Đề thi HSG môn toán có đáp án Tỉnh Lâm Thao

PHÒNG GD& ĐT LÂM THAO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 02 trang)

I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng
Câu 1.Giá trị x thỏa mãn :
1
A. x  25
x
2
B.

là :
1
x  4
C. 2

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.-3
B. 3
Câu 3. Cho
A.2017

B.2018

với

là :

C.-4

D.4

thì giá trị biểu thức
C.2019

Câu 4 . Góc tạo bởi đường thẳng
0
/
0
/
A. 146 19
B. 33 42

1
x  25
D. 2

là
D. 2020

và trục Ox là:
0

C. 146 30

/

0
/
D. 33 69

Câu 5 . Trên mặt phẳng tọa độ Cho ba điểm
thì diện tích tam giác ABC là:
A. 20
B. 18
C. 17
D. 15
Câu 6. Điều kiện của m để 2 đường thẳng
và đường thẳng
song song là :
A. m  4
C. m 2 hoặc m  4
B. m 2; m  1
D. m 2; m  1
Câu 7 . Giá trị m để hệ phương trình :
A. m 2
B.

C.

có nghiệm duy nhất là
D. Giá trị khác

Câu 8. Cho hệ phương trình :
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn
A. m 2
B. m  2

C. m  4

D. m 4

Câu 9. Cho hệ phương trình
Hệ có nghiệm duy nhất
thì giá trị nhỏ nhất của
là:
A.-2
B. 20
C.16
D.18
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH kẻ HD AB, HE AC
thì AD.BD+AE.EC bằng:
2
2
2
2
A. DE
C. AH
D. 2AH
B. BC
Câu 11. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng
góc vuông đó trên cạnh huyền là:
A.

B.

C.

thì tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh

D.

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC =

. Khi đó tanB là :

A.
B.
C.
D.
Câu 13.. Cho tam giác đều có độ dài cạnh là a thì độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
đó là:
A.
B.
C.
D.
Câu 14. Cho đường tròn tâm O bán kính R=4cm dây AB=5cm trên dây AB lấy điểm C sao cho
AC=2cm kẻ CD vuông góc với đường kính AE tại D .Tính độ dài AD :
5
7
5
D. 1,5cm
cm
cm
cm
A. 3
B. 4
C. 4
Câu 15. Cho đường tròn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm. Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O
kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt Ax tại C thì độ dài OC là:
A. 20cm
B. 25cm
C. 30cm
D. 35cm
Câu 16. Nêú bạn An đi lên môt thang cuốn tốc độ là 1 bước trên giây thì bạn An sẽ đến đỉnh thang
trong 10 bước nêú bạn An tăng vận tốc lên 2 bước trên giây thì sẽ lên tới đỉnh thang trong 16 bước .
Hỏi thang cuốn có bao nhiêu bước.
A. 30
B. 40
C. 50
D.
60
II. PHẦN TỰ LUÂN( 12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh :
b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức
Câu 2 (3,5 điểm)

là một số chính phương

a)Giải phương trình:
b) Giải hệ phương trình :
Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến
Ax và By với nửa đường tròn , điểm M thuộc nửa đường tròn (sao cho tia Ax, By và nửa đường tròn
chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp
tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H.
a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH.
b) Vẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn (O) (BE và BD cùng nửa
mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường
thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC,

BC là ha, hb,,hc .Chứng minh rằng:
Câu 4 (1,5 điểm).
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

------HẾT------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Mỗi lựa chọn đúng 0,5 điểm Câu có 2 trở lên phải chọn đủ mới cho điểm
1.D

2.C

3.B

4.A

5.D

6.A

7.C

8.B

9.D

10.A,C

11.B

12.A

13.D

14.C

15.B

16.B

II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm )
Câu 1 (3,0 điểm)
2
3
3
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh :1  x  x  x  y
2
b) Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x  x  6 là một số chính

phương.
ĐÁP ÁN

ĐIỂM

b) (1,5 điểm)Ta có
2

2

1 3
11  19


x  x  1  x     0;5 x 2  11x  7 5  x   
0
2 4
10  20


2

0,5

x3   x 2  x  1 1  x  x 2  x 3  8  12 x  6 x 2  x 3    5 x 2  11x  7 
 x3  1  x  x 2  x 3   x  2 

3

0,5

3
2
3
vì x, y  Z mà y 1  x  x  x

Suy ra

 x 0
1  x  x 2  x 3  x  x  1 0  
 x  1
Voi x 0  y 1
Voi x  1  y 0

 x  1

Vay

3

0,5

 x; y    0;1 ;   1;0  

b) (1,5 điểm)
0,75

3

x 2  x  6 n2 ;(n, x  Z )  4 x 2  4 x  24 4n 2  4 x 2  4 x  1  4n 2  23

 2x 1 

2n   2 x  1  2n   23;2 x  1  2n  2 x  1  2n

2 x  1  2n

-1

-23

2 x  1  2n
4x  2

23
22
5

1
-22
-6

x
Vậy số nguyên x cần tìm là 5 hoặc –6
Câu 2 (3,5 điểm)
2
a) Giải phương trình: 2 x  5 x  5  5 x  1

0,75

 x 2 y 2  1 10 y 2

xy  x  1 7 y
b) Giải hệ phương trình : 
(I)
ĐÁP ÁN

1
x
5
a)( 1,5 điểm) ĐKXĐ
2 x 2  5 x  5  5 x  1  2  x 2  3x  2   x  1 
 2  x 2  3x  2  

 x  1

2





5x  1

x 1  5x  1



ĐIỂM

5 x  1 0

0,5

2

0

x 2  3x  2
1


 2  x  3x  2  
0   x 2  3 x  2   2 
 0
x  1  5x  1
x  1  5x  1 

2

0,5

1
1
do x   2 
0
5
x  1  5x  1
 x 1
x 2  3 x  2 0   x  1  x  2  0  
 x 2

0,5

S  1;2
b)( 2 điểm)
ta thấy y=0 không thoả mãn hệ (I) với y 0
2

 2 1

1
x
 x    2 10
 x  y 2 10


y
y
(I )  
 
x 1
 x  x  1 7


 x  y  y 7
y y

đặt

0,5

4

1

S x  y


P  x

y

0,5

 S 2  2 P 10


S

P

7
thay vào (II) ta được 

 P 7  S

 2
S

2
S

24

0


 S  6  S 4
 

P

13

 P 3

 t 1
1
 S 4
t 2  4t  3 0   t  1  t  3 0  

 t 3
Với  P 3 => x và y là 2 nghiệm của phương trình
 x 1
 x 1


* 1

1

3
y
 y  3

 x 3

* 1


1
y


 x 3

 y 1

0,5

 S  6
1

 P 13 suy ra x và y là 2 nghiệm của phương trình
2
t 2  6t  13 0   t  3  4 0 Vo nghiem
 1

 x; y    1;  ;  3;1 
 3 


0,5

Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp
tuyến Ax và By với nửa đường tròn , điểm M thuộc nửa đường tròn (sao cho tia Ax, By và nửa
đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba,
cắt các tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là
H.
a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH;
b) Vẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn (O) (BE và BD cùng
nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì
đường thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC,
(a  b  c) 2
4
2
2
2
h

h

h
a
b
c
AC, BC là ha, hb,,hc chứng minh rằng.

.

5

F

D

E

M
C
K
A

H

O

B

N
ĐÁP ÁN
a)( 2 điểm) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AC = CM, BD = DM.
Vì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta
KD BD
KD MD


có: KA AC  KA MC  MK // AC mà AC  AB  MK  AB

ĐIỂM

1,0

KH BK
KM DK
KD BK

(1);

(2);

(3);Tu (1)(2)(3) ta có :
AC
BC
AC
DA
AD
BC
Ta có
KH MK

 MK KH
AC AC

1,0

b)( 1 điểm )Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với

MB. Ta có BEF
= 90 .
Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g)
 AB = BF=2R  BF không đổi,
F thuộc tia By cố định  F cố định.
0

Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và
song song với MB luôn đi qua điểm cố định F.

0,5

0,5

c) ( 1 điểm)

6

D

c

ha

A

d

b
ha

c

ha
H

B

C

a

Qua A kẻ đường thẳng d//BC gọi D là đối xứng của B qua d thì BD 2ha , AD c

DC AD  AC c  b  DC 2  b  c 
Trong tam giác ACD ta có

2

0,5

0

dấu “=: xảy ra khi ABC A 60
mà trong tam giác vuông DBC

2

DC 2 BD 2  BC 2 4ha2  a 2  4ha2  b  c   a 2  b  c  a   b  c  a  ,(1)
2
2
4
h

a

c

b
b

c

a
,(2);4
h
 a  b  c   b  c  a  ,(3)




b
c
Tương tự

Từ (1);(2);(3) ta có:

4ha2  4hb2  4hc2  a  b  c   b  c  a  a  c  b  a  b  c   a  b  c 


 a  b  c

2

0,5

2

ha2  hb2  hc2

4

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2
 1 1 1
P 21 a 2  b2  c2   12  a  b  c   2017    
 a b c

ĐÁP ÁN

ĐIỂM
2

3  a 2  b2  c 2   a  b  c  ;

Ta có Theo BĐT Bunhiacôpky ta có
1 1 1
1 1 1
9
 a  b  c      9    
a b c a b c
 a b c
Mặt khác
Nên
2

P 19  a  b  c  

18153
8
8
2

 17849
19   a  b  c  


Q
a bc
a  b  c a  b  c  a  b  c


0,5

0,5

7

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có
2

P Q 19.3 3  a  b  c  .

8
8
17849
17849 18305
.

228 

a b c a b c
2
2
2


a b c  0

18305
2
Min(P) 
 a  b  c 2
 a b c 
2
3

8
2
 a  b  c  
a b c


0,5

...................................... HẾT .................................
Chú ý : - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25
- Nếu cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với từng phần trong hướng dẫn chấm

8