Chuyên đề ôn thi HSG hình học Toán 9: ĐƯỜNG TRÒN – DÂY CUNG – TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Gửi bởi: Nguyễn Minh Lệ 5 tháng 8 2021 lúc 16:02:11 | Được cập nhật: 4 giờ trước (12:57:43) | IP: 14.245.250.39 Kiểu file: DOC | Lượt xem: 1258 | Lượt Download: 92 | File size: 1.23392 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Đề cương ôn thi học kì 2 Toán 9 năm 2021-2022
- Chuyên đề ôn thi HSG Toán 9: Phương trình nghiệm nguyên
- Các bài toán hay tự luyện cho kì thi tuyển sinh vào 10
- Đề tham khảo ôn tập vào 10
- Đề tham khảo ôn tập tuyển sinh vào 10
- Các bài toán hay tự ôn vào 10
- 280 bài toán nâng cao ôn thi HSG Toán 9
- Chuyên đề ôn thi HSG hình học Toán 9: ĐƯỜNG TRÒN – DÂY CUNG – TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
- Các bài toán tiêu biểu ôn thi HSG Toán 9
- Các bài tập hình học hay lớp 9
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 2.ĐƯỜNG TRÒN – DÂY CUNG – TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
CHỦ ĐỀ 1: SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo
nhóm 0988166193 nhé
Định nghĩa: Đường tròn tâm
hiệu là
bán kính
là hình gồm các điểm cách điểm
một khoảng
kí
hay
+ Đường tròn đi qua các điểm
gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác
gọi là đường tròn nội tiếp đa giác
đó.
Những tính chất đặc biệt cần nhớ:
+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp
+ Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.
+ Trong tam giác thường:
Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó
Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó
PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm
các điểm
cách đều điểm
Ví dụ 1. Cho tam giác đều
cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh
cho trước.
có cạnh bằng
đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm
.
là các
cùng thuộc một đường
tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Giải:
Vì tam giác
đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao . Suy ra
vuông góc với
.
Từ đó ta có các tam giác
Với
A
là tam giác vuông
là cạnh huyền, suy ra
Hay: Các điểm
Trung điểm
N
P
cùng thuộc đường tròn
Đường kính
, tâm đường tròn là
của
Ví dụ 2.Cho tứ giác
B
có
. Chứng minh 4 điểm
đó .
lần lượt
Gọi
M
C
lần lượt là trung điểm của
cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn
Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo
nhóm 0988166193 nhé
Giải:
T
B
M
N
A
O
Q
C
D
Kéo dài
+ Do
+
cắt nhau tại điểm
P
thì tam giác
vuông tại
là đường trung bình của tam giác
nên
là đường trung bình của tam giác
nên
Chứng minh tương tự ta cũng có:
Hay các điểm
.
. Mặt khác
. Suy ra
là hình chữ nhật.
thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm
Ví dụ 3.Cho tam giác
cân tại
là trọng tâm của tam giác
nội tiếp đường tròn
. Gọi
tròn ngoại tiếp tam giác
.
của hai đường chéo
. Gọi
là giao điểm của
là trung điểm của
và
. Xác định tâm đường
.
Giải:
A
P
G
Q
N
I
B
Vì tam giác
của
.Gọi
cân tại
là giao điểm của
. Gọi
Mặt khác ta có
vậy tam giác
.
K
O
nên tâm
C
của vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực
và
Dưng các đường trung tuyến
suy ra
M
của tam giác
là giao điểm của
và
cắt nhau tại trọng tâm
thì
.Do
là trọng tâm của tam giác
.
suy ra
vuông tại
hay
là trực tâm của tam giác
. Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác
. Như
là trung điểm
của
Ví dụ 4. Cho hình thang vuông
vuông góc của
có
.
Gọi
là hình chiếu
lên
là trung điểm của
. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo
nhóm 0988166193 nhé
Giải:
A
D
H
O
E
M
N
C
B
Gọi
là trung điểm của
khác
thì
là
trực
Do
tâm
nên
hay tam giác
điểm
là đường trung bình của tam giác
của
vuông tại
của
tam
giác
suy ra
suy
, mặt
ra
là hình bình hành suy ra
.
. Từ đó ta có:
nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác
là trung
.
Ta có
.
Bài toán tương tự cho học sinh thử sức.
Cho hình chữ nhật
. Chứng minh
Gợi ý:
, kẻ
điểm
. Trên
ta lấy các điểm
sao cho
nằm trên một đường tròn.
, hãy chứng minh
Ví dụ 5 .Cho lục giác đều
. Chứng minh rằng các điểm
Giải:
vuông góc với
tâm
. Gọi
là trung điểm của
nằm trên một đường tròn.
.
cắt
tại
B
C
K1
J
M H1
H I
A
N
E
D
O
D
K
O
N
F
B
A
E
Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo
nhóm 0988166193 nhé
Do
là lục giác đều nên
nằm trên đường tròn đường kính
. Vì tam giác
góc
nên điểm
cách đều
suy ra
là phân giác trong của
.
Kẻ
(Do
là đường trung bình của tam giác
Kẻ
(Do
Do
suy ra
với
cách đều
. Vậy 5 điểm
hay
là phân giác ngoài của
cùng nằm trên một đường tròn đường kính
Ví dụ 6. Cho hình vuông
sao cho
)
. Gọi
là trung điểm
. Chứng minh 4 điểm
.
là điểm thuộc đường chéo
nằm trên cùng một đường tròn.
Giải:
Ta thấy tứ giác
có
nên để chứng minh 4 điểm
cùng nằm trên một
đường tròn ta sẽ chứng minh
Cách 1: Kẻ đường thẳng qua
song song với
và
cắt
tại
. Xét hai tam giác vuông
từ đó suy ra
Hay tam giác
do đó
vuông tại
. Suy ra 4 điểm
cùng nằm trên đường tròn đường kính
Cách 2: Gọi
là trung điểm của
bình hành nên suy ra
với
là giao điểm của hai đường chéo. Dễ thấy
. Mặt khác do
.
là hình
là trực tâm của tam giác
M
E
B
C
I
N
K
A
F
Ví dụ 7. Trong tam giác
D
gọi
lần lượt là trung điểm của
lần lượt là các chân đường cao hạ từ đỉnh
điểm của
. Khi đó
.
đến các cạnh đối diện.
điểm
là trung
cùng nằm trên một đường
tròn gọi là đường tròn Ơ le của tam giác
Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo
nhóm 0988166193 nhé
Giải:
A
A2
C1
M
B1
H
P
Q
I
B2
B
A1
nhật nên
điểm
C
N
a). Thật vậy ta có
chữ nhật, tương tự ta có
C2
mà
,
suy ra
là hình
là hình chữ
cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm
của các đường chéo của 3 hình chữ nhật trên. Từ đó ta suy ra tâm đường tròn Ơ le là trung điểm
của
Ví dụ 8. Cho tam giác
nội tiếp đường tròn
là đường kính của
.
là trung điểm của
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
là trực tâm của tam giác. Gọi
lên
. Chứng minh 4 điểm
cùng thuộc một đường tròn
Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo
nhóm 0988166193 nhé
Giải:
I
A
J
H
X
K
B
E
O
Y
C
Z
M
D
Phân tích:
là trung điểm
cũng là trung điểm của
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
lên
(Bài toán quen thuộc).
kết hợp tính chất điểm
lần
làm ta liên
tưởng đến đường tròn Ơ le của một tam giác: Từ những cơ sở đó ta có lời giải như sau:
+ Giả sử
cắt
Ta
chứng
dễ
đường chéo
tại
minh
tại
, là trung điểm của
được
là
cắt nhau tại trung điểm
trực tâm của tam giác
góc
cắt
nên
hình
.
bình
(chú ý
ra
suy ra
và
Theo bài toán ở ví dụ
tại
, đường tròn đường kính
Ví dụ 9. Cho tam giác
Chứng minh cácđiểm
là
+ Mặt khác
. Gọi
có trực tâm
hay
và
, như vậy ta có
thuộc đường tròn đường kính
là đường tròn Ơ le của tam giác
đều cùng nằm trên đường tròn đường kính
nằm giữa
hai
(cùng phụ với
). Từ đó suy ra
. Từ đó suy ra
và
suy
của mỗi đường. Vì
là hai trung tuyến tương ứng của tam giác
có:
hành
. Từ đó ta
. Đó là điều phải chứng minh.
. Lấy điểm
thuộc tia
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
cùng thuộc một đường tròn.
sao cho
lên
.
.
Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo
nhóm 0988166193 nhé
Giải:
A
D
E
H
K
C
B
Giả sử
cắt
tại
. Ta có
do cùng vuông góc với
đồng
suy ra
( góc
vị)
Tương tự ta cũng có
.
kết hợp với giả thiết
. Mặt khác ta có
đường tròn đường kính
tại
của
nên
. Dễ thấy
Ví dụ 10. Cho tam giác
giác
N
M
.
hay
nên cácđiểm
là điểm bất kỳ
. Gọi
cùng thuộc một đường tròn.
cắt đường tròn ngoại tiếp tam
là các điểm đối xứng với
. Chứng minh rằng:
thuộc đường tròn
và trực tâm
qua trung điểm
của tam giác
cùng thuộc
một đường tròn.
Giải:
A
C2
B2
C3
I
O
A4
H
P
C1
G
K
là trọng
tròn Ơ le thì
. Theo giả thiết
tâm
thuộc đoạn
B1
B4
A2
C4
C
A3
B
+ Gọi
B3
A1
của tam
và
là trung điểm của
lần lượt là trung điểm của
giác
,theo bài
. Gọi
, vậy
toán
quen thuộc về
đường
lần lượt là trung điểm của
là trọng tâm của tam giác
. Vì
và
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
nên
.
Gọi
là
trung
điểm
của
vì
thuộc đường tròn tâm
+ Gọi
là điểm thuộc tia đối
sao cho
. Từ (2) và (3) ta dễ thấy
. Tương tự ta có
là
đường kính
dây
cung
hay
của
(2)
(3). Từ (1) và (3) suy ra
và
. Từ đó suy ra
hay
và
. Hay
thuộc đường tròn tâm
bán kính
ta có điều phái chứng minh.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1.Khi một đường thẳng có hai điểm chung
với đường tròn
ta nói đường thẳng cắt đường
tròn tại hai điểm phân biệt. Khi đó ta có những kết quả quan trọng sau:
O
A
O
H
M
B
+
M
A
B
H
. Theo định lý Pitago ta có:
khác ta cũng có:
Mặt
nên suy
ra
+ Nếu
nằm ngoài đoạn
trong đoạn
thì
+ Nếu
thì
nằm
Mối liên hệ khoảng cách và
dây cung:
2. Khi một đường thẳng
xúc với đường tròn, hay
chỉ có một điểm chung
với đường tròn
là tiếp tuyến của đường tròn
. Điểm
, ta nói đường thẳng tiếp
gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến
với đường tròn
Như vậy nếu
là tiếp tuyến của
thì
vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
Ta có
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo
nhóm 0988166193 nhé
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
+ Tia kẻ từ điểm đó đến tâm
là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến
+Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tại trung điểm của
đoạn thẳng đó.
A
O
M
Δ
H
3. Khi một đường thẳng
tròn
H
O
B
và đường tròn
không có điểm chung ta nói đường thẳng
và đường
không giao nhau. Khi đó
O
Δ
H
4. Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp có tâm là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác
5. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh kia gọi là đường tròn
bàng tiếp tam giác
Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc
là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc
và góc
Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp.
A
P
M
D
F
B
O
O
B
C
N E
Δ
A
C
Đường tròn bàng tiếp trong góc A
Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo
nhóm 0988166193 nhé
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Ví dụ 1. Cho hình thang vuông
. Chứng minh
có
là trung điểm của
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
và góc
.
Giải:
A
C
H
O
E
Kéo dài
D
B
cắt
tại
vì
suy ra
. Xét tam giác
và
ta có
chung
. Suy ra
thì
tròn
hay tam giác
mà
. Do đó
hay
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Ví dụ 2. Cho hình vuông
có cạnh bằng
sao cho chu vi tam giác
bằng
. Gọi
Giải:
M
B
H
N
D
C
E
. Kẻ
thuộc đường
.
là hai điểm trên các cạnh
. Chứng minh đường thẳng
đường tròn cố định.
A
cân tại
luôn tiếp xúc với