BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN LỚP 9

C/H sinh các chuyên làm ph nàyọ ầCâu 7:Xét bi th c:ể ứy 2√ 3y 6√ 7√ 54 y√ 15√ 18y√ 27 19 122 7√ mn 2− 2m 2+ mn Ta có:y 2√ 3√ −√ =√ y(√ 3) −(√ 3)¿(√y−1)(√y+3)6 7√ 3√ 10√ 3√ y( 2√ 1) 5( 2√ 1)¿ 3√ 2√ )4y−1=(2√y−1)(2√y+1)y√ 15√ 18 y√ 6√ 9√ 18¿y(√y−2)−3√y.(√y−2)+9(√y−2)=(√y−2)(y−3√y+9)y√y+27=(√y+3)(y−3√y+9)2 7√ 6√ +√ 2√ y(√ 3) +(√ 3)¿(2√y+1)(√y+3)Do đó ta có :y 2√ 3y 6√ 7√ 54 y√ 15√ 18y√ 27 19 122 7√ mn 2− 2m 2+ mn (√y−1)(√y+3)(√y+3)2−(3√y−5)(2√y−1)(2√y−1)(2√y+1)+(√y−2)(y−3√y+9)(√y+3)(y−3√y+9)+19y+12(2√y+1)(√y+3)=2mn−2m2−2n2m2+4mn+n2 √y−1√y+3−3√y−52√y+1+√y−2√y+3+19y+12(2√y+1)(√y+3)=2mn−2m2−2n2m2+4mn+n2 (√ 1) (√ )√y 3√ 52√ 19 12( 2√ (√ mn 2− 2m 2+ mn 2 2√ 3√y 3√ 52√ 19√ 122 7√ mn 2− 2m 2+ mn 22√y−3√y+3−3√y+52√y+1+19√y+12(2√y+1)(√y+3)=2mn−2m2−2n2m2+4mn+n2(2√y−3)(2√y+1)−(3√y+5)(√y+3)+19√y+12(2√y+1)(√y+3)=2mn−2m2−2n2m2+4mn+n24y+2√y−6√y−3−(3y+9√y+5√y+15)+19√x+12(2√y+1)(√y+3)=2mn−2m2−2n2m2+4mn+n24y+2√y−6√y−3−3y−9√y−5√y−15+19√y+12(2√y+1)(√y+3)=2mn−2m2−2n2m2+4mn+n2 +√ 6( 2√ (√ mn 2− 2m 2+ mn (*). Ta có: +√ 2√ 3√ =√ y(√ 2) 3(√ 2) (√ (√ )Do đó :(*) (√y−2)(√y+3)(2√y+1)(√y+3)=2mn−2m2−2n2m2+4mn+n2 √ 22√ mn 2− 2m 2+ mn 2N a=ế mn 2− 2m 2+ mn thì bi th tr thành:ể ở√y−22y+1 =a √y a√ √y √y ¿a+21−2aTa có:√ 21 ¿( mn 2− 2m 2+ mn 2) :( mn 2− 2)m 2+ mn 2)=( mn 2− 2+ 2+ mn 2)m 2+ mn 2) :( 2+ mn 2− mn 2− 2)m 2+ mn 2)=( mn 2− 2+ 2+ mn 2m 2+ mn 2) :( 2+ mn 2− mn 2+ 2m 2+ mn 2)=( 10 mnm 2+ mn 2) :( 2+ 2m 2+ mn 2) m5(¿¿2+5n2)=2mnm2+n2¿10mn5m2+5n2=10mn¿=>√ mnm 2+ y=(2mnm2+n2)2Ta có:3x(1−√y)−y(2+3√x)+√xyx√y+y√x=(m−n)(m−5n)2mn3x−3x√y−2y−3y√x+√xyx√y+y√x=(m−n)(m−5n)2mn3x+√xy−2y−3(y√x+x√y)x√y+y√x=(m−n)(m−5n)2mn3x+3√xy−2√xy−2yx√y+y√x−3=(m−n)(m−5n)2mn3√x(√x+√y)−2√y(√x+√y)x√y+y√x=(m−n)(m−5n)2mn+33√x(√x+√y)−2√y(√x+√y)x√y+y√x=m2−5mn−mn+5n2+6mn2mn(3√x−2√y)(√x+√y)√xy(√x+√y)=m2+5n22mn 3√ 2√ y√xy 2+ 22 mn3√y−2√x=¿ 2+ 22 mn m3(¿¿2+n2)2mn−2√x=¿¿ 2+ 22 mnm3(¿¿2+n2)2mn−¿2√x=¿ 2+ 22 mn m3(¿¿2+n2)−(m2+5n2)4mn1√x=¿1√x=3m2+3n2−m2−5n24mn 1√x=2m2−2n24mn 1√x=m2−n22mn√x =2mnm2−n2 x=(2mnm2−n2)2Ta có:A=xy.B B= ớ(√ +√ 2− 2−√ −√ 2− 2)√2 3Đ Bặ1 =√x +√ 2− B2 =√x −√ 2− 2Ta có :B1 >0 ,B2 >0 =>B1 +B2 >0Ta có:(B1 -B2 )(B1 +B2 )=(B1 2-(B2 2=(√x +√ 2− 2) 2−(√ −√ 2− 2) 2=x+√x2−y2 −√ 2− 2) =2√x2−y2 >0Ta có: B1 +B2 >0 :(B1 -B2 )(B1 +B2 >0 =>B1 -B2 >0=>√x +√ 2− 2−√ −√ 2− 2> 0L có :ạ√2(x−y)3 >0 =>B>0Ta có :B 2=(√x+√x2−y2−√x−√x2−y2)22(x−y)3= (√ +√ 2− 2) 2+(√ −√ 2− 2) 2− 2√( +√ 2− 2)(x −√ 2− 2)2 3= +√ 2− 2+ −√ 2− 2− 2√ 2−(√ 2− 2) 22 3= 2√ 2− 2− 2)2 2√ 22 2x−2∨y∨¿2(x−y)3¿ y2 (do x>y>0)= )2 1(x−y)2=>B=√1(x−y)2 |1x−y|=1x−y (do B>0) ,1>0 và x>y.T đó ta có :A=B.xy=ừ xyx yTa có:xy=(2mnm2+n2)2.(2mnm2−n2)2=(2mnm2+n2.2mnm2−n2)2=( mnm 2+ mnm 2− 2) 2=( 2n 2( 2+ 2) 2− 2)) 2=( 2n 2m 4− 4) 2=16m4n4(m4−n4)2Ta có:x-y=(2mnm2−n2)2−(2mnm2+n2)2 =4m 2.n 2.( 1( 2− 2) 1( 2+ 2) 2)=4 2n 2+ 2) 2− 2− 2) 2[( 2+ 2) 2− 2)] =4 2n .m4+2m2n2+n4−m4+2m2n2−n4[m4−n4]2=4 2n .4m2n2[m4−n4]2 16m4n4[m4−n4]2Ta có A= xyx 16 4n 4[m 4− 4] 16 4n 4[m 4− 4] 1=> Bi th cể là ng sằ ốCâu 8: A=3−√4−√3+2√5 =5 −√ −√ +√ 2Ta có:A-B=(3 −√ −√ 2√ 5) −( −√ −√ +√ 2)=√6 −√ +√ −√ −√ 2√ =√6 −√ +√ 12 −√ −√ 2√ 32=M-N M=ớ√6 −√ +√ 12 và N= √4−√3+2√5 32Ta th :N>0 .Xét M=Mấ1 -M2 Mớ1 =√6 −√ +√ M2 12Ta th y:Mấ1 >0,M2 >0 =>M1 +M2 >0 nên ta có:(M1 -M2 )(M1 +M2 )= M1 2-M2 2=(√ −√ +√ 2) 2−( 12) 2=6−√4+√2 14 234 −√ +√ =M3 -M4 Mớ3 234 M4 =√4+√2Ta th y:Mấ3 >0,M4 >0 =>M3 +M4 >0 nên ta có:(M3 -M4 )(M3 +M4 )= M3 2-M4 =(232)2−¿ (√4 +√ 2) 2=52916−¿ −√ =46516 −√ 2Ta có: 46516 3216 =2=√ >√ =>46516 −√ >0=> (M3 -M4 )(M3 +M4 )>0Ta có: (M3 -M4 )(M3 +M4 )>0 M3 +M4 >0=> M3 -M4 >0Ta có: M3 -M4 >0 =>(M1 -M2 )(M1 +M2 )>0Ta có: (M1 -M2 )(M1 +M2 )>0 M1 +M2 >0=> M1 -M2 >0 =>M>0Ta có:M>0 ,N>0 =>M+N>0Ta có:(M-N(M+N)=M 2-N 2=(√6−√4+√2−12)2−(√4−√3+2√5+32)2= (√6−√4+√2)2−√6−√4+√2 14 –(√4−√3+2√5)2− 3√ −√ 2√ 94= −√ +√ −√ −√ +√ 14 +√ 2√ 3√ −√ 2√ 94=−√ +√ −√ −√ +√ −3√4−√3+2√5 +√ 2√ 5=F+E+D F=ớ−√ +√ ,E= −√ −√ +√ ,D= √3 2√ 3√ −√ 2√ 5Ta th F<0 ,E<0 ,Xét D=Dấ1 –D2 Dớ1 =√3 2√ D2 =3√ −√ 2√ 5Ta th y:Dấ1 >0,D2 >0 =>D1 +D2 >0 nên ta có:(D1 -D2 )(D1 +D2 )= D1 2-D2 2=(√3+2√5)2−(3√4−√3+2√5)2=3+2√5 9( −√ 2√ 5) =3+2√5−36+9√3+2√5 2√5−33+9√3+2√5 =D3 -D4 Dớ3 =9√3+2√5 ,D4 33 2√ 5Ta có :33>10=√100>√20=2√5 =>33−2√5 =>D4 >0Ta có:D3 >0,D4 >0 =>D3 +D4 >0Ta có: (D3 -D4 )(D3 +D4 )= D3 2-D4 2=(9√ 2√ 5) 2−( 33 2√ 5) 2=81(3+2√5)−(1089−132√5+20)= 243 162√ 1089 132√ 20 294√ 886Ta có :432180<784996 =>√ 432180 <√ 784996 294√ 886=> 294√ 886 <0 =>(D3 -D4 )(D3 +D4 <0Ta có: (D3 -D4 )(D3 +D4 <0 D3 +D4 >0 => D3 -D4 <0 =>(D1 -D2 )(D1 +D2 )<0Ta có: (D1 -D2 )(D1 +D2 <0 D1 +D2 >0 => D1 -D2 <0 =>D<0Ta có :F<0 ,E<0 ,D<0 =>:(M-N(M+N)<0Ta có: (M-N(M+N)<0 ,M+N>0 =>M-N<0=>A-B<0 =>A∆OBC cân .L có OA là ng cao(OA_|_BC)ạ ườ=>OA là ng phân giác trong ườ OBC =>^ BOA =^ COAXét OBA và ∆OCA ta có :OB=OC=R ,^ BOA =^ COA (cmt) ,OA là nh chungạ=> OBA OCA (c-g-c )=>^ OCA =^ OBA 90 ¿=> AC_|_OCTa có :C thu (O;R) AC_|_OC=>AC là ti tuy (O;R)ộ ủTa có :^ DBC 90 ¿( CBD ti trong ng tròn ng kính CD)ộ ườ ườTa có :^ DCB =^ OAC (cùng ph góc ớ^ BCA ,mà OAC =^ OAB OBA OCA)=>^DCB=^OAB .Xét CBD và ABO^DBC =^ OBA 90 ,^DCB=^OAB (cmt)=>∆CBD ~∆ABO (g-g )=> BDBC BOBA =>BD.BA=BC.BOb/Áp ng th ng trong ượ∆OAC vuông có ng cao CH choạ ườOH.OA=OC =R 2,AC 2=AH.OA ,CH 2=OH.AH ,OC.AC=CH.OAXét ∆OHL và ∆OJA ta có :^LOA là góc chung, IHA =^ OHL 90=> OHL OJA (g-g)=> OHOL OJOA =>OH.OA=OJ.OLT đó suy ra ODừ 2=OC 2=OH.OA=OJ.OL=> ODOJ OLODXét OJD và ∆ODL ta có :^DOJ là góc chung ODOJ OLOD (cmt)=> OJD ODL (c-g-c)=>^ ODL =^ OJD 90 =>OD_|_DLTa có:OE 2=OC 2=OJ.OL=> OEOJ OLOEXét ∆OJE và ∆OEL ta có :^EOJ là góc chung ,OEOJ=OLOE (cmt)=> OJE OEL (c-g-c)=>^ OEL =^ OJE 90 =>OE_|_ELTa có:^ OEL =^ ODL 90 =>4 đi O,D,L,E cùng thu ng tròn ng kính OLể ườ ườ,có tâm là trung đi cùa OLểXét IHA và ∆OHL ta có :^IHA =^ LHO 90 ,^ OLH =^ OAI (do ∆OJE ~∆OEL )=> Xét ∆IHA ~∆OHL (g-g)=>IHAH=OHLH =>OH.AH=HI.HLMà CH 2=OH.AH=>CH 2=HI.HL=> HIHC CHHL => HIHC CHHL 1=> ICHC CLHL =>1CI=HLCH.CL=CL−CHCH.CL => 1CI 1CH 1CL=> 1CI 1CL 1CH => 1CI 1CL 2BC (do BC=2HC)c/K EF_|_BC Fẻ ạTa có :^ DEC 90 ¿(∆DEC ti trong ng tròn ng kính CD)=>DE_|ộ ườ ườ_CEÁp ng th ng trong ượ∆DAC vuông có ng cao CE choạ ườDE.AD=DC =4R 2,AC 2=AE.ADTa có :OH_|_BC=>HB=HC(Quan ng kính và dây cung)ệ ườXét ∆CBD ta có :OC=OD ,HB=HC(cmt)=>OH là ng trung bình ườ ủ∆CBD =>BD=2OH và BD//OADL_|_CD ,AC_|_CD=>DL//ACDL//AC,Áp ng nh lý ta lét ta có :ụ ILIC IDIATa có :BD//OA ,Áp ng nh lý ta lét ta có :ụ ịIDIA=BDAHTheo nh trên ta có :AH.AO=ACư 2=AE.AD=> AEAO AHADXét ∆AEH và ∆AOD ta có :^OAD là góc chung AEAO AHAD (cmt)=>∆AEH ~∆AOD (c-g-c)=>DHDA=OEOA ặ^ COA =a thì ta có :cosa =OCOA=ROA ,cota= OCAC RACK nh ng đi trên ta có:ế ềEDEA DE ADAE AD DC 2AC 2AC cot 2a ILIC IDIA BDAH OHAH OH OAAH OA OC 2AC 2AC cot 2a DHDA OEOA OBOA cosa=> DA 2DA 2− DH 11 DH 2DA 11−cos2a=1sin2aTheo gi thuy bài cho:ả ềDA2DA2−DH2=√IL.DEIC.AE+14 => 1sin 2a =√ cot 2a .2 cot 2a 14 => 1sin 4a cot 4a 14 =>(cot 2a+1) 2=8cot 4a+ 14 (do áp ng công th ứ1sin2a =cot 2a+1)Đ k=cotặ 2a(k>0) ,bi th tr thành:ể ở(k+1) 2=8k 2+ 14 4(k+1) 2=32k 2+1 4(k 2+2k+1)=32k 2+1 4k 2+8k+4=32k 2+1 28k 2-8k-3=0 28k 2-14k+6k-3=0 14k(2k-1)+3(2k-1)=0 (2k-1)(14k+3)=0 2k-1= ho 14k+3=0ặDo k>0 =>14k+3>0 .Do đó nh 2k-1=0 2k=1 k= 12V k= 12 cot 2a 12 OC 2AC 12 AC 2=2OC 2=2R AC= R√ 2Ta có :∆OAC vuông cho :OAạ 2=OC 2+AC 2=R 2+2R 2=2R 2=>OA= R√ 3Áp ng th ng trong :ụ ượ∆OAC vuông có ng cao CH:ạ ườOC.AC=CH.OA=>CH= CO ACOA R√ 2. R√ R√ 63Do HB=HC=>BC=2CH=2R√63: ACH vuông cho :ACạ 2=CH 2+AH 2=>AH 2=AC 2-CH 2=2R 2-( R√ 63) 2=2R 2−2R23 23 => AH=2R√33Theo nh trên ta có :ư EDEA CD 2AC 22 2=>AD−EAEA =2=> ADEA =3 => AEAD 13 =>AE AD3Ta có:ED2EA2=4IDIA =>2 2=4IDIA =>IDIA =1 =>ID=IC=>I là trung đi AD=>AD=2AI => AI=ể AD2=> AEAI AD3 AD2 23 =>AI−EIAI=23 => EIAI 23 => EIAI 13Ta có :OA_|_BC EF_|_BC =>EF//OAEF//OA ,Áp ng qu nh lý ta lét trong :ụ IHA cho :EFAH IEIA 13 EF AH3 R√ 33 R√ 39 S∆BEC BC.EF2=2R√63.2R√392=4R2√1854=2√2.R29d/Theo nh trên ta có:ODư 2=OC 2=OH.OA=> ODOH OAODXét ∆ODH và OAD ta có :^DOA là góc chung ODOH OAOD (cmt)=> ODH~ OAD (c-g-c )=>^ ODH =^ OADMà BD//OA (cmt)=>^ OAD =^ BDA (2 góc trí sole trong )=>ở ị^ ODH =^ BDAXét ∆BDI và CDK ta có :^DBI =^ DCK 90 ,^ ODH =^ BDA (cmt)=>∆BDI ~∆CDK (g-g)=>^ DIB =^ DKCMà ta có :ạ^DIB=^CIA góc nh )=>ố ỉ^ CIA =^ DKCXét ∆CHK và ∆CAI ta có :^FCA là góc chung ,^ CIA =^ DKC=> CHK~∆CAI (g-g) =>CHCA=CKCIXét ∆CHA và CKI ta có :^FCA là góc chung,CHCA=CKCI (cmt)=> CHA CKI (c-g-c) =>^ CKI =^ CHA 90 ¿=> IK_|_ACXét CAI ta có IK ,AH,CE là ng caoườ=>3 ng th ng IK,AH,EC ng quy đi .Cho IK,AH,EC ng quy Gườ ạTa có :IK_|_AC ,CD_|_CA=>CD//IKTa có :CD//IK ,Áp ng qu nh lý ta lét :ụ ịTrong ODA :IGOD=AGAO Trong ∆OCA AGAO GKOC=>IGOD=GKOC .Mà OD=OC =>GI=GK =>IK=2GKXét CEA vuông và CGK vuông cho:ạ^CGK=^CAE (cùng ph iụ ớ^ECA )Xét CKG và IKA ta có :^CKG =^ IKA 90 ,^CGK=^CAE (cmt)=>∆CKG ~∆IKA (g-g)=> CKGK KIKA =>KA.KC=KG.KIMà IK=2GK=>IK 2=2KG.KI=2KA.KCCho BQ OA ,DL OA .L đi thu DL sao cho BQ//HUắ ộTheo nh trên ta có:ưIDIA =2cot 2a=> ADAI =2cot 2a+1=>AIAD=12cot2a+1Theo nh trên:CD//IK.Áp ng nh lý ta lét và trong OAD ta có:HGHO IGOC IGOD IAAD 12 cot 2a =>HG= HO2 cot 2a 1Mà BD=2OH=>HG= HO2 cot 2a BD2 cot 2a =>BD=2HG(2cot 2a+1)Theo nh trên ta có :a=ư^ COA =^ BDCXét ∆DBC vuông và ạ∆DCL vuông cho ạ^ BDC =^ CLD=>a=^ CLD .V trong ậ∆DCL ta có :cota=DLDCÁp ng th ng trong ượ∆DCL vuông có ng cao BD:ạ ườDC 2=CB.CL ,DL 2=BL.BCTa có:BLBC=BL.CLBC.CL=DL2DC2 =cot 2a=> BL2 BH =cot 2a=>BLBH =2cot 2a=> BHBL 12 cot 2a => HLBL 12 cot 2a cot 2a 12 cot 2a => BLHL cot 2a2 cot 2a 1HD//OA ,Áp ng nh lý ta let trong ị∆HVLLBLH LDLV BDVH =>2cot2a2cot2a+1=BLHL=BDVH=2HG(2cot2a+1)VH =>HGHV=cot2a(2cot2a+1)2Theo bài ta có:ề DQLQ JAJD JAJE AEEJ =1+ AE2 EJ =1+ AEDE=1+ AC 2CD =1+ AC 22 OC =1+2tan 2a=1+ 12 cot 2a cot 2a 12 cot 2a=>DLLQ=DQLQ+1=2cot2a+12cot2a+1=4cot2a+12cot2aDLVL LBLH cot 2a2 cot 2a =>DLLQ:DLVL=4cot2a+12cot2a:2cot2a2cot2a+1 =>VLQL=(4cot2a+1)(2cot2a+1)4cot4a=> VQQL VLQL =( cot 2a 1)( cot 2a 1)4 cot 4a 1¿(4cot2a+1)(2cot2a+1)−4cot4a4cot4a=8cot4a+2cot2a+4cot2a+1−4cot4a4cot4a cot 4a cot 2a 14 cot 4a Ta có:HU//QB ,Áp ng nh lý ta lét trong LUH QUQL BHBL 12 cot 2a=> VQQL QUQL cot 4a cot 2a 14 cot 4a 12 cot 2a => VQUQ cot 4a cot 2a 12 cot 2a=> UVUQ VQUQ cot 4a cot 2a 12 cot 2a cot 4a cot 2a cot 2a2 cot 2a¿4cot4a+4cot2a+12cot2a=(2cot2a+1)22cot2a =>UQUV=2cot2a(2cot2a+1)2Ta có:HU//QB ,Áp ng nh lý ta lét trong ị∆NQV HNHV UQUV cot 2a( cot 2a 2Mà HGHV=cot2a(2cot2a+1)2 => HNHV HGHV=>HN=2HG =>G là trung đi NH =>GH=GNể ủXét giác IHKN ta có :GI=GK ,GH=GNứ=>T giác IHKN là hình bình hành =>BC//NKứTa có :BC//NK ,BC_|_OA=>NK_|_OAXét ANK và ACO ta có:^ANK =^ ACO 90 ,^OAC là góc chung=>∆ANK ACO (g-g)=>ANAC=AKAOXét ANC và AKO ta có :^OAC là góc chung ,ANAC=AKAO (cmt)=> ANC AKO (c-g-c)=>^ AOK =^ ACNXét ∆ACN và ABN ta có :AB=AC( ABO ACO ,^ BAN =^ CAN ABO ACO ,AN là nh chungạ=> ACN ABN (c-g-c) =>^ ABN =^ ACNMà AOK =^ ACN (cmt)=>^ AOK =^ ABNXét ABN và ∆MON ta có :^BNA =^ ONM (2 góc nh) ,ố ỉ^ AOK =^ ABN (cmt)=>∆ABN ~∆MON (g-g)=> NANB NMNOXét ∆ONB và ∆MNA ta có :^ONB=^ANM (2 góc nh) ,ố NANB NMNO (cmt)=>∆ONB ~∆MNA (c-g-c) =>^ OBN =^ NAMXét trong ∆OAM ta có:^ AOK +^ NAM +^ AMO =180 *(Đ nh lý ng đo góc)ị ốK ớ^ AOK =^ ABN ,^ OBN =^ NAM ta có :^AMO 180 −(^ AOK +^ NAM) 180 −(^ ABN +^ OBN) 180 −^ OBA¿ 180 90 90 ¿Xét OKC và AKM ta có :^OKC =^ AKM (2 góc nh) ,ố ỉ^ OCK =^ AMO 90 ¿=>∆OKC ~∆AKM (g-g)=>OKCK=AKMK =>KM.KO=KA.KCMà KI 2=2KA.KC(cmt)=>KI 2=2KO.KM=2aTheo nh trên ta có:ư IDIA 2AC => AD AIIA 2AC => ADIA 2AC 1=> ADIA 2+ AC 2AC => AIAD AC 22 2+ AC