Đề thi HSG môn toán có đáp án Tỉnh Bình Định

GIÁO VÀ ĐÀO OỞ KỲ THI CH SINH GI NH THCSỌ ỚBÌNH NHỊ KHOÁ NGÀY 18 2017 chính th cề Môn thi: TOÁN Th gian:ờ 150 phút (không th gian phát )ể Ngày thi: 18/3/2017Bài (6,0 đi m)ể 1. Cho bi th c: ứ2 16 322 3m mm m+ -+ -+ a) Rút P.ọ b) Tìm giá tr nhiên là nhiên.ị 2. Cho bi th c: (a b)(b c)(c a) abc a, b, là các nguyên. Ch ng minh ngể ằn chia cho thì chia cho 4.ế ếBài (5,0 đi m).ể a) Ch ng minh ng: th x, ng, ta luôn có: ươ1 4x y+ ³+ b) Cho ph ng trình: ươ22 0x mx+ (m là tham ). Có hai nghi ệ1x và 2x Tìm giátr nh nh bi th c: ứ()22 221 21 21 21 1x xx xx xæ ö+ +- -ç ÷è Bài (2,0 đi m)ểCho x, y, là ba ng. Ch ng minh ng:ố ươ 21 12x yz xz xy xy yz zxæ ö+ +ç ÷+ +è øBài (7,0 đi m).ể1. Cho tam giác ABC ti ng tròn tâm bán kính R. là đi di ườ ểđ ng trên cung nh BC ng tròn đó.ộ ườa) Ch ng minh MB MC MAứb) H, I, là chân ng vuông góc xu ng AB, BC, CA. iọ ượ ườ S, S’ là di tích tam giác ABC, MBC. Ch ng minh ng: Khi di ng ta luôn cóầ ượ ộđ ng th c:ẳ MH MI MK ()2 2S '3R 2. Cho tam giác ABC có ba góc nh n. AD, BE, CF là các ng cao. trên đo FD, yọ ườ ấN trên tia DE sao cho ··MAN BAC Ch ng minh MA là tia phân giác góc ủ·NMF Lbinhpn thcsphuochoaBài (6,0 đi m)ể .1a) Rút ượ11mm+- (v 0, 1)1 b) 11mm+- 21m- Ta có: 211N mmÛ -- là ng ướ ươ {}4; 9Î (TMĐK)V 4; là giá tr tìm.ậ ầ2) (a, b, Z)Đ 4k (k Z) Þa 4k 4k 4k Ta có: (a b)(b c)(c a) abc (4k c)(4k a)(4k b) abc ()()216 4k ak ack ac abc- 643 216 16 16 4k bk ak abc ck bck ack abc- abc- ()3 24 16 2k bk ak abk ck bck ack abc- (*)Gi a, b, chia a+ chia (1)ưMà: (theo gi thi t) (2)ả ếDo đó (1) và (2) mâu thu Đi gi là sai ửÞTrong ba a, b, ít nh có chia cho 2ố ếÞ2abc (**)T (*) và (**)ừ Bài (5,0 đi m).ểa) 4x y+ ³+ ()()2 244 0a ba ab bab b+Û ³+ (đúng)b) PT có a, trái nên luôn có hai nghi phân bi ệ1x và 2xTa có: 232mx x+ =- và 22.2x x=- ()22 221 21 21 21 1x xx xx xæ ö+ +- -ç ÷è ......=()()()()()()2 22 21 21 22 21 21 11 1x xx xx xé ù- -é ù- +ê úë ûê úë 29 29 82mæ ö+ +ç ÷ç ÷è “=” ra khi ảV GTNN là ủ8 8+ khi 0Bài (2,0 đi m)ểÁp ng BĐT Cô si cho các ng ươ2x và yz, ta có:2x yz 22 2x yz yz³ 21 1.22x yzx yz yzÞ =+ ng ta có: ươ ự21 1.2y xzy xz£+ và 21 1.2z xyz xy£+Suy ra: 21 12x yz xz xyx yz xz xyæ ö+ +ç ÷ç ÷+ +è (1)Lbinhpn thcsphuochoaTa có: 1x yz xz xy+ yz xz xyxyz+ (2)Ta có: yz xz xy+ (3)Th y: (*) ậ2 2yz xz xy zÛ +()()()2 20x xÛ (BĐT đúng)D “=” ra khi zấ ảT (2) và (3) suy ra: ừ1 1x yz xz xy+ 1x zxyz yz xz xy+ +£ (4)T (1) và (4) suy ra: ừ2 21 12x yz xz xy xy yz zxæ ö+ +ç ÷+ +è øBài (7,0 đi m).ể1.a) Cách 1: Trên tia tia MC đi sao cho ME MBố ểTa có: BEM là tam giác BE BM EMD BMA BEC MA ECDo đó: MB MC MACách 2: Trên AM đi sao cho ME MBấ ểTa có: BEM là tam giác ềÞ BE BM EMD MBC EBA (c.g.c) MC= AEDo đó: MB MC MA1.b) AN vuông góc BC Nẻ ạVì ABC là tam giác nên là tr ng tâm tam giácề ủÞ A, O, th ng hàng ÞAN 32 Ta có: AN AB.sin·ABN ·3 3: 32 2sinANAB RABNÞ Ta có: 21.2ABMABMSMH AB MHAB= 23ABMSR 21.2ACMACMSMK AC MKAC= 23ACMSR 21.2BCMBCMSMI BC MIBC= 23BCMSR '3SRDo đó: MH MK MI '3SR ()23ABM ACMS SR+ '3SR 2.3ABMCSR '3SR ()()2 '2. '33S SS SRR++ =2. Qua ng th ng song song BC DE Kẻ ườ ạT giác AEDB ti ế··CDE BACÞ Mà: ··MKD CDE= (vì MK // BC).Do đó: ··MKD MAN= giác AMKN ti pứ ế··AMN AKNÞ Lbinhpn thcsphuochoaTa có: ¶¶3 4D D= (= ·BAC ¶¶1 2D D=D DMK có DA là phân giác là ng cao nên cân Dừ ườ ạÞ DM DKD AMD AKD (c.g.c) ··AMD AKDÞ =Nên: ··AMF AKN= Ta có: ···()AMF AMN AKN= =V y: MA là phân giác góc ủ·NMF Lbinhpn thcsphuochoa