BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN LỚP 9

Chuyªn ®Ò: tø gi¸c néi tiÕpI) C¸c kiÕn thøc cÇn nhí1) Kh¸i niÖm: OABCDMét tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét êng trßn îc gäi lµtø gi¸c néi tiÕp êng trßn (Gäi t¾t lµ tø gi¸c nét tiÕp)2) §Þnh lÝ- Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o hai gãc ®èidiÖn b»ng 180 0-NÕu mét tø gi¸c cã tæng sè ®o hai gãc ®èi diÖn b»ng180 th× tø gi¸c ®ã néi tiÕp êng trßn.3) DÊu hiÖu nhËn biÕt (c¸c c¸ch chøng minh) tø gi¸cnéi tiÕp- Tø gi¸c cã tæng sè do hai gãc ®èi diÖn b»ng 180 0.- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña®Ønh ®èi diÖn.- Tø gi¸c cã bãn ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm(mµ ta cãthÓ x¸c ®Þnh îc). §iÓm ®ã lµ t©m êng trßn ngo¹itiÕp tø gi¸c.- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai®Ønh cßn l¹i íi mét gãc .II) Bµi tËpBµi tËp Cho ABC vu«ng A. Trªn AC lÊy diÓm vµ vÏ êng trßn êngkÝnh MC. KÎ BM c¾t êng trßn t¹i D. êng th¼ng DA c¾t êngtrßn t¹i S. Chøng minh r»ng:a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp.b) ··A BD CD=c) CA lµ ph©n gi¸c cña ·SCBBµi tËp 2Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp nöa êng trßn êng kÝnh AD. Hai -êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i E. VÏ EF vu«ng gãc víi AD. Chøngminh:a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp .b) CA lµ ph©n gi¸c cña BCF.c) Gäi lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh tø gi¸c BCMFnéi tiÕpBµi tËp 3Tø gi¸c ABCD néi tiÕp êng trßn êng kÝnh AD Hai êng chÐoAC BD c¾t nhau t¹i H×nh chiÕu vu«ng gãc cña trªn AD lµ F. êng th¼ng CF c¾t êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ Giao®iÓm cña BD vµ CF lµ Chøng minh a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp bb) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM c) BE DN EN BD Bµi tËp 4Cho tam gi¸c ABC vu«ng vµ mét ®iÓm n»m gi÷a vµ -êng trßn êng kÝnh BD c¾t BC t¹i C¸c êng th¼ng CD AElÇn ît c¾t êng trßn t¹i c¸c ®iÓm thø hai Chøng minh a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp îc trong mét êngtrßn c) AC song song víi FG d) C¸c êng th¼ng AC DE vµ BF ®ång quy Bµi tËp 5Cho tam gi¸c vu«ng ABC (090AÐ AB AC) vµ mét ®iÓm Mn»m trªn ®o¹n AC (M kh«ng trïng víi vµ C). Gäi vµ lÇn ît lµgiao ®iÓm thø hai cña BC vµ MB víi ¬ng trßn êng kÝnh MC;gäi lµ giao ®iÓm thø hai gi÷a AD víi êng trßn êng kÝnh MC;T lµ giao ®iÓm cña MN vµ AB. Chøng minh:a. Bèn ®iÓm A, M, vµ cïng thuéc mét êng trßn.b. CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCSÐ .c. TA TCTD TB= .Bµi tËp 6Cho êng trßn (O) vµ ®iÓm n»m ngoµi êng trßn. Qua dùnghai tiÕp tuyÕn AM vµ AN víi êng trßn (M, lµ c¸c tiÕp ®iÓm)vµ mét c¸t tuyÕn bÊt k× c¾t êng trßn t¹i P, Q. Gäi lµ trung®iÓm cña PQ.a/ Chøng minh ®iÓm: O; L; M; A; cïng thuéc mét êngtrßn.b/ Chøng minh LA lµ ph©n gi¸c cña ·ML Nc/ Gäi lµ giao ®iÓm cña MN vµ LA. Chøng minh MA =AI.ALd/ Gäi lµ giao ®iÓm cña ML víi (O). Chøng minh r»ng KN //AQ.e/ Chøng minh KLN c©n.Bµi tËp 7Cho ng tròn (O; R) ti xúc ng th ng A. Trên đi Hườ ườ ểkhông trùng đi và AH CD; AB//CD) néi tiÕp trong -êng trßn (O). TiÕp tuyÕn víi êng trßn (O) t¹i vµ c¾t nhau t¹iE. Gäi lµ giao ®iÓm cña hai êng chÐo AC vµ BDa/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕpb/ Chøng minh AB//EIc/ êng th¼ng EI c¾t c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang -¬ng øng vµ S. Chøng minh:* lµ trung ®iÓm cña RS* RSCDAB211Bµi tËp 24Cho êng trßn (O; R) cã hai êng kÝnh AOB vµ COD vu«ng gãcvíi nhau. LÊy ®iÓm bÊt k× trªn OA, nèi CE c¾t êng trßn t¹i F.Qua dùng tiÕp tuyÕn Fx víi ®]êng trßn, qua dùng Ey vu«nggãc víi OA. Gäi lµ giao ®iÓm cña Fx vµ Ey a/ Chøng minh I; E; O; cïng n»m trªn mét êng trßn.b/ Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g×? v× sao?c/ Khi chuyÓn ®éng trªn AB th× chuyÓn ®éng trªn -êng nµo?Bµi tËp 25 Cho nöa êng trßn êng kÝnh BC b¸n kÝnh vµ ®iÓm trªnnöa êng trßn (A kh¸c vµ C). Tõ h¹ AH vu«ng gãc víi BC. Trªnnöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓm vÏ nöa êng trßn êngkÝnh BH c¾t AB t¹i E, nöa êng trßn êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.a. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh g×? T¹i sao?b. Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.c. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm sao cho tø gi¸c AFHE cãdiÖn tÝch lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã theo R.Bµi tËp 26Cho ®iÓm M, N, th¼ng hµng theo thø tù ®ã. Mét êng trßn(O) thay ®æi ®i qua hai ®iÓm M, N. Tõ kÎ c¸c tiÕp tuyÕn PT,PT’ víi êng trßn (O)a) Chøng minh: PT PM.PN. Tõ ®ã suy ra khi (O) thay ®æivÉn qua M, th× T, T’ thuéc mét êng trßn cè ®Þnh.b) Gäi giao ®iÓm cña TT’ víi PO, PM lµ vµ J. lµ trung®iÓm cña MN. Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp.c) Chøng minh r»ng: Khi êng trßn (O) thay ®æi vÉn ®iqua M, th× TT’ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh.d) Cho MN NP a. T×m vÞ trÝ cña t©m ®Ó gãc ÐTPT’= 60 0.Bµi tËp 27Cho ABC vu«ng A. Trªn AC lÊy ®iÓm (M vµ C). VÏ -êng trßn êng kÝnh MC. Gäi lµ giao ®iÓm thø hai cña c¹nh BCvíi êng trßn. Nèi BM kÐo dµi c¾t êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµD. êng th¼ng AD c¾t êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai S. Chøngminh:a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕpb) Khi chuyÓn ®éng trªn AC th× ·A DM cã sè ®o kh«ng®æi.c) AB//ST.Bµi tËp 28Cho hai êng trßn b»ng nhau (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i A, B. êngvu«ng gãc víi AB kÎ qua c¾t (O) vµ (O') lÇn ît t¹i c¸c ®iÓm C, D.LÊy trªn cung nhá BC cña êng trßn (O). Gäi giao ®iÓm thøhai cña êng th¼ng MB víi êng trßn (O') lµ vµ giao ®iÓmcña hai êng th¼ng CM, DN lµ P.a. Tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c g×, t¹i sao?b. Chøng minh ACPD néi tiÕp îc êng trßn.c. Gäi giao ®iÓm thø hai cña AP víi êng trßn (O') lµ Q,chøng minh r»ng BQ // CP.Bµi tËp 29Cho DABC vuông (AB AC). kỳ gi và C. ngạ ườtròn (O) ng kính HC BC I. BH (O) D.ườ ạa) Ch ng minh giác ABCD ti p.ứ ếb) AB CD M. Ch ng minh đi H; I; th ng hàngắ ẳc) AD (O) K. Ch ng minh CA là tia phân giác ủ· KCBBµi tËp 30Cho êng trßn (O), êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iÓm n»m gi÷a Avµ sao cho AI 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi Clµ ®iÓm tuú thuéc cung lín MN sao cho kh«ng trïng víi M, Nvµ B. Nèi Ac c¾t MN t¹i E.1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp .2. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM.3. Chøng minh AM AE.AC.4. Chøng minh AE. AC AI.IB AI .5. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®Õnt©m êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt.Bµi tËp 31Cho ng tròn (O;R) ng kính AB, dây AC. là đi chínhử ườ ườ ểgi cung AC bán kính OE AC H, CK song song BE AE K.ữ ạa) Ch ng minh giác CHEK ti p.ứ ếb) Ch ng minh KHứ ^ABc) Cho BC R. Tính PK.Bµi tËp 32Cho tam gi¸c c©n ABC (AB AC), lµ t©m êng trßn néi tiÕp, Klµ t©m êng trßn bµng tiÕp gãc lµ trung ®iÓm cña IK.1. Chøng minh B, C, I, cïng n»m trªn mét êng trßn.2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña êng trßn (O).3. TÝnh b¸n kÝnh êng trßn (O) BiÕt AB AC 20 Cm, BC= 24 CmBµi tËp 33Cho ®iÓm bªn ngoµi êng trßn (O R). Tõ vÏ tiÕp tuyÕn AB,AC vµ c¸t tuyÕn ADE ®Õn êng trßn (O). Gäi lµ trung ®iÓm cña DE.a) Chøng minh n¨m ®iÓm A, B, H, O, cïng n»m trªn mét® êng trßn.b) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña BHC.c) DE c¾t BC t¹i I. Chøng minh 2AB AI.AH= .d) Cho AB=R vµ ROH=2 TÝnh HI theo R.Bµi tËp 34Cho nöa êng trßn t©m êng kÝnh AB vµ ®iÓm bÊt k×trªn nöa êng trßn kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê ABchøa nöa êng trßn kÓ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tiaph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i Ftia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K.a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.b) Chøng minh r»ng: AI IM IB.c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n.d) Chøng minh r»ng Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi.e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp îc mét® êng trßn.Bµi tËp 35Cho hai ng tròn (Oườ1 ), (O2 có bán kính ng nhau và nhau và B. Vằ ẽcát tuy qua không vuông góc AB, nó hai ng tròn và F. (E ế ườ ở(O1 ); (O2 )).1. Ch ng minh AE AF.ứ2. cát tuy CBD vuông góc AB C (Oẽ ớ1 ); (O2 )). làọgiao đi CE và DF. Ch ng minh ng:ứ ằa. Các giác AEPF và ACPD ti ng tròn.ứ ượ ườb. là trung đi EF ch ng minh ba đi A, I, th ngọ ẳhàng.3. Khi EF quay quanh thì và di chuy trên ng nào?ể ườBµi tËp 36Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh BC, CD lÇn ît lÊy ®iÓm E, Fsao cho ·045EAF= BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù t¹i G, H.Chøng minh: a) ADFG, GHFE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b) CGH vµ tø gi¸c GHFE cã diÖn tÝch b»ng nhauBµi tËp 37Cho êng trßn t©m b¸n kÝnh R, hai ®iÓm vµ thuéc êngtrßn, lµ trung ®iÓm cña cung nhá CD. KÎ êng kÝnh BA; trªntia ®ãi cña tia AB lÊy ®iÓm S, nèi víi c¾t (O) t¹i M; MD c¾tAB t¹i K; MB c¾t AC t¹i H.a. Chøng minh: BMDÐ BACÐ tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMHKnéi tiÕp.b. Chøng minh: HK // CD.c. Chøng minh: OK.OS 2.Bµi tËp 38Cho êng trßn (O), mét êng kÝnh AB cè ®Þnh, mét ®iÓm In»m gi÷a vµ sao cho AI 23AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi ABt¹i I. Gäi lµ ®iÓm tuú thuéc cung lín MN, sao cho kh«ngtrïng víi M, vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E.a. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp îc trong mét êngtrßn.b. Chøng minh VAME ®ång d¹ng víi VACM vµ AM AE.AC.