Bài II.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 153)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:17:03

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CD. Gọi I là giao điểm của BE và CD

a) Chứng minh rằng IB = IC, ID = IE

b) Chứng minh rằng BC song song với DE

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, M, I thẳng hàng

a) Vì AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

BD = CE (gt)

=> AD = AE

Xét hai tam giác ABE và ACD có:

AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{A}\): góc chung

AD = AE (cmt)

Vậy: \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\)

Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng) (1)

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\) (hai góc tương ứng) (2)

\(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

\(\widehat{ABE}-\widehat{B_1}=\widehat{ACD}-\widehat{C_1}\) hay \(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)

Vậy \(\Delta BIC\) cân tại I, suy ra: IB = IC (4)

Từ (1) và (4) suy ra:

BE - IB = CD - IC hay IE = ID

b) Các tam giác cân ABC và ADE có chung góc ở đỉnh A nên \(\widehat{B_1}=\widehat{ADE}\) (hai góc đồng vị)

Do đó: BC // DE

c) Xét hai tam giác BIM và CIM có:

MB = MC (gt)

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)(cmt)

IB = IC (do \(\Delta BIC\) cân tại I)

Vậy: \(\Delta BIM=\Delta CIM\left(c-g-c\right)\)

Suy ra: \(\widehat{IMB}=\widehat{IMC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat{IMB}+\widehat{IMC}=180^o\) (kề bù)

Nên \(\widehat{IMB}=\widehat{IMC}\) = 90^o (1)

Ta lại có: \(\widehat{IMB}+\widehat{AMB}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{IMB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ba điểm A, M, I thẳng hàng (đpcm).