Đề thi HSG môn toán có đáp án Tỉnh Hải Phòng

GIÁO ĐÀO OỞ ẠH PHÒNGẢ(Đ thi 01 trang) KỲ THI CH SINH GI THÀNH PHỌ THẤ CS NĂM 201Ọ 201 7Đ THI MÔN: TOÁN Th gian: 150 phút (không kể th gianờ giao )ềNgày thi 12/4/2017Bài 1. (2,0 đi m)ểa) Cho 310 1)x6 5+ -=+ Tính giá tr ủ()20172P 12x 4x 55= .b) Cho bi th ứ2a 1Ma a+ -= +- 0, 1. nh ng giá tr nào thì bi th ứ6NM= nh giá tr nguyên?ậ ịBài 2. (2,0 đi m)ểa) Cho ph ng trình:ươ 2x 2mx 0- là tham số ). giá tr nào aớ ủm thì ph ng trình có hai nghi mươ 1x và 2x sao ch 2x 8+ ?b) Cho ph ng trình ươ3 22 2017x 2x 2xy 3x 0.y 3mì- =ïí+ +ïîTìm các giá tr ph ng trình có hai nghi phân bi ươ ệ()1 1x và()2 2x th mãn đi ki ệ()()1 1x 0+ .Bài 3. (2,0 đi m)ểa) Tìm các nguyên ng a, sao cho ươ2a chia cho ế2a 1- .b) Cho ba th a, b, ng. Ch ng minh ng: ươ ă()()()3 33 33 3a c1a b+ ³+ +.Bài 4. (3,0 đi m)ểCho ba đi A, B, nh trên ng th ng (đi gi đi mể ườ ểA và đi C). ng tròn tâm thay nh ng luôn đi qua đi và đi (đi mể ườ ểO không thu ng th ng d). AM và AN là các ti tuy ng tròn tâm Oộ ườ ườ(v và là các ti đi m). ng th ng BC MN đi K. ng th ng AOớ ườ ườ ẳc MN đi và ng tròn các đi và đi (P gi và Q).ắ ườ ữa) Ch ng minh đi nh khi ng tròn tâm thay i.ứ ườ ổb) là trung đi HQ, ng th ng vuông góc MD ngọ ườ ườth ng MP E. Ch ng minh là trung đi ME.ẳ ủBài 5. (1,0 đi m)ểCho 21 ph là các nguyên khác nhau th mãn ng 11ậ ủph kỳ ng 10 ph còn i. Bi các 101 và 102 thu pầ ậh A. Tìm các ph A.ợ ợ---------H t---------ế( Cán coi thi không gi thích gì thêmộ )H và tên thí sinh:ọ .............................................. báo danh:ố ..............................................Đ CHÍNH TH CỀ ỨCán coi thi 1:ộ ................................................. Cán coi thi 2:ộ .........................................S GIÁO ĐÀO OỞ ẠH PHÒNGẢ ĐÁP ÁN VÀ BI ĐI ỂĐ THI CH SINH GI THÀNH PHỀ ỐNăm 2016 2017ọMÔN: Toán (H ng ch 05 trang)ướ ồChú ý:- Thí sinh làm theo cách khác đúng thì cho đi đa.ế ố- ng đi bài thi: 10 đi .ổ ểBài Đáp án Đi mểBài 1(2 đi m)ể 1a) (1,0 đi m)ểTa có ()()33310 1) 1+ 0,25 26 1) 5+ 0,25332( 1) 1)( 1)( 1) 1x 215 5( 1) 5+ -+ -= =+ -+ -0,25Thay giá tr vào ta c:ị ượ()20172 2017P 12.2 4. 55 1= =0,251b) (1,0 đi m)ểV đi ki ệa 0; 1> thì: ()()()()()()()()a 1a 1Maa 1- ++= -- +()2a 1a 1Ma a++ += =0,25Khi đó()26 aN 0Ma 1= >+Ta th ớ0 0< >()()226 aa 2a 1Û <+ 0,25Do 2< <Để có giá trị nguyên thì 0,25 a1a 1=+ 0- ()2a )a 3a )é é= +- Ûê ê=- -ê êë ëtháa m· ntháa m· ậa 3.= 0,25Bài 2(2 đi m)ể 2a) (1,0 đi m)ểPhương trình: 2x 2mx 0- có hai nghiệm thì: ()2 2' 6D .Theo th Vi-ét ta có:ệ ứ1 221 2x 2mx 6+ =ìïí= -ïî0,25Ta có:()2 21 221 2x 64x 2x 64 (1)+ =Û =0,25Tr ng 1: ườ ợNếu1x và 2x cùng dấu thì:()()1 22m 6x 0m 0³ -ì³ Ûí- ³î6 2m 3- -éÛê³ë (*)Khi đó (1) ()221 2x 64 4m 64 4Û =± (thỏa mãn(*)). 0,25Tr ng 2: ườ ợNếu 1x và 2x trái dấu thì:()()21 2x 3< (**)Khi đó (1) ()()22 21 2x 4x 64 4m 64Û =m 16 10Û (không thỏa mãn điều kiện (**).K lu n: ậm 4=± 0,252b) (1,0 đi m)ể3 22 2017x 2x 2xy 3x (1)y 3m (2)ì- =ïí+ +ïîTa có 2(1) 2x 2xy 3x 0Û ()()()2 22(x 1) 2xy 0x 1xy 0Û ==éÛê- =êëV« lý 0,25Thay vào phương trình (2) ta được2y 3m (3)- =Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì:()11 3m 12m m4D 0,25Theo đề bài:()()1 2x (4)+ =do 2x 1= 0,25Với 1m4> theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (3) ta có: 21 2y 1y 3m+ =ìí= -î thay vào (4) ta có: 3m 2+ =(thỏa mãn)Kết luận: 2. 0,25Bài 3(2 đi m)ể 3a) (1,0 đi m)ểTa có (a 2) (a 2b 1) suy ra: k(a 2b 1), * b(ka b) hay mb (1) ớ2 *m ka b= Î¥ ka (2)T (1) và (2) suy ra: ừ2mb ka 1- + (m 1)(b 1) (a 1)(k ka) (3)Do ()()*m, 0Î ³¥ Vì th (3) suy ra: (a 1)(k ka) 0. 0,25L do nên suy ra: ka k(a 1)Vì 0, nên ()()1 Î¥vµa 1k(a 1) 0a 2k(a 1) 1k 1=é- =éêÞ Û=ìêê- =íëê=îë0,25V 1. Thay vào (3) ta c: (m 1)(b 1) 2.ớ ượ 22m 2b 1b k.a 1b k.a 1m 1b 2é- =ìíê- =é= =îêÛêê= =- =ìëêí- =êîëV y, tr ng này ta hai 1; và 1; 3.ậ ườ ượ 0,25V và 1. Thay vào (3) ta có: (m 1)(b 1) 1m 1=éê=ë .Khi 1, ta c: 2, 1.ượKhi 1: (1) suy ra 3. Khi đó: 2, 3.V có (a; b) th mãn là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1).ậ 0,253b) (1,0 đi m)ểVới là số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:()()2 23 2x 2x 12 2+ ++ =3 21 2(*)x 2Þ ³+ +Dấu =” xảy ra khi 0,25Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:()()3 23 23 2a 2aa 2ab c1 2a a= =+ ++ +æ ö+ +ç ÷è øSuy ra: ()()3 232 22 23a 2a a(1)a c2 2aa c³ =+ ++ ++ 0,25T ng ta có:ươ ự()3 232 23b b(2)a cb c³+ ++ +()3 232 23c c(3)a cc b³+ ++ +0,25C ng ba ng th (1), (2) và (3) ta c:ộ ượ()()()3 33 33 3a c1a b+ ³+ +Dấu “=” xảy ra khi c. 0,25Bài 4(3 đi m)ể Hình :ẽ4a) (1,5 đi m)ểG là trung đi BC suy ra ủIO BC^ ABN ng ng ANC (Vì ··ANB ACN= ·CAN chung) AB ANAN ACÞ =ÞAB.AC AN 0,50 ANO vuông N, ng cao NH nên AH.AO ANạ ườ 2ÞAB.AC AH.AO (1) 0,25 AHK ng ng AIO (g.g) Nên AH AKAI AK AH AOAI AO= (2)T (1) và (2) suy ra ừAB ACAI.AK AB.AC AKAI×= 0,5Ta có A, B, nh nên nh ịÞ AK không i.ổMà nh, là giao đi BC và MN nên thu tia AB ộÞ nh (đpcm)ố 0,254b) (1,5 đi m)ểTa có: MHE ng ng QDM (g.g) ME MHMQ DQÞ =0,50 PMH ng ng MQH (g.g) MP MH MHMQ QH 2DQÞ =0,50MP ME.MQ MQÞ ME MP là trung đi ME.ể 0,50Bài 5(1 đi m)ể Bài (1,0 đi m)ềGi =ả ử{}1 3; 21a ...; ớ1 3; 21a ...; a΢ và 21a ... a< <.Theo gi thi ta có ế1 11 12 13 21a ... ... a+ 12 13 21 11a ... (1)Û 0,25M khác ớx; ZÎ và ếy x> thì 1³ +12 13 21 11a 10, 10,..., 10 (2)Þ ³Nên (1) suy ra ừ1a> 10 10 ... +10 100mà 1a nh nh và 101ỏ 1a =101Ta có 12 13 21 11101 ... 100> ³12 13 21 11a ... 100Þ =. 0,25K (2)ế ớ12 13 21 11a ... 10 (3)Þ =12 12 11 11 10 210 (a (a ... (a 10Þ ³12 11 11 10 2a ... 1Þ (4)Ta có 1a =101 mà 2102 102Î 0,25K (3) và (4) suy ra =ế ớ{}101;102;103;...;121 0,25--------------- ------------------ế