Chuyên đề ôn thi HSG Toán 9: Phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN a. Ph©n tÝch thµnh tÝch. 1, Tìm nghiệm nguyên của các phương trình: ......... ........ . ............ với p là một số nguyên tố. 2, a. Tìm x, y thuộc N: b. Tìm x, y, z thuộc N* thỏa mãn 3, Giải các phương trình sau trªn Z b. c. d. 1 Phương trình nghiệm nguyên 4, Tìm các số nguyên x để là số chính phương 5, Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho tổng của mỗi số với số 1 thì chia hết cho số kia . 6, Tìm n N sao cho là một số chính phương. §Æt Thö n 8 thÊy A kh«ng chÝnh ph¬ng (2305; 2306; 2308; 2312; 2320; 2336; 2368; 2442; 2560). Víi n > 8 ta cã A= Do 28 chÝnh ph¬ng nªn ®Ó A chÝnh ph¬ng th× 2n-8 + 9 = m2 víi m N* víi a,b N vµ a > b Suy ra 2b lµ íc cña 6, hay 2b {1; 2; 3; 6} b {0; 1} (chØ nhËn 1;2; cßn 3;6 lo¹i) thay vµo (2) ta cã 2 a {7; 8} suy ra a =3 (chØ nhËn 8, øng víi b=1; cßn 7 lo¹i ) VËy b =1; a = 3 suy ra n = a + b + 8 = 12 Víi n =12 ta cã tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n. 7, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: §Æt 2 Phương trình nghiệm nguyên Gi¶i c¸c kh¶ n¨ng cã 6 hÖ. *) ; *) *) *) *) *) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh ®Æt cho z. *) z = -16 *) z = 9 *) z = 0 *) z = -7 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 10 nghiÖm. 8, Tìm x, y, z N* để: Do VT ( §æi dÊu 1- y) v× nÕu v« lÝ (chó ý: x;y;z ) Khi y =1 ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh Ph¬ng tr×nh ®· cho cã v« sè nghiÖm (n; 1; n); (n; 1; n-1) víi n 9, Tìm T×m sao cho sao cho §k: x, y lµ c¸c ch÷ sè ,x 0 v× x2+y2+2xy+1 >0 3 N* Phương trình nghiệm nguyên Cã 17 sè tho¶ m·n yªu cÇu. 10, Tìm x;y nguyên của phương trình: lµ íc cña 22 Hay , (C¸c íc bÞ lo¹i v× 2x+1 lµ lÎ)… Thay vµo ph¬ng tr×nh (*) cã y t¬ng øng lµ VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm (x; y) = (0; 19); (-1; -26); (5; 4); (-6; -11). 11.T×m n nguyªn ®Ó c¸c nghiÖm cña pt : x2- (4 + n)x + 2n = 0 còng nguyªn §Æt n2+16 = m2; §Ó ý : (n + m) +(n-m)=2n lµ sè ch½n, nªn kh¶ n¨ng-1.16 bÞ lo¹i( v× tæng cña 2 thõa cè nµy =15(lÎ), chØ cßn ph¶i xÐt 6 kh¶ n¨ng cã tõ 2.8 vµ -4.4. KÕt qu¶ cho ë b¶ng sau: n+m n- m n 8 -2 3 -8 2 -3 2 -8 -3 -2 8 3 4 -4 0 -4 4 0 Ta kiÓm tra l¹i cho 3 kh¶ n¨ng cã ®îc cña n=-3;0;3 ®Ó lÊy ngiÖm (NÕu phï hîp) *) n = 3 => x2-7x+6 = 0 =>x =1;6 , c¶ 2 nghiÖm ®Òu tho¶ m·n => n = 3 tho¶ m·n. *) n =-3 => x2-x-6 = 0 =>x = -2;4 , c¶ 2 nghiÖm ®Òu tho¶ m·n => n = -3 tho¶ m·n. 4 Phương trình nghiệm nguyên *) n = 0 => x - 4x = 0 =>x = 0;4 , c¶ 2 nghiÖm ®Òu tho¶ m·n => n = 0 tho¶ m·n. VËy cã 3 gi¸ trÞ tho¶ m·n : n = -3; 0; 3 2 12. T×m n nguyªn ®Ó c¸c nghiÖm cña pt : x2 - (4 + n)x + 4n -25 = 0 còng nguyªn. §Æt (n-4)2+100 = k2; §Ó ý : (n-4+k) +(n-4-k)=2n lµ sè ch½n, nªn kh¶ n¨ng-1.100 bÞ lo¹i( v× tæng cña 2 thõa cè nµy =99 (lÎ), chØ cßn ph¶i xÐt 6 kh¶ n¨ng cã tõ -2.50 vµ - 10.10. KÕt qu¶ cho ë b¶ng sau: n4+k n- 4 k n 50 -50 -2 28 2 2 -20 -2 - 50 -20 50 28 10 - 10 - 10 10 4 4 Ta kiÓm tra l¹i cho 3 kh¶ n¨ng cã ®îc cña n= - 20; 4; 28 ®Ó lÊy ngiÖm (NÕu phï hîp) *) n = 28 => x2-32x + 87 = 0 =>x =3;29 , c¶ 2 nghiÖm ®Òu tho¶ m·n => n = 28 tho¶ m·n. *) n = - 20=>x2+16x-105 = 0 =>x =-21;5, c¶ 2 nghiÖm tho¶ m·n => n = -20 tho¶ m·n. *) n = 4 => x2- 8x - 9 = 0 =>x = -1;9 , c¶ 2 nghiÖm ®Òu tho¶ m·n => n = 4 tho¶ m·n. VËy cã 3 gi¸ trÞ tho¶ m·n : n = - 20; 4; 28 13. T×m sè p nguyªn tè,biÕt pt: x2 + px - 12p = 0 cã 2 nghiÖm ®Òu nguyªn. lµ sè chÝnh ph¬ng Do p lµ sè nguyªn tè =>®k cÇn tiÕp theo lµ: Víi p = 2 c¶ 2 nghiÖm ®Òu nguyªn,p=2 TM§K. Víi p = 3 , kh«ng chÝnh ph¬ng nªn p = 3 bÞ lo¹i. VËy p = 2 lµ sè nguyªn tè cÇn t×m. 5 Phương trình nghiệm nguyên 14.T×m sao cho c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2-m(n+1)x + m + n +1 = 0 còng lµ sè tù nhiªn. Gäi lµ c¸c nghiÖm cña pt,khi ®ã ,theo Viet ta cã: (*) Do x; m; n ®Òu lµ sè tù nhiªn,nªn ,tõ pt (2) cña hÖ Viet ta cã : KÕt hîp ®k ®ã víi pt (1)=> m > 0 => vÕ tr¸i cña (*) lµ tæng cña 2 sè kh«ng ©m V× vËy VP = 2 chØ cã thÓ cã c¸c c¸ch viÕt lµ: 2 = 0 + 2 = 2 + 0 = 1+1 Gi¶i 3 kh¶ n¨ng nµy. Kh¶ n¨ng c) nµy ta t×m gi¸ trÞ cô thÓ cña m;n trong tõng trêng hîp,víi chó ý pt cã nghiÖm lµ 2 hoÆc 3. *) n = 0. Do x=2 lµ nghiÖm , nªn: 4 - 2m + m +1 = 0 => m = 5, =>(m;n)= (5;0) Do x=3 lµ nghiÖm , nªn: 9 - 3m + m + 1 = 0 =>m = 5, =>(m;n)= (5;0) *) m=1 . Do x=2 lµ nghiÖm , nªn: 4 -2(n+1) + 1 + n + 1 = 0 =>n = 4, =>(m;n)= (1;4) Do x=3 lµ nghiÖm , nªn: 9-3(n+1) +1 + n + 1= 0 => n = 4, =>(m;n)= (1;4) VËy c¸c cÆp (m;n) cã ®îc lµ (m;n)= (3;1);(2;2),(2;1),(1;4),(5;0). 15, Tìm x, y Z thỏa mãn các phương trình: 6 Phương trình nghiệm nguyên Nhãm theo x ( xem y lµ tham sè). +Thªm bít vµo 2 vÕ víi cïng mét sè m (t¹o cho cña vÕ tr¸i lµ chÝnh ph¬ng) (*) + Chän m cho vÕ tr¸i chÝnh ph¬ng ( ®¶m b¶o §k cÇn cho ). chän m =2 Khi ®ã = (y-1)2 +T×m nghiÖm cña VT: VT = 0 (*) Gi¶i 4 hÖ chän nghiÖm nguyªn ( v× chÝnh ph¬ng chØ lµ §k cÇn), thö l¹i. *) ; *) *) ; *) Ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm : ( -18; 17); ( 30; -15); (12; 15); (-36; 17). Bài 16. Giải phương trình nghiêm nguyên. = 9(3y - 1)2+ 36.(10y2 + 5y - m) = = = chän m = 0 VT = 0 khi Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh Mµ ¦(9)= { 1; 3; 9} Gi¶i 6 hÖ cã thÓ, thu ®îc nghiÖm, chän nghiÖm phï hîp *) ; *) *) (lo¹i); (lo¹i); *) (Lo¹i); Bài17. Tìm x, y *) *) Z thỏa mãn các phương trình: a. Cách 1. 7 (Lo¹i); Phương trình nghiệm nguyên = = Do ’ chÝnh ph¬ng vµ c¸c gi¸ trÞ cÇn nhËn cña x, y thuéc Z. Thö qua c¸c gi¸ trÞ cña ’th× gi¸ trÞ cña ’ phï hîp lµ: ’= 222 th× cÆp (x; y) = (1; 8) ’= 142 th× cÆp (x; y) = (0; 0) ’ = 42 th× cÆp (x; y) = (-1; 10) (C¸c trêng hîp cßn l¹i : khi thay vµo ®Ó t×m y, ta ®Òu cã kh«ng chÝnh ph¬ng ,hoÆc y kh«ng mang gi¸ trÞ nguyªn, nªn bÞ lo¹i ) VÝ dô *) *) kh«ng chÝnh ph¬ng=> lo¹i ……………………….. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm lµ : (1; 8); (0; 0); (-1; 10). Cách 2 a) 12x2+6xy+3y2= 28(x+y) 9x2= -3(x+y)2+28(x+y) = -3 ; V× x2 lµ sè chÝnh ph¬ng nªn: . §Õn ®©y ta thay c¸c gi¸ trÞ cña x vµo ph¬ng tr×nh ,t×m y,chän cÆp nghiÖm nguyªn (nÕu cã). *) x=0 => 3y2 = 28y => y=0 => (x;y) = (0;0) , (Gi¸ trÞ y=28/3 bÞ lo¹i) *) x=1 =>12+6y+3y2 =28+28y=>…y=8 => (x;y)=(1;8), (Gi¸ trÞ y=-2/3 bÞ lo¹i) *) x= -1=>12-6y+3y2=-28+28y=>…y=10=>(x;y)=(-1;10), (Gi¸ trÞ y=4/3 bÞ lo¹i) *) x=2;x=-2 kh«ng cho y nguyªn. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm lµ : (1; 8); (0; 0); (-1; 10). b. 8 Phương trình nghiệm nguyên = = Thö c¸c kh¶ n¨ng chÝnh ph¬ng vµ y Z ta nhËn ®îc c¸c kÕt qu¶ hîp lý lµ: = 112 th× ta t×m ®îc x = 5; y = 4 =72 th× ta t×m ®îc x = 0; y = 0 = 22 th× ta t×m ®îc x = 4; y = 5 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghÞªm (x;y)lµ : (0; 0); (4; 5); (5; 4). b. Ph©n tÝch thµnh tæng c¸c luü thõa 1, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: VËy ph¬ng tr×nh cã 6 nghiÖm . 2, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: . C¸c kh¶ n¨ng cã thÓ cho (z - 1)2 lµ 02; 12; 22. Tõ ®ã cho 2 côm cßn l¹i. *) (z - 1)2 = 0 VËy khi z = 1 ta cã 8 nghiÖm (x; y; z) nh sau: (4; 2; 1); (0; 2; 1); (2; 0; 1); (-2; 0; 1); (4; 3; 1); (2; 3; 1); (0; -1; 1); (-2; -1; 1 ). *) (z - 1)2 = 12 9 Phương trình nghiệm nguyên 2 *) (z - 1) = 2 2 VËy ph¬ng tr×nh cã 24 nghiÖm. 3, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: Do bÞ lo¹i xÐt 3 kh¶ n¨ng: nghiÖm nµy bÞ lo¹i VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm. 4, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a. *) *) *) 4)(-18; -4). suy ra nghiÖm lµ (15; 5); (-15; -5). suy ra nghiÖm lµ (10; 0); (-10; 0) gi¶i ra ta ®îc nghiÖm (18; 4); (6; 4); (-6; - *) gi¶i ra ta ®îc nghiÖm (17; 3); (1; 3); (-1; -3); (-17; -3) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 12 nghiÖm. Gi¶i 4 kh¶ n¨ng trªn th× ph.t cã 6 nghiÖm: (3; 0); (-2; 0); (2; 2);(-1; 2); (2; -2); (-1; -2 5, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (*) = 02+12+52 Víi (C¸ch ph©n tÝch 26 = 02+12+52 bÞ lo¹i , do x= 0 10 ) Phương trình nghiệm nguyên vËy ph¬ng tr×nh cã 1nghiÖm (x , y, z) = (1; (*) 2; 1) 6, Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: (*) Gi¶i 2 kh¶ n¨ng *) *) VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: (0; 5); (8; 0). 7, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Tx®: *) *) VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm: (-2; -2); (-2; 2);(0;2);(0;-2). 8, Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: a. b. 1. VËy ph¬ng tr×nh cã 6 nghiÖm . 2. C¸c kh¶ n¨ng cã thÓ cho (z - 1)2 lµ 02; 12; 22. Tõ ®ã cho 2 côm cßn l¹i. 11 Phương trình nghiệm nguyên *) (z - 1)2 = 0 VËy khi z=1 ta cã 8 nghiÖm (x; y; z) nh sau: (4; 2; 1); (0; 2; 1); (2; 0; 1); (-2; 0; 1); (4; 3; 1); (2; 3; 1); (0; -1; 1); (-2; -1; 1 ). *) (z - 1)2 = 12 *) (z - 1)2 = 22 VËy ph¬ng tr×nh cã24 nghiÖm. 3. Do bÞ lo¹i xÐt 3 kh¶ n¨ng: nghiÖm nµy bÞ lo¹i VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm. 4. a. *) *) *) 4)(-18; -4). suy ra nghiÖm lµ (15; 5); (-15; -5). suy ra nghiÖm lµ (10; 0); (-10; 0) gi¶i ra ta ®îc nghiÖm (18; 4); (6; 4); (-6; - *) gi¶i ra ta ®îc nghiÖm (17; 3); (1; 3); (-1; -3); (-17; -3) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 12 nghiÖm. b. Gi¶i 4 kh¶ n¨ng trªn th× ph.t cã 6 nghiÖm: (3; 0); (-2; 0); (2; 2);(-1; 2); (2; -2); (-1; -2). 5. T×m trong Z+ : (*) =02+12+52 Víi 12 Phương trình nghiệm nguyên (C¸ch ph©n tÝch 26 = 02+12+52 bÞ lo¹i ,do x= 0 ) vËy ph¬ng tr×nh cã 1nghiÖm (x , y, z) =(1; (*) 2; 1) 6. T×m trong N: Gi¶i 2 kh¶ n¨ng (*) *) *) VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: (0; 5); (8; 0). 7. Tx®: HÖ v« nghiÖm (do y2 ph¶i lµ sè chÝnh *) ph¬ng). *) VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm: (-2; -2); (-2; 2);(0;2);(0;-2). 8. T×m trong N: a. Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 3 sè kh«ng ©m: Ta cã: VT . DÊu = xÈy ra khi vµ chØ khi Gi¶i (*)( chØ lÊy 1 kh¶ n¨ng do x - y < x + y vµ x;y lµ sè tù nhiªn) sau ®ã t×m z: (*) Do VËy ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm lµ: (3; 2; 9). b. (*) NhËn xÐt: VÕ tr¸i lµ b×nh ph¬ng cña tæng, vÕ ph¶i cã hiÖn tîng lµ tæng cña c¸c b×nh 13 Phương trình nghiệm nguyên ph¬ng. (*) Theo Bunhia cã: VT = DÊu = xÈy ra khi vµ chØ khi: Do 2x - y < 2x + y VËy ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm (2; 3) 14