Chuyên đề ôn thi HSG Toán 9

CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC Dạng 1: TÌM X Bài 1: Tìm x biết: x 3 5 7 x 1   9 a, x  5 7 b, x  1 HD:  7  x  3 5  x  5   2 x 46  x 23 a,   x  1  x  1 7.9  8  1  8  1  x 8 b,  5  44  x  3  x  12   8 x 256  x 32 c, Bài 2: Tìm x biết: x y 3 x x4 5   x4 a, 20 b, x  2 y 4 ( tìm y ) HD: 2   x  4  100 102  x  4 10 a, x  4 x  4 y 3 x  6 y  x 10 y  10 y b,  x 1     x2 c, 44  x x  12  5 c, 3 x 1 x 2  c, x  2 x  3   x 2 1     x 3 x  1 x  2 x  2  x  3 3 5  1     x2 x 3 x 2 x 3  1  3  x  3 5  x  2   2 x  1  x  2 Bài 3: Tìm x, y, z biết: 15 20 40 40 20 28     a, x  9 y  12 z  24 và x.y=1200 b, x  30 y  15 z  21 và x.y.z = 22400 HD: x  9 y  12 z  24 x 3 y 3 z 3         15 20 40 15 5 20 5 40 5 a, Từ gt  x 15k x y z    k   15 20 40  y 20k , Mà x. y 1200  k 2   x 40k    y 20k x  30 y  15 z  21 x y z       k  z 28k  40 20 28 40 20 28 b, Từ gt  x 40  x. y.z 22400   y 20  z 28  Mà: Bài 4: Tìm x, y, z biết: x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3     3 4 và x - 2y +3z =14 3 4 và 2 x  3 y  z 50 a, 2 b, 2 HD : x  1 y  2 z  3 2  x  1  3  y  2    z  3  2 x  3 y  z   5      5 2 3 4 4 9  4 9 a, x  1 y  2 z  3  x  1  2  y  2   3  z  3  x  2 y  3 z   6     1 3 4 2  6  12 8 b, 2 Bài 5: Tìm x, y, z biết: 4 3 2 x  1 y 3 z  5     4 6 và 5 z  3x  4 y 50 a, 2 b, 3 x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z và x  y  z  10 HD : x  1 y  3 z  5 5  z  5   3  x  1  4  y  3  5 z  3x  4 y   34    4 6 = 30  6  16 8 a, Từ : 2 4 3 2 3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3 z     3 x  2 y 2 z  4 x 4 y  3 z 4 3 2 b, Từ : => 4  3x  2 y  3  2 z  4 x  2  4 y  3 z   12 x  8 y    6 z  12 x    8 y  6 z      0 16 9 2 27  3 x 2 y x y z xy z    2 z 4 x      10 2 3 4 2  3  4  4 y 3z  7 3 5   Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết : 2x  2 2y  4 z  4 và x  y  z 17 Bài 7: Tìm các số x,y,z biết chúng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : 3x  2 y  z 169 và 3 x  25 2 y  169 z  144   144 25 169 HD : 3 x  25 2 y  169 z  144  3 x  2 y  z    25  169  144  169 1      25 169 338 338 2 Từ : 144 144 47  3 x  25  72  x  2 3 , Tương tự cho y và z Bài 8: Tìm x, y, z biết: x y z   2 2 2 2 2 2 a, 5 7 3 và x  y  z 585 b, x:y:z=3:4:5 và 2 x  2 y  3 z  100 HD: x2 y 2 z 2 x2  y 2  z 2     9 25 49 9 25  49  9 a, x y z x 2 y 2 z 2 2 x 2  2 y 2  3z 2  100        4 9 16 25 18  32  75  25 b, 3 4 5 Bài 9: Tìm x, y, z biết: a b c   2 2 2 2 2 2 a, 2 3 4 và a  b  2c 108 b, x : y : z 3: 4 : 5 và 5 z  3x  2 y 594 HD: a b c a 2 b 2 c 2 a 2  b 2  2c 2 108        4 4 9 16 4  9  32 27 a, 2 3 4 x y z x 2 y 2 z 2 5z 2  3x 2  2 y 2 594        9 9 16 25 125  27  32 66 b, 3 4 5 Bài 10: Tìm các số x, y, z biết: x3 y3 z 3 x3 y 3 z3     2 2 2 2 2 2 a, 8 64 216 và x  y  z 14 b, 8 27 64 và x  2 y  3 z  650 HD : 3 3 3 x y z x2 y 2 z 2  x  y  z x 2  y 2  z 2 14 1                    2 4 6 4 16 36 4  16  36 56 4 a, Từ GT ta có :  2   4   6  b,  x y z x 2 y 2 z 2 x 2  2 y 2  3z 2  650        25 2 3 4 4 9 16  26  26 x3  y 3 x3  2 y 3  6 6 6 4 Bài 11: Tìm x, y biết: và x . y 64 HD : x 3  y 3    x 3  2 y 3  2  x 3  y 3    x 3  2 y 3  3 y 3 3 x3  GT     6 4 12  4 2 16 Ta có :  x 6 64k x3 x6   y 6   6  k 1 8 64  y k 3x 3 y 3z   2 2 2 Bài 12: Tìm x, y, z biết: 8 64 216 và 2 x  2 y  z 1 HD : x y z x2 y2 z2 2x2  2 y 2  z 2 1        64 4096 46656 8320  46656  38336 ( Vô lý) Từ GT ta có : 8 64 216 Vậy không tồn tại x, y, z thỏa mãn : Bài 13: Tìm x, y, z biết: 2x 3 y 4z 6 9 18 x y z   4 5 và x+y+z=49 2 5 và  x  y  z  120 a, 3 b, 11 HD: x y z x y z xyz        1 3.6 4.4 5.3 18 16 15 49 a, x y z x y z  x  y  z  120         5 11.3 2.2 5 33 4 5  24  24 b, Bài 14: Tìm x, y, z biết: 6 9 18 x  y  z x  y  z 95 2 5 và  x  z  196 a, 2 x 3 y 5 z và b, 11 HD :  x  y  z 95 x  y  z 95    x  y  z  95 a, Từ : x y z x y z 95 2 x 3 y 5 z      15 10 6 15  10  6 19 Nên 6 9 18 x y z  x  z  196 x y z     11 2 5 33 4 5  33  5  28 b, Từ : => x y z   x  y  z Bài 15: Tìm x,y,z biết: y  z  1 x  z  2 x  y  3  y 3  HD : x y z y  z 1 x  z  2 x  y  3      y  z  1 x  z  2 x  y  3 x y z Từ :  y  z  1   x  z  2    x  y  3 2  x  y  z    2  x  y  z x yz xyz  y  z  1 2 x  x  y  z 3x  1 2  x 1 4 x  z  2 2 y  x  y  z 3 y  2  2  y  3 => => x  y  3 2 z  x  y  z 3 z  3 2  z  Bài 16: Tìm x, y, z biết : HD : 1 3 y  x 1 x  z  2 z  y  3 1    x y z x yz Từ giả thiết => Cộng tử với tử ta được : GT  2 x  y  z xyz 2  1 1  x  y  z  xyz 2 1 5 x  z  2 2 y  x  y  z 3 y  2   y  2 6 Khi đó : 5  13 z  y  3 2 z  z  y  3   3   x  6 6 Và … y  z 1 x  z  2 x  y  3 1    x y z x yz Bài 17: Tìm x, y, z biết: HD : Từ GT => Tử + Tử + Tử = GT  2x  2 y  2z 1 1 2   x  y  z  x yz xyz 2 1 3 1 y  z  1 2 x  x  y  z 3x  1   3x   x  2 2 2 Khi đó : Tượng tự để tìm ra y, z y  z 2 x  z 3 x  y  5 1    x y z xyz Bài 18: Tìm x, y, z biết: HD : Từ GT=> Tử + Tử + Tử => GT  2 x  y  z xyz 2  1 1  x  y  z  xyz 2 1 5 y  z  2 2 x  x  y  z 3x  2   x  2 6 . Làm tương tự cho y và z Khi đó : x y z   x  y  z Bài 19: Tìm x, y, z biết: y  z  1 z  x  1 x  y  2 HD : GT  Ta có : xyz 1  x  y  z 2 x  y  z 2 1 1 2 x  y  z  1  x  y  z 3 x  1   x  2 2 . Tương tự cho y và z Khi đó : 2 x 1 3 y  2 2 x  3 y  1   5 7 6x Bài 20: Tìm x, y biết: HD :  2 x  1   3 y  2  2 x  3 y  1 5 3y  2  y 3 GT    x 2   12 6x 5 7 Từ 2 x 1 4 y  5 2 x  4 y  4   9 7x Bài 21: Tìm x, y biết: 5 HD :  2 x  1   4 y  5 2 x  4 y  4 GT    x 2 59 7x Từ , Thay vào tìm được y 1 2 y 1 4 y 1 6 y   24 6x Bài 22: Tìm x, biết: 18 HD : 2  1  2 y   1 1  4 y   1  2 y    1  4 y    1  6 y  1 1    x 5 GT   36  24 18  24  6 x 12 42  6 x Ta có : , Thay vào tìm được y 5x  1 7 y  6 5x  7 y  7   3 5 4x Bài 23: Tìm x biết HD: 5x  1 7 y  6 5x  7 y  7 5x  7 y  7    3 5 8 4x => 1 6 x ;y 5 7 Nếu 5x-7y-7 # 0 thì x 2 , Thay vào ta được y=3. Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> 1 3y 1 5y 1 7 y   5x 4x Bài 24: Tìm x, y biết: 12 HD : 1  3 y   1  5 y  1  5 y   1  7 y  GT   12  5 x 5x  4x Ta có :  2y  2y    12  5 x  x  6 x 12  x 2 12  5 x x . Thay vào tìm được y 7x  3y  12 y  2z x   2y z  3y  2  y Bài 25: Tìm x,y,z biết : 3x  y x  y  2  xz2  yz2   2  x 0 2 47  17 x z  1 Bài 26: Tìm x, y, z biết : a b c   Bài 27: Cho b c a và a  b  c 0, a 2012 . Tính b, c HD : a b c a b c    1  a b c  2012 Từ : b c a b  c  a a b c   Bài 28: Cho b c a và a  b  c 0, a 2017 . Tính b, c HD: a b c a b c    1  a b c  2017 Ta có: b c a a  b  c a b 10   , a  b  10 Bài 29: Tìm a, b biết: b 10 a HD: a b 10 a  b  10    1  a b 10 Ta có: b 10 a a  b  10 x y z   y z x và x2018  y2019 0 Bài 30: Tìm ba số thức x, y, z khác 0 biết : a b c ; ; Bài 31: Cho 3 số hữu tỉ bằng nhau: b  c c  a a  b và a  b  c 0 , Tính giá trị của mỗi tỉ số đó HD : a b c a b c 1     b  c c  a a  b 2 a  b  c 2 a b c x   b  c c  a a  b , và các tỉ số đều có nghĩa Bài 32: Tìm x biết : HD : a b c x     1 a b a Nếu a+b+c=0 thì b+c= -a, a+c= -b, a+b= -c khi đó a b c a b c 1 x     b  c c  a a  b 2 a  b  c 2 Nếu a+b+c 0 thì x x 2 16 2 y y Bài 33: Tìm x, biết: , HD : x x 1 1 2  . 2  16. 2  y 8  x 16.8 2 y y y Ta có : y  x  y  z 94  Bài 34: Tìm x, y, z biết:  3 x 4 y 5 z  a  b  c 260  Bài 35: Tìm a, b, c biết:  a 3b 0,3(b  c) HD: a b  c a  b  c 260 60 a b    200  a 60, b  20 c a 3b   1 1,3 1,3 3 3 1 , và 0,3 Từ Bài 36: Tìm a, b, c biết: (a+b) : ( 8 – c): (b+c) : (10 +c)=2:5:3:4 HD : a  b 8  c b  c 10  c GT     t 2 5 3 4 Từ  a  b 2t    b 8, a  4 4  8  c  5  10  c   c  2  t 2  b  c 3t mà a b c b c a      a  b  c 3 Bài 37: Tìm các số a, b, c  Z biết : b c a a b c HD : a b c b c a a c b a  c b GT           6             6 b c a a b c b b c c  a a Ta có :  a b c   a b c   a b c  1 1 1   a  b  c 3    3     9 a b c       a b c , Vì 1 1 1 1 1 1 1. 1. 1    3  a b c 1 b c a b c Do a,b,c nguyên nên a x y x y xy   13 200 Bài 38: Tìm x, y biết: 3 HD: x  y x  y  x  y   x  y x x xy GT       3 13 16 8 8 200  x 0 8 xy  200 x 0  x  8 y  200  0    y 25 => TH1: x 0  y 0 TH2: y 25  x 40 3a  2b 2c  5a 5b  3c   5 3 2 Bài 39: Tìm ba số a,b,c biết: và a+b+c=-50 HD : 5  3a  2b  3  2c  5a  6c  10b  5b  3c 5b  3c GT      0 25 9 34 17 2 Ta có :  3a 2b a b c a b c   5  2c 5a     2 3 5 10  5b 3c =>  4 z  10 y 10 x  3z 3 y  4 x   3 4 10 Bài 40: Tìm x,y,z biết : và 2x+3y-z=40 HD: 4 z  10 y 10 x  3 z 3  4 z  10 y  4  10 x  3z  GT     3 4 9 16 Ta có:  4 z 10 y 40 x  30 y 30 y  40 x    0   10 x 3z 13 100  3 y 4 x  x y z 2 x  3 y  z 40     5 8 => 3 4 10 6  12  10 12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z   7 9 11 Bài 41: Tìm x, y, z biết: và x+ y+ z=48 HD:  12 x  15 y    20 z  12 x    15 y  20 z  GT  0 7  9  11 Ta có: x y x y 12 x  15 y 0  12 x 15 y     15 12 5 4 => x z x y z x  y  z 48       5 4 3 5  4  3 12 làm tương tự ta được: 5 3 5z  6y 6x  4z 4y  5x   4 5 6 Bài 42: Tìm x, y, z biết: và 3x  2y  5z 96 x  3y 3y  9z 5z  15x   114 115 Bài 43: Tìm x, y,z biết: 19 và x+y+2z= -31 HD : x  3y y  3z z  3x   38 23 , Đặt a x  3y b y  3z c z  3x h x  y  2z Ta có : 19  x a  3c  y b  3a  z c  3b hx  hy  2hz  a  3c h   b  3a h  c  3b 2h  (1) Đồng nhất ta được : 1 4 2 a  ;b  ; c  7 7 7 , Như vậy để cho chẵn thì ta nen cho h =7 , Giả sử cho h=1 thì Khi đó : a 1; b 4; c 2 Ta biến đổi (1) như sau : x  3y y  3z z  3x  x  3y  4 y  3z  2 z  3x 7 x  y  2z 7.  31       1 19 38 23 19  152  46 217 217  x  3y  19    y  3z  38  z  3x  23 4 x  y  z  80  x  y  z  20  , Cộng theo vế ta được : Mà x  y  2z  31   20  z  31 z  11 3b 1 125a  3b  1 125a 6a  13 Bài 44: Tìm các cặp số a, b thỏa mãn: a  4 HD:  13 a 2, a  6 ĐKXĐ: 3b 1 125a  3b 1 125a 1 125a    2 2 6a  13 1 a  4 a  6a  9  1  a2  6a  8 0, a  125  Suy ra: 2 a  2(l ), a  4 , Với a  4  b 2004 Bài 45: Tìm x,y,z biết : xy  z ; yz 9 x ; xz 16 y HD: x z x 16 z 16      z 2 9.16 144  z 2 y 9 và y z 9 z Ta có:  x 4k x 12 4 z 12       4k .3k 12  k  y  3 k y 9 3  TH1: 1 GT  TH2: z  12 làm tương tự a 1 a 2 1  2 ..  a ; a ;... a 1 2 100 100 99 Bài 46: Tìm các số: , biết: a100  100 a  a  a  ...  a100 10100 1 và 1 2 3 HD: Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:  a1  a2  ...  a100    1  2  ...  100   a1  a2  ...  a100   1 10100  1 1 100  99  ...  1 100  99  ...  1 5050 a1  1 a2  2 a3  3 a 9   ...  9 a , a , a ,...., a 9 , biết rằng : 9 8 7 1 , và Bài 47: Tìm 1 2 3 a1  a2  a3  ...  a9 90 Bài 48: Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M a  b c  d e  f biết: a, b, a 14 c 11 e 13  ;  ;  * b 22 d 13 f 17 N c, d, e, f thuộc và HD: a 7 c 11 e 13 a b a b M  ;  ;     Từ gt=> b 11 d 13 f 17 => 7 11 7  11 18 c d c d M e f e f M       24 24 và 13 17 13  17 30 khi đó M  BC (18; 24;30) , và M Tương tự ta có: 11 13 là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên M=1080 x4 4  7  y 7 và x+y=22 Bài 49: Tìm x,y biết: HD : Ta có : GT  7 x  28 28  4 y  x y xy   2 4 7 11 3 2 x y 2 2 3 và x  y 38 Bài 50: Tìm x, y biết: 5 HD: x y x2 y2 x2  y 2 Gt      72 5 3 25 9 19 3 2 9 4 36 Ta có: 2 2 Khi đó: x 200  x  200 và y 162  y  162 Bài 51: Tìm số hữu tỉ a,b biết : a-b=a :b và a-b=3(a+b) HD: a a  b 3  a  b   2a  4b  a  2b   2 b Ta có: a a  b  a  b  2  a b  2 Mà b thay vào a  b 3  a  b    2 3  2b  2  6b  6  b =.. Bài 52: Hãy tìm tất cả các số có hai chữ số biết rằng tổng, hiệu, tích của các chữ số của số đó là ba số nguyên dương và tỉ lệ với 35: 210: 12 HD: ab  a 0, a, b   0;1; 2;...;9  Gọi số cần tìm là: , Giả sử : a>b  a  b  6  a  b  a.b a  b a  b ab    210 12 35.6 6.35 12 Theo bài ra ta có : 35  6a  6b a  b  5a  7b , Vô lý vì a, b cùng dấu. Bài 53: Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a và b bằng thương của a và b và bằng 2 lần tổng của a và b, HD: a a a  b  2  a  b   a  b 2  a  b    3 b b Theo bài ra ta có: 9  a  a  b  3    4    3    a  b  2  b  3  4 2x  y 3y  2z  , x  z 2 y 5 15 Bài 54: Tìm x,y,z biết: HD : Từ x+y=2z ta có : x-2y+z=0 hay 2x-4y+2z=0 hay 2x-y-3y+2z=0 hay 2x-y=3y-2z 2 x  y 3y  2z 1  x y 5 15 2 Mà nên 2x-y=3y-2z=0. Từ 2x-y=0=> 1 3 2 y  y  z 0 y  z 0 y z 2 3 hay 2 hay Từ 3y-2z=0 và x+z=2y=> x+z+y-2z=0 hay 1 2   1 x z  x  z, y  z, z  R  3 3  3 . Vậy các giá trị x,y,z cần tìm là  => 1 1 Bài 55: Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 70 , các tử của chúng tỉ lệ với 3:4:5 và các mẫu số tương ứng của chúng tỉ lệ với 5:1:2 HD : a b c a b c 1 a b c x y z ; ;   1 ,     70 3 4 5 và 5 1 2 Gọi 3 phân số cần tìm là x y z thì ta có: x y z a b c abc 1 1 a x b y c z 1 y x y z  :  :  :  x   z   70  3 4 5 3 4 5 71 3 5 4 1 5 2 7   5 1 2 5 1 2 10 a 3 b 4 c 5  ;  ;  x 35 y 7 z 14 đó là ba phân số cần tìm => 2 1 0,5;1 ;2 3 4 , tìm số M biết rẳng tổng bình phương của ba số đó Bài 56: Số M được chia làm 3 số tỉ lệ với bằng 4660 HD : 2 5 1 9 1 5 9 6 20 27 : :  : : 6 : 20 : 27 1  2  Ta có : 0,5 : 3 3 : 4 4 nên ta có : 2 3 4 12 12 12 Giả sử M được chia thành 3 số là x ;y ;z. Theo bài ra ta có : x y z x2 y2 z2 x2  y2  z2 4660    2  2  2  2  4 2 2 2 2 6 20 27 6 20 27 6  20  27 1165 2 2 2 2 2 2 => x 12  x 12, y 40  y 40, z 54  z 54 Vậy M=12+40+54=106 hoặc M=-106 Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Bài 1: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a b b c c  d d a M    c d d a a b b c Tính giá trị biểu thức: HD: Từ GT trừ đi 1 vào mỗi vế của tỉ số ta có: a b c  d a b c d a b c d a b c d    a b c d TH1: Nếu a  b  c  d 0  a b c d  M 4 TH2: Nếu a  b  c  d 0  a  b   c  d   M  4  x  y  z  yz x zx y x y z B  1    1    1     y  z  x  x y z  Bài 2: Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn: .Tính HD: Từ GT cộng thêm 2 vào mỗi vế của của tỉ số ta được:   x y z x yz x yz xyz  yz x   zx y   2    2    2      x y z x y z       TH1: x  y  z 0  x  y  z  B 8 TH2: x  y  z 0  x  y  z , y  z  x.x  z  y  B  1 a b c  d b c  d  a c  d  a b d  a  b c     a  b  c  d 0 d a b c Bài 2: Cho ,  b c   c  d   d  a  a b P  1   1 b   1 c   1 d  a      Tính giá trị của biểu thức: HD: a b c  d b c  d  a c  d  a b d  a b c  2  2  2 2 d a b c Ta có: a  b c  d a b c  d a  b c  d a  b c  d     d a b c a  b  c  d 0  a b c d  P  1 2  1 2  1 2  1 2 34 Vì 2b  c  a 2c  b  a 2a  b  c   a b c Bài 3: Cho a,b,c  0 và dãy tỉ số: . P Tính: HD:  3a  2b  3b  2c  3c  2a  3a  c  3b  a  3c  b 2b  c  a 2c  b  a 2a  b  c  2b  c  a   2c  b  a   2a  b  c 2 a  b  c     2 a b c a b c a b c Vì a,b,c  0  a  b  c  0  2b  c 3a  3a  2b c  3a  c 2b      2c  a 3b   3b  2c a  3b  a 2c 1  2a  b 3c  3c  2a b  3c  b 2a P   8 và  , Thay vào 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d Bài 4: Cho dãy tỉ số : a b b c c  d d a M    c d d a a b b c Tính giá trị biểu thức: HD: Trừ 2011 vào mỗi vế của tỉ số trong tỉ lệ thức ta được: a b c  d a b c d a b c d a b c d    a b c d TH1: a  b  c  d 0  a b c d  M 8 Th2: a  b  c  d 0  a  b   c  d   M  4 a b  c b c  a c a  b   c a b Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn: b  c  a  A  1    1    1   a  b c  Tính giá trị của biểu thức: HD : a b c a b c a b c   c a b Từ GT ta cộng thêm 2 vào mỗi tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau có: TH1 : a  b  c 0  a b c  A 8 TH2 : a  b  c 0  a  b  c, b  c  a, a  c  b  A  1 a b c d    Bài 6: Cho a +b +c +d 0, và b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c a b b c c  d d a A    c d a d a b b c Tính giá trị biểu thức: HD : b c  d a c  d a b  d a b c    a b c d Từ GT nghịch đảo ta có => Cộng 1 vào các tỉ số ta được : a b c  d a b c d a b c d a b c d    a b c d vì a  b  c  d 0 nên a b c d  A 4 1 a  4b  c b  4c  a c  4a  b    c a b Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn : a  b  c ,  a  b  c P  2    3   4   b  c a  Tính a  b  c  a  2b  c b  2c  a c  2a  b P  2    2    2   a b c    b  c  a  c a b Bài 8: Cho a, b, c 0 và , Tính HD:  a  2b  c    b  2c  a    c  2a  b   2  a  b  c  GT  a b c a b c Từ GT ta có :  a  2b  c 0  a  2b c   a  b  c 0   b  2c  a 0   b  2c a  P 1  c  2a  b 0  c  2a b   TH1 : TH2 :  a  2b  c 2c  a  2b 3c   a  b  c 0  GT 2   b  2c  a 2a   b  2c 3a  c  2a  b 2b  c  2a 3b   => P=27 a  b  c  a b b c c a P  1    a    1     b  c  a   a b .Tính Bài 9: Cho a,b,c dôi 1 khác nhau và c a b c   Bài 10: Cho a, b, c khác nhau và khác 0, t/m: b  c a  c a  b . b c a c a b A   a b c Tính giá trị của biểu thức: HD: b c a c a b   b c Từ GT ta nghịch đảo => a a b c a b c a b c   a b c Cộng 1 vào các tỉ số ta được : TH1 : a  b  c 0  a b c  A 6 TH2 : a  b  c 0  b  c  a, a  c  b, a  b  c  A  3 y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt    x y z t Bài 11: Cho 3 số x,y,z,t thỏa mãn: Và x+ y+ z+ t = 2012. Tính giá trị P= x+2y – 3z +t HD: Từ GT ta có: Cộng (n+1) vào mỗi tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau ta được: x  y  z t x  y  z t x  y  z t x  y  z t     x y z t 2012 2012 2012 2012 2012      x  y  z t  503 x y z t 4 Thay vào ta tính được P  x  2 x  3 x  x x 503  z  x  B  1    1    1   x  y  Bài 12: Cho x, y, z 0 & x  y  z 0 , Tính giá trị của biểu thức: HD :  x  z   y  x   y  z  y.( z).x B   1    x. y.z  x  y  z  Ta có : a b c d     a, b, c, d  0  Bài 13: Cho 2b 2c 2d 2a 2011a  2010b 2011b  2010c 2011c  2010d 2011d  2010a A    cd ad a b b c Tính HD : a b c d a b c  d 1      Từ GT ta có : 2b 2c 2d 2a 2a  2b  2c  2d 2 => a b c d Thay vào A ta được A = 2 a b c a  b c  a bc   c b a Bài 14: Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác 0, sao cho:  a  b  b  c  c  a M abc Tính HD : y  z a b c a b c a b c   a b c Cộng thêm 2 vào GT ta được : TH1 : a  b  c 0  a b c  M 8 TH2 : a  b  c 0  a  b  c, b  c  a, c  a  b  M  1 x y z t x  y y  z z t t  x    M    y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z z  t t  x x  y yz Bài 15: Cho ,Tính HD : Từ GT nghịch đảo ta được : y  z t z t  x t  x  y x  y  z    x y z t y  z t z t  x tx y xyz 1  1  1  1 x y z t Cộng thêm 1 vào các tỉ số ta được : x  y  z t x  y  z t x  y  z t x  y  z t    x y z t TH1 : x  y  z  t 0  x  y  z t  M 8  TH2 :  x  y   z  t    y  z   t  x  x  y  z  t 0    M  4 z  t  x  y     t  x   y  z   a c b   Bài 16: Tính A biết A= b  c a  b c  a HD: a c b a b c 1 1 A      A  b  c a  b c  a 2 a  b  c 2 2 Ta có : a b c d 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a A       cd d a a b b c Bài 17: Cho b c d a và a  b  c  d 0 .Tính: HD: Từ GT ta lấy Tử + Tử + Tử + Tử ta được : a b c d a b c d     1  a b c d b c d a a b c d 1 1 1 1 A     2 2 2 2 2 Thay vào A ta được : ab bc ca ab 2  bc 2  ca 2   P 3 3 3 a b c Bài 18: Cho a,b,c khác 0, thỏa mãn : a  b b  c c  a , Tính HD: Với a, b, c khác 0 , nghịch đảo giả thiết ta được : a b b c c a 1 1 1 1 1 1 1 1 1             a b c ab bc ca a b b c c a a b c 3 3 3 a a a P 1 3a 3 khi đó : x y x y x   y x  z z y Bài 19: Cho x,y,z là 3 số dương phân biết, Tìm tỉ số , biết: HD: y x y x yx yx x    2  2 z y x zzy y Từ GT ta có : x  z a b c a b 7 b c  3 a c  4    2 4c 4a 4b , Tính A 20a  11b  2018c Bài 20: Cho a 5 3a  2b  A 2a  3b Bài 21: Cho b 6 , Tính giá trị của biểu thức: HD : Từ GT ta có : 2  3a  2b  6a  4b 5b  4b 2 b 1 6a 5b  A      3 3  2a  3b  6a  9b 5b  9b  4b 4 B 3a  b 3b  a  2a  13 2b  13 Bài 22: Cho a-b=13, Tính giá trị của biểu thức: HD : Từ GT ta có : a b  13 thay vào B ta được :  3b  39   b  3b  b  13  2b  39  2b  13 0 B  2b  26  13 2b  13 2b  39 2b  13 3 2 1   Bài 23: Cho 3 số a,b,c có tổng khác 0 và thỏa mãn: a  b b  c c  a , a  b  3c A a  b  2c ( Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Tính giá trị của biểu thức: x  2 y  3z P x  2 y  3z Bài 24: Cho x: y: z = 5: 4: 3, Tính HD : Từ GT ta có : x y z x  2 y  3 z  x  2 y  3 z  x  2 y  3z  x  2 y  3z        5 4 3 5 8  9 4 5  8 9 6 x  2 y  3z 4 2   P x  2 y  3 z 6 3 Khi đó : 2x  3y  4z x y y z M  &  3x  4 y  5z Bài 25: Cho 3 4 5 6 , Tính HD : x y z   Từ GT => 15 20 24 (1) 2x 3y 4z 2x  3y  4z 3x 4 y 5 z 3x  4 y  5 z       (1)=> 30 60 96 30  60  96 Và ( 1)=> 45 80 120 45  80  120 2x  3 y  4z 245 186 2 x  3 y  4 z 3x  4 y  5 z 2 x 3x . 1  M  :  : 186 3x  4 y  5z 245 Nên 30  60  96 45  80  120 30 45 =1=> x  2 y  3z P x  2 y  3 z , Tính P biết x,y,z tỉ lệ với 5 :4 :3 Bài 26: Cho HD: 4 3 x  2. x  3. x 5 5 2 P x y z 4 3 4 3    y  x, z  x x  2. x  3. x 3 5 5 thay vào ta được : 5 5 Từ GT : 5 4 3 x z a x  3 y  2a   A y  3t  2b Bài 27: Cho y t b Hãy tính: HD: x  3 z  2a x  3 z  2a x z a GT   A     y  3t  2b y  3t  2b y t b Từ GT ta có : a b c a  3b  2c   4 A a ' 3b ' 2c ' Bài 28: Cho a ' b ' c ' , Tính HD : a b c a  3b  2c    4  A 4 Từ GT ta có : a ' b ' c ' a ' 3b' 2 c' 2x  3y  4z x y y z A  &  3x  4 y  2 z Bài 29: Cho 3 4 5 6 Tính HD : 2 x  3 y  4 z 186 x y z 2 x  3 y  4 z 3x  4 y  2 z A       3 x  4 y  2 z 173 15 20 24 30  60  96 45  80  48 Từ GT ta có : => 2 x  3 y  5z A 2 x  3 y  5z Bài 30: Cho x:y:z=5:4:3 và 2x-3y+5z khác ) Tính giá trị HD : x y z 2 x  3 y  5 z 2 x  3 y  5z 2x  3 y  5z 7      A   5 4 3 10  12  15 10  12  15 2 x  3 y  5 z 13 Từ GT ta có : A 2a  5b 4a  b a 3   a  3b 8a  2b biết: b 4 Bài 31: Tính giá trị của các biểu thức sau: HD : 2  2a  5b  1 4a  b  4a 3b  A   2 4  a  3b  2  8a  2b  Từ GT 1 4a  10b 4a  b 3b  10b 3b  b  7b 4b 5  A        2 4a  12b 16a  4b 3b  12b 12b  4b  9b 8b 18 2 a 4  54 2a  b   a  b  , M 4 3 b  44 Bài 32: Cho Tính HD: 2 2 4a 5b a 5 a 4 54 625 2a  b  a  b      4  4  M  3 3 3 3 b 4 b 4 256 Từ abc A a  b  c , biết a,b, c có quan hệ:  a  b  :  8  c  :  b  c  :  10  c  2 : 5 : 3 : 4 Bài 33: Tính HD:  a  b 2t  a  4  8  c 5t      t 2   b 8 a  b 8  c b  c 10  c  b  c 3t  c  2    t    10  c 4t 5 3 4 Từ GT ta có: 2 3x  y 3 x  , Bài 34: Cho x  y 4 Tính y P xy x a( x, y 0) x  y biết: y Bài 35: Tính HD : x ay  y a  1 a  x ay  P   ay  y a  1 Vì y x  16 y  25 z  9   16 16 và 2 x 3  1 15 .Tính A= x+y+z Bài 36: Cho 9 HD :