Đề thi HSG môn toán có đáp án Tỉnh Quế Sơn

UBND HUY QU NỆ ƠPHÒNG GIÁO ĐÀO OỤ KỲ THI SINH GI HUY NỌ ỆNĂM 2017-2018ỌMôn: ToánTh gian làm bài: 150 phút (Không th gian giao )ể ềĐ CHÍNH TH VÒNG IỀ ỨBài (4,0 đi m)ể :a) Th hi tính: ệ2 14 3A= -b) Ch ng minh ng: a, b, và a’, b’, c’ là dài các nh hai tamộ ủgiác ng ng (các nh có dài a, b, ng ng các nh có đồ ượ ươ ộdài a’, b’, c’) thì: ' ' ' )( ' ' ')aa bb cc c+ +c) Ch ng minh: 2222017 20171 2017 20182018 2018+ =Bài 2(4,0 đi m):ểGi các ph ng trình sau:ả ươa) 4( 5( )40 409-x yx =ìïí+ =ï+îb) 23 1) 12 xy xx yì+ +ïí= +ïîBài (5,0 đi m)ể Cho tam giác nh ABC có AD và CE là các ng cao. là giao đi mọ ườ ểc AD và CE. ng tròn ngo ti tam giác AHE AC F. ườ ạa) Ch ng minh ba đi B, H, th ng hàng.ứ ẳb) M, là trung đi AH và BC. Ch ng minh ng th ng EFọ ượ ườ ẳvuông góc ng th ng MN.ớ ườ ẳc) Tia phân giác góc BAC MN K. Ch ng minh MK= MA.ủ ứBài (4,0 đi m): ểCho tam giác ABC ti ng tròn tâm O. là đi di chuy trên cungề ườ ểnh BC. Trên đo th ng AM đi sao cho MD MB.ỏ ểa) Khi di chuy trên cung nh BC thì đi di chuy trên ng nào?ể ườb) Xác nh trí trên cung nh BC MA MB MC nh t.ị ấBài (3,0 đi m)ể :Cho a, b, là ba nguyên liên ti p. Ch ng minh: ứ3 3a c+ chia cho 9.ế==== T====ẾUBND HUY QU NỆ ƠPHÒNG GIÁO ĐÀO OỤ KỲ THI SINH GI HUY NỌ ỆNĂM 2017-2018ỌH NG CH MÔN TOÁN- VÒNG IƯỚ ẤBài (4,0 đi m)ể :2 28 10 3A= -2 22 (1 3) (5 3)A= - 6A= =6 2A= 0,500,250,250,25Đ t: ặ' ' 'a cka c= a’ ka; b’ kb; c’ kc.ượThay 2( )VT ka kb kc c= (Do a>0, b>0, c>0) Và 2( )( )VP ka kb kc c= (Do 0) 0,250,500,502 222 222 222 2242018 2017 .2018 2017 20172018 20182018 (2018 1) .2018 2017 20172018 20182018 2018 2.2018.2018 2018 2017 20172018 20182018 2018 2.(2017 1).2018 2018 2017 20172018 20182018 2.2017. += ++ += ++ += ++ += +-= 22 22 2018 2017 2017 (2018 2017) 20172018 2018 2018 20182018 2017 201720182018 2018 -+ +-= 0,250,250,250,250,250,25Bài 2(4,0 đi m):ểĐ x+ và ượ4 540 409X YX Y=ìïí+ =ïîThay (1) vào (2) c: ượ()40 5.40 109 104XX X+ 0,250,75x+ 10 8. 0,50Gi ệ108x yx y+ =ìí- =î ượ91xy=ìí=î 0,502 23 3( 1) 1) 1) 12 1x xy yx yì ì+ +ï ïÛí í= +ï ïî î0,25Thay (2) vào (1) c: ượ2 32 26 24 22 (2 (2 14 14 04 1) 1) 0( 1)(4 1) xx xx xx xx ++ +- =- =- 0,250,250,250,250,25Ph ng trình ươ4 24 1x x- vô nghi m; Ph ng trình có ươ nghi x= ±1. 0,25V có nghi (1; 0) và (-1; -2)ậ 0,25Bài (5,0 đi m)ể Có HEA=90 ng tròn ườđ ng kính HA là ng tròn ườ ườngo ti tam giác AHE.ạ 0,50 AFH =90 (Góc ti ch ắ½ ng tròn). Hay HF ườ AC 0,50L có BH AC (H là tr tâm ực ABC) 0,25 Ba đi B, H, th ng hàng ẳ(Tiên Euclude).ề 0,25T a) BFừ ượ FC thu ộđ ng tròn tâm ng kính ườ ườBC. 0,50T CE EB thu ng tròn tâm ng kính BC.ộ ườ ườ0,25 E, là giao đi ng tròn tâm ng kính HA (N) ng tròn ườ ườ ườtâm ng kính BC (M)ườ 0,50 EF là dây chung (N) và (M) EF MN.0,50G K’ là giao đi MN ng tròn (M) có:ọ ườDo K’ thu (M) nên: K’FE K’AE và K’EF= K’AF (Góc ti p).ộ 0,50Do K’ thu MN nên: K’E =K’F K’FE= K’EF0,50 K’AE K’AF AK’ là phân giác BACủ0,25 K’ (K’ thu phân giác BAC thu MN)ừ ộ0,25Do MA =MK’ MA MK0,25Bài (4,0 đi m): ể MBD cân Có BDM 60 MBD là tam giác u.ề BDM 60 0. BDA 120 0 Khi di chuy trên cung nh BC thìể ỏM di chuy trên cung tròn (n trên aể ửm ph ng AB ch đi M) nhìn ABặ ểm góc ng 120ộ 0. DBA và MBC có:BA BC ABC u)ề BAD BCM (Cùng ch cung BM) ắ ABD CBM (=60 DBC) 0,250,250,250,250,500,250,250,50 DBA MBC MC DA 0,25 MA MB MC MA MD DA 2MA 0,50MA MB MC nh khi MA nh ấ AM là ng kính (O) ườ ủ là đi chính gi cung nh BC.ể 0,250,250,25Bài (3,0 đi m)ể :Đ -1 c:ặ ượ 33 23 1) 1)3 13 2)a nn nn n+ += += 0,500,250,50Xét các tr ng p:ườ ợn 3k 3n 9k ượ 23 2) +chia cho ế 3a c+ chia cho 9ế 0,500,25n 3k ±1 nượ 9k 6k 2= 9k 6k 3.n chia cho 23 2) +chia cho ế 3a c+ chia cho 9ế 0,500,250,25==== T====ẾUBND HUY QU NỆ ƠPHÒNG GIÁO ĐÀO OỤ KỲ THI SINH GI HUY NỌ ỆNĂM 2017-2018ỌMôn: ToánTh gian làm bài: 150 phút (Không th gian giao )ể ềĐ CHÍNH TH VÒNG IIỀ ỨBài (3,0 đi m)ể Cho ba th a, b, th 0a c+ a) Ch ng minh ứ() 2a a+ +. b) Tính 4a khi có thêm đi ki nề 26a c+ Bài (4,0 đi m):ểTam giác ABC có đo các nh là: a, b, ọ2p là chu vi tam giác. Ch ngủ ứminh ngằ :a) 4a ³+ b) 12p ö+ +ç ÷- -è øc) Cho 18. Tìm giá tr nh nh 2a +Bài (4,0 đi m):ể Cho ph ng trình: ươ()()()21 5x m- Th hi n:ự ệa) Gi ph ng trình ươ 9.b) Tìm ph ng trình có nghi phân bi ươ ệ1 4, ,x th a:ỏ1 41 11x =-Bài (7,0 đi m): ểCho hình vuông ABCD có AC BD O. là đi kỳ thu nh BC (M ạkhác B, C). Trên nh AB đi sao cho BN CM. Tia AM ng ườth ng CD E.ẳ ạa) Ch ng minh ∆OMN là tam giác vuông cân. ứb) Ch ng minh MN // BE.ức) là giao đi OM BE. Ch ng minh CH vuông góc BE.ọ ớBài (2,0 đi m)ể :Tìm nghi nguyên ph ng trình: ươ 22 19x y+ =====H T====ẾUBND HUY QU NỆ ƠPHÒNG GIÁO ĐÀO OỤ KỲ THI SINH GI HUY NỌ ỆNĂM 2017-2018ỌH NG CH MÔN TOÁN VÒNG IIƯỚ ẤBài (3,0 đi m)ể 0a c+ c:ượ2 22 22 22 0( 4( )( 4( )( 4( ))a ab ac bca ab ac bca bc ac aba abc c+ =+ ++ ++ 0,250,250,250,50Thay c:ượ2 24 2( 4( )2( )a ca c+ ++ 0,250,50T 2( 4( )a c+ và()4 2a a+ +đ c: ượ 24 4( 2a ca c+ ++ =Thay ượ24 46182a c+ 0,750,25Bài (4,0 đi m):ể1 ba ab ++ ³+ +2( 4a abÛ (Do 0, >0 nên ab(a+b)>0)2( 0a bÛ 0,250,500,25Áp ng a) c:ụ ượ1 42p c+ =- -;1 42p b+ =- -; 42p a+ =- 0,500,25C ng c: ượ 42( )1 12( )p ap a+ +- -Û +- 0,250,25Có 22 2a ab bc ac+ 0,50C ng c: ượ2 22( 2a ab ac bc+ +2 23( 2a ab ac bcÛ 0,250,250,25()222 22( )3 3pa ca c+ +Û =2 2a +có giá tr nh nh là 18ị 2: 108 khi == 6. 0,50Bài (4,0 đi m):ể ()()()2 1) 9( 5)( 3) xx =+ 0,50Đ ặ24 1x x+ c:ượ 2( 4)( 4) 25 =- 0,502 24 2x x+ =- =-0,252 24 0x x+ =đ ượ2 10x=- và 10x=- 0,25T ph ng trìnhừ ươ 2( 5)( 3) (*). =ặ24 1x x+ ượ( 4)( 4)16 16y my m- == =- +0,501 41 41 11 xx ++ =- =- (*) 0,50Do 2;x 4;x có vai trò nh nhau trong bi th c.ư ứG ọ1 2;x là hai nghi ph ng trình:ệ ươ 24 16 16 0x m+ (1)Có: 24 16x m+ =- =- 0,50và 4;x là hai nghi ph ng trình:ệ ươ 24 16 16 0x m+ =- (2)Có: 44 16x m+ =- =- 0,25Thay vào (*) c:ượ4 1141 16 16 16 162 116 74(1 16 )( 16 mm mm m- -+ =- =- +- -= =-+ 0,50V -7 thì (*) có nghi phân bi t. lu -7.ớ 0,25Bài (2,0 đi m)ể :2 22 22 21 32( 1) 3(7 )x yx y+ -+ 0,500,25Do 22( 1) 0x+ nên 27y£ 0,50Xét 0; ±1; ±2 0,25Do 22( 1)x+ là ch 27 y- là ch ±1 0,25Đ nghi (2; )ượ (2 -1) (-4, 1) (-4 -1) 0,25Bài (7,0 đi m):ểOBN và ∆OCM có:BN CM (gt)OB OC (ABCD là hình vuông) OBN OCM 45 0. ∆OBN ∆OCM 0,250,250,250,25 ON OM (1)0,25Và BON COM BON BOM COM BOM NOM COB 90 (2)T (1) và (2) ∆NOM vuông cân O. ượ 0,500,500,25AB // CE AM BM=ME MC (Theo Ta-Let) 0,75Có BM AN NB MC. 0,50Thay c: ượAM AN=ME NBÞ MN // BE (Theo Ta-Let o)ả 0,75MN // BE BHM NMO 45 (1)0,50 BMH OMC (đ nh) BMH ng ng OMC0,50 MH/MC MB/MO0,50Và có HMC OMB (đ nh) MHC ng ng MBO0,50 MHC MBO 45 (2)0,25T (1) và (2) ượ BMC BHM MHC 45 45 =90 Hay CH BE. 0,25====H T====Ế