Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 162)

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) $y=7+x-x^2$ tại $x_0=1$

b) $y=x^3-2x+1$ tại $x_0=2$

Hướng dẫn giải

a) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀= 1. Ta có:

∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = 7 + (1 + ∆x) - (1 + ∆x)² - (7 + 1 - 1²) = -(∆x)²- ∆x ;

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = - ∆x - 1 ; $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ (- ∆x - 1) = -1.

Vậy f'(1) = -1.

b) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀= 2. Ta có:

∆y = f(2 + ∆x) - f(2) = (2 + ∆x)³- 2(2 + ∆x) + 1 - (2³ - 2.2 + 1) = (∆x)³ + 6(∆x)² + 10∆x;

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = (∆x)² + 6∆x + 10; $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ [(∆x)² + 6∆x + 10] = 10.

Vậy f'(2) = 10.

Bài 2 (SGK trang 163)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) $y=x^5-4x^3+2x-3$

b) $y=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}x+x^2-0,5x^4$

c) $y=\dfrac{x^4}{2}-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{4x^2}{5}-1$

d) $y=3x^5\left(8-3x^2\right)$

Hướng dẫn giải

a) y' = 5x⁴ - 12x² + 2.

b) y' = - $\frac{1}{3}$ + 2x - 2x³.

c) y' = 2x³ - 2x² + $\frac{8x}{5}$ .

d) y = 24x⁵ - 9x⁷ => y' = 120x⁴ - 63x⁶.

Bài 3 (SGK trang 163)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) $y=\left(x^7-5x^2\right)x^3$

b) $y=\left(x^2+1\right)\left(5-3x^2\right)$

c) $y=\dfrac{2x}{x^2-1}$

d) $y=\dfrac{3-5x}{x^2-x+1}$

e) $y=\left(m+\dfrac{n}{x^2}\right)^3$ (m, n là các hằng số)

Hướng dẫn giải

a) y' = 3.(x⁷- 5x²)².(x⁷- 5x²)' = 3.(x⁷- 5x²)².(7x⁶ - 10x) = 3x.(x⁷- 5x²)²(7x⁵ - 10).

b) y = 5x² - 3x⁴ + 5 - 3x² = -3x⁴ + 2x² + 5, do đó y' = -12x³ + 4x = -4x.(3x² - 1).

c) y' = $\frac{\left ( 2x \right )'.\left ( x^{2}-1 \right )-2x\left ( x^{2}-1 \right )'}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}$ = $\frac{2.\left ( x^{2}-1 \right )-2x.2x}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}$ = $\frac{-2\left ( x^{2}+1 \right )}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}$ .

d) y' = $\frac{\left ( 3-5x \right )\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( x^{2}-x+1 \right )'}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}$ = $\frac{-5\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( 2x-1 \right )}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}$ = $\frac{5x^{2}-6x-2}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}$ .

e) y' = 3. $\left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}$ . $\left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )'$ = 3. $\left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}$ $\left ( -\frac{2n}{x^{3}} \right )$ = - $\frac{6n}{x^{3}}$ . $\left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}$ .

Bài 4 (SGK trang 163)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) $y=x^2-x\sqrt{x}+1$

b) $y=\sqrt{2-5x-x^2}$

c) $y=\dfrac{x^3}{\sqrt{a^2-x^2}}$ (a là hằng số)

d) $y=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}$

Hướng dẫn giải

a) y' = 2x - $\left ( \sqrt{x}+x.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right )$ = 2x - $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ .

b) y' = $\frac{\left ( 2-5x-x^{2} \right )'}{2.\sqrt{2-5x-x^{2}}}$ = $\frac{-5-2x}{2\sqrt{2-5x-x^{2}}}$ .

c) y' = $\frac{\left ( x^{3} \right )'.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\left ( \sqrt{a^{2}-x^{2}} \right )}{a^{2}-x^{2}}$ = $\frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\frac{-2x}{2\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}$ = $\frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{x^{4}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}$ = $\frac{x^{2}\left ( 3a^{2}-2x^{2} \right )}{\left ( a^{2} -x^{2}\right )\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ .

d) y' = $\frac{\left ( 1+x \right )'.\sqrt{1-x}-\left ( 1+x \right ).\left ( \sqrt{1-x} \right )'}{1-x}$ = $\frac{\sqrt{1-x}-\left ( 1+x \right )\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}$ = $\frac{2\left ( 1-x \right )+1+x}{2\left ( 1-x \right )\sqrt{1-x}}$ = $\frac{3-x}{2\left ( 1-x \right )\sqrt{1-x}}$ .