Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8 PHÒNG GD&ĐT NAM TR CỰĐ THI SINH GI HUY NỀ ỆNĂM 2015 2016ỌMôn: Toán Th gian làm bài 120 phútờ(Đ thi 01 trang)ề ồBài 1: (4,0 đi m)ểCho biểu thức 22 x­ :1 x   với 1 )1 Rút gọn biểu thức B.2 Tìm giá trị của để 0.3) Tính giá tr bi th th mãn: ỏx 5Bài 2: (4,0 đi mể )1) Gi ph ng trình: ươ4 2x 3x 4x 3x 02) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x 3xy 2y 7Bài 3: (2,0 đi m)ểCho hai th ng x, th mãn ươ ỏ2 24 9x y Tìm giá tr nh nh bi uị ểth c: ứ2 22 2862x 3y yBài (4,0 đi m)ểCho tam giác ABC vuông A. đi trên nh AC. vạ ẽm đng th ng vuông góc tia BM, đng th ng này tia BM D, tia BAộ ườ ườ ắt E.ạ 1) Ch ng minh: EA.EB ED.EC.ứ 2) Ch ng minh ng khi đi di chuy trên nh AC thì ngứ ổBM.BD+CM.CA có giá tr không đi.ị 3) KẻDH BCH BC P, là trung đi các đo th ngọ ượ ẳBH, DH. Ch ng minh ứCQ PD .Bài 5: (4,0 đi m) ểCho tam giác ABC nh n, các đng cao AA’, BB’, CC’ và là tr tâmọ ườ ự1) Tính ng ổ' ' 'HA HB HC+ +' 'AA'BB CC2) AI là phân giác tam giác ABC; IM và IN theo th là phân giác ủ·AIC và ·AIB Ch ng minh AN.BI.CM BN.IC.AMứĐ CHÍNH TH CỀ ỨBài (2,0 đi m)ểC dùng ít nh bao nhiêu bìa hình tròn có bán kính ng ph kín ộtam giác đu có nh ng 3, gi thi không đc bìa.ề ượ ấPHÒNG GD&ĐTNAM TR CỰ NG CH ƯỚ ẤĐ THI SINH GI HUY NỀ ỆNĂM 2015 2016ỌMôn: ToánBài dung chínhộ Điểm1(4,0đ) 1) 1 thì: 22222 221­x 1+xA= 1+x+x ­x :1+x 1­x+x ­x 1+x1­x 1+x= +1 :1+x 1­2x+x1­x= +1 +1 1­x1­x 0,51,00,52) 1 thì khi và ch khi ỉ2x +1 1­x 0 (1)Vì 2x +1 0 nên (1) ra khi và ch khi ỉ01x1xV khi và ch khi 1ậ 0,250,50,253) ớx <=> ­1; 9T ­1 không th mãn đi ki 1T th mãn đi ki 1. Tính đc 656ượ 0,50,250,252(4,0đ) 1) 2x 3x 4x 3x 0Ta th không là nghi PT. Chia hai ph ng trình cho xấ ươ 0, tađc ượ 22223 1x 3x 0x x1 0x x    Đtặ 1xx thì 221xx 2, ta đc PT: yượ 3y (*) Gi (*) đc yả ượ1 ­1 y2 ­2V yớ1 ­1 ta có 1xx= ­1 nên 0. PT vô nghi mệV yớ1 ­2 ta có 1xx= ­2 nên 2x+1 0 do đó ­1V S= ậ 1 0,50,50,50,250,252) Ta có 2x 3xy 2y 72 22 72 7(2 )( 7x xy xy yx yx y   Vì x, nguyên nên 2x­y, x+2y nguyên và là 7ướ ủMà 1.7 (­1).(­7) 7.1 (­7).(­1)Ta có ng sau:ả2x­y ­1 ­7x+2y ­7 ­1x 1,8(lo i)ạ ­1,8(lo i)ạ ­3y 2,6(lo i)ạ ­2,6(lo i)ạ ­1 1V nghi ph ng trình là ươ( (3; 1); 3;1)x y 0,50,50,750,253( 2đ Ta có 22 2862x 3y 22 22 22 22 5+ +x y1 5= +3 +x y= 2x 3y yx y         Ta có 2212 2.2 4x x    “=” ra khi ả2x =1 =1 Vì 0)2213 3.2 6y y    . “=” ra khi ả2=1 =1 y Vì 0)2 24 9x y (gt). Khi =1; =1y thì “=” raấ ả=> 19Q V giá tr nh nh là 19 khi ủ=1x y 0,50,50,50,250,254(4,0đ)IPQHEDABCM 1) Ch ng minh EA.EB ED.ECứ­ Ch ng minh ứ EBD đng ng ớ ECA (g­g)­ đó suy ra ừ. .EB EDEA EB ED ECEC EA 0,50,5 2) MI vuông góc BC (ẻ ớ)I BC Ta có BIM đng ng ớ BDC (g­g). .BM BIBM BD BI BCBC BD (1)T ng ươ ự ACB đng ng ớ ICM (g­g). .CM CICM CA CI BCBC CA (2)T (1) và (2) suy ra ừ2. )BM BD CM CA BI BC CI BC BC BI CI BC (không đi)ổ 0,50,50,53) Ch ng minh ứ BHD đng ng ớ DHC (g­g) 22BH BD BP BD BP BDDH DC DQ DC DQ DC ­ Ch ng minh ứ DPB đng ng ớ CQD (c­g­c)··BDP DCQ mà ··90oBDP PDC ··90oDCQ PDC CQ PD 0,50,250,50,255( 4đ 1) ''''.21.21AAHABCAABCHASSABCHBCt ng ươ ự'CCHCSSABCHAB ''BBHBSSABCHACSuy ra: 1''''''ABCHACABCHABABCHBCSSSSSSCCHCBBHBAAHA2) Áp ng tính ch đng phân giác vào các tam giác: ABC; ABI; AICụ ườACABICBI BIAINBAN AIICMACM Suy ra: 1.....BIICACABAIICBIAIACABMACMNBANICBIMANBICCMANBI.... 0.51.0.50.7510,256(2đ) Gi ABC là tam giác đu có nh ng 3. Chiaả ằm nh tam giác ABC thành ba ph ngỗ ằnhau. các đi chia các đo th ng songố ẳsong các nh, tam giác ABC đc chia thành 9ớ ượtam giác đu có nh ng 1.ề I, J, là đi trên các nh BC,ọ ượ ạCA và AB sao cho IC JA KB =1. Ba đng trònườbán kính ng 1, tâm ng ng là I, J, phằ ươ ủkín đc tam giác ABC (m hình tròn ph đc 3ượ ượ 0,75tam giác nh ). Nh dùng bìa ph kínỏ ủđc tam giác ABC.ượS bìa ít nh ph dùng cũng là 3, vì ếng ph có hai trong ba đnh tam giác ượ ủABC thu hình tròn bán kính 1. Đi này ềkhông th ra vì nh tam giác ABC ủb ng 3.ằ 0,750,5N sinh có cách gi khác đáp án mà đúng thì cho đi ng đngế ươ ươ