Bài 5 (SGK trang 45)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:13:33

Lý thuyết

Câu hỏi

Cho hàm số $y = 2x^2 + 2mx + m -1$ có đồ thị là $(C_m)$, $m $là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=1$

b) Xác định m để hàm số:

- Đồng biến trên khoảng (-1, +∞)

- Có cực trị trên khoảng (-1, +∞)

c) Chứng minh rằng $(C_m)$ luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi $m$

Hướng dẫn giải

y = 2x² + 2mx + m -1 (C_m). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.

a) m = 1 ⇒ y = 2x² + 2x

Tập xác định D = R

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=+\infty$

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Tổng quát y = 2x² + 2mx + m -1 có tập xác định D = R

$y^{'} = 4 x + 2 m = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- m}{2}$ .

Suy ra y’ > 0 với $x>-\dfrac{m}{2}$ và $y'< 0$ với $x< -\dfrac{m}{2}$ tức là hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty;\dfrac{-m}{2}\right)$ và đồng biến trên $\left(-\dfrac{m}{2};+\infty\right)$

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (-1, +∞) thì phải có điều kiện $(- 1, + \infty) \in (\frac{- m}{2}, + \infty)$
Hay $-\dfrac{m}{2}< -1$$\Leftrightarrow m>2$

ii) Hàm số đạt cực trị tại $x=\dfrac{m}{2}$

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1, +∞), ta phải có:

$-\dfrac{m}{2}\in\left(-1;+\infty\right)$ hay $-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m< 2$.

c) (C_m) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt

⇔ phương trình 2x² + 2mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

Δ’ = m² – 2m + 2 = (m-1)² + 1 > 0 ∀m

Vậy (C_m) luôn cắt O x tại hai điểm phân biệt.

Update: 26 tháng 12 2018 lúc 14:56:53