§1. Đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa :

vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với ∆

Nhận xét :

– Nếu $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k $\vec{u}$ ( k≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

– Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀ ;y₀) và nhận vectơ $\vec{u}$ = (u₁ ; u₂) làm vectơ chỉ phương là :

∆ : $\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.$

-Khi hệ số u₁≠ 0 thì tỉ số $k=\dfrac{u_2}{u_1}$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀ ;y₀) và có hệ số góc k là:

y – y₀ = k(x – x₀)

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với chiều dương của trục Ox

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ $\vec{n}$ được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\vec{n}$ ≠ $\vec{0}$ và $\vec{n}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

Nhận xét:

– Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k $\vec{n}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

– Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biết:

+ Nếu a = 0 => y = $\frac{-c}{b}$ ; ∆ // Ox

+ Nếu b = 0 => x = $\frac{-c}{a}$ ; ∆ // Oy

+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 => ∆ đi qua gốc tọa độ

+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn chắn:

$\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ = 1

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng ∆₁và ∆₂

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a₁x+b₁y + c₁ = 0 và a ₂+ b₂y +c₂ = 0

Điểm M₀(x₀ ;y₀) là điểm chung của ∆₁và ∆₂khi và chỉ khi (x₀ ;y₀) là nghiệm của hệ hai phương trình:

(1) $\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2y}+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.$

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆₁cắt ∆₂

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁// ∆₂

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆₁= ∆₂

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆₁và ∆₂cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆₁không vuông góc với ∆₂thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆₁và ∆₂. Nếu ∆₁vuông góc với ∆₂thì ta nói góc giữa ∆₁và ∆₂bằng 90⁰.Trường hợp ∆₁và ∆₂song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆₁và ∆₂bằng 0⁰. Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 90⁰

Góc giữa hai đường thẳng ∆₁và ∆₂được kí hiệu là $\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}$

Cho hai đường thẳng ∆₁= a₁x+b₁y + c₁ = 0

∆₂= a ₂+ b₂y +c₂ = 0⁰

Đặt $\varphi$ = $\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}$

cos $\varphi$ = $\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}$

Chú ý:

+ ∆₁ ⊥ ∆₂<=> n_{1 ⊥}n₂<=> a₁a₂+ b₁b₂= 0

+ Nếu ∆₁và ∆₂có phương trình y = k₁x + m₁và y = k₂ x + m₂thì

∆₁ ⊥ ∆₂<=> k₁.k_{2 =}-1.

7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = 0 và điểm M₀(x₀ ;y₀).Khoảng cách từ điểm M₀đến đường thẳng ∆ kí hiệu là (M_{0 ;}∆), được tính bởi công thức

d(M_{0 ;}∆) = $\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$