Chuyên đề hình học 7: tam giác bằng nhau

Chuyên đề ph ¬ng ph¸p tam gi¸c b»ng nhauMôn: Hình cọL p: 7ớNg th hi n: ườ Lê Th Kim OanhịTh hi ngày 24 tháng 1năm 2008ự ệI. tiêuụSau khi xong chuyên sinh có kh năng:ọ ả1.Bi ng các tr ng ng nhau tam giác ch ng minh haiế ườ ứtam giác ng nhau; đc các ch ng minh hai đo th ng hay hai gócằ ượ ướ ẳb ng nhau; Bi thêm đng ph ra hai tam giác ng nhau.ằ ườ ằ2. Hi các phân tích bài toán, tìm ng ch ng minhể ướ ướ ứ3. Có kĩ năng ng các ki th đc trang gi toán.ậ ượ ảII. Các tài li tr :ệ ợ­ Bài nâng cao và chuyên toán 7ậ ề­Hình nâng cao THCSọ­ thêm ph gi các bài toán hình 7ẽ ọ­ ng toán 7ồ ưỡ­ Nâng cao và phát tri toán 7ể­ …III. dungộ1. Ki th nhế ớTa đã bi hai tam giác ng nhau thì suy ra đc các nh ngế ượ ương ng nhau, các góc ng ng ng nhau. Đó là ích vi ch ngứ ươ ứminh hai tam giác ng nhau.ằ*. Các tr ng ng nhau tam giác ườ a. Tr ng nh nh nh: ba nh tam giác này ng baườ ằc nh ng ng tam giác kia thì hai tam giác đó ng nhau.ạ ươ b. Tr ng nh góc nh: hai nh và góc xen gi aườ ủtam giác này ng hai nh và góc xen gi tam giác kia thì hai tam giác đóằ ủb ng nhauằc. Tr ng góc nh góc: nh và hai góc tam giácườ ủnày ng nh và hai góc tam giác kia thì hai tam giác đó ng nhau.ằ ằ*. Mu ch ng minh hai đo th ng(hay hai góc) ng nhau ta th ng làmố ườtheo các sau:ướ­ Xét xem hai đo th ng(hay hai góc) là hai nh (hay hai góc) thu haiạ ộtam giác nào.­ Ch ng minh hai tam giác đó ng nhauứ ằ­ Suy ra hai nh (hay hai góc) ng ng ng nhau.ạ ươ ằ*. ra đc hai tam giác ng nhau, có th ta ph thêm đngể ượ ườph ng nhi cách:ụ ề­ hai nh có trên hình ra nh chung hai tam giác.ố ủ­ Trên tia cho tr c, đt đo ng đo th ng khác.ộ ướ ẳ­ đi cho tr c, đng th ng song song đo nừ ướ ườ ạth ng.ẳ­ đi cho tr c, đng th ng vuông góc đo nừ ướ ườ ạth ng.ẳNgoài ra còn nhi cách khác ta có th tích lu đc kinh nghi khi gi iề ượ ảnhi bài toán.ề2. Các ví :ụ2.1. Ví 1ụ (BTNC&MSCĐ/123)Cho góc vuông xOy, đi trên tia Ox, đi trên tia Oy. đi Eể ểtrên tia đi tai Ox, đi trên tia Oy sao cho OE= OB, OF= OA.ố ểa. Ch ng minh AB EF, AB EF.b. và là trung đi ABọ ượ ủvà EF. Ch ng minh ng tam giác OMN vuông cân.ứ ằGi i:ảGT ·xOy 90 0; Ox, Oy OE OB, OF= OA AB: MA MB EF: NE NFKL a, AB EF, AB EF b. VOMN vuông cânCh ng minhứa. Xét VAOB và VFOE có:OA OF GT)·AOB ·FOE 90 VAOB và VFOE(C.G.C) OB OE (GT)AB EF( nh ng ng)ạ ươ µA µF (1) góc ng ng)ươ ứXét VFOE µO 90 µE +µF 90 (2) (1) và (2) µE +µA 90 ·EAH =90 EH HA hay AB EF.b. Ta có: BM 12 AB( là trung đi AB)ể EN 12 EF( là trung đi EF) BM EN Mà AB EFM khác:ặ VFOE µO 90 µE +µF 90 VOAB µO 90 µA +µ1B 90 µE= µ1B Mà µA µF (cmt) Xét VBOM và VEON có OB OE (gt) µ1B µE (cmt) VBOM VEON (c.g.c) BM EN (cmt)OM ON (*) Và ¶1O ¶2OMà ¶2O +¶3O =90 nên ¶1O +¶3O =90 ·MON= 90 (**)xyFHNEMAOB1231T (*) và(**)ừ VOMN vuông cân2.2. VD2 BT26/VTYTP/62):Cho VABC cân đnh A. Trên nh AB đi D, trên tia đi tia CAỉ ủl đi sao cho BD CE. E. là trung đi DE. ủCh ng minh ba đi B, I, th ng hàng.ứ ẳGi iả GT VABC: AB AC AB, AC: BD=CE DE: ID IEKL B, I, th ng hàngẳ* Phân tích: B, I, th ng hàng ·BIE +·EIC 180 C c/m ầ·BID =·EIC Mà ·BID +·BIE 180 ra đi trên nh BC: VEIC VDIFCh ng minhứK DF// AC( BC) ·DFB ·ACB hai góc đng )ồ ·DFB =·ABCMà VABC cân tai ·ABC ·ACB (t/c)VDFB cân tai DB DFXét VDIF Và VEIC có: ID IE (gt) ·FDI ·CEI (SLT, DF// AC) VDIF VEIC(c.g.c) DF EC (=BD) ·DIF ·EIC (hai góc ng ng) (1)ươ ứVì DE nên ·DIF +·FIE 180 (2)T (1) và (2)ừ ·EIC +·FIE 180 hay ·EIC +·EIB 180 0 B, I, th ng hàng.ẳ2.3. VD :(BTNC&MSCD/123)Cho VABC, µA 60 0. Phân giác BD, CE nhau O. Ch ng minh ng :ắ ằa. VDOE cânb. BE CD= BC.Gi iả VABC, µA =60 BD: Phân giác µB (D AC) GT CE: Phân giác µC (E AB) BD CE {O}KL a. VDOE cân b. BE CD= BC.Ch ng minhứTa có: VABC: µB +µC =180 µA =180 60 120 (Đnh lý ng ba góc aị ủm tam giác)ộO1243ACBFDEABCEIFDMà µ1B =µ2B (BDlà phân giácµB µ1C =µ2C (CE là phân giác µC )Nên µ1B +µ1C µµ2B C 01202 60 0VOBC: ·BOC 180 (µ1B+µ1C)= 180 60 0=120 0((Đnh lý ng ba góc aị ủm tam giác)ộM khác:ặ·BOC +¶1O 180 0( bù)ề ¶1O=¶2O=60 ·BOC +¶2O 180 0( bù)ềV phân giác OF ủ·BOC (F BC) ¶3O=¶4O=·2BOC=60 0Do đó ¶1O=¶2O=¶3O=¶4O=60 0Xét VBOE và VBOF có: ¶2B= µ1B(BDlà phân giácµB BO nh chung VBOE VBOF(g.c.g) ¶1O=¶4O=60 0OE OF (1) hai nh ng ng)ạ ươ Và BE BFc/m ng ươ VCOD VCOF(g.c.g) OD =­ OF (2) (hai nh ng ng)ạ ươ và CD EFT (1 và (2) OE OD VDOE cânb. Ta có BE BF CD CF (cmt) BE+CD=BF+FC=BCV BE DC= BCậ* Nh xét:ậ­ VD trên cho ta thêm cách đng ph :V phân giác OF ườ ủ·BOC .Khi đó OF là đo th ng trung gian so sánh OD OE.ộ ớ­ Ta cũng có th thêm đng ph ng cách khác: Trên BC đi mể ườ ểF:BF= BE. Do đó c/m VBOE VBOF(g.c.g) và VCOD VCOF(g.c.g).3. Bài pậ3.1.Bài 1:ậ 62­ BTNC&MSCĐ/117) Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C'. Hai góc vàA'bù nhau. trung tuy AM kéo dài đo MD=MA.ẽ ạCh ng minh: a. ứ·ABD =µ'A b. AM 12 B'C'Gi iảGT VABC, VA'B'C': AB=A'B', AC= A'C' µA +µ'A 180 BC: MB=MCB'A'C'ABCMD AM: MD=MAKL a. ·ABD =µ'A b. AM 12 B'C'Ch ng minhứXét VAMC và VDMB có: AM MD (gt) ·AMC ·DMB (đi đnh) VAMC VDMB (c.g.c) MC MB( gt) AC BD hai nh ng ng)ạ ươ µ1A µD hai góc ng ng) ươ AC//BD vì có góc SLT ng nhau)ặ ằ ·BAC +·ABD 180 0(hai góc trong cùng phía) Mà ·BAC +µ'A 180 0(gt)·ABD =µ'Ab. Xét VABD và VB'A'C' có:AB A'B'(gt)·ABD =µ'A (cmt) VABD và VB'A'C'(c.g.c)BD A'C'(=AC)AD B'C' hai nh ng ng)ạ ươ Mà AM 12 AD (gt)AM 12 B'C'* Nh xét: Hai tam giác có hai nh ng nhau và góc xenậ ặgi chúng bù nhau thì trung tuy thu nh th ba tam giác này ng tữ ộn nh th ba tam giác kia.ử ủ3.2. BT2: 63­ BTNC&MSCĐ/117)Cho tam giác ABC. ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân làẽ ạABE và ACF.Ch ng minh: a. BF CE và BF CE b. là trung đi aọ ủBC. CMR: AM 12 EFGi iả VABC VABE: A= 90 0, AB AE GT VACF: A= 90 0, AC AFEAFBCMOI12 BC: MB=MCKL a.BF CE và BF CE b.AM 12 EFCh ng minhứa. Ta có: EAC= EAB+· BAC= 90 BAC BAF= BAC+ CAF= 90 BAC·EAC=· BAFXét VABF và VAEC có: AB AE(gt)·BAF =· EAC(cmt) VABF VAEC(c.g.c)AF AC (cmt)BF CE hai nh ng ng)ạ ươ ứvàµ1B= µ1E( hai góc ng ng) (1)ươ ứG và là giao đi CE BF và AB.ọ ượ ớXét VAEI vuông có ạµ1E+µ1I= 90 0(2) Và µ1I=µ2I (đi đnh) (3)ố ỉT (1), (2) và (3)ừ µ1B+µ2I =90 0·BOI= 90 0BF CE b. Ta có:·EAB +· BAC+· CAF+·FAE 360 0·BAC+·FAE 360 (·EAB +· CAF) =360 0­(90 0+90 0)=180 0Ta th y: VABC và VEAF có hai nh ng nhau và góc xenặ ặgi chúng bù nhau nên trung tuy AM 12 EF3.3. BT3 (HHNC/56):Cho VABC .v ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân là ABEẽ ạvà ACF. AH vuông góc BC. Đng th ng AH giao EF O.ẽ ườ ạCMR: là trung đi EF.ể ủGi iả VABC VABE: µA 90 0, AB AEGT VACF: µA 90 0, AC AF AH BC BC) AH EF ={O}KL là trung đi EF.ể ủEAFBCKIOHCh ng minhứK EI AH, FK AH (I, AH)Xét VAEI và VABH có:I$= µH 90 0AE AB (gt) ·EAI ·BAH góc có nh ng ng vuông góc cùng nh n)ặ ươ ọVAEI VABH (c nh huy n­ góc nh n)ạ ọEI AH hai nh ng ng)ạ ươ ứT ng :ươ VAFK VCAH (c nh huy n­ góc nh n)ạ ọFK AH hai nh ng ng)ạ ươ ứXét VOEI và VOFK có:I$= µK 90 0EI FK (=AH) VOEI VOFK(g.c.g)·KFO=· IEO(SLT, EI//FK)OE OF hai nh ng ng)ạ ươ ứMà EF(gt)O là trung đi EF.ể ủ3.4. BT4 88/ BDT7/101)Cho VABC có µA 60 ng ra ngoài tam giác đó các tam giác đu ABMự ềvà CAN.a. CMR: Ba đi A, M, th ng hàngể ẳb. c/m BN CMc. là giao đi BN và CM. Tính ủ· BOC.Gi iảGT VABC µA 60 VABM: AB= BM=MA VCAN: AC=CN=NA BN CM {O}Kl a. A,M,N th ng hàngẳ b. BN=CM c. BOC=?Ch ng minhứa. VABM, VCAN đu ·BAM CAN=60 0V ậ· MAN=·BAM +· BAC+· CAN= 60 0+60 0+60 0=180 0M,A,N th ng hàngẳMANBCO11b.Xét VABN và VACM có:AB AM (gt)·BAN=· CAM(=120 0) VABN VACM(c.g.c)AN=AC(gt)BN CM hai nh ng ng)ạ ươ ứVà µ1C =¶1N hai góc ng ng)ươ ức.·BOC là góc ngoài VOCN·BOC =·OCN +·ONC =µ1C +·ACN +·ONCMà µ1C =¶1N (cmt)·BOC =¶1N +·ACN +·ONC ·ACN +·ANC =60 0+60 0=120 03.5.BT5 (35/NC&PT/37)Ch ng minh ng: hai nh và trung tuy thu nh th ba tamứ ủgiác này ng hai nh và trung tuy thu nh th ba tam giác kia thì haiằ ủtam giác đó ng nhau.ằGi iảGT VABC, VA'B'C': AB A'B', AC= A'C' BC: MB=MC M' B'C': M'B'=M'C' AM=A'M'KL VABC= VA'B'C'Ch ng minhứL Dấ AM: MD=MAL D'ấ A'M': M'D'=M'A'Xét VABM và VDMC có:MB=MC(gt)·AMB =·CMD (đi nh) VABM và VDMC(c.g.c)AM MD(cách đi D)ấ ểCD= AB( hai nh ng ng)ạ ươ ứVà ¶2A =¶1D (1)( hai góc ng ng)ươ ứC/m ng C'D'=A'B'; ươ ự¶2'A =¶1'D (2)Xét VACD và VA'C'D' có:AC A'C'(gt)AD=A'D'(vì AM=A'M') VACD VA'C'D'(c.g.c)CD=C'D'(=AB)µ1A =¶1'A và¶1D =¶1'D (3)T (1), (2),(3) ¶2A =¶2'A mà µ1A =¶1'A ·BAC =·' ' 'B CABCDA'C'D'M'MB'221111V VABC= VA'B'C'(c.g.c)* cách 2:VAMC và VA'M'C' có: AM=A'M'(gt)µ1A =¶1'A (cmt) VAMC VA'M'C'(c.g.c) AC= A'C'(gt)MC M'C'( hai nh ng ng)ạ ươ ứMà MC 12 BC; M'C' 12 B'C'(gt). Do đó: BC=B'C'.V VABC= VA'B'C'(c.c.c)4. Ch ph lý thuy và ng chuyên đố Khi ph iầ ảch ng minh hai đo th ng hay hai góc ng nhauứ ằ5.Bài nhà:ậ ềCho tam giác ABC cân đáy BC.·BAC =20 0. Trên nh AB đi sao choạ ể·BCE =50 0. Trên nh AC đi sao choạ ể·CBD =60 0. Qua đng th ngẻ ườ ẳsong song BC,nó AB F. là giao đi BD và CF.ớ ủa. C/m VAFC= VADB.b. C/m VOFD và VOBC là các tam giác đu.ềc. Tính đo góc EOB.ốd. C/m VEFD VEOD.d. Tính đo góc BDE.ố