108 bài toán chọn lọc Toán 7

TS. Nguyễn Văn Lợi (chủ biên)-Ths. Hoàng Văn Tựu

Dr
aft

108 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LỚP 7

1

Đôi lời với các bạn đọc
Tài liệu này được biên soạn bao gồm những bài toán được sưu tầm và lựa chọn từ
những tài liệu, giáo trình có uy tín, được nhiều người ưa thích. Bao gồm các bài toán chủ
yếu dành cho những học sinh khá, giỏi.
Với phương châm, học vừa đủ nhưng mỗi ngày mỗi tiến bộ. Đồng thời, nhằm giúp
quý phụ huynh, quý thầy, cô và các em học sinh có tài liệu tốt để tham khảo. Trong tài
liệu này, chúng tôi trích lời giải một số bài toán hay để mọi người cùng tham khảo.
Việc biên soạn rất có thể có những sai sót không đáng có, chúng tôi mong nhận được
ý kiến góp ý của quý vị. Xin chân thành cám ơn!

2

Mục lục
1 SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ
1.1 Tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Bài toán có nội dung tính toán. .
1.1.2 Bài toán có nội dung chứng minh.
1.2 Hàm số và đồ thị. . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch. . . . .
1.2.2 Hàm số và đồ thị của hàm số. . .
1.3 Biểu thức đại số. . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

2 HÌNH HỌC
2.1 Quan hệ vuông góc và quan hệ song song. . .
2.2 Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác. .
2.3 Các bài toán dựng hình cơ bản. . . . . . . . .
2.4 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. . . .
2.5 Quan hệ các đường thẳng đồng quy trong tam
2.5.1 Ba đường trung tuyến của tam giác. .
2.5.2 Ba đường phân giác của tam giác. . . .
2.5.3 Ba đường trung trực của tam giác. . .
2.5.4 Ba đường cao của tam giác. . . . . . .
2.6 Các bài toán có nội dung tính góc. . . . . . .
3 LỜI GIẢI MỘT VÀI BÀI CHỌN LỌC

3

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

. . .
. . .
. . .
. . .
giác.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
6
6
7
8

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

10
10
11
14
14
15
15
16
16
16
17
18

Chương 1
SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ
1.1

Tỉ lệ thức

1.1.1

Bài toán có nội dung tính toán.

Bài 1.1.1 Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

a)

5
x−3
= .
x+5
7

b)

7
x+1
=
.
x−1
9

c)

x+4
5
=
.
20
x+4

d)

x−1
x−2
=
.
x+2
x+3

Bài 1.1.2 Tìm x, y, z biết :
a.

x
y
z
= = và x − 3y + 4z = 62.
4
3
9

b.

9 y
7
x
= , = và x − y + z = −15.
y
7 z
3

c.

x
7 y
5
= , = và 2x + 5y − 2z = 100.
y
20 z
8

d.

12x − 15y
20z − 12x
15y − 20z
=
=
và x + y + z = 48.
7
9
11

Bài 1.1.3 Tìm x, y, z biết :
a. 5x = 8y = 20z và x − y − z = 3.
6
9
18
x = y = z và −x + y + z = −120.
11
2
5
y
z
x
c.
= = và xyz = 20.
12
9
5

b.

4

Sigma - MATHS
d.

x
y
z
= = và x2 + y 2 − z 2 = 65.
5
7
3

Bài 1.1.4 Cho biểu thức P =

x + 2y − 3z
. Tính giá trị của P biết các số x, y, z tỉ lệ
x − 2y + 3z

với các số 5, 4, 3.
Bài 1.1.5 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích là 300m2 , hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3.
Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Bài 1.1.6 Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng là

3
, các tử tỉ lệ với 3 và 5;
196

các mẫu tỉ lệ với 4 và 7.
1
1
Bài 1.1.7 Ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển đi số thóc ở kho I, số thóc
5
6
1
ở kho II và
số thóc ở kho III thì số còn lại ở ba kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho
11
có bao nhiêu tấn thóc?
Bài 1.1.8 Cho dãy tỉ số bằng nhau (Giả thiết rằng M có nghĩa):
a + 2b + c + d
a + b + 2c + d
a + b + c + 2d
2a + b + c + d
=
=
=
.
a
b
c
d
a+b b+c c+d d+a
Tìm giá trị của biểu thức M, biết M =
+
+
+
.
c+d d+a a+b b+c

1.1.2

Bài toán có nội dung chứng minh.

Bài 1.1.9 Cho

b+6
a
5
a+5
=
(a 6= 5, b 6= 6). Chứng minh = .
a−5
b−6
b
6

Bài 1.1.10 Cho tỉ lệ thức
Bài 1.1.11 Cho

a
c
a−b
c−d
= 6= 1 với a, b, c, d 6= 0. Chứng minh rằng:
=
.
b
d
a
c

a
x b
y
a2
x
= ; = . Chứng minh rằng: 2 = .
k
a k
b
b
y

Bài 1.1.12 Cho a = b + c và c =

bd
a
c
, b 6= 0, d 6= 0. Chứng minh rằng: = .
b−d
b
d

Bài 1.1.13 Cho

a
c
3
5a + 3b
5a − 3b
= (c 6= ± d). Chứng minh rằng:
=
.
b
d
5
5c + 3d
5c − 3d

Bài 1.1.14 Cho

a
c
= 6= ± và c 6= 0. Chứng minh rằng:
b
d


a.

b.

a−b
c−d

2

a+b
c+d

3

=

ab
.
cd

=

a3 − b3
.
c3 − d3
5

Sigma - MATHS
Bài 1.1.15 Chứng minh rằng

a
b
a2 + b2
ab
= thì 2
= .
2
c
d
c +d
cd

Bài 1.1.16 Cho b2 = ac. Chứng minh rằng

a2 + b2
a
= .
2
2
b +c
c

Bài 1.1.17 Cho b2 = ac, c2 = bd, với
b, c, d 6=
0, b + c 6= d, b3 + c3 6= d3 .


3
a3 + b3 − c3
a+b−c
Chứng minh rằng: 3
=
.
b + c3 − d 3
b+c−d
Bài 1.1.18 Cho các số A, B, C tỉ lệ với các số a, b, c. Chứng minh rằng giá trị của biểu
Ax + By + Cz
không phụ thuộc vào giá trị của x và y.
thức Q =
ax + by + cz
ax + by
với c, d 6= 0. Chứng minh rằng nếu giá trị của
cx + dy
biểu thức M không phụ thuộc vào x và y thì bốn số a, b, c, d lập thành một tỉ lệ thức.

Bài 1.1.19 Cho biểu thức M =

Bài 1.1.20 Cho
hoặc

a
b
= .
d
c

1.2
1.2.1

a2 + b2
ab
a
c
=
với
a,
b,
c,
d
=
6
0,
c
=
6
±d.
Chứng
minh
rằng
hoặc
=
c2 + d 2
cd
b
d

Hàm số và đồ thị.
Tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch.

Bài 1.2.1 Viết công thức biểu thị sự phụ thuộc giữa:
a Chu vi C của hình vuông cạnh x.
b Chu vi C của đường tròn bán kính R.
c Diện tích S của hình chữ nhật có một cạnh là 5(cm) và cạnh còn lại là x(cm).
d Diện tích S của hình tam giác có cạnh đáy là 4(cm) và chiều cao là h(cm).
e Chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích là 12(cm2 ) và một cạnh có độ dài là
x(cm).
f Đường cao của một hình tam giác có diện tích là 10(cm2 ) và cạnh đáy có độ dài là
x(cm).
Bài 1.2.2 Một công nhân tiện 30 đinh ốc cần 45 phút. Hỏi trong 1h45 phút, người đó
tiện được bao nhiêu đinh ốc.
Bài 1.2.3 Một con ngựa ăn hết một xe cỏ trong 4 ngày. Một con dê ăn hết một xe cỏ
trong 6 ngày. Một con cừu ăn hết một xe cỏ trong 12 ngày. Hỏi cả ba con ăn hết một xe
cỏ trong bao lâu.
6

Sigma - MATHS
Bài 1.2.4 Vận tốc riêng của ca nô là 21 km/h, vận tốc dòng sông là 3 km/h. Hỏi với thời
gian ca nô chạy ngược dòng được 30 km/h thì ca nô chạy xuôi dòng được bao nhiêu km?
Bài 1.2.5 Hai bà buôn gạo hết cùng một số tiền. Bà thứ nhất mua loại 4000 đồng/kg,
bà thứ hai mua loại 4800 đồng/kg. Biết bà thứ nhất mua nhiều hơn bà thứ hai là 2kg.
Hỏi mỗi bà mua bao nhiêu kilogam gạo?
Bài 1.2.6 Một ô tô dự định chạy từ A đến B trong thời gian nhất định. Nếu xe chạy với
vận tốc 54 km/h thì đến nơi sớm hơn 1 giờ. Nếu chạy với vận tốc 63 km/h thì đến nơi
sớm hơn 2 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi.
Bài 1.2.7 Để làm xong một công việc thì 21 công nhân cần làm trong 15 ngày. Do cải
tiến công cụ lao động nên năng xuất lao động của mỗi người tăng thêm 25%. Hỏi 18 công
nhân làm trong bao lâu thì xong công việc ấy.

1.2.2

Hàm số và đồ thị của hàm số.

Bài 1.2.8 Một chiếc tàu ngầm chạy với vận tốc không đổi là 37 km/h ở độ sâu 100 m so
với mực nước biển.
a. Viết hàm số f mô tả sự phụ thuộc giữa quãng đường s (tính bằng km) và thời gian t
(tính bằng giờ) mà tàu ngầm đã đi.
b. Viết hàm số g mô tả sự phụ thuộc giữa độ sâu h (tính bằng m) của tàu ngầm so với
mực nước biển và thời gian t (tính bằng giờ). Tính g(2), g(3, 5).
Bài 1.2.9 Cho hàm số f (x) = 4x2 − 5.
a. Tính f (3), f (

−1
).
2

b. Tìm x để f (x) = −1.
c. Chứng tỏ rằng với x ∈ R thì f (x) = f (−x).
Bài 1.2.10 Viết công thức của hàm số y = f (x) biết rằng y tỉ lệ thuận với x theo hệ số
1
tỉ lệ .
2
a. Tính x để f (x) = −5.
b. Chứng tỏ rằng nếu x1 > x2 thì f (x1 ) > f (x2 ).
Bài 1.2.11 Viết công thức của hàm số y = f (x) biết rằng y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số
tỉ lệ 12
a. Tính x để f (x) = 4, f (x) = 0.
b. Chứng tỏ rằng f (−x) = −f (x).
Bài 1.2.12 Cho hàm số y =

−1
x.
3
7

Sigma - MATHS
a. Vẽ đồ thị hàm số.
b. Trong các điểm M (−3, 1), N (6, 2), P (9, −3) điểm nào thuộc đồ thị hàm số (không vẽ
lên đồ thị).
Bài 1.2.13 Vẽ giá trị hàm số y = f (x) = 0.5x với −2 ≤ x ≤ 6. Vẽ đồ thị hàm số rồi
dùng đồ thị để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số này.
Bài 1.2.14 Cho các hàm số y = f (x) = 2x và y = g(x) =

18
. Không vẽ đồ thị của
x

chúng, hãy tính tọa độ giao điểm của hai đồ thị.

1.3

Biểu thức đại số.

Bài 1.3.1 Tính giá trị của các biểu thức sau:
√
a. A = (x + 1)(x2 − 2) tại x = 2.
b. B =

2x2 + 3x − 2
tại |x| = 3.
x+2

1
1
c. C = 9x2 − 7x|y| − y 3 tại x = ; y = −6.
4
3
5x2 + 3y 2
x
y
d. D =
với = .
2
2
10x − 3y
3
5
z
x
y
e. E = (1 + )(1 + )(1 + ) với x, y, z 6= 0, x + y + z = 0.
x
y
z
Bài 1.3.2 Thu gọn các đơn thức sau rồi xác định hệ số, phần biến, và bậc của đơn thức
(a, b, c là hằng số).


−3 5 2 2 3
3 2 4 3
bxy z .
a. A = (2a b x y) .
10

5
−1
b.
(a − 1)x3 y 4 z 2 .
2
c. (a5 b2 xy 2 z n−1 )(−b3 cx4 z 7−n ).

 
3
−9 3 2
−5 5 2
d.
axy .
ax y z .
10
3
Bài 1.3.3 Cho ba đơn thức A = ab2 x4 y 3 , B = ax4 y 3 , C = b2 x4 y 3 . Những đơn thức nào
đồng dạng với nhau nếu:
a. a, b là hằng số khác 0, x, y là biến.
b. a là hằng số khác 0, b, x, y là biến.
8

Sigma - MATHS
c. b là hằng số khác 0, a, x, y là biến.
Bài 1.3.4 Thu gọn các đơn thức sau rồi xác định bậc của đơn thức(a, b là các hằng số).
a. A = ax4 y 3 + 10xy 2 + 4y 3 − 2x4 y 3 − 3xy 2 + bx3 y 4 .
b. B = 4x(x + y) − 5(y(x − y)) − 4x2 .
c. C = (a − 1)(x2 + 1) − x(y + 1) + x + y 2 − a + 1.
 




6
−1
7 3 2
3
2 4
xy .
axy + (−5bx y )
axz + ax(x2 y)3 .
d. D =
9
11
2


1
(3x4 y 3 )2 .
x2 y + (8xn−9 ).(−2x9−n )
6
e. E =
.
15x3 y 2 (0, 4ax2 y 2 z 2 )
Bài 1.3.5 Tìm nghiệm của các đa thức:
a. (x − 3)(4 − 5x).
b. x2 − 2.
c. x2 + 3.
d. x2 + 2x.
e. x2 − 4x + 4.
f. x2 + 2x − 3.
Bài 1.3.6 Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau:
a. f (x) = x(1 − 2x) + (2x2 − x + 4).
b. g(x) = x(x − 5) − x(x + 2) + 7x.
c(∗) h(x) = x(x − 1) + 1.
Bài 1.3.7 Xác định hệ số m để các đa thức sau nhận 1 là nghiệm.
a. mx2 + 2x + 8.
b. 7x2 + mx − 1.
c. x10 − 3x2 + m.
Bài 1.3.8 Cho các đa thức f (x) = ax + b, g(x) = bx + a. Chứng minh rằng nếu x0 là
1
nghiệm của f (x) thì
là nghiệm của g(x).
x0
Bài 1.3.9 Cho biết (x − 1)f (x) = (x + 4)f (x + 8) thỏa mãn với mọi x. Chứng minh rằng
f (x) có ít nhất hai nghiệm.
Bài 1.3.10 Cho đa thức f (x) = axn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 . Hãy chỉ ra điều kiện
của các hệ số của đa thức trên để:
a. f (x) nhận x = 1 là nghiệm.
b. f (x) nhận x = −1 là nghiệm.
9

Chương 2
HÌNH HỌC
2.1

Quan hệ vuông góc và quan hệ song song.

Bài 2.1.1
[ + ACD
\ + CDy
[ = 3600 .
Trên hình vẽ trên cho biết xAC
Chứng minh rằng Ax//Dy.

Bài 2.1.2
[ + yBC
[ − ACB
[ = 1800 .
Trên hình vẽ bên cho biết xAC
Chứng minh rằng Ax//By.

Bài 2.1.3

[ > xAC,
[ Ax//By.
Trên hình vẽ bên cho biết ACB
[ = xAC
[ + CBy.
[
Chứng minh rằng ACB

Bài 2.1.4

[ > ACB.
[
Biết Ax//By và yBC
[ = xAC
[ + ACB.
[
Chứng minh rằng yBC

10

Sigma - MATHS
Bài 2.1.5
[ + ABC
[ > 1800 .
Biết Ax//Cy và xAB
[ + ABC
[ + BCy
[ = 3600 .
Chứng minh rằng xAB

Bài 2.1.6
[ < yBC.
[
Biết Ax//By và ACB
[ + yBC
[ − ACB
[ = 1800 .
Chứng minh rằng xAC
Bài 2.1.7

[ + ACD
\ − CDy
[ = 1800 .
Biết xAC
Chứng minh rằng Ax//Cy.

Bài 2.1.8

d = xAz
d + yBt.
d
Biết Az//Bt. Chứng minh rằng xOy

Bài 2.1.9
[ + ABC
[ − BCy
[ = 1800 .
Biết Ax//Cy. Chứng minh rằng xAB

Bài 2.1.10

\ = 1100 , CDE
\ = 550 , DEF
\ = 350 .
Biết AB⊥AC và ACD
Chứng minh rằng AB//EF.

2.2

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác.

Bài 2.2.1 Nhìn vào bảng hãy chỉ ra những cặp tam giác bằng nhau.

11

Sigma - MATHS

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

12

Sigma - MATHS

k)

l)

Bài 2.2.2
Cho hình vẽ có AB = CD, AD = BC.
Chứng minh AB//CD, AD//BC.

Bài 2.2.3
Cho hình vẽ có AB//CD, AB = CD.
Chứng minh AD = BC và AD//BC.

Bài 2.2.4 Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh
BC
M N//BC và M N =
.
2
Bài 2.2.5 Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm của BC. Chứng minh AB⊥AC.
Bài 2.2.6 Cho tam giác ABC vuông tại A. M là trung điểm của BC. Chứng minh
BC
b = 300 thì AC = BC .
. Từ đó hãy chỉ ra rằng: Nếu B
AM =
2
2
Bài 2.2.7 Cho tam giác ABC có AD⊥AB, AD = AB, AC⊥AE, AC = AE. M là trung
DE
điểm BC. Chứng minh AM =
và DE⊥DE.
2
Bài 2.2.8 Cho góc xAy = 600 , Az là tia phân giác của góc xAy, BC//Ay. Chứng minh
2BD = AC.
Bài 2.2.9 Cho tam giác ABC có BC = 2AB, M B = M C, DB = DM. Chứng minh
AC = 2AD.
d AB⊥Ox, AC⊥Oy, AE là
d = 900 , Oz là tia phân giác của góc xOy,
Bài 2.2.10 Cho xAy
\ Chứng minh AD = CE + BD.
tia phân giác của góc CAD.

13

Sigma - MATHS

2.3

Các bài toán dựng hình cơ bản.

Bài 2.3.1 Dựng tia phân giác của một góc cho trước.
Bài 2.3.2 Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước.
Bài 2.3.3 Dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
Bài 2.3.4 Dựng đường thẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d trong các
trường hợp sau.
a. A ∈ d.
b. A ∈
/ d.
Bài 2.3.5 Dựng đường thẳng qua điểm M không thuộc d và song song với đường thẳng
d.
Bài 2.3.6 Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh cho trước.
Bài 2.3.7 Dựng một tam giác biết hai cạnh và một góc xen giữa hai cạnh đó.
Bài 2.3.8 Dựng một tam giác biết hai cạnh và một góc xen giữa hai cạnh đó.
Bài 2.3.9 Dựng một tam giác biết hai góc kề nhau và một cạnh chung của hai góc đó.
Bài 2.3.10 Cho tam giác ABC. Dựng một điểm thỏa mãn các trường hợp sau:
a. Cách đều ba cạnh của một tam giác ABC.
b. Cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

2.4

Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.

\ <
Bài 2.4.1 Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng BAM
\
M AC khi và chỉ khi AB < AC.
Bài 2.4.2 Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC. Chứng minh AB + AC > 2AM.
Bài 2.4.3 Cho hai tam giác ∆ABC và ∆A0 B 0 C 0 và AB = A0 B 0 , AC = A0 C 0 . Chứng
b>A
b0 .
minh rằng BC > B 0 C 0 khi và chỉ khi A
Bài 2.4.4 Cho tam giác ABC có BD⊥AC, AB⊥CE, (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh
AB − AC > BD − CE
Bài 2.4.5 Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia
CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng BC < DE.

14

Sigma - MATHS
Bài 2.4.6 Cho tam giác ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh M B +
M C < AB + AC.
Bài 2.4.7 Cho hai điểm B, C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB = CD, M là điểm
nằm ngoài đoạn thẳng AD. Chứng minh M A + M D > M B + M C.
d = 600 , B nằm trên tia Ax, C nằm trên tia Ay. Chứng minh
Bài 2.4.8 Cho góc xAy
rằng AB + AC ≤ 2BC.
Bài 2.4.9 Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH⊥BC tại H. Chứng minh rằng BC +
AH > AB + AC.
Bài 2.4.10 Cho tam giác ∆ABC có BC là cạnh lớn nhất và M là trung điểm của AC.
\ > 900 .
Điểm D nằm trên đoạn BM (D 6= B). Chứng minh BDC

2.5
2.5.1

Quan hệ các đường thẳng đồng quy trong tam
giác.
Ba đường trung tuyến của tam giác.

Bài 2.5.1 Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao
cho HA = HD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB.
a. Chứng minh rằng C là trọng tâm tam giác ADE.
b. Tia AC cắt DE tại M. Chứng minh rằng AE//HM.
Bài 2.5.2 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM . Chứng minh rằng
a. Nếu AM <

BC
b tù.
thì A
2

b. Nếu AM =

BC
b vuông.
thì A
2

c. Nếu AM >

BC
b nhọn.
thì A
2

Bài 2.5.3 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN . Biết AB < AC.
Chứng minh rằng BM < CN.
Bài 2.5.4 Chứng minh rằng trong một tam giác, tổng độ dài ba đường trung tuyến lớn
3
hơn chu vi và nhỏ hơn chu vi tam giác đó.
4
Bài 2.5.5 Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia
Bx. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cy sao cho Cy//Bx. Trên Bx, Cy
lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh G cũng là trọng tâm tam giác ADE.
15

Sigma - MATHS

2.5.2

Ba đường phân giác của tam giác.

Bài 2.5.6 Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng hai đường phân giác ngoài của góc B
và góc C cùng với đường phân giác trong góc A đồng quy.
Bài 2.5.7 Cho góc xOy. Lấy điểm A trên Ox, lấy điểm B trên Oy. Vẽ các tia phân giác
của các góc BAx và ABy cắt nhau tại M. Từ M vẽ một đường thẳng vuông góc với OM
cắt Ox, Oy tại C và D. Chứng minh tam giác OCD cân.
b = 1200 , phân giác BD và CE. Đường thẳng chứa tia
Bài 2.5.8 Cho tam giác ABC có B
phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh
\ = BDF
\ và D, E, F thẳng hàng.
rằng ADF
Bài 2.5.9 Cho tam giác ABC, các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O. Từ A vẽ
đường thẳng vuông góc với OA cắt các tia BO và CO lần lượt tại M và N. Chứng minh
BM ⊥BN và CM ⊥CN.
b = 450 , đường cao AH, phân giác BD. Cho biết
Bài 2.5.10 Cho tam giác ABC, B
\ = 450 . Chứng minh rằng HD//AB.
BDA

2.5.3

Ba đường trung trực của tam giác.

Bài 2.5.11 Cho tam giác ABC. Trên cạnh CA lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường
trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chứng minh rằng:
a. ∆AOB = ∆COE.
b. AO là tia phân giác của góc A.
Bài 2.5.12 Cho tam giác ABC. Tìm điểm E thuộc đường phân giác của góc ngoài tại
đỉnh A sao cho tam giác EBC có chu vi nhỏ nhất.
Bài 2.5.13 Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm M thuộc BC sao cho nếu vẽ các điểm
D, E trong đó AB là đường trung trực của M D, AC là đường trung trực của M E thì
DE có độ dài nhỏ nhất.
d
Bài 2.5.14 Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy.Tìm
điểm B thuộc tia Ox, điểm C
thuộc tia Oy sao cho ABC có chu vi nhỏ nhất.
Bài 2.5.15 Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên cạnh
AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi
qua một điểm cố định.

2.5.4

Ba đường cao của tam giác.

Bài 2.5.16 Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, đường cao BE. Trên tia BE
lấy điểm F sao cho BF = CE. Chứng minh rằng ba đường thẳng BE, CF và AM cùng
đi qua một điểm.
16

Sigma - MATHS
Bài 2.5.17 Cho tam giác nhọn ABC,hai đường cao BD, CE gặp nhau tại H. Vẽ điểm
\ = KCB.
\
K sao cho AB là trung trực của HK. Chứng minh rằng KAB
Bài 2.5.18 Tam giác ABC có cạnh BC là cạnh lớn nhất. Trên cạnh BC lấy điểm D và
E sao cho BD = BA và CE = CA. Tia phân giác của góc B cắt AE tại M.Tia phân
giác của góc C cắt AD tại N . Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC vuông góc
với M N.
Bài 2.5.19 Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AH và HC. Chứng minh rằng BM ⊥AN.
Bài 2.5.20 Cho tam giác ABC đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ
là đường thẳng BC lấy điểm D, E sao cho BD⊥BA, BD = BA, CE⊥CA, CE = CA.
Chứng minh rằng các đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.

2.6

Các bài toán có nội dung tính góc.

Bài 2.6.1 Tính các góc của tam giác ABC biết đường cao AH và đường trung tuyến
AM chia góc A thành A thành ba góc bằng nhau.
b = 450 , C
b = 1200 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm
Bài 2.6.2 Cho tam giác ABC có B
D sao cho CD = 2CB. Tính số đo góc ADB.
b = 750 . Trên tia đối của tia AB lấy điểm
Bài 2.6.3 Cho tam giác ABC vuông ở A và B
H sao cho BH = 2AC. Tính số đo của góc AHC.
b = 500 , B
b = 200 . Trên đường phân giác BE của tam
Bài 2.6.4 Cho tam giác ABC có A
giác ta lấy điểm F sao cho F[
AB = 200 . Gọi N là trung điểm AF, EN cắt AB tại K.
\
Tính số đo KCB.
Bài 2.6.5 Tính các góc của tam giác cân ABC biết rằng trên cạnh AB lấy điểm D sao
cho AD = DC = CB.
b = 200 . Trên nửa mặt phẳng không chứa B
Bài 2.6.6 Cho tam giác ABC cân tại A có A
[ = 600 , trên tia ấy lấy điểm D sao cho CD = CB. Tính
có bờ AC, vẽ tia Cx sao cho ACx
\
ADC.

17

Chương 3
LỜI GIẢI MỘT VÀI BÀI CHỌN
LỌC
Bài 1.1.3. d.
Lời giải.
Giả thiết bài toán ta có x, y, z cùng dấu.
x
y
z
x2
y2
z2
x2 + y 2 − z 2
65
=
=
=
=
=1
Ta có: = = suy ra
5
7
3
25
49
9
25 + 49 − 9
65
 2
x


=1


25







 2
x = ±5
y
Vậy ta có:
= 1 ⇔ y = ±7


49



z = ±3




2


z = 1
9




x
=
5

x = −5
Do x, y, z cùng dấu nên y = 7 hoặc y = −7 là các giá trị phải tìm.




z=3
z = −3



Bài 1.1.8. Lời giải.
Ta có:
2a + b + c + d
a + 2b + c + d
a + b + 2c + d
a + b + c + 2d
−1=
−1=
−1=
−1
a
b
c
d
a+b+c+d
a+b+c+d
a+b+c+d
a+b+c+d
=
=
=
=
a
b
c
d
Trường hợp 1 Nếu a + b + c + d = 0 thì M = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = −4.
Trường hợp 2 Nếu a + b + c + d 6= 0 thì
Vậy M = 4.

1
1
1
1
= = = . Khi đó, a = b = c = d.
a
b
c
d

2a
= 4.
2a


18

Sigma - MATHS
Nhận xét:Nhìn vào hệ số của a, b, c, d và sự bình đẳng về bậc của a, b, c, d trong giả
thiết bài toán ta có thể mở rộng bài toán như sau:
Bài toán 1 Cho số tùy ý α 6= 0 và cho dãy tỉ số bằng nhau:
a + (α + 1)b + c + d
a + b + (α + 1)c + d
a + b + c + (α + 1)d
(α + 1)a + b + c + d
=
=
=
.
a
b
c
d
Tìm giá trị của biểu thức M, biết M =

a+b b+c c+d d+a
+
+
+
.
c+d d+a a+b b+c

Bài toán 2 Cho dãy tỉ số bằng nhau:
a + (α + 1)b + c + d
a + b + (α + 1)c + d
a + b + c + (α + 1)d
(α + 1)a + b + c + d
=
=
=
.
αa
αb
αc
αd
Tìm giá trị của biểu thức M, biết M =

a+b b+c c+d d+a
+
+
+
.
c+d d+a a+b b+c

Bài toán 3 Cho số tùy ý α và m là số nguyên dương chẵn và cho dãy tỉ số bằng nhau:
αam + bm + cm + dm
am + αbm + cm + dm
am + bm + αcm + dm
am + bm + cm + αdm
=
=
=
.
am
bm
cm
dm
Tìm giá trị của biểu thức M, biết M =

a+b b+c c+d d+a
+
+
+
.
c+d d+a a+b b+c

Bài 1.1.11. Lời giải.
a2
b
x
a
a2
Từ giả thiết ta có: x = , y = . Suy ra = k2 = 2
b
k
k
y
b
k
2

2

Bài 1.1.18. Lời giải.
Từ giả thiết tồn tại số k không phụ thuộc vào x và y để A = ka, B = kb, C = kc.
Ax + By + Cz
kax + kby + kcz
Khi đó Q =
=
=k
ax + by + cz
ax + by + cz
Bài 1.2.5. Lời giải.
Bà thứ nhất mua x cân gạo thì bà thứ hai mua (x − 2) cân gạo(x > 2).
Bà thứ nhất mua hết số tiền là: 4000x(đồng).
Bà thứ hai mua hết số tiền là: 4800(x − 2)(đồng).
4800.2
Theo bài ra thì 4000x = 4800(x − 2) ⇔ x =
= 12.
800
Vậy bà thứ nhất mua 12 cân gạo.
và bà thứ hai mua 10 cân gạo.
Bài 1.2.8. Lời giải.

19