x + 3 = −1 L
2
( ) ⇔ x + 3 = 1 ⇔ x = −2
x +3
x +3
⇔ 5
− 4.5
− 5 = 0 ⇔ x + 3
=5
5
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = −2 .
(
(
Bài 15.
)
(
)
)
Cao đẳng Hóa Chất năm 2004
(
)
(
)
Bài giải tham khảo
(∗)
ne
t
Giải phương trình : log2 2x + 1 .log2 2x +1 + 2 = 6
(
)
(
)
)
)
ta
(
(
ilie
)
)
ox
(
(
u.
● Tập xác định : D = » .
(∗) ⇔ log2 2x + 1 . log2 2. 2x + 1 = 6
⇔ log2 2x + 1 . 1 + log2 2x + 1 − 6 = 0
t > 0
t = log 2x + 1 > 0
t > 0
2
⇔
⇔ 2
⇔
⇔ t=2
t (1 + t) − 6 = 0
t + t − 6 = 0
t = 2 ∨ t = −3 (L)
.b
⇔ log2 2x + 1 = 2 ⇔ 2x + 1 = 4 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = log2 3 .
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 2004
w
Bài 16.
w
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = log2 3 .
w
Giải phương trình : 32x +5 − 36.3x +1 + 9 = 0
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
(∗) ⇔ 27.32(x +1) − 36.3x+1 + 9 = 0
t = 3x +1 > 0
3x +1 = 1
x = −1
t = 3x +1 > 0
⇔ 2
⇔
⇔
⇔
.
x +1
−1
27t − 36t + 9 = 0
t = 1 ∨ t = 1
x
2
=
−
3
=3
3
● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 và x = −1 .
Bài 17.
Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2004
1/ Giải phương trình : 8sin
3
x
= 8.8
π x
2 cos2 − + sin2 x
4 2
(1)
2/ Tìm tập xác định của hàm số : y = 4 log2 x − log2
www.boxtailieu.net
2
1
− 3 + x2 − 7x + 6
x
(2)
Bài giải tham khảo
1/ Giải phương trình : 8
(1) ⇔ 8
sin3 x
sin3 x
= 8.8
π
1+ cos −x+ sin2 x +1
2
=8
π x
2 cos2 − + sin2 x
4 2
⇔ 8sin
3
x
2
= 8sin
(1)
x + sin x +2
⇔ sin3 x = sin2 x + sin x + 2
t = sin x, t ≤ 1
⇔ 3
⇔ t = 2 (loại).
t − t2 − t − 2 = 0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2/ Tìm tập xác định của hàm số : y = 4 log2 x − log2
(2) ⇔ y =
2
1
− 3 + x2 − 7x + 6
x
4 log2 x − log22 x − 3 + x2 − 7x + 6 .
Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2004
u.
ta
Bài 18.
ilie
0 < x ≤ 1 ∨ x ≥ 6
⇔
⇔ 6 ≤ x ≤ 8.
2 ≤ x ≤ 8
● Vậy tập xác định của hàm số là D = 6; 8 .
ne
t
x > 0
x > 0
2
● Hàm số xác định khi và chỉ khi : − log2 x + 4 log2 x − 3 ≥ 0 ⇔
x ≤ 1 ∨ x ≥ 6
2
1 ≤ log2 x ≤ 3
x − 7x + 6 ≥ 0
.b
ox
2
x + 5x + 4 ≤ 0 (1)
Giải hệ phương trình :
(2 + x) .3x < 1 (2)
w
Bài giải tham khảo
● Tập xác định D = » .
w
w
(1) ⇔ −4 ≤ x ≤ −1 ⇒ x ∈ −4; −1 .
1 x
(2) ⇔ x + 2 < 3 .
● Với x ∈ −4; −1 . Xét hàm số f ( x) = x + 2 đồng biến trên
−4; −1 .
⇒ max f (x) = f (−1) = 1 .
−4;−1
1 x
● Với x ∈ −4; −1 . Xét hàm số g (x ) = nghịch biến trên −4; −1 .
3
⇒ min g (x) = f (−1) = 3 .
−4;−1
● Nhận thấy max f (x) < min g (x) , (1 < 3) nên g (x ) > f (x) luôn luôn đúng
−4;−1
−4;−1
∀x ∈ −4; −1 . Do đó tập nghiệm của bất phương trìn là x ∈ −4; −1 .
Bài 19.
Cao đẳng Y Tế Nghệ An năm 2004
www.boxtailieu.net
(2)
Giải phương trình : log3
3
x3
1
. log2 x − log3
= + log2 x
x
2
3
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 .
(∗) ⇔ (log3 3 − log3 x). log2 x − (log3 x 3 − log3
)
3 =
1 1
+ log2 x
2 2
1 1 1
⇔ (1 − log 3 x) . log2 x − 3 log 3 x − = + log2 x
2 2 2
⇔ log2 x − log2 x. log3 x − 3 log3 x +
⇔
1 1 1
− − log2 x = 0
2 2 2
1
log2 x − log2 x.log3 x − 3 log3 x = 0
2
⇔ log2 x − 2 log2 x.log3 x − 6 log3 x = 0
log2 3
=0
⇔ log2 x. 1 − 2 log3 x − 6 log3 2 = 0
ne
t
6. log2 x
u.
⇔ log2 x − 2 log2 x. log3 x −
ta
ilie
log x = 0
x = 1
2
⇔
⇔
log x = 1 − 3 log 2 = log 3 − log 8 = log 3
x = 3 .
3
3
3
3
3
2
8
8
3
.
8
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I năm 2006
.b
Bài 20.
ox
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1, x =
w
Giải phương trình : logx 4.log2
5 − 12x
=2
12x − 8
(∗)
w
Bài giải tham khảo
w
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
⇔ 5
● Điều kiện : 5 − 12x
.
< x < 2
>0
12x − 8
12
3
x = 1
1
5 − 12x
5 − 12x
5 − 12x
(∗) ⇔ log x .log2 12 − 8 = 1 ⇔ log2 12 − 8 = log2 x ⇔ 12 − 8 = x ⇔ 2 5 .
2
x = −
6
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x =
Bài 21.
1
.
2
Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2006
2
Giải phương trình : 42x − 2.4 x
2
+x
+ 42x = 0
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
2
2
(∗) ⇔ 42x −2x − 2.4x −x + 1 = 0
(chia hai vế cho 42x > 0 )
www.boxtailieu.net
2
2 2
⇔ 4x −x − 2.4x −x + 1 = 0
2
x = 0
2
t = 4 x −x > 0
.
⇔
⇔ t = 4 x −x = 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔
2
x = 1
t − 2t + 1 = 0
● Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0, x = 2 .
Bài 22.
Cao đẳng Xây Dựng số 2 năm 2006
2x + log y + 2x log y = 5
2
2
Giải hệ phương trình : x
4 + log2 y = 5
2
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : y > 0 .
● Đặt u = 2x , v = log2 y . Lúc đó :
ta
ilie
u.
ne
t
2
2 (u + v) + 2uv = 10 (+)
u + v + uv = 5
∗
⇔
⇔
⇔ (u + v) + 2 (u + v) − 15 = 0
( ) u2 + v2 = 5
2
(u + v) − 2uv = 5
x
2 = 1
u + v = −5 VN
u = 1
x = 2
( o ) v = 2 log y = 2 y = 4
uv = 10
2
.
⇔
⇔
⇔ x
⇔
2 = 2
u + v = 3
u = 2
x = 4
log y = 1
uv = 2
v = 1
y = 2
2
{(2; 4), (4;2)} .
Cao đẳng Giao Thông Vận Tải III khối A năm 2006
89x 25
1
= log x
−
log32 x
2x
2
w
w
Giải phương trình : 3 +
.b
Bài 23.
ox
● So với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình là : S = (x; y) =
(∗)
Bài giải tham khảo
w
0 < x ≠ 1
x ≠ 1
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
5
−
<
<
x
0
5
.
⇔ 89x2 − 25
⇔
⇔
● ĐK : 89x 25
89
x ∈
;
∞
+∞
−
>0
>0
5
2
2x
2x
89
89
89x2 − 25
89x2 − 25
3
(∗) ⇔ 3 + logx 32 = logx 2x ⇔ logx x + logx 32 = logx 2x
⇔ log x 32x 3 = logx
89x2 − 25
89x2 − 25
⇔ 32x 3 =
⇔ 64x 4 − 89x2 + 25 = 0
2x
2x
x2 = 1
x = ±1
⇔
⇔
.
x2 = 25
x = ± 5
8
64
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là : x =
Bài 24.
Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại khối A, D năm 2006
www.boxtailieu.net
5
.
8
2
1/ Giải phương trình : 2 ln x + ln (2x − 3) = 0
2/ Giải bất phương trình :
4 x + 2x − 2
(1) .
> 0.
4 x − 2x − 2
Bài giải tham khảo
2
1/ Giải phương trình : 2 ln x + ln (2x − 3) = 0
(1) .
x > 0
x > 0
⇔
● Điều kiện :
.
2x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
2
ta
ilie
u.
x ≥ 3
3
x = 1
x <
2
2
1
⇔ x = 3 + 17 ∨ x = 1 ⇔ x =
.
2
4
1
3 − 17 x =
x = 3 + 17
x =
2
4
4
ne
t
2x − 3 ≥ 0
2
2x − 3x − 1 = 0
(1) ⇔ 2 ln x + 2 ln 2x − 3 = 0 ⇔ x 2x − 3 = 1 ⇔ 2x − 3 < 0
−2x 2 + 3x − 1 = 0
4 x + 2x − 2
4 x − 2x − 2
(∗) .
>0
.b
2/ Giải bất phương trình :
ox
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1 ∨ x =
x
w
x
+ 2 2x − 1
x
x
x
)(
+ 1)(2
w
(2
(∗) ⇔
(2
w
● Tập xác định D = » .
)>0⇔ 2
2
− 2)
2 x < 1
>0⇔ x
⇔
−2
2 > 2
−1
x < 0 .
x > 1
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞) .
Bài 25.
Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2006
Giải phương trình :
x +1
(
)
2 +1
x
(
− 3+2 2
)
= x −1
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
x +1
(∗) ⇔ (
2 +1
(
2 +1
⇔
)
−
(
2x
)
2 +1
x +1
)
+ x +1 =
= x −1
(
2x
)
2 +1
+ 2x
(1)
(1) có dạng f (x + 1) = f (2x) (2)
● Xét hàm số f (t) =
(
t
)
2 + 1 + t trên » .
www.boxtailieu.net
(∗)
1
3 + 17
∨x =
.
2
4
Ta có f ' (t) =
(
t
) (
2 + 1 . ln
)
2 + 1 + 1 > 0 ⇒ Hàm số f (t) đồng biến trên » (3) .
● Từ (1), (2), (3) ⇒ x + 1 = 2x ⇔ x = 1 .
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Bài 26.
Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối B năm 2006
1
1
Giải phương trình : 5 2 + 5 2
+ log5 sin x
=
1
+ log15 cos x
2
15
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : sin x > 0, cos x > 0 .
5 + 5.5
log5 sin x
= 15.15
⇔ 1 + sin x = 3 cos x ⇔
⇔x=
log15 cos x
⇔ 5 + 5. sin x = 15.cos x
3
1
1
π
π
cos x − sin x = ⇔ cos x + = cos
2
2
2
6
3
π
π
+ k2π ∨ x = − + k2π, (k ∈ ») .
6
2
Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối D1, M năm 2006
Giải phương trình : log9 x = log 3
ilie
Bài 27.
π
+ k2π, (k ∈ ») .
6
u.
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x =
ne
t
(∗) ⇔
(
)
(∗)
2x + 1 − 1
(
)
2x + 1 − 1
ox
1/ Giải phương trình : log9 x = log 3
ta
Bài giải tham khảo
(∗)
x = log 3
(
)
2x + 1 − 1 ⇔
w
(∗) ⇔ log3
w
.b
x > 0
⇔ x > 0.
● Điều kiện :
2x + 1 − 1 > 0
x = 2x + 1 − 1 ⇔ x = 2x + 2 − 2 2x + 1
w
x = 0
⇔ x + 2 = 2 2x + 1 ⇔ x2 + 4x + 4 = 8x + 4 ⇔ x2 − 4x = 0 ⇔
.
x = 4
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 4 .
Bài 28.
Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối A năm 2006
2x −y
2 2x −y
2
2 − 6 = 0
3.
+
7.
Giải hệ phương trình : 3
3
lg (3x − y) + lg (y + x) − 4 lg 2 = 0
Bài giải tham khảo
3x − y > 0 ⊕ x > 0
y
● Điều kiện :
⇔
⇔ x > > 0.
y
y + x > 0
x > > 0
3
3
www.boxtailieu.net
2x −y
2 2x −y
2
2 2x −y
2
(∗) ⇔ 3. 3 + 7. 3 − 6 = 0 ⇔ 3t + 7t − 6 = 0, t = 3 > 0
lg 3x − y)(y + x) = log 16
3x − y)(y + x) = 16
(
(
2x −y
2 2x −y
2
2x − y = 2
t = 2
= ∨ t =
= −3 (L)
⇔
⇔
3
3
3
2xy + 3x2 − y2 = 16
2xy + 3x2 − y2 = 16
x = 2
y = 2x − 2
y = 2x − 2
y = 2
⇔
⇔ 2
⇔
2x (2x − 2) + 3x2 − (2x − 2)2 = 16
3x + 4x − 20 = 0
10
x = −
3
.
( L)
● Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y) = (2;2) .
Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006
Giải phương trình : 9x + 6x = 22x +1
(∗)
Bài giải tham khảo
u.
● Tập xác định : D = » .
x
ox
ta
x
3 x
t = > 0
3 x
2
− 2 = 0 ⇔
⇔ = 1 ⇔ x = 0 .
t = 1
2
t = −2 (L)
ilie
3 2x 3 x
(∗) ⇔ 9 + 6 − 2.4 = 0 ⇔ 2 + 2
x
ne
t
Bài 29.
● Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 .
Cao đẳng Sư Phạm TW năm 2006
.b
Bài 30.
w
Giải phương trình : 4.4x − 9.2x +1 + 8 = 0
(∗)
w
Bài giải tham khảo
w
● Tập xác định : D = » .
2 x = 4
x = 2
⇔
(∗) ⇔ 4.22x
x = −1 .
2 x = 1
2
● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = −1 và x = 2 .
t = 2x > 0
x
− 18.2 + 8 = 0 ⇔ 2
⇔
4t − 18t + 8 = 0
Bài 31.
Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006
Giải bất phương trình : 3x
2
−4
(
)
+ x 2 − 4 .3 x −2 − 1 ≥ 0
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
● Ta có : (∗) ⇔ 3x
2
−4
(
)
+ x 2 − 4 .3x −2 ≥ 1
(1)
x2 −4
+
3
≥1
x2 − 4
3
● Nếu x ≥ 2 ⇒ 2
⇔
+ x2 − 4 .3x −2 ≥ 1
x − 4 .3x−2 ≥ 0
(
)
(
www.boxtailieu.net
)
Do đó (1) luôn đúng với x ≥ 2 hay x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) là tập nghiệm của bất
phương trình.
x2 −4
⊕
3
<1
x2 − 4
3
⇔
+ x2 − 4 .3x −2 < 1
● Nếu x < 2 ⇒ 2
x − 4 .3x−2 < 0
(
(
)
)
Do đó (1) không có tập nghiệm (vô nghiệm) khi x < 2 .
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) .
Bài 32.
Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối M năm 2006
(∗)
Giải bất phương trình : 3x +2 + 9x +1 − 4 > 0
Bài giải tham khảo
● Tập xác định : D = » .
3 x = t > 0
3x = t > 0
x
3 = t > 0
(∗) ⇔ 9.3 + 9.9 − 4 > 0 ⇔ 9t2 + 9t − 4 > 0 ⇔ 1
4 ⇔
1
t > ∨ t < −
t >
3
3
3
1
⇔ 3x > 3−1 ⇔ x > −1 .
3
u.
⇔ 3x >
x
ne
t
x
Dự bị – Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006
Giải phương trình : 4
3 x + 5 +1
+ 2.2
3 x +5 + x
= 2.4 x
ta
Bài 33.
ilie
● Vậy tập nghiệm của phương trình là x ∈ (−1; +∞) .
(∗)
ox
Bài giải tham khảo
3 x + 5 +1
(
⇔ 4.2
3 x +5 + x
22x
− 2 = 0 ⇔ 4.4
w
4x
+
2.2
3 x +5 −x
+ 2.2
3 x +5 −x
−2 = 0
3 x +5 −x
1
2
= t = = 2−1
2
⇔
2
3 x +5 −x
4t + 2t − 2 = 0
= t = −1 (L)
2
) + 2.23 x +5 −x − 2 = 0 ⇔ 2
w
2 3 x +5 −x
w
(∗) ⇔
4
.b
● Tập xác định : D = » .
3 x +5 −x
= t>0
⇔ 3 x + 5 − x = −1 ⇔ 3 x + 5 = x − 1 ⇔ x + 5 = x 3 − 3x2 + 3x − 1
⇔ x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3 .
● Vậy phương trình có một nghiệm là x = 3 .
Bài 34.
Cao đẳng Kỹ Thuật Y Tế I năm 2006
(
)
(
) (∗)
Giải phương trình : 1 + log2 9x − 6 = log2 4.3x − 6
Bài giải tham khảo
9x − 6 > 0
● Điều kiện :
.
x
4.3 − 6 > 0
(∗) ⇔ log2 2 + log2 (9x − 6) = log2 (4.3x − 6) ⇔ log2 2.(9x − 6) = log2 (4.3x − 6)
www.boxtailieu.net
x
2
( )
x
⇔ 2.9 − 12 = 4.3 − 6 ⇔ 2. 3
x
3x = −1
− 4.3 − 6 = 0 ⇔ x
1
3 = 3
x
( L) ⇔ x = 1 .
● Thay x = 1 vào điều kiện và thỏa điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 .
Bài 35.
Cao đẳng Tài Chính – Hải Quan khối A năm 2006
Giải bất phương trình : log3
3x − 5
<1
x +1
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện :
(∗) ⇔
3x − 5
5
> 0 ⇔ x < −1 ∨ x > .
x +1
3
3x − 5
3x − 5
−8
<3⇔
−3< 0 ⇔
< 0 ⇔ x + 1 > 0 ⇔ x > −1 .
x +1
x +1
x +1
5
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ; +∞ .
3
Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng năm 2006
(
ne
t
Bài 36.
)
(∗)
u.
Giải phương trình : log2 x2 − 3 − log2 (6x − 10) + 1 = 0
(
ta
x2 − 3 > 0
5
⇔x> .
● Điều kiện :
6x − 10 > 0
3
ilie
Bài giải tham khảo
) = log 1 ⇔ 2 (x
2 x2 − 3
2
) =1⇔ x
x = 1
−
+
=
⇔
3x
2
0
2
x = 2 .
6x − 10
6x − 10
● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2 .
ox
2
Cao đẳng Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 2006
w
Bài 37.
−3
.b
(∗) ⇔ log2
2 + log22 x
w
w
Giải phương trình : x
=8
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 và x ≠ 1 .
1
(∗) ⇔ 2 + log22 x = logx 8 ⇔ log22 x − 3.logx 2 + 2 = 0 ⇔ log22 x − 3. log
2
x
+2 = 0
⇔ log23 x + 2 log2 x − 3 log2 x = 0 ⇔ log2 x = 1 ⇔ x = 2 .
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 2 .
Bài 38.
Cao đẳng Điện Lực Tp. Hồ Chí Minh năm 2006
Giải phương trình :
3
logx 3 − 3 log27 x = 2 log3 x
4
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : 0 < x ≠ 1 .
3
1
(∗) ⇔ 4 . log
3
x
− log3 x − 2 log3 x = 0 ⇔
3
1
1
.
= 3.log3 x ⇔ log23 x =
4 log3 x
4
www.boxtailieu.net
⇔ log3 x =
1
1
1
∨ log3 x = − ⇔ x = 3 ∨ x =
.
2
2
3
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 3 ∨ x =
1
.
3
Bài 39.
Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006
Giải bất phương trình : 5
log3
x −2
x
<1
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện :
(∗) ⇔ log3
x −2
> 0 ⇔ x < 0 ∨ x > 2.
x
x −2
x −2
−2
<0⇔
<1 ⇔
< 0 ⇔ x > 0.
x
x
x
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (2; +∞) .
Giải phương trình : log 1 (x − 3) = 1 + log4
4
1
x
ne
t
Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối D1 năm 2006
(∗)
ilie
Bài giải tham khảo
u.
Bài 40.
ta
x − 3 > 0
x > 3
⇔
⇔ x > 3.
● Điều kiện : 1
> 0
x > 0
x
x−3
x−3
1
= −1 ⇔
= ⇔ x = 4.
x
x
4
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 4 .
ox
1
Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2005
w
Bài 41.
.b
(∗) ⇔ − log4 (x − 3) − log4 x = 1 ⇔ log4
2
w
w
log x
(log x)
Giải bất phương trình : 5 5 + x 5 ≤ 10
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0 .
● Đặt log5 x = t ⇒ x = 5t .
2
(∗) ⇔ 5t
t
( )
+ 5t
2
≤ 10 ⇔ 5t ≤ 5 ⇔ t2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1 ⇔ −1 ≤ log5 x ≤ 1 ⇔
1
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ; 5 .
5
Bài 42.
Cao đẳng Kinh Tế – Kỹ Thuật Công Nghiệp I khối A năm 2005
Tìm tập xác định của hàm số : y = log
5
(x
2
)
− 5.x + 2 .
Bài giải tham khảo
● Hàm số được xác định khi và chỉ khi
www.boxtailieu.net
1
≤x≤5
5
x 2 − 5.x + 2 > 0, ∀x ∈ »
5 −1
⇔ x2 − 5.x + 2 ≥ 1 ⇔ x ≤
∨ x≥
2
log x − 5.x + 2 ≥ 0
2
5
5 − 1 5 + 1
;
∪
+∞
● Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = −∞;
.
2 2
(
Bài 43.
)
5 +1
.
2
Cao đẳng Sư Phạm Cà Mau khối B năm 2005
2
Giải phương trình : x lg x = 102 lg
(∗)
x −3 lg x +2
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x > 0
2
(∗) ⇔ lg xlg x = lg102 lg
x −3 lg x +2
⇔ lg2 x = 2 lg2 x − 3 lg x + 2 ⇔ lg2 x − 3 lg x + 2 = 0
Bài 44.
Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối B năm 2006
ne
t
lg x = 1
x = 10
.
⇔
⇔
lg x = 2
x = 100
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 10 ∨ x = 100 .
(∗)
u.
Giải phương trình : log20,5 x + log2 x2 = log x 4x
ilie
Bài giải tham khảo
2
+ 2 log2 x = logx 4 + logx x
1
−1 = 0
log 4 x
.b
⇔ log22 x + 2 log2 x −
ox
(∗) ⇔ − log2 x
ta
● Điều kiện : 0 < x ≠ 1 .
w
⇔ log22 x + 2 log2 x −
2
−1 = 0
log2 x
w
w
x = 2
log x = 1
2
t = log x
t = log2 x
2
log x = −1 ⇔ x = 1 .
⇔ 3
⇔
⇔
2
2
t + 2t − t − 2 = 0
t = 1 ∨ t = −1 ∨ t = −2
2
log2 x = −2
x = 1
4
● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x =
Bài 45.
1
1
∨ x = ∨ x = 2.
4
2
Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối A năm 2006
(
)
Giải bất phương trình : log4 3x − 1 .log 1
4
3x − 1 3
≤
16
4
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : 3x − 1 ≥ 0 ⇔ 3 x ≥ 1 ⇔ x > 0 .
3
(∗) ⇔ log4 (3x − 1). − log4 (3x − 1) + log4 16 − 4 ≤ 0
www.boxtailieu.net
(∗)
(
)
(
)
⇔ − log24 3x − 1 + 2 log4 3x − 1 −
3
≤0
4
t = log 3x − 1
x
log 3x − 1 < 1
x < 1
4
t = log4 3 − 1
4
2
⇔
⇔
⇔
⇔
x > 3 .
4t2 − 8t + 3 ≤ 0
t < 1 ∨ t > 3
3
log 3x − 1 >
4
2
2
2
(
(
)
)
(
(
)
)
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;1) ∪ (3; +∞) .
Bài 46.
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006
log x + 3 5 − log y = 5
3
Giải hệ phương trình : 2
3 log x − 1 − log y = −1
2
3
(∗)
Bài giải tham khảo
ilie
u.
ne
t
x > 0, y > 0
x > 0, y > 0
x > 0, y > 0
x ≥ 2
y
162
≤
⇔
● Điều kiện : 5 − log3 y ≥ 0 ⇔ log3 y ≤ 5 ⇔
.
0 < y ≤ 162
log2 x − 1 ≥ 0
log2 x ≥ 1
x ≥ 2
a 2 = 5 − log y
a = 5 − log y ≥ 0
3
3
⇔ 2
● Đặt :
.
b = log x − 1 ≥ 0
b = log x − 1
2
2
w
w
w
.b
ox
ta
b2 + 1 + 3a = 5
b2 + 3a = 4
∗
⇔
⇔
( ) 3b + a2 − 5 = −1 a2 + 3b = 4 ⇔ b2 + 3a = a2 + 3b ⇔ b2 − a2 + 3a − 3b = 0
a = b
⇔ (b − a )(b + a ) − 3 (b − a ) = 0 ⇔ (b − a )(b + a − 3) = 0 ⇔
a + b = 3
a = b
a = b
2
a + 3a − 4 = 0
a = 1 ∨ a = −4 (L)
a = 5 − log 3 y = 1
⇔
⇔
⇔
b = 3 − a
b = 3 − a
b = log2 x − 1 = 1
a 2 + 9 − 3a = 3
a 2 − 3a + 6 = 0 (VN)
y = 34 = 81
5 − log3 y = 1
log3 y = 4
⇔
⇔
⇔
.
x = 4
log2 x − 1 = 1
log2 x = 2
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là S = (x; y) =
Bài 47.
{(4; 81)} .
Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2006
−x y
3 .2 = 1152
Giải hệ phương trình :
(∗)
log (x + y) = 2
5
Bài giải tham khảo
● Điều kiện : x + y > 0 .
3−x.2y = 1152
3−x.2y = 1152
y = 5 − x
y = 5 − x
(∗) ⇔ log x + y = 1 ⇔ x + y = 5 ⇔ 3−x.25−x = 1152 ⇔ 25.6−x = 1152
)
5 (
www.boxtailieu.net