Bài tập Bất đẳng thức

ĐNG TH CẤ ỨDùng đnh nghĩaịCh ng minh các đng th sauứ ứ1.Cho a,b,c,d 0a) thì b) thì ếc) d) 32.Cho và b,d 0, Ch ng minh ng ằ3.Ch ng minh ng ,ca) ab ab b) 6ac) d) (a 1)(a 1) e) 2abc 2c 2f) (a b) 4ab g) ab h) 3b ab 3i) 4ab(a b) (a 2) j) 2b 2ab 0k) l) 2(1 2) 2a(1 b)m) n) o) 2p) ab ac 2bc q) 2a(ab 1) r) 2a(ab 1) s) 2a 4b 4ab 2act) ab (a b) u) 2a 2b 2ab 2b 2av) (a c) 3(a 2)4.Cho ,b [– 1;1] Ch ng minh ng |a b| |1 ab|4.a)Ch ng minh ng: thì b)Ch ng minh ng: hai và tùy ta có ố5.Cho 2. Ch ng minh ng ab bứ ằ6.Cho 0,ch ng minh ng: xứ 06.Cho ba ,b ,c [0;1],ch ng minh ng ab bc ca 14.Cho Ch ng minh ng b() (a c) ()(a c)5.Cho và Ch ng minh ng ằ5.Cho 0. Ch ng minh ng 0ứ ằ5.Cho ba ng ,b ,c ,ch ng minh ng :ố ươ 4.Cho các a,b,c,d tho 0. Ch ng minh ng :ố ằa) (a c) b) (a d) 5.a) Cho a.b 1,Ch ng minh ng a) Cho 1, .Ch ng minh ng a) Cho hai ,y tho 0.Ch ng minh ng ằ6. a,b,c,d ch ng minh ng ằa) b) 27.Cho ,b ,c là dài các nh tam giác ,ch ng minh ng :ộ ằa) 1b) abc 2(ab bc ca)c) a(b c) b(c a) c(a b) *d) 3(b 2) 3(c 2) 3(a 2) 0*e) (a c) 9bc c*f) (a c)(b a)(c b) abc8. Cho hai ,b tho ,ch ng minh ng aố *9.Cho ,b ,c ch ng minh ng ằa) 3abcb) 3b 3c 3a 2bc 2ca 2abc) 3(b 2) 3(c 2) 3(a 2) 0*10. Cho ,b ,c là dài nh tam giác,v Ch ng minh ng :ứ (a c) 9bc *.Cho tam giác ABC,ch ng minh ng ằ*.Cho ,b ,c [0;2] Ch ng minh ng 2(a c) (ab bc ca) 4. Ch ng minh ng …+ N. Ch ng minh ng …+ 2*.Cho ba ng ,b ,c tho mãn: ab bc ca Ch ng minh ng :ố ươ ằ .Cho a, b, tho mãn 3. Ch ng minh ng :ố ằa) 3b) đng th Cauchyấ ứ1.Cho hai Ch ng minh ng :ố ằa) b) 2b 2a c) 1d) ab(a b) e) 3b ab 4a 2bf) (a b)(1 ab) 4ab g) (1 a)(1 b) (1 h) i) j) j) (1 a)(1 b) (1 h) k) 3a 2b 16l) m) 2.Cho ch ng minh ng (1 a)ứ 2≥ 162. Cho ,b ,c tùy Ch ng minh ng: ằa) 2b 2a b) 2b 2c 2a )3.Cho ch ng minh ng: ằ3.Cho hai 1, ch ng minh ng ab 4.Cho các a,b,c Ch ng minh ng :ố ằa) ab (b 0) b) c) (a 1)(b 1)(a c)(b c) 16abc d) e) ab bc ac f) (a c) 2g) ab(a b) bc(b c) ca(a c) 6abch) ab i) 2(a c) i) (1 a)(1 b)(1 c) (1 3abc 4. Ch ng minh ng (0; /2) ta có: cosx sinx tgx cotgx 65.Cho ,b ,c tho 1. Ch ng minh ng aố abc5.Cho a,b,c không âm,Ch ng minh ng :ố ằa)(a b)(b c)(c a) 8abc b) cc)()( )() d) ()()( 8e) (a c)() f) (a c)() g) g) h) 3a 7b 9ab i) 3a 2b 4c 5j) 6.Cho ng ,b ,c ,d ,ch ng minh ng :ố ươ ằa) (ab cd)( b) (a b)(c d)c) d) (a 1)(b 2)(c 4)(d 8) (ac 2) 2(bd 4) e) 64abcdf) g) h) 3a 2b 16 i) (abc 1)( )( 67.Cho hai ng và b. Ch ng minh ng: (1 )ố ươ (1 n+1 N8.Cho 1,Ch ng minh ng :ứ ằa) ab b)a c)a d)a 9*.Cho và ab ,ch ng minh ng 2ứ ằ*. Ch ng minh ng 10.a) Ch ng minh ng thì ếb)S ng qu trên ch ng minh ng ,b ,c là ba không âm có ngử ổa thì 16abc11.Cho 1,Ch ng minh ng: ()() ằ12.Cho a,b,c và Ch ng minh ng :ứ ằa) ()()( 64 b) (a b)(b c)(c a)abc 13*.Cho ,b ,c ,d tho mãn 3ố Ch ng minh ng abcd 14.Cho a,b,c là dài ba nh tam giác ,ch ng minh ng :ộ ằa) ab bc ca 2(ab bc ca)b) abc (a c)(b a)(c b)c) (p a)(p b)(p c) d) 2( )e) 15.Cho ,b ,c ,tho mãn a.b.c Ch ng minh ng (1 a)(1 b)(1 c) 8ứ ằ15. Cho x, y, tho mãn: xố 1. Ch ng minh ngứ xy yz zx 16 .Cho ng aố ươ1 ,a2 ,….,an Ch ng minh ngứ ằa) b) (a1 a2 an )() c) (1 a1 )(1 a2 )…(1 an aớ1 .a2 ….an 117.Cho aố1 ,a2 ,….,an [0;1] ,ch ng minh ng :ứ (1 a1 a2 …+ an 4(a1 a2 …+ an 2)18.Cho ch ng minh ng .Khi nào ra ấ18. Cho hai Ch ng minh ng :ố ằa) 3≥ b) 17125ab17b12a5 c) 3a 2b 1619. Ch ng minh ng 1.3.5….(2n 1) nứ 20*.Cho ba không âm ,b ,c ch ng minh ng :ố ằa knmnmkknmmknknmknmcbacbacba21*.Cho 2n ng aố ươ1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn .Ch ng minh ng 21. Ch ng minh ng ,d 322*. ch ng minh ng :ứ ằa) 2)1n(n1n2 b) 1.2 2.3 3.4 4…n 2)1n(n31n223*.Cho m,n ;m Ch ng minh ng :ứ ằ( n24*.Cho x1 ,x2 ,…xn và x1 x2 ….+ xn Ch ng minh ng ()()…( (n 1) n25*.Cho các xố1 x2 ,y1 y2 z1 z2 tho mãn xả1 .x2 x1 .z1 y1 x2 .z2 y2 Ch ng minh ng (xứ ằ1 x2 )(z1 z2 (y1 y2 226*.Cho ,b ,c (0;1). Ch ng minh ng trong đng th sau ph có ấđng th sai:ẳ ứa(1 b) 1/4 (1) b(1 c) 1/4 (2) c(1 a) 1/4 (3) 27*.Cho a,b,c 0. Ch ng minh ng :ố 28** Cho ,y ,z [0;1] ,ch ng minh ng (2ứ z)(2 z) (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Tr Đc Huyên)ầ ứ29*.Cho 1. Ch ng minh ng :ứ ằa) b) *Cho ,b ,c 0,ch ng minh ng :ứ ằa) b) c) d) ab bc cae) (a c)(a 2) 9abc f) cg) .Cho ba ,b ,c tu Ch ng minh ng ằa 2(1 2) 2(1 2) 2(1 +ab 2) 6abc*Cho ,b ,c tho Ch ng minh ng 4ả ằ*Cho a, b, tho 1. Ch ng minh ng :ố ằa) b) *Cho ,b ,c tho k. Ch ng minh ng :ứ 3*Cho ba ,b ,c 0. Ch ng minh ng ằ*Cho tam giác ABC,Ch ng minh ng ằa) ha hb hc 9r b) Dùng tam th haiứ ậ1. Ch ng minh ng :ứ ằa) 5y 4xy 2x 6y 0a) 4y 3z 14 2x 12y 6z b) 5x 3y 4xy 2x 8y 0c) 3y 2xy 2x 6y 0d) 2y 2(x 2)y 4xy 4xy e) (x y) xy (x y)f) 10 0g) (xy yz zx) 3xyz(x z)2.Cho ,b ,c ,d tho b< ch ng minh ng :ố (a d) 8(ac bd)3. Ch ng minh ng (1 2ứ x) 3.4 2x+1 4. Cho ax by x,y 0. Ch ng minh ng ab 1/4ứ ằ*5. Cho và ,ch ng minh ng xứ 3xy 06** Cho 36 và abc 1.Xét tam th f(x) xứ ax 3bc a) Ch ng minh ng f(x) xb) Ch ng minh ng: bứ ab bc caCho hai tho mãn: Ch ng minh ng xứ 3x 3y 4.Tìm Giá tr nh nh các hàm :ị ốa) b) 2ớc) 1ớd) 2ớe) 0ớf) (0;1).Tìm giá tr nh các hàm sau:ị ốy x(2 x) 2y (2x 3)(5 2x) (3x 2)(1 x) 1y (2x 1)(4 3x) 4x [0;4].Trong ph ng Oxy,trên các tia Ox và Oy các đi và thay đi ượ ổsao cho đng th ng AB luôn luôn ti xúc đng tròn tâm bán kính 1. Xác ườ ườđnh và đo AB có dài nh nh ấ*.Cho .Tìm giá tr nh bi th ứA *Tìm giá tr nh và giá tr nh nh hàm