Bài 2: Cực trị hàm số

Mục lục

* * * * *

Bài 3 (SGK trang 18)

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{|x|}$ không có đạo hàm tại $x=0 $ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó

Hướng dẫn giải

Đặt $y=f(x)=\sqrt{\left | x \right |}$ . Giả sử x > 0, ta có :

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty .$

Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 vì $f(x)=\sqrt{\left | x \right |}\geq 0=f(0),\forall x\in\textbf{ R}$ .

Bài 4 (SGK trang 18)

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số $m$, hàm số $y=x^3-mx^2-2x+1$

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Hướng dẫn giải

y’ = 3x² – 2mx – 2 , ∆’ = m² + 6 > 0 nên y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Bài 2 (SGK trang 18)

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) $y=x^4-2x^2+1$

b) $y=\sin 2x -x$

c) $y=\sin x +\cos x$

d) $y = x^5 – x^3 – 2x + 1$

Hướng dẫn giải

a) y' = 4x³ – 4x = 4x(x² - 1) ; y' = 0 ⇔ 4x(x² - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = $\pm$ 1.

y'' = 12x²- 4 .

y''(0) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_cđ= y(0) = 1.

y''( $\pm$ 1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = $\pm$ 1, y_ct= y( $\pm$ 1) = 0.

b) y' = 2cos2x - 1 ;
$y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .$

y'' = -4sin2x .

$y''\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0$ nên hàm số đạt cực đại tại các điểm x = $\frac{\pi }{6}$ + kπ, y_cđ= sin( $\frac{\pi }{3}$ + k2π) - $\frac{\pi }{6}$ - kπ = $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}$ - kπ , k ∈ Z.

$y''\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = $-\frac{\pi }{6}$ + kπ, y_ct= sin( $-\frac{\pi }{3}$ + k2π) + $\frac{\pi }{6}$ - kπ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}$ - kπ , k ∈ Z.

c) y = sinx + cosx = $\sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right )$ ; y' = $\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )$ ;

$y'=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow$ $x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .$

$y''=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).$

$y''\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )=$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ , đạt cực tiểu tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+(2k+)\pi (k\in \mathbf{Z}).$

d) y' = 5x⁴ - 3x² - 2 = (x² - 1)(5x² + 2) ; y' = 0 ⇔ x²- 1 = 0 ⇔ x = ±1.

y'' = 20x³- 6x.

y''(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y_ct= y(1) = -1.

y''(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, y_cđ= y(-1) = 3.

Bài 5 (SGK trang 18)

Tìm $a$ và $b$ để các cực trị của hàm số

$y=\dfrac{5}{3}a^2x^3+2ax^2-9x+b$

đều là những số dương và $x_0 =-\dfrac{5}{9}$ là điểm cực đại.

Hướng dẫn giải

- Xét a = 0 hàm số trở thành y = -9x + b. Trường hợp này hàm số không có cực trị.

- Xét a # 0. Ta có : y’ = 5a²x² + 4ax – 9 ; y’= 0 ⇔ $x=-\frac{1}{a}$ hoặc $x=-\frac{9}{5a}$

- Với a < 0 ta có bảng biến thiên :

Theo giả thiết $x_{0}=-\frac{5}{9}$ làđiểm cực đại nên $\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{9}{5}$ . Theo yêu cầu bài toán thì

$y_{(CT)}=y\left ( -\frac{9}{5a} \right )=y(1)>0\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )^{2}+2\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )-9+b>0\Leftrightarrow b>\frac{36}{5}.$

- Với a > 0 ta có bảng biến thiên :

Vì $x_{0}=-\frac{5}{9}$ là điểm cực đại nên $-\frac{9}{5a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{81}{25}$ . Theo yêu cầu bài toán thì: $y_{(ct)}=y\left ( \frac{1}{a} \right )=y\left ( \frac{25}{81} >0\Leftrightarrow \frac{5}{3}\right )\cdot \left ( \frac{81}{25} \right )^{2}\left ( \frac{25}{81} \right )^{3}+2.\frac{81}{25}\cdot \left ( \frac{25}{81} \right )^{2}-9\cdot \frac{25}{81}+b>0\Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.$

Vậy các giá trị a, b cần tìm là: $\left\{\begin{matrix} a=-\frac{9}{5} & \\ b>\frac{36}{5} & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=\frac{81}{25} & \\ b>\frac{400}{243} & \end{matrix}\right.$ .

Bài 1 (SGK trang 18)

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

a) $y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10$

b) $y = x^4+ 2x^2 – 3 ;$

c) $y=x+\dfrac{1}{x}$

d) $y=x^3(1-x)^2$

e) $y=\sqrt{x^2-x+1}$

Hướng dẫn giải

a) $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 36 = 6 (x^{2} + x - 6)$

y’= 0 ⇔ x²+ x – 6= 0 ⇔ x=2; x=-3

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 , y_cđ = y(-3) = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , y_(ct) = y₍₂₎= -54

b) y’ = 4x³+ 4x = 4x(x²+ 1); y’ = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , y_(ct) = y₍₀₎= -3

c) Tập xác định : D = R\{0}

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 , y_cđ = y(-1) = -2 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , y_ct = y(1) = 2.

d) Tập xác định : D = R.

y’ = 3x²(1 – x)² + x³. 2(1 – x)(-1) = x² (1 – x)[3(1 – x) - 2x] = x² (x – 1)(5x – 3) .

y’ = 0 ⇔ x = 0, x =, x = 1.

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực đại tại x = , y_cđ = = ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , y_ct = y(1) = 0 .

e) Tập xác định : D = R.

Hàm số đạt cực tiểu tại

Bài 6 (SGK trang 18)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số $y=\dfrac{x^2+mx+1}{x+m}$ đạt cực đại tại $x=2 $

Hướng dẫn giải

Tập xác định : $D=\textbf{R}\setminus \left \{ -m \right \};$

$y'=\frac{2x^{2}+2mx+m^{2}-1}{(x+m)^{2}}.$

Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0 ⇔ m²+ 4m + 3 = 0 ⇔ m=-1 hoặc m=-3

- Với m = -1, ta có : $y=\frac{x^{2}-x+1}{x-1};$

$y'=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}; y'=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} -2x=0& \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$ x=0 hoặc x=2.

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x = 2.

- Với m = -3, ta có: $y=\frac{x^{2}3x+1}{x-3};$

$y'=\frac{x^{2}-6x+8}{(x-3)^{2}};y'=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2-6x+8=0} & \\ x\neq 3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$ x=2 hoặc x=4