§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 (độ) đến 180 (độ)

Lý thuyết

Bài 2.1 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Với giá trị nào của góc \(\alpha ({0^0} \le \alpha  \le {180^0})\) thì:

a) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) cùng dấu?

b) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) khác dấu?

c) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu?

d) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) khác dấu?

Hướng dẫn giải

a) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) cùng dấu khi: \({0^0} < \alpha  < {90^0}\)

b) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) khác dấu khi: \({90^0} < \alpha  < {180^0}\)

c) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu khi: \({0^0} < \alpha  < {90^0}\)

d) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) khác dấu khi: \({90^0} < \alpha  < {180^0}\)

Bài 2.2 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tính giá trị lượng giác của các góc sau đây:

a) \({120^0}\)

b) \({150^0}\)

c) \({135^0}\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\eqalign{
& \sin {120^0} = {{\sqrt 3 } \over 2};cos{120^0} = - {1 \over 2}; \cr 
& \tan {120^0} = - \sqrt 3 ;\cot {120^0} = - {1 \over {\sqrt 3 }} \cr}\)

b) 

\(\eqalign{
& \sin {150^0} = {1 \over 2};\cos {150^0} = - {{\sqrt 3 } \over 2}; \cr 
& \tan {150^0} = - {{\sqrt 3 } \over 3};cot{150^0} = - \sqrt 3 \cr} \)

c)

\(\eqalign{
& \sin {135^0} = {{\sqrt 2 } \over 2};\cos {135^0} = - {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr 
& \tan {135^0} = - 1;\cot {135^0} = - 1 \cr} \)

Bài 2.3 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tính giá trị của biểu thức:

a) \(2\sin {30^0} + 3\cos {45^0} - \sin {60^0}\)

b) \(2\cos {30^0} + 3\sin {45^0} - \cos {60^0}\)

Hướng dẫn giải

a) \(2.{1 \over 2} + 3.{{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2} = 1 + {{3\sqrt 2  - \sqrt 3 } \over 2}\)

b) \(2.{{\sqrt 3 } \over 2} + 3.{{\sqrt 2 } \over 2} - {1 \over 2} = {{2\sqrt 3  + 3\sqrt 2  - 1} \over 2}\)

Bài 2.4 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Rút gọn biểu thức:

a) \(4{a^2}{\cos ^2}{60^0} + 2ab.{\cos ^2}{180^0} + {4 \over 3}{b^2}\cos {60^0}\)

b) \((a\sin {90^0} + b\tan {45^0})(a\cos {0^0} + b\cos {180^0})\)

Hướng dẫn giải

a) \(\eqalign{
& 4{a^2}.{1 \over 4} + 2ab.1 + {4 \over 3}{b^2}.{3 \over 4} \cr 
& = {a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2} \cr} \)

b) \(\eqalign{
& (a.1 + b.1)(a.1 + b.( - 1)) \cr 
& = (a + b)(a - b) = {a^2} - {b^2} \cr} \)

Bài 2.5 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Hãy tính và so sánh giá trị của từng cặp biểu thức sau đây:

a) \(A = {\cos ^2}{30^0} - {\sin ^2}{30^0}\) và \(B = \cos {60^0} + \sin {45^0}\)

b) \(C = {{2\tan {{30}^0}} \over {1 - {{\tan }^2}{{30}^0}}}\) và \(D = ( - \tan {135^0}).tan{60^0}\)

Hướng dẫn giải

a) \(A = \cos _{}^230_{}^ \circ  - \sin _{}^230_{}^ \circ  = {1 \over 2}\)

và \(B = \cos 60_{}^ \circ  + \sin 45_{}^ \circ  = {{1 + \sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy A<B.

b) \(C = {{2\tan 30_{}^o} \over {1 - \tan _{}^230_{}^o}} = \tan (30_{}^o + 30_{}^o) = \tan 60_{}^o = \sqrt 3 \)

\(D = ( - \tan 135_{}^o).tan60_{}^o = \tan 45_{}^o.\tan 60_{}^o = \sqrt 3 \)

Vậy C = D

Bài 2.6 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho \(\sin \alpha  = {1 \over 4}\) với \({90^0} < \alpha  < {180^0}\). Tính \(\cos \alpha \) và \(\tan \alpha \)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left| {\cos \alpha } \right| = \sqrt {1 - \sin _{}^2\alpha }  = \sqrt {1 - \left( {{1 \over 4}} \right)_{}^2}  = {{\sqrt {15} } \over 4}\)

Do 

\(\eqalign{
& 90_{}^o < \alpha < 180_{}^o \Rightarrow \cos \alpha < 0 \cr 
& \Rightarrow \cos \alpha = - {{\sqrt {15} } \over 4} \cr 
& \Rightarrow \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - {{\sqrt {15} } \over {15}} \cr} \)

 

Bài 2.7 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho \(\cos \alpha  =  - {{\sqrt 2 } \over 4}\). Tính \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \)

Hướng dẫn giải

Vì \(\cos \alpha  < 0\) nên \(90_{}^o < \alpha  < 180_{}^o \Rightarrow \sin \alpha  > 0\)

\(\eqalign{
& \sin \alpha = \sqrt {1 - \cos _{}^2\alpha } = \sqrt {1 - \left( { - {{\sqrt 2 } \over 4}} \right)_{}^2} = {{\sqrt {14} } \over 4} \cr 
& \Rightarrow \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - \sqrt 7 \cr} \)

Bài 2.8 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \) với \({0^0} < \alpha  < {90^0}\). Tính \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \)

Hướng dẫn giải

Do \(0_{}^o < \alpha  < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha  > 0\)

\(\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + \tan _{}^2\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + (2\sqrt 2 )_{}^2} }} = {1 \over 3} \cr 
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{2\sqrt 2 } \over 3} \cr} \)

Bài 2.9 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Biết \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {{3\sin \alpha  - \cos \alpha } \over {\sin \alpha  + \cos \alpha }}\)

Hướng dẫn giải

Do \(\tan \alpha  = \sqrt 2  > 0 \Rightarrow 0_{}^o < \alpha  < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha  > 0\)

\(\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + 2} }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr 
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)

\(A = {{3\sin \alpha  - \cos \alpha } \over {\sin \alpha  + \cos \alpha }} = 7 - 4\sqrt 2 \)

Bài 2.10 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Biết \(\sin \alpha  = {2 \over 3}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {{3\cot \alpha  - \tan \alpha } \over {\cot \alpha  + \tan \alpha }}\)

Hướng dẫn giải

\({\cot ^2}\alpha  = {1 \over {\sin _{}^2\alpha }} - 1 = {1 \over {\left( {{2 \over 3}} \right)_{}^2}} - 1 = {5 \over 4}\)

\(\eqalign{
& B = {{\cot \alpha - \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }} = {{\cot \alpha - {1 \over {\cot \alpha }}} \over {\cot \alpha + {1 \over {\cot \alpha }}}} \cr 
& = {{\cot _{}^2\alpha - 1} \over {\cot _{}^2\alpha + 1}} = {{{5 \over 4} - 1} \over {{5 \over 4} + 1}} = {1 \over 9} \cr} \)