Chứng minh rằng hàm số : Không có đạo hàm tại điểm nhưng có đạo hàm tại điểm

Bài 4 (SGK trang 156)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:13:51

Câu hỏi

Chứng minh rằng hàm số :

$f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2;\left(x\ge0\right)\\-x^2;\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.$

Không có đạo hàm tại điểm $x=0$ nhưng có đạo hàm tại điểm $x=2$

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}$ f(x) = $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}$ (x – 1)² = 1 và $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}$ f(x) = $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}$ (-x²) = 0.

vì $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}$ f(x) ≠ $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}$ nên hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0, do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.

Ta có $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}$ = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}$ = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ (2 + ∆x) = 2.