Các dạng toán nâng cao lớp 7

NG 1: DÃY MÀ CÁC NG CÁCH ĐU.Ạ ỀBài 1: Tính ... 98 99Nh xét:ậ sinh nào có sáng th ngay ng: ... 98ế ổ+ 99 có th tính hoàn toàn ng nh bài 1, gi là 51 và 50, (vì ngể ươ ổtrên ch thi 100) ta vi ng nh sau:ỉ ưB (2 ... 98 99). Ta th ng trong ngo 98 ng, uấ ếchia thành các ta có 49 nên ng đó là: (2 99) (3 98) ... (51 50) =ặ ổ49.101 4949, khi đó 4949 4950L bình: ng 99 ng, ta chia các ng đó thành (m pổ ặcó ng thì đc 49 và ng, th 49 thì ng nào? Số ượ ốh ng là bao nhiêu?), đn đây sinh ng c.ạ ướ Ta có th tính ng theo cách khác nh sau:ể ưCách 2:B ... 97 98 99+B 99 98 ... 12B 100 100 ... 100 100 100 2B 100.99 50.99 4950 Bài 2: Tính ... 997 999L gi i:ờ ảCách 1: đn 1000 có 500 ch và 500 nên ng trên có 500 pd ng các bài trên ta có (1 999) (3 997) ... (499 501) 1000.250 =ụ250.000 (T ng trên có 250 )ổ ốCách 2: Ta th y: ấ1 2.1 13 2.2 15 2.3 1...999 2.500 Quan sát ph i, th th theo th trên xu ng ta có th xác đnhế ướ ịđc các ng dãy là 500 ng. ượ ng cách bài trên ta có: ủC ... 997 999Doc24.vn+C 999 997 ... 12C 1000 1000 ... 1000 1000 2C 1000.500 1000.250 250.000Bài 3. Tính 10 12 14 ... 994 996 998Nh xét:ậ Các ng ng đu là các ch n, áp ng cách làm bàiố ủt tìm các ng ng nh sau:ậ ưTa th y:ấ10 2.4 212 2.5 214 2.6 2...998 2.498 ng bài trên: đn 498 có 495 nên ta có các ng là 495,ươ ủm khác ta th y: ấ998 10495 12 hay các ng (s ng đu ng cu i) kho ng cách ng thêm 1ố Khi đó ta có: 10 12 ... 996 998+D 998 996 ... 12 102D 1008 1008 ... 1008 1008 2D 1008.495 504.495 249480 Th ch ấ(998 10)4952D Qua các ví trên ta rút ra cách ng quát nh sau: Cho dãy cách đuụ ều1 u2 u3 ... un (*), kho ng cách gi hai ng liên ti dãy là d, Khi đó các ng dãy (*) là: ủ11nu und (1) ng các ng dãy (*) là ủ1( )2nnn uS (2)Đc bi công th (1) ta có th tính đc ng th dãy (*) là:ặ ượ ủun u1 (n 1)dHo khi uặ1 thì S1 ... 1)2n nBài 4. Tính 10,11 11,12 12,13 ...+ 98,99 99,10Doc24.vnL gi iờ Ta có th đa các ng ng trên ng nhiên ng cách nhân haiể ảv 100, khi đó ta có:ế ớ100E 1011 1112 1213 ... 9899 9910 (1011 1112 1213 ... 9899)+ 9910 (1011 9899).9899102 = 485495 9910 495405 4954,05(Ghi chú: Vì các ng dãy là ủ(9899 1011)1 98101 )Bài 5. Phân tích 8030028 thành ng 2004 nhiên ch liên ti p.ố ếL gi iờ là nhiên ch n, ta có ng 2004 nhiên ch liên ti là: ếS (a 2) ... (a 4006) 4006).2004 2003).20042a aa     Khi đóta có: (a 2003).2004 8030028 2004.V ta có: 8030028 2004 2006 2008 ... 6010 ậNh xét:ậ Sau khi gi quy các bài toán ng trên ta không th có ng gì n, iả ướ ởvì đó là toàn nh ng bài toán mà đi sinh khá cũng không yộ ấkhó khăn khi ti thu. Tuy nhiên đó là các đu tiên đó chúng ta ti cế ụnghiên các ng toán cao n, ph chút.ứ ộDoc24.vnD NG 2: DÃY MÀ CÁC NG KHÔNG CÁCH ĐU.Ạ ỀBài 1. Tính 1.2 2.3 3.4 n.(n 1)L gi iờ Ta th ng ng trên là tích hai nhên liên ti p, khi đó:ấ ếG aọ1 1.2 3a1 1.2.3 3a1 1.2.3 0.1.2 a2 2.3 3a2 2.3.3 3a2 2.3.4 1.2.3 a3 3.4 3a3 3.3.4 3a3 3.4.5 2.3.4 ………………… .. an­1 (n 1)n 3an­1 =3(n 1)n 3an­1 (n 1)n(n 1) (n 2)(n 1)n an n(n 1) 3an 3n(n 1) 3an n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) ng ng các đng th trên ta có:ộ 3(a1 a2 an n(n 1)(n 2) 31.2 2.3 ... 1)n n n(n 1)(n 2) 1)( 2)3n n Cách Ta có 3A 1.2.3 2.3.3 n(n 1).3 1.2.(3 0) 2.3.(3 1) n(n 1)[(n 2) ­(n 1)] 1.2.3 1.2.0 2.3.3 1.2.3 n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) n(n 1)(n 2) 1)( 2)3n n * ng quát hoá ta có:ổ k(k 1)(k 2) (k 1)k(k 1) 3k(k 1). Trong đó 1; 2; 3; …Ta dàng ch ng minh công th trên nh sau:ễ k(k 1)(k 2) (k 1)k(k 1) k(k 1)[(k 2) (k 1)] 3k(k 1) Bài 2. Tính 1.2.3 2.3.4 (n 1)n(n 1)L gi iờ ảÁ ng tính th bài ta có:ụ ủ4B 1.2.3.4 2.3.4.4 (n 1)n(n 1).4= 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 (n 1)n(n 1)(n 2) [(n 2)(n 1)n(n 1)] (n 1)n(n 1)(n 2) 0.1.2.3 (n 1)n(n 1)(n 2) 1) 1)( 2)4n n Bài 3. Tính 1.4 2.5 3.6 4.7 n(n 3)Doc24.vnL gi iờ ảTa th y: 1.4 1.(1 3)ấ 2.5 2.(2 3) 3.6 3.(3 3) 4.7 4.(4 3) …… n(n 3) n(n 1) 2nV 1.2 2.1 2.3 2.2 3.4 2.3 n(n 1) +2nậ 1.2 +2.3 3.4 n(n 1) 2n [1.2 +2.3 +3.4 n(n 1)] (2 2n)3C 3.[1.2 +2.3 +3.4 n(n 1)] 3.(2 2n) 1.2.3 2.3.3 3.4.3 n(n 1).3 3.(2 2n) n(n 1)(n 2) +3(2 2)2n n C= 1)( 2) 3(2 2)3 2n n  =( 1)( 5)3n n Bài 4. Tính 2Nh xét:ậ Các ng bài là tích hai nhiên liên ti p, còn bài nàyố ởlà tích hai nhiên gi ng nhau. Do đó ta chuy ng bài 1:ủ Ta có: 1.2 2.3 3.4 n.(n 1) 1.(1 1) 2.(1 2) n.(1 n) 1.1 2.1 3.1 n.1 (1 (1+ n). khác theo bài ta có:ặ 1)( 2)3n n và 1)2n n =( 1)( 2)3n n ­ 1)2n n 1)(2 1)6n n Bài 5. Tính 3L gi iờ ảT ng bài toán trên, xu phát bài toán 2, ta đa ng ng E: Ta có: ươ 1.2.3 2.3.4 (n 1)n(n 1) (2 1).2.(2 1) (3 1).3.(3 1) (n 1)n(n 1) (2 2) (3 3) (n n) (2 3) (2 n) (1 3) (1 n) (1 3) 1)2n n Doc24.vn (1 3) +( 1)2n n Mà ta đã bi ế( 1) 1)( 2)4n n 1) 1)( 2)4n n 1)2n n 2( 1)2n n   Cách 2: Ta có: A1 2A2 (1 2) 2A3 36 (1 3) 2Gi có: Aả ửk (1 k) (1) Ta ch ng minh:ứAk+1 (k 1) [1 (k 1)] (2)Th y, ta đã bi t: ế( 1)2k k Ak [( 1)2k k (1') ng vào hai (1') (k 1)ộ ta có:Ak (k 1) [( 1)2k k (k 1) Ak+1 [( 1)2k k (k 1) 3= 2( 1)( 2)2k k    ng trên đúng Aậ ớk+1 là ta luôn có: ứAk+1 (k 1) [1 (k 1)] 2( 1)( 2)2k k    khi đó ta có:ậ (1 n) 2( 1)2n n   bình:ờ bài trên ta áp ng ki th quy Toán c.ớ Bài trên chính là ng bài ng các ng sậ ốnhân (l 11) nh ng chúng ta có th gi quy đc trong ph vi THCS.ớ ượ ấBài 6. (Trang 23 SGK Toán 1)ậ Bi ng 1ế +…+ 10 385, em tính nhanh đc ngố ượ ổS 20 2L gi iờ Ta có: 20 (2.1) (2.2) (2.10) 2.2 2.2 2.3 …+ 2.10 2.(1 10 2) 4. (1 …Doc24.vn+ 10 2) 4.385 1540. Nh xét:ậ đt 1ế 10 thì ta có: 4.P. Do đó, cho thìếta tính đc và ng i. ng quát hóa ta có:ẽ ượ ượ ổP +…+ 1)(2 1)6n n (theo qu trên) Khi đó (2n) đc tính ng nh bài trên, ta có:ượ ươ ưS (2.1) (2.2) (2.n) 4.( 2) 1)(2 1)6n n 1)(2 1)3n n Còn: 2( 1)2n n   Ta tính +…+ (2n) nhưsau: (2.1) (2.2) (2.3) (2.n) 8.(1 3) lúc này 8P,V ta có: 2ậ +…+ (2n) 22 22 2( 1) 8. 1)8 1)2 4n nn n     ng các qu trên, ta có bài sau:ụ ậBài 7. a) Tính ...+ (2n ­1) b) Tính (2n­1) gi iờ a) Theo qu bài trên, ta có: 1ế +…+ (2n) =2 (2 1)(4 1) (2 1)(4 1)6 3n n  Mà ta th y: ...+ (2n ­1) +…+ (2n) +…+ (2n) 2 (2 1)(4 1)3n n 1)(2 1)3n n 22 (2 1)3n n b) Ta có: (2n­1) (2n) +…+ (2n) 3 ng qu bài trên ta có: (2n) 2(2n 1) 2. y: 1ậ (2n­1) 2(2n 1) 2n 2(n 1) 2n Doc24.vnM BÀI NG KHÁCỘ ẠBài 1. Tính S1 63L gi iờ ảCách 1: Ta th y: Sấ1 63 (1) 2S1 63 64 (2) Tr ng (2) cho (1) ta có: ủ2S1 S1 63 64 (1 63)= 64 1. Hay S1 64 1Cách Ta có: S1 63 2(1 62) (1) 2(S1 63) 2S1 64 S1 64 1Bài 2. Tính giá tr bi th +3 3ị 2000 (1)L gi i:ờ ảCách 1: ng cách làm bài 1:ụ Ta có: 3S 2001 (2) Tr ng (2) cho (1) ta đc:ừ ượ 3S 2S (3 2001) (1 +3 2000) Hay: 2S 2001 20013 12Cách ng nh cách bài trên:ươ Ta có: 3(1 +3 1999) 3(S 2000) 3S 2001 2S 2001 20013 12*) ng quát hoá ta có:ổ Sn (1)Khi đó ta có: Cách 1: qSn n+1 (2)Tr ng (2) cho (1) ta có: (q 1)S qừ n+1 111nqqCách 2: Sn q(1 n­1) q(Sn n) qSn n+1 qSn Sn n+1 hay: Sn (q 1) n+1 1Doc24.vn 111nqqBài 3. Cho 9; 5.2 8. Hãy so sánh và BCách Ta th y: 5.2ấ (2 1).2 5(Vì 2.2 5). rõ ràng ta th Aậ ấCách 2: ng cách làm các bài trên ta th đn gi n, th y:ậ (1) 2A 10 (2) Tr ng (2) cho (1) ta có: 2A (2 10) (1 9) 10 hay 10 1Còn: 5.2 (2 1).2 10 Aậ* Ta có th tìm đc giá tr bi th A, đó sinh có th so sánh đc Aể ượ ượv mà không khó khăn.ớ ấBài 4. Tính giá tr bi th 2.6 3.6ị 4.6 100.6 99 (1) Ta có: 6S 2.6 3.6 99.6 99 100.6 100 (2) Tr ng (2) cho (1) ta đc:ừ ượ 5S 2.6 (2.6 3.6 2) (3.6 4.6 3) (99.6 99 100.6 99) 100.6 100 100.6 100 (6 99) (*) Đt S' 6ặ 99 6S' 99 100 S' 1006 65 thay vào (*) ta có: 5S 100.6 100 1006 65 100499.6 15 100499.6 125Bài 5. Ng ta vi dãy 1; 2; 3; ... ch th 673 là ch nào?ườ ốL gi iờ Ta th y: đn 99 có: 2.90 189 ch theo đu bài ta còn thi các chấ ữDoc24.vns dãy là: 673 189 484 ch nh ch th 673 ph trong dãy cácố ằs có ch ta xét ti p:ố 100 đn 260 có: 3.161 483 ch Nh đn 260 đã có: 189 483 672 ch theo đu bài thì ch thư ứ673 là ch 261.ẽ ốM bài gi i:ộ 1. Tính: 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 2) (n 1) 2. Tính: 1.2.4 2.3.5 n(n 1)(n 3) 3. Tính: ...+ (3n 1) 4. Tính: ... 5. Tính: 10 3001 6. Tính: 801 7. Tính: 99 999 99 (ch cu 190 ch 9)ữ 8. Tính: 1.1! 2.2! n.n! 9. Cho dãy 1; 2; 3; ch th 2007 là ch nào?ố ố*****************************************************Doc24.vn