ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II ( Phần Hình Học)

HÌNH HỌC

CHƯƠNG II: TAM GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1/ Định lí tổng ba góc trong một tam giác. Tính chất góc ngoài của tam giác.

+có (đ/I tổng ba góc trong một tam giác)

+ Tính chất của góc ngoài Acx:

2/ Định nghĩa tính chất của tam giác cân.

* Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC cân tại A.

* Tính chất:

+ AB = AC +

+ +

3/ Định nghĩa tính chất của tam giác đều:

* Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC = BC là tam giác đều.

* Tính chất:

+ AB = AC = BC

+

4/ Tam giác vuông:

* Định nghĩa: Tam giác ABC có là tam giác vuông tại A.

* Tính chất:

* Định lí Pytago:

vuông tại A BC² = AB² + AC²

* Định lí Pytago đảo:

có BC² = AB² + AC² vuông tại A

5/ Tam giác vuông cân:

* Định nghĩa:

Tam giác ABC có và AB = AC là vuông cân tại A.

* Tính chất:

+ AB = AC = c

+ BC² = AB² + AC² BC =

+

6/ Ba trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác:

+ Trưòng hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh( c-c-c).

và có:

= ( c-c-c)

+Trưòng hợp 2: Cạnh - góc - cạnh ( c-g-c).

và có:

= ( c-g-c)

+Trưòng hợp 3: Góc - cạnh - góc ( g-c-g).

và có:

= ( g-c-g)

7/ Bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

+ Trưòng hợp 1: Hai cạnh góc vuông.

( ) và ()

có:

= ( Hai cạnh góc vuông )

+ Trưòng hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn.

( ) và ()

có: hoặc

= ( Cạnh góc vuông- góc nhọn )

+ Trưòng hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn.

( ) và ()

có: hoặc

= ( Cạnh huyền - góc nhọn )

+ Trưòng hợp 4: Cạnh huyền - cạnh góc vuông.

( ) và ()

có: hoặc

= ( Cạnh huyền - cạnh góc vuông )

B. KĨ NĂNG:

- Biết vận dụng các trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.

- Biết vận dụng định nghĩa, tính chất để chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân.

- Biết vận dụng định lí Pytago để chứng minh và tính toán.

CHƯƠNG III. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Nêu định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.

Xét có

2. Nêu quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.

. Khi đó AB > AH

hoặc AB = AH ( điều này xảy ra ).

. Khi đó

3. Nêu định lý về bất đẳng thức trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.

* Với ba điểm A,B,C bất kì, luôn có :

AB + AC > BC

hoặc AB + AC = BC ( điều này xảy ra A nằm giữa B và C ).

4. Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.

* Trong , ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại điểm G và

* Điểm G là trọng tâm của .

5. Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.

* Trong , ba đường phân giác đồng quy tại điểm I và điểm I cách đều ba cạnh :

IK = IL = IM

* Điểm I là tâm của đường tròn nội tiếp .

6. Nêu tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất 3 đường trung trực của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.

* Trong , ba đường trung trực đồng quy tại điểm O và điểm O cách đều ba đỉnh :

OA = OB = OC

* Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp .

7. Nêu tính chất đường cao của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.

* Trong , ba đường cao AI, BK, CL đồng quy tại điểm H.

* Điểm H là trực tâm của .

8. Tam giác ABC cân tại A thì đường cao xuất phát từ đỉnh A cũng là đường trung trực, cũng là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác.

9. Tam giác ABC đều thì đường cao xuất phát từ mỗi đỉnh cũng là đường trung trực, cũng là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác. Đồng thời giao điểm ba đường cao vừa cách đều ba đỉnh và ba cạnh của tam giác đều.

B. KĨ NĂNG:

- Vận dụng thành thạo các kiến thức đã học ở chương III vào giải toán.

Một số phương pháp chứng minh trong chương II và chương III

1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau:

• Cách1: Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

• Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu, cộng trừ theo vế, hai góc bù nhau .v. v.

2. Chứng minh tam giác cân:

• Cách1: Chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau.

• Cách 2: Chứng minh đường trung tuyến đồng thời là đường cao, phân giác …

• Cách 3:Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau v.v.

3. Chứng minh tam giác đều:

• Cách 1: Chứng minh 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng nhau.

• Cách 2: Chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 60⁰.

4. Chứng minh tam giác vuông:

• Cách 1: Chứng minh tam giác có 1 góc vuông.

• Cách 2: Dùng định lý Pytago đảo.

• Cách 3: Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”.

5. Chứng minh tia Oz là phân giác của góc xOy:

• Cách 1: Chứng minh góc xOz bằng yOz.

• Cách 2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz và cách đều 2 cạnh Ox và Oy.

6. Chứng minh bất đẳng thức đoạn thẳng, góc. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng qui, hai đường thẳng vuông góc v. v. . . (dựa vào các định lý tương ứng).

C. BÀI TẬP:

Bài 1 : Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm.

1. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?

2. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng?

3. Chứng minh: ?

( Học sinh tự làm )

Bài 2: Cho ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

1. Chứng minh : ABM = ACM

2. Từ M vẽ MH AB và MK AC. Chứng minh BH = CK

3. Từ B vẽ BP AC, BP cắt MH tại I. Chứng minh IBM cân.

Hướng dẫn:

1. Chứng minh : ABM = ACM

( Theo trường hợp c-c-c hoặc c-g-c hoặc g-c-g )

2. Chứng minh BH = CK

Chứng minh ( Cạnh huyền – góc nhọn )

BH = CK ( Hai cạnh tương ứng )

3. Chứng minh IBM cân.

Chứng minh

Bài 3 : Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh :

1. AB // IK

2. AKI cân

4. AIC = AKC

Hướng dẫn:

1. Chứng minh AB và IK cùng vuông góc với AC.

2. Xét AKI cần c/m AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

AKI cân tại A.

hoặc c/m ( Hai cạnh góc vuông )

AI = AK AKI cân tại A

3. C/m cùng bằng với

4. C/m AIC = AKC ( c-g-c)

()

Bài 4 : Cho ABC cân tại A (), vẽ BD AC và CE AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE.

1. Chứng minh : ABD = ACE

2. Chứng minh AED cân

3. Chứng minh AH là đường trung trực của ED

4. Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB. Chứng minh

Hướng dẫn:

1. Chứng minh : ABD = ACE ( Cạnh huyền – góc nhọn )

2. Từ câu a AE = AD ( hai cạnh tương ứng )

AED cân tại A.

3. Cần c/m HE = HD ( C/m nhiều cách )

H thuộc đường trung trực của ED.(1)

Và AE = AD ( cmt )

A thuộc đường trung trực của ED.(2)

Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của ED.

4. C/m cùng bằng với ( C/m nhiều cách ).

Bài 5 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho

BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh :

HB = CK

3. HK // DE

4. AHE = AKD

5. Gọi I là giao điểm của DK và EH. Chứng minh AI DE.

Bài 6: Cho góc xOy; vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ; trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho OA = OB, gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh:

1. MA = MB

2. OM là đường trung trực của AB.

3. Cho biết AB = 6cm; OA = 5 cm. Tính OH?

Hướng dẫn:

1. C/m ( c-g-c )

MA = MB ( hai cạnh tương ứng )

2. C/m tương tự như câu c bài 4 hoặc áp dụng tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh nên cũng là đường trung trực.

3. Áp dụng định lí Pytago để tính OH.

Bài 7: Cho tam giác ABC có B = 90⁰, vẽ trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh:

a) ABM = ECM

b) EC BC

c) AC > CE

d) BE //AC

Hướng dẫn:

1. C/m ABM = ECM ( c-g-c )

2. ( vì ABM = ECM ờ câu a )

Mà (gt) EC BC

3. AB = EC ( . . . )

Mà AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

AC là đường xiên kẻ từ A đến BC.

AC > AB ( Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên )

Do đó AC > EC

d) C/m ( c-g-c ) và ở vị trí so le trong BE //AC

Bài 8 : Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm; kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC)

1. Chứng minh BH = HC và

2. Tính độ dài BH biết AH = 4 cm.

3. Kẻ HD ⊥ AB ( d ∈ AB), kẻ EH ⊥ AC (E ∈ AC).Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?

( Học sinh tự làm )

Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE.

a) Chứng minh rằng là tam giác cân .

b) Kẻ BHAD ( H AD ), kẻ CK AE ( K AE ). Chứng minh rằng BH = CK, AH = AK.

c) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Tam giác IBC là tam giác gì ? Vì sao ?

d) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.

e) Khi và BD = CE = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác ADE và xác định dạng của tam giác IBC.

( Xem lại bài giải của bài tập 70/ sgk/ 141 tập 1 )

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN.

a) Chứng minh rằng là tam giác cân .

b) Kẻ BHAM ( H AM ), kẻ CK AN ( K AN ). Chứng minh rằng BH = CK, AH = AK.

c) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì ? Vì sao ?

d) Khi và BM = MN = CN, hãy tính số đo các góc của tam giác ABC.

( Cách chứng minh và tính toán tương tự như bài 9 )

Bài 11 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD.Chứng minh:

a) Các hình chiếu của BD và CE trên BC bằng nhau.

b) BE = CD.

c)

d) AM là tia phân giác của góc BAC.

e)

Bài 12 : Cho ∆ ABC (AB <AC ) . Có AD là phân giác của góc A ( D BC ). Trên tia AC lấy điểm E sao cho

AE = AB

a) Chứng minh : BD = DE

b) Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AB và ED . Chứng minh và ∆ DBK = ∆ DEC .

c) ∆ AKC là tam giác gì ? Chứng minh điều đó?

d) Chứng minh AD KC .

Bài 13 : Cho ∆ ABC có = 90° . Đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F

a) Chứng minh FA = FB

b) Từ F vẽ FH AC ( HAC ) Chứng minh FHEF

c) Chứng minh FH = AE

d) Chứng minh EH = ; EH // BC

Hướng dẫn:

a) C/m ( Hai cạnh góc vuông )

FA = FB ( hai cạnh tương ứng )

b) Ta có AB AC, FH AC AB // FH

Mà EF AB ( vì EF là đường trung trực của AB )

EF FH

c) FH = AE ( Áp dụng tính chất đoạn chắn )

d) C/m ( hai cạnh góc vuông )

EH = BF (1)

C/m ( cạnh góc vuông – góc nhọn )

EH = FC (2)

Mà BC = BF + FC ( tính chất cộng đoạn thẳng ) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra EH =

* C/m: EH // BC

Có ( vì ở câu d )

Mà ở vị trí so le trong.

EH // BC