Chủ đề 2, Hàm số bậc nhất và bậc hai

Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc 2

Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất

Kiến thức cần nhớ:

1. Định nghĩa:

+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: trong đó và là các số thực cho trước và .

+ Khi thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số , biểu thị tương quan tỉ lện thuận giữa và .

2. Tính chất:

1. Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị .

2. Trên tập số thực, hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi .

3. Đồ thị hàm số với .

+ Đồ thị hàm số là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .

+ gọi là hệ số góc của đường thẳng

4. Cách vẽ đồ thị hàm số .

+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm.

+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ là .

+ Chú ý: Đường thẳng đi qua song song với trục tung có phương trình: , đường thẳng đi qua song song với trục hoành có phương trình:

5. Kiến thức bổ sung.

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm thì . Điểm là trung điểm của thì .

6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông góc.

Cho hai đường thẳng và đường thẳng với .

• và .

• và .

• cắt .

Chú ý: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và trục , nếu thì .

Dạng 1: Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ:

Bài tập 1: Cho đường thẳng và đường thẳng .

1. Tìm để .

2. Gọi là điểm thuộc đường thẳng có hoành độ . Viết phương trình đường thẳng đi qua vuông góc với .

3. Khi . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .

4. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng và tính diện tích tam giác với lần lượt là giao điểm của với các trục tọa độ .

Lời giải:

1. Đường thẳng khi và chỉ khi .

Vậy với thì .

2. Vì là điểm thuộc đường thẳng có hoành độ suy ra tung độ điểm l .

Đường thẳng có hệ số góc là , đường thẳng có hệ số góc là . Đường thẳng có dạng . Vì đi qua suy ra . Vậy đường thẳng là .

K

hi thì khoảng cách giữa hai đường thẳng và cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm lần lượt thuộc và sao cho .

Hình vẽ: Gọi là giao điểm của đường thẳng

và . Phương trình hoành độ giao điểm

của và là:

.

Vậy độ dài đoạn thẳng là: .

4. Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ . Ta có:

Cho , cho . Từ đó suy ra .Tam giác vuông cân tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên ta có và ( đvdt).

C

hú ý 1: Nếu tam giác không vuông cân tại ta có thể tính theo cách:

Trong tam giác vuông ta có:

(*). Từ đó để khoảng cách từ điểm

đến đường thẳng ta làm theo cách:

+ Tìm các giao điểm của với các trục tọa

độ

+ Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông (công thức (*)) để tính đoạn .

Bằng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau:

Cho và đường thẳng . Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:

.

Bài tập 2:Cho đường thẳng .

1. Tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua.

2. Tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.

3. Tìm để đường thẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại sao cho tam giác cân.

Lời giải:

1. Gọi là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi khi đó

ta có: . Hay .

2. Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng . Ta có: suy ra lớn nhất bằng khi và chỉ khi . Đường thẳng qua có phương trình: do .

Đường thẳng được viết lại như sau: . + Đế ý rằng với thì đường thẳng song song với trục nên khoảng cách từ đến là . + Nếu đường thẳng có thể viết lại: . Điều kiện để là . Khi đó khoảng cách . Vậy là giá trị cần tìm.

3. Ta có thể giải bài toán theo 2 cách sau:

+ Cách 1: Dễ thấy không thỏa mãn điều kiện (Do không cắt ). Xét , đường thẳng cắt tại các điểm tạo thành tam giác cân , do góc vuông cân tại . Suy ra hệ số góc của đường thẳng phải bằng hoặc và đường thẳng không đi qua gốc .

. Ta thấy chỉ có giá trị là thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách 2: Dễ thấy không thỏa mãn điều kiện Xét , đường thẳng có thể viết lại: . Đường thẳng cắt trục tại điểm có tung độ bằng nên , đường thẳng cắt trục tại điểm có hoành độ bằng nên . Điều kiện để tam giác cân là . Giá trị không thỏa mãn , do đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Kết luận: .

Bài tập 3: Cho hai đường thẳng

1. Tìm các điểm cố định mà , luôn đi qua.

2. Tìm để khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là lớn nhất.

3. Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm .Tìm quỹ tích điểm khi thay đổi.

4. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác với lần lượt là các điểm cố định mà đi qua.

Lời giải:

1. Ta viết lại . Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng luôn đi qua điểm cố định: .

Tương tự viết lại suy ra luôn đi qua điểm cố định: .

2. Để ý rằng đường thẳng luôn đi qua điểm cố định: . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên thì khoảng cách từ đến là . Suy ra khoảng cách lớn nhất là khi .Gọi là phương trình đường thẳng đi qua ta có hệ : suy ra phương trình đường thẳng .

Xét đường thẳng . Nếu thì không thỏa mãn điều kiện. Khi thì: . Điều kiện để là .

3. N

   ếu thì và suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại . Nếu thì và suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại . Nếu thì ta viết lại và . Ta thấy nên .

Do đó hai đường thẳng này luôn cắt

nhau tại 1 điểm .

Tóm lại với mọi giá trị của thì hai

đường thẳng luôn vuông góc

và cắt nhau tại 1 điểm . Mặt khác theo

câu a) ta có lần lượt đi qua 2

điểm cố định suy ra tam giác vuông tại . Nên nằm trên đường tròn đường kính .

4. Ta có . Dựng thì . Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác là khi và chỉ khi . Hay tam giác vuông cân tại .

Dạng 2: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Ta có các kết quả quan trọng sau:

+ Xét hàm số với khi đó GTLN, GTNN của hàm số sẽ đạt được tại hoặc . Nói cách khác: và . Như vậy để tìm GTLN, GTNN của hàm số với ta chỉ cần tính các giá trị biên là và so sánh hai giá trị đó để tìm GTLN, GTNN.

+ Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất có thì với mọi giá trị của thỏa mãn điều kiện: .

Bài tập 1: Cho các số thực . Chứng minh rằng: .

Lời giải:

Ta coi như là các tham số, là ẩn số thì bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại như sau: . Để chứng minh ta chỉ cần chứng minh: . Thật vậy ta có:

+ với thỏa mãn: .

+ với thỏa mãn: .

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc các hoán vị của bộ số trên.

Bài tập 2: Cho các số thực không âm thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN của biểu thức: .

Lời giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử . Ta có . . Ta coi là tham số là ẩn số thì là hàm số bậc nhất của với . Để ý rằng: suy ra hàm số luôn đồng biến . Từ đó suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Bài tập 3: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: .

Lời giải:

Không mất tính tổng quát giả sử: suy ra . Bất đẳng thức tương đương với

. Đặt thì . Ta cần chứng minh: với mọi . Do suy ra hàm số nghịch biến. Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Vấn đề 2: HÀM SỐ BẬC HAI

Kiến thức cần nhớ.

Hàm số : Hàm số xác định với mọi số thực

Tính chất biến thiên:

+) Nếu thì hàm số đồng biến khi , nghịch biến khi .

+) Nếu thì hàm đồng biến khi , nghịch biến khi .

Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc tọa độ làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng. Khi thì Parabol có bề lõm quay lên trên, khi thì Parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Bài tập 1

1. Hãy xác định hàm số biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm .

2. Vẽ đồ thị của hàm số đã cho

3. Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16.

4. Tìm sao cho thuộc Parabol.

5. T

   ìm các điểm trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.

Lời giải:

a) Ta có

b) Đồ thị Parabol có đỉnh là gốc tọa độ

quay bề lồi xuống dưới, có trục

đối xứng là đi qua các điểm

c) Gọi là điểm thuộc có tung độ bằng 16.

Ta có: . Vậy hoặc .

d) Thay tọa độ điểm vào ta được: hoặc .

e) Gọi là điểm thuộc cách đều hai trục tọa độ. Ta có: . Theo giả thiết ta có: (loại) hoặc . Vậy hoặc .

Bài tập 2: Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là m( Bỏ qua độ dày của cổng).

1. Trong mặt phẳng tọa độ gọi Parabo với là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh .

2. Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016)

Lời giải:

1. Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên . Theo giả thiết ta có , áp dụng định lý Pitago ta tính được: vậy . Do thuộc parabol nên tọa độ điểm thỏa mãn phương trình: hay và .

2. Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.

Xét đường thẳng

(ứng với chiều cao của xe). Đường

thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm

có tọa độ thỏa mãn hệ: suy ra tọa độ hai giao điểm là . Vậy xe tải có thể đi qua cổng.

Bài tập 3. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và điểm . Tìm tất cả những điểm sao cho khoảng cách từ đến bằng .

Lời giải:

Giả sử điểm . Khi đó khoảng cách từ đến bằng và . Như vậy Từ đây suy ra . Do đó tập hợp tất cả những điểm sao cho khoảng cách từ đến bằng là đường Parabol .

Bài tập 4:

1. Xác định điểm thuộc đường Parabol sao cho độ dài đoạn là nhỏ nhất, trong đó .

2. Giả sử điểm chạy trên Parabol . Tìm tập hợp trung điểm của đoạn .

Lời giải:

1. Giả sử điểm thuộc đường Parabol suy ra . Khi đó . Vậy . Ta thấy nhỏ nhất bằng khi hay .

2. Giả sử điểm thuộc . Gọi là trung điểm đoạn .Suy ra . Vậy tập hợp các trung điểm của đoạn là đường Parabol .

Bài tập 5. Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm và chạy trên parabol sao cho và . Giả sử là trung điểm của đoạn .

a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm của đoạn .

b) Đường thẳng luôn luôn đi qua một điểm cố định.

c) Xác định tọa độ điểm và sao cho độ dài đoạn nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Giả sử và là hai điểm thuộc . Để và ta cần điều kiện: và hay và . Rút gọn hai vế ta được: . Gọi là trung điểm đoạn . Khi đó: . Vậy tọa độ điểm thỏa mãn phương trình .

Ta cũng có thể tìm điều kiện để theo cách sử dụng hệ số góc: Đường thẳng có hệ số góc là , đường thẳng có hệ số góc là . Suy ra điều kiện để là

b) Phương trình đường thẳng đi qua và là hay . Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng luôn luôn đi qua điểm cố định .

c) Vì nên . Độ dài đoạn hay

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có , . Ta có: . Vậy ngắn nhất bằng khi . Ta có thể chỉ ra cặp điểm đó là: và . Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol , trên lấy hai điểm .

1. Tính diện tích tam giác .

2. X

   ác định điểm thuộc cung nhỏ của sao cho diện tích tam giác lớn nhất.

Lời giải:

1. Gọi là phương

trình đường thẳng .

Ta có

suy ra phương trình đường thẳng . Đường thẳng cắt trục tại điểm . Diện tích tam giác là: . Ta có . Suy ra (đvdt).

2. Giả sử thuộc cung nhỏ với . Diện tích tam giác: . Các tứ giác đều là hình thang vuông nên ta có: .Vậy diện tích tam giác lớn nhất bằng (đvdt) khi .

Bài tập 7: Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và parabol .

1. Tìm tọa độ các giao điểm của và .

b)Gọi là hai giao điểm của và . Tính diện tích tam giác .

Lời giải:

1. Phương trình hoành độ giao điểm của và là: .Ta có .

Vậy tọa độ giao điểm của và là và .

2. Gọi lần lượt là hình chiếu của xuống trục hoành.

Ta có

Ta có

(đvdt), (đvdt) (đvdt). Dạng 3: Phương trình bậc hai và định lý Vi-et

Kiến thức cần nhớ:

Đối với phương trình bậc hai có biệt thức .

+ Nếu thì phương trình vô nghiệm. + Nếu thì phương trình có nghiệm kép . + Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; .

Công thức nghiệm thu gọn : Khi , ta xét . Khi đó:

+ Nếu thì phương trình vô nghiệm. + Nếu thì phương trình có nghiệm kép . + Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; .

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Để chứng minh một phương trình bậc 2 có nghiệm. Thông thường ta chứng minh: dựa trên các kỹ thuật như biến đổi tương đương để đưa về dạng , kiến thức về bất đẳng thức , bất phương trình, trong một số bài toán khó ta cần nắm bắt được những tính chất đặc biệt của tam thức bậc 2 để vận dụng.

Ngoài các kiến thức cơ sở trong SGK ta cần nắm thêm một số kết quả, bổ đề quan trọng sau:

+ Mọi tam thức bậc 2: với đều có thể phân tích thành dạng với .

+ Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm ngoài cách chứng minh ta còn có cách khác như sau:”Chỉ ra số thực sao cho hoặc hai số thực sao cho: ”.

Thật vậy ta có thể chứng minh điều này như sau:

+ Ta có suy ra phương trình có nghiệm.

+ Xét trong hai số và có một số không dương, tức là hoặc phương trình có nghiệm.

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

2. .

4. .

Lời giải:

1. Ta có .

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2. Ta có .

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

3. Ta có:

. Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: ,

4. . Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Bài tập 2. Cho phương trình: (1)

1. Giải phương trình (1) khi

2. Tìm để phương trình (1) có nghiệm kép.

3. Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

1. Với ta có phương trình: . Ta có nên phương trình có 2 nghiệm là: và .

2. Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

.

3. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

.

Bài tập 3: Cho . Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: .

Lời giải:

Nếu thì từ giả thiết ta suy ra . Do vậy phương trình có vô số nghiệm.

Dưới đây ta xét trường hợp .

Ta có: .

Do . Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm.

Bài tập 4: Cho phương trình: (1)

vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có nghiệm: và (3).

Lời giải:

Vì (1) vô nghiệm nên ta có:

Phương trình(2) có: Phương trình (3) có:

Nên (*) trong hai số luôn có một số dương và một số âm dẫn đến trong hai phương trình (2) và (3) luôn có một phương trình có nghiệm và một phương trình vô nghiệm.

Bài tập 5

1. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm và .

2. Cho các số thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm :

3. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm: (1) ; (3).

Lời giải:

a) Hai phương trình trên lần lượt có

. Vì là các số dương nên lần lượt cùng dấu với và . Mặt khác ta lại có . Dẫn đến . Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.

b). Ba phương trình đã cho lần lượt có . Do đó . Lại có .Suyra . Do đó hay . Vậy có ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm.

c) Nếu Trong ba số có một số bằng 0, chẳng hạn có nghiệm .

Ta xét là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có : .

Xét tổng ta có: Suy ra trong ba số có ít nhất một số không âm hây ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Bài tập 6:

1. Cho tam thức bậc hai trong đó là các số nguyên. Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên để được .

2. Cho tam thức bậc hai . Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình có 4 nghiệm nếu: .

Giải:

1. Đây là bài toán khó: Để chứng minh sự tồn tại của số ta cần chỉ ra tính chất:

Với mọi đa thức bậc 2 dạng . Ta luôn có với mọi . Thật vậy ta có: Trở lại bài toán chọn ta có . Ta suy ra số cần tìm chính là: .

2. Ta có: hay Để ý rằng phương trình có và có 2 nghiệm phân biệt nên suy ra có 4 nghiệm.

Chú ý:

+ Để chứng minh trong n số có ít nhất một số không âm (hoặc một số dương) ta chỉ cần chứng minh tổng trong đó .

Bài tập 7: Cho là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: (1)

Cách 1: (2)

Vì nên (2) là phương trình bậc hai, do đó để chứng minh phương trình có nghiệm ta chỉ cần chứng minh

Ta có: . Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Cách 2: Gọi là vế trái của phương trình (1). Ta có:

trong bốn số luôn tồn tại hai số có tích không dương. Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Bài tập 8: Cho a,b,c thỏa mãn: CHứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

Cách 1:

* Nếu có nghiệm

* Nếu ta có: có nghiệm

Cách 2: Ta có:

có nghiệm.

Cách 3: Ta có Suy ra suy ra phương trình luôn có nghiệm.

Nhận xét:

Với cách giải thứ hai thì việc khó nhất là phải chứng minh được đẳng thức: Tại sao ta xét và nhân thêm các hệ số 2 và 4. Vậy ngoài hai giá trị ta còn có những giá trị nào khác không? Câu trả lời là có, chẳng hạn ta xét . Ta cần xác định hệ số saocho: . Đồng nhất các hệ số ta có hệ phương trình: . Vậy ta có: trong ba số tồn tại một số không âm và một số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương hay phương trình có nghiệm.

Cách giải thứ 3: Tại sao ta chỉ ra được . Điều này là hoàn toàn tự nhiên nếu ta cần tạo ra một tỷ lệ để tận dụng giả thiết:

Ta xét bài toán tổng quát sau:

Bài tập 9: Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: và Chứng minh rằng phương trình: (1) có nghiệm

Giải: Để chứng minh (1) có nghiệm , ta sẽ chỉ ra các số thực sao cho . Vì và có giả thiết nên dẫn đến ta xét: . Mặt khác từ:

* Xét

- Nếu là đa thức không, do đó sẽ có nghiệm trong - Nếu , từ giả thiết và * Xét ta có: có nghiệm

VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN (Phương pháp miền giá trị hàm số)

Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức với .

Phương pháp:

Gọi là một giá trị của biểu thức: Khi đó . (*)

Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu thay vào ta tìm được suy ra là một giá trị của biểu thức.

+ Nếu thì là phương trình bậc 2 ẩn . Điều kiện để phương trình có nghiệm là: . Từ đó ta suy ra điều kiện của . Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức.

+ Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả sau: Ta có: . Từ đó suy ra Nếu thì luôn cùng dấu. Một kết quả thường xuyên sử dụng trong giải toán là: “Nếu tam thức bậc 2 : có .”

Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:

1. .

2. .

3. với .

4. biết (Đề TS ĐH khối B- 2008)

Lời giải:

1. Do , suy ra biểu thức luôn xác định với mọi . Gọi là một giá trị của biểu thức khi đó ta có: . + Nếu điều đó có nghĩa là là một giá trị của biểu thức nhận được.

+ Nếu thì là một phương trình bậc 2 có . Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi . Để ý rằng với mỗi giá trị hoặc thì nên + GTNN của là khi và chỉ khi . + GTLN của là khi và chỉ khi .

2. ĐKXĐ .

Ta có (1) . Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn . Trường hợp 1: thì (*)

Trường hợp 2: phương trình (1) có nghiệm khi

(**). Kết hợp (*) và (**) ta có .

3. . Biểu thức có dạng đẳng cấp bậc 2.

Ta chia tử số và mẫu số cho và đặt thì . Ta có với mọi . Gọi là một giá trị của biểu thức. Khi đó ta có:

+ Nếu thì suy ra là một giá trị của biểu thức nhận được.

+ Nếu thì là một phương trình bậc 2 có . Điều kiện để phương trình có nghiệm là .Từ đó ta có GTNN của là 1 khi và chỉ khi . GTLN của là khi và chỉ khi .

4. Nếu thì . Xét đặt thì . Giải tương tự như câu b) Ta có . Suy ra GTNN của là đạt được khi và chỉ khi hoặc . GTLN của là 3 đạt được khi và chỉ khi hoặc .

Bài tập 2: Cho các số thực thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của .

Lời giải:

Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng: (*) hay (*). Vì là các số thực thỏa mãn nên suy ra là hai nghiệm của phương trình: (**).

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: hay .

Khi nên GTNN của là 1. Khi suy ra GTLN của .

Bài tập 3: Cho các số thực thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN của biểu thức: .

Lời giải:

Thay vào ta có: hay . Để phương trình có nghiệm điều kiện là hay . Do đó GTLN của là đạt được khi .

Bài tập 4: Cho các số thực dương sao cho . Chứng minh rằng: .

Lời giải:

Từ giả thiết ta suy ra . Ta biến đổi bất đẳng thức thành: coi đây là hàm số bậc 2 của . Xét ta có hệ số của là và ta có: do . Suy ra , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

ĐỊNH LÝ VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Kiến thức cần nhớ:

Định lý Viet: Nếu là hai nghiệm của phương trình thì (*)

Ghi chú: Trước khi sử dụng định lý Viet, chúng ta cần kiểm tra điều kiện phương trình có nghiệm, nghĩa là .

Một số ứng dụng cơ bản của định lý Viet

+ Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai:

Nếu thì phương trình có hai nghiệm là . Nếu thì phương trình có hai nghiệm là .

+ Tính giá trị của biểu thức trong đó là biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm của phương trình (*):

Bước 1: Kiểm tra điều kiện , sau đó áp dụng định lý Viet.

Bước 2: Biểu diễn biểu thức theo từ đó tính được .

Một số biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm thường gặp:

;

;

;

+ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là cho trước:

Bước 1: Tính .

Bước 2: Phương trình bậc hai nhận hai nghiệm là .

+ Tìm điều kiện để phương trình bậc hai (*) ( phụ thuộc vào tham số ), có hai nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước (1)

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình (*) có nghiệm, nghĩa là . Sau đó áp dụng định lý Viet để tính (2) và (3) theo .

Bước 2: Giải hệ phương trình (1),(2),(3) (thường sử dụng phương pháp thế) để tìm , sau đó chú ý kiểm tra điều kiện của tham số ở bước 1.

+ Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử: Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì .

+ Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc 2 ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:

Nếu: .

Nếu

Nếu

Bài tập 1. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm

1. c)

Lời giải:

1. Ta có:

Vì nên hai nghiệm cùng dấu và nên hai nghiệm cùng dấu dương.

2. Ta có: nên hai nghiệm trái dấu.

3. Ta có:

Vì nên hai nghiệm cùng dấu và nên hai nghiệm cùng dấu âm.

Bài tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1. b)

c) d) .

Lời giải:

1. Phương trình có hai nghiệm hoặc Suy ra .

2. Phương trình hoặc .Suy ra .

3. Ta coi phương trình là phương trình bậc hai ẩn .

Ta có . Suy ra phương trình có nghiệm là hoặc . Do đó

4. Ta có

Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn và có:

Suy ra phương trình có nghiệm là hoặc . Do đó

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn .

Lời giải:

Ta có

Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn và có:

Suy ra hoặc .Do đó .

Bài tập 4

1. Cho phương trình , với la tham số. Biết phương trình có một nghiệm là , tìm và tìm nghiệm còn lại.

2. Cho phương trình , với là tham số. Tìm để phương trình có hai nghiệm dương.

3. Cho phương trình , với là tham số. Xác định để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Lời giải:

1. Vì là nghiệm của phương trình nên thay vào phương trình ta được . Theo hệ thức Viet ta có: mà nên .Vậy và nghiệm còn lại là .

2. Phương trình có hai nghiệm dương

Vậy với thỏa mãn bài toán.

3. Ta có

(1)

Đặt . Khi đó (1) thành: (2)

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là phải có: thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 4:

1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .

2. Chứng minh rằng phương trình: (1) có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp lần nghiệm kia khi và chỉ khi .

3. Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông , biết độ dài cạnh huyền .

Lời giải:

1. Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác 0 nên:

(*). Khi đó theo định lý Viet ta có: Ta có: (do )

Thay vào (*) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy là giá trị cần tìm.

2. Giả sử (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia thì ta có:

Giả sử ta chỉ cần chứng minh (1) có nghiệm là được. Ta có: . Vậy ta có điều phải chứng minh.

3. Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên .

Theo định lý Viet, ta có (1). Điều kiện để phương trình có nghiệm là: (2).

Từ giả thiết suy ra . Do đó

Thay vào (1) và (2) ta thấy .

Vậy giá trị cần tìm là .

Bài tập 5: Cho phương trình .

1. Giải phương trình khi .

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho phương trình có bốn nghiệm đôi một phân biệt.

Lời giải:

1. Khi , ta có phương trình:

Kiểm tra ta thấy không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế của phương trình cho ta được:

Đặt , suy ra . Thay vào phương trình trên ta được: . Với ta được . Vậy với phương tình có nghiệm .

2. Nếu phương trình đã cho thành:

Khi phương trình vô nghiệm.

Khi thì là một nghiệm của phương trình đã cho và khi đó phương trình đã cho có dạng . Trong trường hợp này phương trình chỉ có hai nghiệm nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó và . Chia hai vế của phương trình cho và đặt . Ta thu được phương trình:

Với ta được (1)

Với ta được (2)

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi một trong các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt, đồng thời chúng không có nghiệm chung.

Để (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

(*)

Khi đó nếu là một nghiệm chung của (1) và (2) thì: . Suy ra điều này tương đương với hoặc hoặc .

Nếu thì (không thỏa mãn). Nếu thì (1) và (2) cùng có hai nghiệm

Do đó kết hợp với (*), suy ra phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Bài tập 6: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình:

1. có hai nghiệm thỏa mãn .

2. có hai nghiệm thỏa mãn .

3. có hai nghiệm thỏa mãn .

4. có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Lời giải:

1. Nếu thì phương trình đã cho thành: (không thỏa mãn)

Nếu . Ta có

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là (*). Với điều kiện (*) giả sử là hai nghiệm của phương trình.

Từ yêu cầu bài toán và áp dụng Viet ta có:

Thay vào phương trình ta được hoặc . Đối chiếu điều kiện ta được hoặc thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2. Ta có:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là

Theo định lý Viet ta có: thay vào hệ thức , ta được hoặc

Đối chiếu điều kiện ta được thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Ta có:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là

Ta có:

. Theo định lý Viet ta có: . Thay vào hệ thức ta được:

Đối chiếu điều kiện ta được thỏa mãn yêu cầu bài toán.

4. Ta có:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: hoặc . Ta có: . Theo định lý Viet ta có: . Thay vào hệ thức , ta được:

. Đối chiếu điều kiện ta được hoặc thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 7: Cho phương trình , với là tham số.

1. Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi .

2. Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là . Tìm để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

1. Xét

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi .

2. Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là .

Theo câu a) thì , do đó được xác định với mọi .

Do trái dấu nên với , suy ra , suy ra

Đặt , với , suy ra . Khi đó mang giá trị âm và đạt giá trị lớn nhất khi có giá trị nhỏ nhất. Ta có , suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Với , ta có . Vậy với thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất là .

Bài tâp 8: Cho phương trình , với là tham số. Gọi là hai nghiệm của phương trình.

1. Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào .

2. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

Lời giải:

Ta có , với mọi .

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của .

Theo hệ thức Viet, ta có: và

1. Thay vào , ta được

Vậy hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào là .

2. Ta có: .

Suy ra . Vì

Suy ra . Dấu “=” xảy ta khi và chỉ khi Và

Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Vậy GTLN của bằng khi và GTNN của bằng khi .

Bài tập 9: Cho phương trình , với là tham số. Gọi là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng: .

Lời giải:

Ta có . Để phương trình có hai nghiệm . Theo định lý Viet ta có: và . Ta có Vì suy ra

Do đó

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Bài tập 10: Cho phương trình , với là tham số. tìm tất cả các giá trị để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức có giá trị là số nguyên.

Lời giải:

Ta có . Để phương trình có hai nghiệm phân biệt . Theo định lý Viet ta có: và . Do đó . Suy ra . Do nên

Để thì ta phải có là ước của , suy ra

Thử lại với , ta được (thỏa mãn).

Vậy là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.

Bài tập 11: Tìm m để phương trình có hai nghiệm và biểu thức: đạt giá trị lớn nhất.

1. Cho phương trình , với là tham số. Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Gọi là hai nghiệm của phương trình: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải:

1. Phương trình có nghiệm khi (*).

Khi đó theo định lý Viet: . Ta có: (do (*)) đạt được khi . Vậy là giá trị cần tìm.

2. Ta có

Để phương trình có hai nghiệm (*). Theo định lý Viet ta có: và . Ta có . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện (*). Vậy với thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng .

3. Ta có: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet thì: . Ta có . Đẳng thức xảy ra khi . Vậy minP=24.

Bài tập 12: Giả sử phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 1. Chứng minh rằng: .

Lời giải:

Theo định lý Vi et ta có: . Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : . Hay . Theo bất đẳng thức Cô si ta có: . Để chứng minh ta quy về chứng minh: với . Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức trên tương đương với ( Điều này là hiển nhiên đúng). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Bài tập 13: Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm thuộc Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải:

Vì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm nên . Biểu thức có dạng đẳng cấp bậc 2 ta chia cả tử và mẫu của Q cho thì . Gọi là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có: . Vậy :

* Ta GTLN của Q: Ta đánh giá qua với điều kiện . Giảsử . Ta cũng có thể đánh giá theo cách: . Suy ra . Đẳng thức xảy ra hay hoặc Ta có . Đẳng thức xảy ra . Vậy GTLN của là 3 và GTNN của là 2.

Bài tập 14: Cho phương trình , trong đó a,b,c là các số nguyên và , có hai nghiệm phân biệt trong khoảng (0;1). Tìm giá trị nhỏ nhất của a.

Giải: Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho . Vì là các số nguyên và là các số nguyên dương. Áp dụng BĐT Cauchy tacó: (Vì do nên không có đẳng thức). Từ (1) và (2) (a là số nguyên dương). Xét đa thức ta thấy thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5.

Bài tập 15: Chứng minh: là số chính phương với mọi số tự nhiên lẻ.

Lời giải:

Ta có . Xét dãy , ta chứng minh là một số nguyên. Xét ta có suy ra là hai nghiệm của phương trình: .

Ta có hay . Ta có . Từ đó bằng phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh được là số nguyên . Suy ra là số chính phương.

CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Kiến thức cần nhớ: Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng và Parabol ta cần chú ý:

1. Nếu đường thẳng là (song song với trục ) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào .

2. Nếu đường thẳng ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của và là: từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình bằng cách xét dấu của .

Trong trường hợp đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thì khi đó ta có: . Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm ta đều quy về định lý Viet.

Chú ý: Đường thẳng có hệ số góc đi qua điểm thì có dạng:

Bài tập 1: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt parabol tại hai điểm phân biệt và sao cho .

Lời giải:

Đường thẳng qua với hệ số góc có dạng:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là: (1). Vì với mọi , (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên luôn cắt tại hai điểm phân biệt hay . Theo định lý Viet ta có: . .

Bài tập 2: Cho parabol và đường thẳng .

1. Với , xác định tọa độ giao điểm và và .

2. Tìm các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho . (Trích đề tuyển sinh lớp 10 – thành phố Hà Nội năm 2014).

Lời giải:

1. Với ta có phương trình hoành độ giao điểm của và là:

hoặc (do )

Ta có . Vậy tọa độ các giao điểm là và .

2. Phương trình hoành độ giao điểm của và là

(*)

Để cắt tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó

Cách 1:

Khi ta có:

.

Cách 2:

Khi ta có:

Theo yêu cầu bài toán ta có: .

Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol , điểm với là tham số khác và điểm .Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm . Chứng minh rằng luôn cắt tại hai điểm phân biệt với độ dài đoạn .

Lời giải:

Phương trình đường thẳng . Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là: . Ta có suy ra luôn cắt tại hai điểm phân biệt

Theo định lý Viet ta có: . Vậy nên .

Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol có phương trình . Gọi là đường thẳng đi qua và có hệ số góc .

1. Viết phương trình đường thẳng . Chứng minh đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt khi thay đổi.

2. Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác vuông tại .

Lời giải:

1. Đường thẳng

Xét phương trình (1). Ta có: với mọi , suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

2. Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra thì . Khi đó . Theo định lý Viet thì nên . Vậy tam giác vuông tại .

Bài tập 5: Cho Parabol và đường thẳng .

1. Chứng minh đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt .Gọi là hoành độ của các điểm . Tìm giá trị lớn nhất của .

2. Tìm để diện tích tam giác bằng .

Lời giải:

a). Phương trình hoành độ giao điểm của và là: . Ta có , với mọi nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: ta có . (dùng phương pháp miền giá trị hàm số- Xem thêm phần ứng dụng trong bài toán GTLN, GTNN) ta dễ tìm được giá trị lớn nhất của là và GTNN của là đạt được khi và .

b) Để ý rằng đường thẳng luôn đi qua điểm cố định nằm trên trục tung. Ngoài ra nếu gọi thì nên hai giao điểm nằm về hai phía trục tung. Giả sử thì ta có:

với lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm trên trục . Ta có . Suy ra . Theo định lý Viet ta có: . Thay vào ta có: .

Nếu thay điều kiện thành diện tích tam giác nhỏ nhất ta cũng có kết quả như trên. Vì .

Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và parabol .

1. Tìm để cắt tại hai điểm phân biệt . Chứng minh rằng và nằm bên phải trục tung.

2. Gọi là hoành độ của và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Lời giải:

1. Xét phương trình (1)

cắt .tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt

. Kết hợp với điều kiện ta có khi đó (1) có hai nghiệm dương nên nằm ở bên phải trục .

2. Theo định lý Vi et ta có:

.Ta có: theo bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có: . Vậy khi . Bài tập 7: Cho parabol và đường thẳng .

1. Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị .

2. Gọi và là các giao điểm của và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải:

1. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là: (1)

với mọi nên (1) có hai nghiệm phân biệt, suy ra luôn cắt tại hai điểm phân biệt và .

2. Theo định lý Viet, ta có:

Vậy khi .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Cho phương trình có nghiệm . Tìm các giá trị của và tìm nghiệm còn lại của phương trình.

2. _{Cho phương trình (1)}

1. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt

2. Gọi các nghiệm của phương trình là . Không tính giá trị của , hãy tính các giá trị của biểu thức sau:

3. Cho phương trình bậc hai , là tham số.

1. Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

2. Gọi hai nghiệm phân biệt là . Tính giá trị của biểu thức sau theo :

. Từ đó tìm các giá trị của để đạt giá trị lớn nhất và tìm các giá trị của để đạt giá trị nhỏ nhất.

4. Cho phương trình . Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.

5. Cho phương trình , là tham số. tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

6. Cho phương trình , với là tham số. Xác định các giá trị của để phương trình có:

1. Nghiệm bằng .

2. Hai nghiệm phân biệt trái dấu.

3. Hai nghiệm phân biệt cùng dương.

7. Cho phương trình , với là tham số. Xác định các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

8. Cho các phương trình (1); (2), trong đó các hệ số đều khác . Biết là nghiệm của phương trình (2) và là nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng .

1. Cho phương trình có hai nghiệm thỏa mãn Chứng minh rằng .

2. Giả sử là hai số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm .

10. Tìm các số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. Hai phương trình và có nghiệm chung;

2. bé nhất.

1. Cho các số thỏa mãn . Chứng minh rằng .

2. Cho là ba số khác nhau và . Chứng minh rằng nếu các phương trình và có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là nghiệm của phương trình .

1. Cho , biết rằng phương trình vô nghiệm. chứng minh rằng phương trình vô nghiệm.

2. Cho các số sao cho các phương trình sau vô nghiệm: và . Hỏi phương trình có nghiệm hay không? Vì sao?

13. Cho phương trình ( là ẩn số)

1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi .

2. Gọi là các nghiệm của phương trình. Tìm để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

14. Cho phương trình , với là tham số.

1. Giải phương trình khi .

2. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt và với , tìm tất cả các nghiệm của sao cho .

15. Cho phương trình , với là tham số

1. Giải phương trình khi

2. Tìm tất các các giá trị của để phương trình có hai nghiệm và thỏa điều kiện .

16. Cho phương trình bậc hai: ( là tham số).

1. Giải phương trình khi .

2. Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .

17. Cho phương trình: ( là tham số).

1. Giải phương trình khi .

2. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .

18. Cho phương trình: ( là tham số)

1. Giải phương trình với .

2. Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .

19. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng tham số và parabol .

1. Tìm để đường thẳng đi qua điểm .

2. Tìm để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là thỏa mãn .

20. Cho phương trình: (1) ( là tham số, là ẩn)

1. Giải phương trình (1) với .

2. Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

.

21. Cho phương trình: ( là tham số).

1. Tìm để phương trình có nghiệm . Tìm nghiệm còn lại.

2. Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

22. Chứng minh rằng phương trình: luôn có hai nghiệm phân biệt và biểu thức không phụ thuộc vào .

23. Cho phương trình (1) ( là tham số).

1. Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

2. Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

24. Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol và đường thẳng ( là tham số).

1. Chứng minh rằng mỗi giá trị của thì và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

2. Gọi là hoành độ giao điểm và , đặt .

Chứng minh rằng: .(Trích đề thi vào lớp 10 trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2013)

LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Vì là nghiệm của phương trình nên ta có: hoặc . Với ta có phương trình: . Phương trình đã cho có 1 nghiệm , nghiệm còn lại là (vì tích hai nghiệm bằng ) Với , ta có phương trình , phương trình đã cho có một nghiệm , nghiệm còn lại là (vì tích hai nghiệm bằng 22)

2. Xét . Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

Chú ý: Có thể nhận xét nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

b) Áp dụng định lý Vi ét, ta có:

3. a) Ta có

phương trình có hai nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Viet ta có: . Khi đó

Ta có . Dấu đẳng thức xảy ra khi nên giá trị lớn nhất . Tương tự ta có giá trị nhỏ nhất , đạt được khi .(Xem thêm phần phương pháp miền giá trị hàm số)

Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của . Gọi hai nghiệm của phương trình là . Theo hệ thức Viet ta có: . Có thể giả sử (3). Khi đó từ (1) và (3)có . Thay vào (2) ta có phương trình

Giải phương trình ta được hoặc (thỏa mãn điều kiện).

Cách 2: Từ yêu cầu đề bài suy ra hoặc ,

tức là:

áp dụng hệ thức Viet ta được phương trình .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Viet, ta có: . Ta có (3). Từ (1) và (3) ta có được . Thay vào (2) ta có được thảo mãn điều kiện

a) Phương trình có nghiệm .

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

hoặc .

Theo hệ thức Viet ta có:

Hai nghiệm của phương trình cùng dương

Kết hợp với điều kiện ta có hoặc .

7. Cách 1. Đặt , ta có

Phương trình ẩn là được đưa về phương trình ẩn :

. Phương trình ẩn phải có hai nghiệm trái dấu

Vậy

Cách 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt . Khi đó theo hệ thức Viet ta có: (1). Hai nghiệm thỏa mãn và trái dấu (2). Thay (1) vào (2) ta có: .

Kết hợp với điều kiện ta có là các giá trị cần tìm.

Chú ý:

Nếu hai nghiệm thì phương trình ẩn có hai nghiệm đều là số âm.

Nếu hai nghiệm thì phương trình ẩn có hai nghiệm đều là số dương.

8. Giải:

Áp dụng hệ thức Viet ta có: .

Ta có:

Kết hợp với và suy ra

Do và suy ra

Do đó .

1. Vì nên (*). Theo hệ thức Viet, ta có: . Khi đó (*) thành:

Mà theo giả thiết ta có và

Suy ra . Do đó

2. Vì nguyên dương khác nhau nên xảy ra hai trường hợp là hoặc .

Nếu suy ra .Khi đó .

Vậy trong trường hợp này phương trình có nghiệm.

Tương tự trường hợp thì phương trình có nghiệm (đpcm).

1. Theo điều kiện đầu bài thì ta gọi là nghiệm chung hai phương trình, ta có:

Do đó phương trình có nghiệm (*)

Khi đó hay .

Mặt khác, ta có . Vậy bé nhất bằng khi và chỉ khi và cùng dấu.

Với , thay vào (*) ta được: . Phương trình trên có nghiệm kép .

Thay vào các phương trình đã cho ta được .

Với thay vào (*) ta được: . Phương trình trên có nghiệm kép

Thay vào phương tình ta được: . Vậy các cặp số sau thỏa mãn điều kiện bài toán: .

1. Từ giả thiết ta có: và . Suy ra là nghiệm của phương trình . Khi đó (vì ).

2. Giả sử là nghiệm chung, tức là

. Vì nên . Khi đó ta có: Do nên . Mặt khác theo định lý Viet, phương trình còn có nghiệm phương trình còn có nghiệm .Theo định lý đảo của định lý Viet, hai số và là nghiệm của phương trình: hay (đpcm).

1. Vì phương trình vô nghiệm, nên suy ra hoặc

Khi đó hoặc .Tức là phương trình vô nghiệm.

2. Từ giả thiết suy ra và . Do đó . và nên . Do vậy phương trình vô nghiệm.

1. với mọi Vậy phương trình luôn có hai nghiệm với mọi .

2. Theo hệ thức Viet ta có:

. Dấu “=” xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của khi .

1. Khi phương trình thành: hoặc .

.Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .Ta có

Ta có

.

1. Khi phương trình thành: (do ).

2. Với ta có:

. Ta có nên

Khi , ta có: và

Phương trình có hai nghiệm do đó và . Giả sử

Với và

Do đó yêu cầu bài toán và .

1. Khi ta có phương trình: . Phương trình có tập nghiệm là:

2. Ta có .

Để phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm phân biệt thì .Khi đó theo hệ thức Viet ta có: . Theo bài ra:

Đối chiếu điều kiện ta có thỏa mãn bài toán.

1. Khi phương trình thành: có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

2. Ta có:

, . Nếu (vô nghiệm). Do đó . Vậy phương trình luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi .

1. Với , ta có phương tình: .

2. Xét phương trình (1) ta có:

Phương trình (1) có hai nghiệm .Theo hệ thức Viet: . Theo giả thiết:

. Vậy .

1. Đường thẳng đi qua điểm nên có:

2. Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa và : . Có , nên cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là khi . Áp dụng hệ thức Viet ta có: . Theo bài ra ta có: (TM). Vậy là giá trị cần tìm.

1. Thay vào phương trình ta có:

Có . Vậy phương trình có 2 nghiệm: .

2. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: . Theo hệ thức Viet ta có: (1); (2)

Xét:

Thay (1),(2) vào ta có:

(thỏa mãn).Vậy với thì bài toán thỏa mãn.

1. Phương trình có nghiệm

Ta có: .Vậy nghiệm còn lại là .

Để phương trình có hai nghiệm

Khi đó:

Áp dụng hệ thức Viet ta được:

(thỏa mãn). Vậy là giá trị cần tìm.

a) Phương trình: (1)

có

với mọi . Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .

b). Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là

Theo hệ thức Viet ta có: (2) .

23. Phương trình

Có

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Theo định lý Vi et ta có:

Hay .

1. Xét hệ phương trình:

1. Có hệ số và trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt mọi nên và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi .

2. Theo hệ thức Viet:

Ta có:

. Nên .