Ôn tập chương II Hình học

Lý thuyết

Bài 2.45 trang 103 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right|\). Vậy tam giác ABC là tam giác gì?

Hướng dẫn giải

(h.2.32)

Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD} \)

Mặt khác \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {CB} \). Theo giả thiết ta có:

\(\left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|\)

Hay \(AM = {{BC} \over 2}\)

Ta suy ra ABC là tam giác vuông tại A.

Bài 2.46 trang 103 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Ba điểm A, B, C phân biệt tạo nên vec tơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \) vuông góc với vec tơ  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} \). Vậy tam giác ABC là tam giác gì?

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

\(\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} } \right) = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AC} {}^2 = 0 \cr} \)

Ta suy ra ABC là tam giác có AB = AC (tam giác cân tại A)

Bài 2.47 trang 103 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau:

a) \(a = 7,b = 10,\widehat C = {56^0}29'\)

b) \(a = 2,c = 3,\widehat B = {123^0}17'\)

c) \(b = 0,4,c = 12,\widehat A = {23^0}28'\)

Hướng dẫn giải

a) \(\eqalign{
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C \cr 
& = 49 + 100 - 140\cos {56^0}29' \cr} \)

=> \({c^2} \approx 71,7\) hay \(c \approx 8,47\)

b) \(b \approx 4,43\)

c) \(a \approx 11,63\)

Bài 2.48 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tam giác ABC có \(\widehat B = {60^0},\widehat C = {45^0},BC = a\). Tính độ dài hai cạnh AB và AC.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\widehat A = {180^0} - ({60^0} + {45^0}) = {75^0}\)

Đặt AC = b, AB = a. Theo định lí sin:

\({b \over {\sin {{60}^0}}} = {a \over {\sin {{75}^0}}} = {c \over {\sin {{45}^0}}}\).

Ta suy ra

\(AC = b = {{a\sqrt 3 } \over {2\sin {{75}^0}}} \approx {{a\sqrt 3 } \over {1,93}} \approx 0,897a\)

\(AB = c = {{a\sqrt 2 } \over {2\sin {{75}^0}}} \approx {{a\sqrt 2 } \over {1,93}} \approx 0,732a\)

Bài 2.49 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tam giác ABC có \(\widehat A = {60^0},\,\,b = 20,\,\,c = 35\)

a) Tính chiều cao \({h_a}\);

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \cr 
& = {20^2} + {35^2} - 20.35 = 925 \cr} \)

Vậy \(a \approx 30,41\)

a) Từ công thức \(S = {1 \over 2}a{h_a}\) ta có \({h_a} = {{2S} \over a} = {{bc\sin A} \over a}\)

\(=  > {h_a} \approx {{20.35.{{\sqrt 3 } \over 2}} \over {30,41}} \approx 19,93\)

b) Từ công thức \({a \over {\sin A}} = 2R\) ta có \(R = {a \over {\sqrt 3 }} \approx {{30,41} \over {\sqrt 3 }} \approx 17,56\)

c) Từ công thức \(S = pr\) với \(p = {1 \over 2}(a + b + c)\), ta có:

\(r = {{2S} \over {a + b + c}} = {{bc\sin A} \over {a + b + c}} \approx 7,10\)

Bài 2.50 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng 

\({b^2} - {c^2} = a(b\cos C - c\cos B)\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\)

\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)

\( =  > {b^2} - {c^2} = {c^2} - {b^2} + 2a(b\cos C - c\cos B)\)

\( =  > 2({b^2} - {c^2}) = 2a(b\cos C - c\cos B)\)

Hay \({b^2} - {c^2} = a(b\cos C - c\cos B)\)

Bài 2.51 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tam giác ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8

a) Tính diện tích tam giác ABC;

b) Tính góc B.

Hướng dẫn giải

(h.2.33)

Theo công thức Hê – rông ta có:

\({S_{AMC}} = \sqrt {{{27} \over 2}\left( {{{27} \over 2} - 13} \right)\left( {{{27} \over 2} - 6} \right)\left( {{{27} \over 2} - 8} \right)} \)

\( = {{9\sqrt {55} } \over 4}\)

\({S_{ABC}} = 2{S_{AMC}} = {{9\sqrt {55} } \over 2}\)

Mặt khác ta có \(A{M^2} = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\) hay \(2A{M^2} = {b^2} + {c^2} - {{{a^2}} \over 2}\)

Do đó 

\(\eqalign{
& A{B^2} = {c^2} = 2A{M^2} - {b^2} + {{{a^2}} \over 2} \cr 
& = 2.64 - 169 + 72 = 31 \cr} \)

\( =  > c = \sqrt {31} \)

\(\eqalign{
& \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{144 + 31 - 169} \over {24\sqrt {31} }} \cr 
& \approx 0,045 = > \widehat B \approx {87^0}25' \cr} \)

Bài 2.52 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Giải tam giác ABC biết: a = 14, b = 18, c = 20

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có cạnh là BC = 14, CA = 18, AB = 20, ta cần tìm các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} \cr 
& = {{{{18}^2} + {{20}^2} - {{14}^2}} \over {2.18.20}} \approx 0,7333 \cr} \)

\( =  > \widehat A \approx {42^0}50'\)

\(\eqalign{
& \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr 
& = {{{{14}^2} + {{20}^2} - {{18}^2}} \over {2.14.20}} \approx 0,4857 \cr 
& = > \widehat B \approx {60^0}56' \cr} \)

\(\widehat C = {180^0} - (\widehat A + \widehat B) \approx {76^0}14'\)

Bài 2.53 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Giải tam giác ABC biết: \(\widehat A = {60^0},\widehat B = {40^0};c = 14\)

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có cạnh c = AB = 14 và có \(\widehat A = {60^0},\widehat B = {40^0}\). Ta có: \(\widehat C = {180^0} - (\widehat A + \widehat B) = {80^0}\) cần tìm a và  b. Theo định lí sin:

\({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}\) ta suy ra \(a = {{c\sin A} \over {\sin C}} = {{7\sqrt 3 } \over {\sin {{80}^0}}} \approx 12,31\)

\(b = {{c\sin B} \over {\sin C}} = {{14\sin {{40}^0}} \over {\sin {{80}^0}}} \approx 9,14\)

Bài 2.54 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC có \(a = 49,4,b = 26,4,\widehat C = {47^0}20'\). Tính \(\widehat A,\widehat B\) và cạnh C

Hướng dẫn giải

Theo định lí cô sin ta có:

\(\eqalign{
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C \cr 
& = {(49,4)^2} + {(26,4)^2} - 2.49,4.26,4.\cos {47^0}20' \cr 
& \approx 1369,5781 \cr} \)

Vậy \(c = \sqrt {1369,5781}  \approx 37\)

\(\eqalign{
& \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} \cr 
& \approx {{{{(26,4)}^2} + {{(37)}^2} - {{(49,4)}^2}} \over {2.26,4.37}} \approx - 0,1916 \cr} \)

Ta suy ra \(\widehat A \approx {101^0}3'\)

\(\widehat B \approx {180^0} - ({101^0}3' + {47^0}20') = {31^0}37'\)