Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Chuyên đề ôn thi HSG hình học Toán 9: ĐƯỜNG TRÒN – DÂY CUNG – TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

53404e3a7b1f362f88b0cfde5dfc5aa6
Gửi bởi: Nguyễn Minh Lệ 5 tháng 8 2021 lúc 16:02:11 | Được cập nhật: 4 giờ trước (12:57:43) | IP: 14.245.250.39 Kiểu file: DOC | Lượt xem: 1258 | Lượt Download: 92 | File size: 1.23392 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

CHUYÊN ĐỀ 2.ĐƯỜNG TRÒN – DÂY CUNG – TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN CHỦ ĐỀ 1: SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Định nghĩa: Đường tròn tâm hiệu là bán kính là hình gồm các điểm cách điểm một khoảng kí hay + Đường tròn đi qua các điểm gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác + Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó. Những tính chất đặc biệt cần nhớ: + Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp + Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó. + Trong tam giác thường: Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm các điểm cách đều điểm Ví dụ 1. Cho tam giác đều cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh cho trước. có cạnh bằng đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm . là các cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Giải: Vì tam giác đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao . Suy ra vuông góc với . Từ đó ta có các tam giác Với A là tam giác vuông là cạnh huyền, suy ra Hay: Các điểm Trung điểm N P cùng thuộc đường tròn Đường kính , tâm đường tròn là của Ví dụ 2.Cho tứ giác B có . Chứng minh 4 điểm đó . lần lượt Gọi M C lần lượt là trung điểm của cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: T B M N A O Q C D Kéo dài + Do + cắt nhau tại điểm P thì tam giác vuông tại là đường trung bình của tam giác nên là đường trung bình của tam giác nên Chứng minh tương tự ta cũng có: Hay các điểm . . Mặt khác . Suy ra là hình chữ nhật. thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm Ví dụ 3.Cho tam giác cân tại là trọng tâm của tam giác nội tiếp đường tròn . Gọi tròn ngoại tiếp tam giác . của hai đường chéo . Gọi là giao điểm của là trung điểm của và . Xác định tâm đường . Giải: A P G Q N I B Vì tam giác của .Gọi cân tại là giao điểm của . Gọi Mặt khác ta có vậy tam giác . K O nên tâm C của vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực và Dưng các đường trung tuyến suy ra M của tam giác là giao điểm của và cắt nhau tại trọng tâm thì .Do là trọng tâm của tam giác . suy ra vuông tại hay là trực tâm của tam giác . Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác . Như là trung điểm của Ví dụ 4. Cho hình thang vuông vuông góc của có . Gọi là hình chiếu lên là trung điểm của . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: A D H O E M N C B Gọi là trung điểm của khác thì là trực Do tâm nên hay tam giác điểm là đường trung bình của tam giác của vuông tại của tam giác suy ra suy , mặt ra là hình bình hành suy ra . . Từ đó ta có: nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác là trung . Ta có . Bài toán tương tự cho học sinh thử sức. Cho hình chữ nhật . Chứng minh Gợi ý: , kẻ điểm . Trên ta lấy các điểm sao cho nằm trên một đường tròn. , hãy chứng minh Ví dụ 5 .Cho lục giác đều . Chứng minh rằng các điểm Giải: vuông góc với tâm . Gọi là trung điểm của nằm trên một đường tròn. . cắt tại B C K1 J M H1 H I A N E D O D K O N F B A E Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Do là lục giác đều nên nằm trên đường tròn đường kính . Vì tam giác góc nên điểm cách đều suy ra là phân giác trong của . Kẻ (Do là đường trung bình của tam giác Kẻ (Do Do suy ra với cách đều . Vậy 5 điểm hay là phân giác ngoài của cùng nằm trên một đường tròn đường kính Ví dụ 6. Cho hình vuông sao cho ) . Gọi là trung điểm . Chứng minh 4 điểm . là điểm thuộc đường chéo nằm trên cùng một đường tròn. Giải: Ta thấy tứ giác có nên để chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh Cách 1: Kẻ đường thẳng qua song song với và cắt tại . Xét hai tam giác vuông từ đó suy ra Hay tam giác do đó vuông tại . Suy ra 4 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính Cách 2: Gọi là trung điểm của bình hành nên suy ra với là giao điểm của hai đường chéo. Dễ thấy . Mặt khác do . là hình là trực tâm của tam giác M E B C I N K A F Ví dụ 7. Trong tam giác D gọi lần lượt là trung điểm của lần lượt là các chân đường cao hạ từ đỉnh điểm của . Khi đó . đến các cạnh đối diện. điểm là trung cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn Ơ le của tam giác Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: A A2 C1 M B1 H P Q I B2 B A1 nhật nên điểm C N a). Thật vậy ta có chữ nhật, tương tự ta có C2 mà , suy ra là hình là hình chữ cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của các đường chéo của 3 hình chữ nhật trên. Từ đó ta suy ra tâm đường tròn Ơ le là trung điểm của Ví dụ 8. Cho tam giác nội tiếp đường tròn là đường kính của . là trung điểm của lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm là trực tâm của tam giác. Gọi lên . Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: I A J H X K B E O Y C Z M D Phân tích: là trung điểm cũng là trung điểm của lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên (Bài toán quen thuộc). kết hợp tính chất điểm lần làm ta liên tưởng đến đường tròn Ơ le của một tam giác: Từ những cơ sở đó ta có lời giải như sau: + Giả sử cắt Ta chứng dễ đường chéo tại minh tại , là trung điểm của được là cắt nhau tại trung điểm trực tâm của tam giác góc cắt nên hình . bình (chú ý ra suy ra và Theo bài toán ở ví dụ tại , đường tròn đường kính Ví dụ 9. Cho tam giác Chứng minh cácđiểm là + Mặt khác . Gọi có trực tâm hay và , như vậy ta có thuộc đường tròn đường kính là đường tròn Ơ le của tam giác đều cùng nằm trên đường tròn đường kính nằm giữa hai (cùng phụ với ). Từ đó suy ra . Từ đó suy ra và suy của mỗi đường. Vì là hai trung tuyến tương ứng của tam giác có: hành . Từ đó ta . Đó là điều phải chứng minh. . Lấy điểm thuộc tia lần lượt là hình chiếu vuông góc của cùng thuộc một đường tròn. sao cho lên . . Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Giải: A D E H K C B Giả sử cắt tại . Ta có do cùng vuông góc với đồng suy ra ( góc vị) Tương tự ta cũng có . kết hợp với giả thiết . Mặt khác ta có đường tròn đường kính tại của nên . Dễ thấy Ví dụ 10. Cho tam giác giác N M . hay nên cácđiểm là điểm bất kỳ . Gọi cùng thuộc một đường tròn. cắt đường tròn ngoại tiếp tam là các điểm đối xứng với . Chứng minh rằng: thuộc đường tròn và trực tâm qua trung điểm của tam giác cùng thuộc một đường tròn. Giải: A C2 B2 C3 I O A4 H P C1 G K là trọng tròn Ơ le thì . Theo giả thiết tâm thuộc đoạn B1 B4 A2 C4 C A3 B + Gọi B3 A1 của tam và là trung điểm của lần lượt là trung điểm của giác ,theo bài . Gọi , vậy toán quen thuộc về đường lần lượt là trung điểm của là trọng tâm của tam giác . Vì và . Gọi là trọng tâm của tam giác nên . Gọi là trung điểm của vì thuộc đường tròn tâm + Gọi là điểm thuộc tia đối sao cho . Từ (2) và (3) ta dễ thấy . Tương tự ta có là đường kính dây cung hay của (2) (3). Từ (1) và (3) suy ra và . Từ đó suy ra hay và . Hay thuộc đường tròn tâm bán kính ta có điều phái chứng minh. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1.Khi một đường thẳng có hai điểm chung với đường tròn ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Khi đó ta có những kết quả quan trọng sau: O A O H M B + M A B H . Theo định lý Pitago ta có: khác ta cũng có: Mặt nên suy ra + Nếu nằm ngoài đoạn trong đoạn thì + Nếu thì nằm Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: 2. Khi một đường thẳng xúc với đường tròn, hay chỉ có một điểm chung với đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn . Điểm , ta nói đường thẳng tiếp gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn Như vậy nếu là tiếp tuyến của thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm Ta có Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm + Tia kẻ từ điểm đó đến tâm là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến +Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tại trung điểm của đoạn thẳng đó. A O M Δ H 3. Khi một đường thẳng tròn H O B và đường tròn không có điểm chung ta nói đường thẳng và đường không giao nhau. Khi đó O Δ H 4. Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp có tâm là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác 5. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc và góc Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp. A P M D F B O O B C N E Δ A C Đường tròn bàng tiếp trong góc A Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Ví dụ 1. Cho hình thang vuông . Chứng minh có là trung điểm của là tiếp tuyến của đường tròn đường kính và góc . Giải: A C H O E Kéo dài D B cắt tại vì suy ra . Xét tam giác và ta có chung . Suy ra thì tròn hay tam giác mà . Do đó hay là tiếp tuyến của đường tròn đường kính Ví dụ 2. Cho hình vuông có cạnh bằng sao cho chu vi tam giác bằng . Gọi Giải: M B H N D C E . Kẻ thuộc đường . là hai điểm trên các cạnh . Chứng minh đường thẳng đường tròn cố định. A cân tại luôn tiếp xúc với