Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x₀∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ khi x → x₀ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x₀, kí hiệu là f'( x₀) hay y'( x₀). Như vậy:

f'( x₀ ) = $\lim_{x\rightarrow x_{0}}$ $\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ .

Nếu đặt x - x₀ = ∆x và ∆y = f(x₀+∆x) - f(x₀) thì ta có

f'(x₀) = $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Đại lượng ∆x được gọi là số gia của đối số tại x₀ và đại lượng ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Với ∆x là số gia của số đối tại x₀ ,tính ∆y = f(x₀+∆x)- f(x₀);

Bước 2. Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ;

Bước 3. Tính $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Nhận xét: nếu thay x₀ bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lí. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại x_0.

Chú ý.

Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu y = f(x) gián đoạn tại x₀ thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu tồn tại, f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀;f(x₀)). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M₀(x₀;f(x₀)) là

y - f(x₀) = f'(x₀)(x-x₀)

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

v(t) = s'(t) là vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

6. Các dạng toán cơ bản :

Loại 1 : Tính đạo hàm bằng công thức :

Ví dụ 1 :

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ tại điểm $x_0=2$

Bài giải :

Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0=2$. Ta có :

$\Delta y=f\left(2+ \Delta x\right)-f\left(2\right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=-\frac{\Delta x}{2\left(2+\Delta x\right)}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{2\left(2+\Delta x\right)}$

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{-1}{2\left(2+\Delta x\right)}=-\frac{1}{4}$

Vậy $f'\left(2\right)=-\frac{1}{4}$

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm hàm số : $y=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}$

Bài giải :

Xét hàm số : $y=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}$ ta có $y'=\frac{\left(x+\sqrt{x}\right)'}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$=\frac{1+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+2\sqrt{x}+2\sqrt{x+\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}$

Loại 2 : Chứng minh các đẳng thức về đạo hàm :

Ví dụ 1:

Cho $y=e^{-x}.\sin x$, chứng minh hệ thức $y"+2y'+2y=0$

Bài giải :

Ta có $y'=-e^{-x}.\sin x+e^{-x}.\cos x$

$y"=e^{-x}.\sin x-e^{-x}.\cos x-e^{-x}.\cos x-e^{-x}.\sin x=-2e^{-x}.\cos x$

Vậy $y"+2y'+2y=-2.e^{-x}.\cos x--2.e^{-x}.\sin x+2.e^{-x}.\cos x+2.e^{-x}.\sin x=0$

Ví dụ 2 :

Cho $y=\frac{1}{2}x^2e^x$,chứng minh hệ thức $y"-2'+y=e^x$

Bài giải :

Ta có : $y'=xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x$

$y"=e^x+xe^x+xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x=e^x+3xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x$

Khi đó : $y"+2y'+y=e^x+2xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x-x^2e^x+\frac{1}{2}x^2e^x=e^x$

Ví dụ 3 : Cho $y=\sqrt{2x+x^2}$, chứng minh rằng ta có hệ thức $y^3y"+1=0$

Bài giải :

Ta có : $y'=\frac{2+2x}{2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{1+x}{\sqrt{2x+x^2}}$

$y"=\frac{\sqrt{2x+x^2}-\left(1+x\right)\frac{1+x}{\sqrt{2x+x^2}}}{2x+x^2}=\frac{2x+x^2-\left(1+x\right)^2}{2x+x^2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{-1}{2x+x^2\sqrt{2x+x^2}}$

Ta có :$y^3y"+1=\left(2x+x^2\right)\sqrt{2x+x^2}\left(\frac{-1}{\left(2x+x^2\right)\sqrt{2x+x^2}}\right)+1=0$

Loại 3 : Phương trình và bất phương trình có đạo hàm

Ví dụ 1: Cho $f\left(x\right)=x^3\ln x$, giải phương trình :

$f'\left(x\right)-\frac{1}{x}f\left(x\right)=0$ (1)

Bài giải :

Ta có $f\left(x\right)=3x^2\ln x+x^3.\frac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2$

Vậy (1) $\Leftrightarrow3x^2\ln x+x^2-x^2\ln x=0$

$\Leftrightarrow2x^2\ln x+x^2=0$

$\Leftrightarrow x^2\left(2\ln x+1\right)=0$ (2)

Rõ ràng $x>0$ là điều kiện tồn tại phương trình nên :

$\left(2\right)\Leftrightarrow2\ln x+1=0$

$\Leftrightarrow\ln x=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$

Ví dụ 2 :

Cho $f\left(x\right)=2x^2\cos^2\frac{x}{2}$ và $g\left(x\right)=x-x^2\sin x$. Giải phương trình $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ (1)

Bài giải :

Ta có : $f'\left(x\right)=4x\cos^2\frac{x}{2}+2x^2\cos\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}\right)=4x\cos^2\frac{x}{2}-x^2\sin x$

Vậy (1) $\Leftrightarrow4x\cos^2\frac{x}{2}-x^2\sin x=x-x^2\sin x$

$\Leftrightarrow4x\cos^2\frac{x}{2}=x$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\1+\cos x=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\\cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi,k\in Z\end{array}\right.$

Ví dụ 3 : Cho $f\left(x\right)=2x^3+12x^2$ và $g\left(x\right)=9x^2+72x$, giải phương trình $f'\left(x\right)+g'\left(x\right)\le0$

Bài giải :

Ta có : $f'\left(x\right)=6x^2+24x$

$g'\left(x\right)=18x+72$

Khi đó (1) $\Leftrightarrow6x^2+24x+18+72\le0$

$\Leftrightarrow x^2+7x+12\le0$

$\Leftrightarrow-4\le x\le-3$

Loại 4 : Đạo hàm cấp cao :

Ví dụ : Cho $f\left(x\right)=\frac{5x-3}{x^2-3x+2}$; tìm $f^{\left(n\right)}\left(x\right)$

Bài giải :

Ta hãy tìm A, B sao cho : $\frac{5x-3}{x^2-3x+2}=\frac{5x-3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$ (1)

Từ (1) ta có $5x-3=A\left(x-2\right)+B\left(x-1\right)=x\left(A+B\right)-\left(2A+B\right)$

$\Rightarrow\begin{cases}A+B=5\\2A+B=3\end{cases}$ $\Rightarrow\begin{cases}A=-2\\B=7\end{cases}$

Vậy $f\left(x\right)=\frac{5x-3}{x^2-3x+2}=\frac{-2}{\left(x-1\right)}+\frac{7}{\left(x-2\right)}$

$\Rightarrow f^{\left(n\right)}\left(x\right)=-2\left(\frac{1}{x-1}\right)^{\left(n\right)}+7\left(\frac{1}{x-2}\right)^{\left(n\right)}$

Từ ví dụ trên, suy ra :

$f^{\left(n\right)}\left(x\right)=7\left(-1\right)^nn!\frac{1}{\left(x-2\right)^{n+1}}-2\left(-1\right)n!\frac{1}{\left(x-1\right)^{n+1}}=\left(-1\right)^nn!\left[\frac{7}{\left(x-2\right)^{n+1}}-\frac{2}{\left(x-1\right)^{n+1}}\right]$

Loại 5 : Bài toán sử dụng định nghĩa đạo hàm :

Ví dụ 1 : Cho hàm số $f\left(x\right)=\begin{cases}\frac{1-\cos x}{x};x\ne0\\2;x=0\end{cases}$ có tồn tại đạo hàm $f\left(x\right)$ tại $x=0$ hay không ?

Bài giải :

Ta có : $\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}.\lim\limits_{x\rightarrow0}\sin\frac{x}{2}=1.0=0$

Do đó $\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)\ne f\left(0\right)$ vậy $f\left(x\right)$ là hàm số không liên tục tại $x=0$ suy ra $f\left(x\right)$ không có đạo hàm tại x = 0 (không thỏa mãn điều kiện cần)

Ví dụ 2 : Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên R và thỏa mãn.

$\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)^2\le\left|x-y\right|^3$, mọi $x,y\in R$

Chứng minh rằng hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên R

Bài giải :

Lấy $x_0$ tùy ý thuộc R. Từ giả thiết ta có :

$\left(f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\right)^2\le\left|x_0+\Delta x-x_0\right|^3$

$\Leftrightarrow\left(\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\right)^2\le\left|\Delta x\right|$

$\Leftrightarrow-\sqrt{\left|\Delta x\right|}\le\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\le\sqrt{\left|\Delta x\right|}$

Do $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow x}\sqrt{\left|\Delta x\right|}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow x}\left(-\sqrt{\left|\Delta x\right|}\right)=0$ nên theo "nguyên lí kép" ta có

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=0$

Vậy tồn tại đạo hàm của $f\left(x\right)$ tại $x_0$

Do $x_0$ tùy thuộc R nên $f\left(x\right)$ là hàm số có đạo hàm trên R

Hơn thế, ta còn có $f'\left(x\right)=0$ với mọi $x\in R$

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Đạo hàm, vi phân, các dạng toán

Ứng dụng của đạo hàm

Các dạng toán về đạo hàm, có lời giải